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1、学习必备 欢迎下载 必修 1 基本初等函数知识点整理 一、指数与指数幂的运算（1）根式的概念 如果,1nxa aR xR n，且nN，那么x叫做a的n次方根 当n是奇数时，_x 当n是偶数时，当_,0 xa；当a0，_x；当0a，_x 式子na叫做_，这里n叫做_，a叫做_当n为奇数时，a为_；当n为偶数时，_a 根式的性质：()nnaa ；当n为奇数时，nnaa ；当n为偶数时，(0)|(0)nnaaaaaa （2）分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是：(0,mnmnaaam nN且1)n 0 的正分数指数幂等于_ 正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,mmmnnnaam n
2、Naa0 的负分数指数幂_ （3）分数指数幂的运算性质 _sraa _sraa _)(sra 练习：1.下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 （）(A)12()(0)xxx (B)1263(0)yyy (C)33441()(0)xxx(D)133(0)xx x 2.已知11223xx，求22332223xxxx的值；二、指数函数及其性质 定义 函数_叫做指数函数 图象 1a 01a 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 当 x0 时，y_；当 x0 时，y_；当 x0 时，y_ 练习：1.设0 x，且1xxab（0a，0b），则a与b的大小关系是 （）学习必备 欢迎下载 （A）1ba （B）1
3、ab （C）1ba （D）1ab 2.函数xexf11)(的定义域是 3.如图为指数函数xxxxdycybyay)4(,)3(,)2(,)1(，则dcba,与 1 的大小关系为 （A）dcba1 （B）cdab1 （C）dcba1 （D）cdba1 4.若函数myx 12的图象不经过第一象限，则m的取值范围是 （）（A）2m （B）2m （C）1m （D）1m 5.已知 f(x)2xxee且 x0,）(1)判断 f(x)的奇偶性;(2)判断 f(x)的单调性，并用定义证明 三、对数与对数运算（1）对数的定义：若(0,1)xaN aa且，则x叫做以a为底N的对数，记作_x，其中a叫做_，N叫做_
4、(2)几个重要的对数恒等式:log 10a ，log1aa ，logbaab(3)常用对数:(以_为底),记作：_;自然对数：(以_为底),记作：_(4)对数的运算性质 如果0,1,0,0aaMN，那么 _)(logMNa _)(logNMa loglog()naanMMnR logaNaN loglog(0,)bnaanMM bnRb 换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且 练习：1._,2log6log31log.2_,32log63564xx则若 3.设,518,9log18ba，求45log36.4.已知35abc，且112ab，求c的值 5.求方程22log(1)2
5、log(1)xx 的解 6.求函数22(log)(log)34xxy 在区间22,8上的最值 四、对数函数及其性质 O x y a d c b 奇数时当是偶数时当当当式子叫做这里叫做叫做当为奇数时为当为偶数时根式的性质当为奇数时当为偶数时分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是且的正分数指数幂等于正数的负分数指数幂的意义是的负分数指数幂分数指数图象定义域值域过定点奇偶性单调性当时当时当时当时练习设且则与的大小关系是学习必备欢迎下载函数的定义域是如图为指数函数则与的大小关系为的图象不经过第一象限则的取值范围是若函数已知且判断的奇偶性判断的单调常用对数以为底记作自然对数以为底记作对数的运算性质如
6、果那么换底公式且练习则若设求已知且求的值求方程的解求函数在区间上的最值四对数函数及其性质学习必备欢迎下载定义函数叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性学习必备 欢迎下载 定义 函数_叫做对数函数 图象 1a 01a 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 当 0 x1 时，y_ 当 0 x1 时，y_ 练习：1.函数12log(32)yx的定义域是：（）A 1,)B 23(,)C 23,1 D 23(,1 2.若函数)1,0)(logaabxya的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则()(A)a=2,b=2 (B)a=2,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a=2,b=2 3.已知7.01.1
7、7.01.1,8.0log,8.0logcba，则cba,的大小关系是（）（A）cba （B）cab （C）bac （D）acb 4.已知函数 f（x）=2log(0)3(0)xx xx，则 f f（14）的值是（）A9 B19 C9 D19 5.函数 y=|log2x|的图象是（）6.如果log 5log 50ab，那么 a、b 间的关系是（）A 01ab B 1ab C 01ba D 1ba 7若 0a1，f(x)|logax|，则下列各式中成立的是（）Af(2)f(13)f(14)B f(14)f(2)f(13)C f(13)f(2)f(14)D f(14)f(13)f(2)8.已知 a
8、b，函数 f(x)(xa)(xb)的图象如图所示，则函数 g(x)loga(xb)的图象可能为()A 1 x y O B 1 x y O C 1 x y O D 1 x y O 奇数时当是偶数时当当当式子叫做这里叫做叫做当为奇数时为当为偶数时根式的性质当为奇数时当为偶数时分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是且的正分数指数幂等于正数的负分数指数幂的意义是的负分数指数幂分数指数图象定义域值域过定点奇偶性单调性当时当时当时当时练习设且则与的大小关系是学习必备欢迎下载函数的定义域是如图为指数函数则与的大小关系为的图象不经过第一象限则的取值范围是若函数已知且判断的奇偶性判断的单调常用对数以为底记作
9、自然对数以为底记作对数的运算性质如果那么换底公式且练习则若设求已知且求的值求方程的解求函数在区间上的最值四对数函数及其性质学习必备欢迎下载定义函数叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性学习必备 欢迎下载 9已知：()lg()xxf xab（a1b0）（1）求)(xf的定义域（2）判断)(xf的单调性（3）若)(xf 在（1，）恒为正，比较 a-b 与 1 的大小 五、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数_叫做幂函数，其中x为_，是_（2）常见幂函数的图象（在同一坐标系中画出下列函数的图像）23232211xyxyxyxyxyxy（3）幂函数的性质 图象分布：在第_象限都有图像，在第 _象限无
10、图象 过定点：_ 单调性：如果0，在0,)上为_函数如果0，则在(0,)上为_函数，并且无限接近_ 奇偶性：当为奇数时，幂函数为_函数，当为偶数时，幂函数为_函数 当qp（其中,p q互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则qpyx是_函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是_函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是_函数 练习：1函数 y（12x）21的定义域是_ 2.幂函数的图象过点(2,14),则它的单调递增区间是 3.函数43xy在区间上 是减函数 4下列命题中正确的是（）A当0时，函数yx的图象是一条直线 B 幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C幂函数的yx 图象不可能
11、在第四象限内 D若幂函数yx为奇函数，则在定义域内是增函数 六、函数的零点：对于函数 y=f(x)，我们把使_的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点，函数的零点是一个_ 零点的存在性定理：如果函数 y=f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数 y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)=0，这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根.奇数时当是偶数时当当当式子叫做这里叫做叫做当为奇数时为当为偶数时根式的性质当为奇数时当为偶数时分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是且的正分数指数幂等于正数的负分数指数幂的意义是的负分数指数幂分数指数
12、图象定义域值域过定点奇偶性单调性当时当时当时当时练习设且则与的大小关系是学习必备欢迎下载函数的定义域是如图为指数函数则与的大小关系为的图象不经过第一象限则的取值范围是若函数已知且判断的奇偶性判断的单调常用对数以为底记作自然对数以为底记作对数的运算性质如果那么换底公式且练习则若设求已知且求的值求方程的解求函数在区间上的最值四对数函数及其性质学习必备欢迎下载定义函数叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性学习必备 欢迎下载 练习：1.已知函数 f(x)2x1，x1，1log2x，x1，则函数 f(x)的零点为()A.12，0 B.2，0 C.12 D.0 2.在下列区间中，函数 f(x)ex4x3
13、的零点所在的区间为()A(14，0)B(0，14)C(14，12)D(12，34)3.函数 f(x)(12)xsinx 在区间0,2 上的零点个数为_ 4.若函数 f(x)x3x22x2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表 f(1)2 f(1.5)0.625 f(1.25)0.984 f(1.375)0.260 f(1.4375)0.162 f(1.40625)0.054 那么方程 x3x22x20 的一个近似根(精确到 0.1)为()A.1.5 B.1.4 C.1.3 D.1.2 七、一元二次方程的实根分布问题 一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象与 x 轴
14、交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其图象，利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题，一元二次方程 ax+bx+c=0(a0)的实根分布 根的分布情况 两个根均小于 m 两个根均大于 m 一根m，一根m 图 像 条 件 根的分布情况 两个根均在(m，n)内 两根均在m，n 外 X1(m，n)，X2(p，q)Oxyk Oxyk xOyk0)(20kfkab0)(20kfkab0)(kf奇数时当是偶数时当当当式子叫做这里叫做叫做当为奇数时为当为偶数时根式的性质当为奇数时当为偶数时分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是且的正分数指数幂等于正数的负分数指数幂的意义是的负分数指数幂分数
15、指数图象定义域值域过定点奇偶性单调性当时当时当时当时练习设且则与的大小关系是学习必备欢迎下载函数的定义域是如图为指数函数则与的大小关系为的图象不经过第一象限则的取值范围是若函数已知且判断的奇偶性判断的单调常用对数以为底记作自然对数以为底记作对数的运算性质如果那么换底公式且练习则若设求已知且求的值求方程的解求函数在区间上的最值四对数函数及其性质学习必备欢迎下载定义函数叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性学习必备 欢迎下载 图 像 条 件 2.已知方程 2210 xmxm 有两个不等正实根，求实数m的取值范围 3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0 的二根，一个小于1，另一个大于1，则求实
16、数k的取值范围。4.设关于x的方程bbxx(0241R），（1）若方程有实数解，求实数 b 的取值范围；(2)当 x 在-1,2时原方程有两个解，求 b 的范围 Oxynm nOxym Oxypmqn0)(0)(20nfmfnabm0)()0(nfmf0)(0)(0)(0)(qfpfnfmf1.已知方程x+(m 3)x+m=0的两个根均小于1，求实数m的取值范围。3.若方程x 2mx+m 1=0 在区间(2，4)上有两根，求实数m的取值范围。奇数时当是偶数时当当当式子叫做这里叫做叫做当为奇数时为当为偶数时根式的性质当为奇数时当为偶数时分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是且的正分数指数幂等
17、于正数的负分数指数幂的意义是的负分数指数幂分数指数图象定义域值域过定点奇偶性单调性当时当时当时当时练习设且则与的大小关系是学习必备欢迎下载函数的定义域是如图为指数函数则与的大小关系为的图象不经过第一象限则的取值范围是若函数已知且判断的奇偶性判断的单调常用对数以为底记作自然对数以为底记作对数的运算性质如果那么换底公式且练习则若设求已知且求的值求方程的解求函数在区间上的最值四对数函数及其性质学习必备欢迎下载定义函数叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性学习必备 欢迎下载 O t（小时）y（微克）6 1 10 七、函数模型 1某物体一天中的温度 T是时间 t 的函数:T(t)=t3-3t+60,时间
18、单位是小时,温度单位是C,当 t=0 表示中午12:00,其后 t 值取为正,则上午 8 时的温度是（）A8 C B112C C58 C D 18C 2.某产品的总成本 y（万元）与产量 x（台）之间的函数关系式是 y=3000+20 x0.1x2（0 x240，xN），若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（）A100 台 B120 台 C150 台 D180 台 3.某商场购进一批单价为 6 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格。经试验发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能卖 360 件，若按 25 元的价格
19、销售时，每月能卖 210 件，假定每月销售件数 y（件）是价格 x（元/件）的一次函数。试求 y 与 x 之间的关系式 在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为 时，才能时每月获得最大利润 每月的最大利润是 4.某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量 y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线（1）写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于 4 微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共 4 次）效果最佳 奇数时当是偶数时当当当式子叫做这里叫做
20、叫做当为奇数时为当为偶数时根式的性质当为奇数时当为偶数时分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是且的正分数指数幂等于正数的负分数指数幂的意义是的负分数指数幂分数指数图象定义域值域过定点奇偶性单调性当时当时当时当时练习设且则与的大小关系是学习必备欢迎下载函数的定义域是如图为指数函数则与的大小关系为的图象不经过第一象限则的取值范围是若函数已知且判断的奇偶性判断的单调常用对数以为底记作自然对数以为底记作对数的运算性质如果那么换底公式且练习则若设求已知且求的值求方程的解求函数在区间上的最值四对数函数及其性质学习必备欢迎下载定义函数叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性学习必备 欢迎下载 5.市场营销
21、人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律:该商品的价格每上涨 x%(x 0)，销售数量就减少 kx%(其中 k 为正常数)目前，该商品定价为 a 元，统计其销售数量为 b 个 (1)当 k=12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时 k 的取值范围 6.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 l 万件，1.2 万件，1.3 万件为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数xyabc(其中 a，
22、b，c 为常数)已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好并说明理由 奇数时当是偶数时当当当式子叫做这里叫做叫做当为奇数时为当为偶数时根式的性质当为奇数时当为偶数时分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是且的正分数指数幂等于正数的负分数指数幂的意义是的负分数指数幂分数指数图象定义域值域过定点奇偶性单调性当时当时当时当时练习设且则与的大小关系是学习必备欢迎下载函数的定义域是如图为指数函数则与的大小关系为的图象不经过第一象限则的取值范围是若函数已知且判断的奇偶性判断的单调常用对数以为底记作自然对数以为底记作对数的运算性质如果那么换底公式且练习则若设求已知且求的值求方程的解求函数在区间上的最值四对数函数及其性质学习必备欢迎下载定义函数叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性