广东省深圳市2023届高三第一次调研数学试题(解析版).pdf

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1、2023年 深 圳 市 高 三 年 级 第 一 次 调 研 考 试 数 学 本 试 卷 共 6页,22小 题,满 分 150分.考 试 用 时 120分 钟.注 意 事 项:1.答 题 前,考 生 请 务 必 用 黑 色 字 迹 钢 笔 或 签 字 笔 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上.用 2 B 铅 笔 将 试 卷 类 型(A)填 涂 在 答 题 卡 相 应 位 置 上.将 条 形 码 横 贴 在 答 题 卡 右 上 角”条 形 码 粘 贴 处”.2.作 答 选 择 题 时,选 出 每 小 题 答 案 后,用 2 B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题

2、目 选 项 的 答 案 信 息 点 涂 黑;如 需 改 动,用 橡 皮 擦 干 净 后,再 选 涂 其 他 答 案,答 案 不 能 答 在 试 卷 上.3.非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 钢 笔 或 签 字 笔 作 答,答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 指 定 区 域 内 相 应 位 置 上;如 需 改 动,先 划 掉 原 来 的 答 案,然 后 再 写 上 新 的 答 案;不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液.不 按 以 上 要 求 作 答 的 答 案 无 效.4.考 生 必 须 保 持 答 题 卡 的 整 洁.考 试 结 束 后,将 试 卷 和 答 题 卡 一

3、并 交 回.一、选 择 题:本 题 共 8小 题,每 小 题 5分,共 40分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.已 知 i为 虚 数 单 位,0+i)z=2,则 2=()A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i【答 案】B【解 析】【分 析】利 用 复 数 的 除 法 运 算 求 解.【详 解】解:由(l+i)z=2,2 _ 2(l-i)故 选:B2.满 足 等 式 0,1*=昨 3=才 的 集 合*共 有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 方 程 V=了 的 实 数 根

4、 可 得 集 合,则 0,1U X=0,1,1,由 集 合 的 并 集 与 元 素 的 关 系 即 可 得符 合 条 件 的 所 有 集 合 X.【详 解】解:方 程 V=x 的 实 数 根 有 x=o,x=l,x=-1,解 集 构 成 的 集 合 为 0,1,-4,即 0,luX=0,l,T,则 符 合 该 等 式 的 集 合 乂 为 乂=-1,X=0,l,X=0,-l,X=0,l,-1,故 这 样 的 集 合 X 共 有 4个.故 选:D.3.已 知“X)为 奇 函 数,且 x 0 时,x)=e*,则/(e)=()A.ee B.-ee C.ee D.七.【答 案】D【解 析】【分 析】由

5、奇 函 数 性 质 及 解 析 式 求 解 即 可.【详 解】/(力 为 奇 函 数,且 x()时,/(x)=e/(e)=-/(-e)=-e*.故 选:D4.如 图,一 个 棱 长 1分 米 的 正 方 体 形 封 闭 容 器 中 盛 有 V升 的 水,若 将 该 容 器 任 意 放 置 均 不 能 使 水 平 面 呈 三 角 形,则 V的 取 值 范 围 是()A-层)B.6,|C信)D.层)【答 案】A【解 析】【分 析】找 到 水 最 多 和 水 最 少 的 临 界 情 况,如 图 分 别 为 多 面 体 ABCDA耳。和 三 棱 锥 A-A 8 D,从 而 可 得 出 答 案.【详 解

6、】将 该 容 器 任 意 放 置 均 不 能 使 水 平 面 呈 三 角 形,则 如 图,水 最 少 的 临 界 情 况 为,水 面 为 面 4 8 0,水 最 多 的 临 界 情 况 为 多 面 体 A5CDA50,水 面 为 8G 2,因 为 匕-ABD=;x g x l x l x l=J,VABCDABR=VABCD-A 4Goi Y-B,CID1=15.已 知 Q,b 为 单 位 向 量,且 1 3。一 50=7,则。与 的 夹 角 为()兀 2兀 兀 A.-B.C.一 3 3 6【答 案】CD.5兀 6【解 析】【分 析】设 a 与 夹 角 为。,利 用|3。-5目=7求 出 在

7、利 用 夹 角 公 式 计 算 即 可.【详 解】因 为 a,b 为 单 位 向 量,由 R a-5 目=7,所 以(3 a-5 A=49=9。2-3 0。乃+2 5/=4 9,即 9-3 0 a/+25=4 9 n a-0=-L2设。与 a-匕 夹 角 为 凡 又。0,可,所 以 6=3,6故 选:C.6.将 一 个 顶 角 为 120。的 等 腰 三 角 形(含 边 界 和 内 部)的 底 边 三 等 分,挖 去 由 两 个 等 分 点 和 上 顶 点 构 成 的 等边 三 角 形,得 到 与 原 三 角 形 相 似 的 两 个 全 等 三 角 形,再 对 余 下 的 所 有 三 角 形

8、重 复 这 一 操 作.如 果 这 个 操 作 过 程 无 限 继 续 下 去,最 后 挖 剩 下 的 就 是 一 条“雪 花”状 的 Koch曲 线,如 图 所 示 已 知 最 初 等 腰 三 角 形 的 面 积 为 1,则 经 过 4 次 操 作 之 后 所 得 图 形 的 面 积 是()81 81 27 27【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 题 意 可 知,每 一 次 操 作 之 后 面 积 是 上 一 次 面 积 的;,按 照 等 比 数 列 即 可 求 得 结 果.【详 解】根 据 题 意 可 知,每 次 挖 去 的 三 角 形 面 积 是 被 挖 三 角 形 面 积 的 32

9、所 以 每 一 次 操 作 之 后 所 得 图 形 的 面 积 是 上 一 次 三 角 形 面 积 的(,由 此 可 得,第 次 操 作 之 后 所 得 图 形 的 面 积 是=lx-,即 经 过 4 次 操 作 之 后 所 得 图 形 的 面 积 是 S4168 1故 选:A7.安 排 5 名 大 学 生 到 三 家 企 业 实 习,每 名 大 学 生 只 去 一 家 企 业,每 家 企 业 至 少 安 排 1名 大 学 生,则 大 学 生 甲、乙 到 同 一 家 企 业 实 习 的 概 率 为。1 3 3 6A.-B.C.D.5 10 25 25【答 案】D【解 析】【分 析】5 名 大

10、学 生 分 三 组,每 组 至 少 一 人,有 两 种 情 形,分 别 为 2,2,1人 或 3,1,1人,根 据 排 列 组 合 得 出 各 自 有 多 少 种,再 得 出 甲、乙 到 同 一 家 企 业 实 习 的 情 况 有 多 少 种,即 可 计 算 得 出 答 案.【详 解】5 名 大 学 生 分 三 组,每 组 至 少 一 人,有 两 种 情 形,分 别 为 2,2,1人 或 3,1,1人;当 分 为 3,1,1人 时,有 C;A;=6 0 种 实 习 方 案,当 分 为 2,2,1人 时,有 A;A;=9 0种 实 习 方 案,即 共 有 60+90=150种 实 习 方 案,其

11、 中 甲、乙 到 同 一 家 企 业 实 习 的 情 况 有 C;A;+C;A;=36种,故 大 学 生 甲、乙 到 同 一 家 企 业 实 习 的 概 率 为 至=9150 25故 选:D.8.已 知 函 数/(x)=2+lnx,g(x)=a,若 总 存 在 两 条 不 同 的 直 线 与 函 数 y=/(x),y=g(x)图 象 均 相 切,则 实 数。的 取 值 范 围 为()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(l,e)【答 案】B【解 析】【分 析】设 函 数 y=/(x),=g(x)的 切 点 坐 标 分 别 为(玉,2+lnxJ,&,a 冈,根 据 导 数 几 何 意

12、义 可 得。=!,%0,即 该 方 程 有 两 个 不 同 的 实 根,贝 I I 设(x)=-,x 0,求 导 确 定 其 单 x X调 性 与 取 值 情 况,即 可 得 实 数 4 的 取 值 范 围.【详 解】解:设 函 数/(x)=2+lnx上 的 切 点 坐 标 为(X,2+Inxj,且 x 0,函 数 g(x)=a6 上 的 切 点 坐 标 为 1 2,a店),且 2 0,又 1f(x)=J,g(x)=是,则 公 切 线 的 斜 率 女 则 a 0,所 以 与=:Y,则 公 切 线 方 程 为 y-(2+10)=(x-xj,gp y=x+lnXj+1,代 入 卜 2,“/兀)得:

13、。5/石=不+In玉+1,则=-xf+nxi+1,整 理 得=:/2 4 In X.4 4若 总 存 在 两 条 不 同 的 直 线 与 函 数 y=/(x),y=g(x)图 象 均 相 切,则 方 程 4=!一 有 两 个 不 同 的 x实 根,4设(X)=4M:+4,X O,则(x)r f X(4 1 n x+4)_ y.x,令(x)=0 得 x=l,当 无 o,i)时,/r(x)o,(可 单 调 递 增,xi,+8)时,(x)o,网 力 单 调 递 减,又(x)=0 可 得 x=:,则 x-0 时,-00;x-+oo时,%(尤)-0,则 函 数/z(x)的 大 致 图 象 如 故 实 数

14、”的 取 值 范 围 为(0,2).故 选:B.【点 睛】本 题 考 查 了 函 数 的 公 切 线、函 数 方 程 与 导 数 的 综 合 应 用,难 度 较 大.解 决 本 题 的 关 键 是,根 据 公 切 线 的 几 何 意 义,设 切 点 坐 标 分 别 为(石,2+心 玉),且%0,(%M J E),且 N O,可 得=公%2 1即 有=?才,得 公 切 线 方 程 为 y=x*+lnX|+l,代 入 切 点(尤 2,。嘉)将 双 变 量 方 程 _ 2 1 2。底=一%+1吟+1转 化 为 单 变 量 方 程 天=一 二 片+111玉+1,根 据 含 参 方 程 进 行“参 变

15、分 离”得 王 2 芭 42 41nxi+4。=!,转 化 为 一 曲 一 直 问 题,即 可 得 实 数 a 的 取 值 范 围.内 二、选 择 题:本 题 共 4 小 题,每 小 题 5 分,共 20分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中,有 多 项 符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得 5 分,部 分 选 对 的 得 2 分,有 选 错 的 得 0 分.9.己 知 函 数/(X)的 图 象 是 由 函 数 y=2sinxcosx的 图 象 向 右 平 移;个 单 位 得 到,则()6A./(x)的 最 小 正 周 期 为 万 B.“X)在 区 间 一 音 上 单 调 递 增

16、 C.“X)的 图 象 关 于 直 线 x=g 对 称 D./(X)的 图 象 关 于 点,。)对 称【答 案】AD【解 析】【分 析】用 二 倍 角 公 式 化 简 y=2sinxcosx,向 右 平 移 后 得 x)=sin12x 一 向,分 别 代 入 正 弦 函 数 的 单 调 区 间,对 称 轴,对 称 中 心 分 别 对 四 个 选 项 判 断 即 可.【详 解】因 为 y=2sinxcosx=sin2x,向 右 平 移 看 个 单 位 得/(x)=sin2(x-)=sin(2x-;),则 最 27t小 正 周 期 为 7=?=兀,故 A 选 项 正 确;2i J i J J i

17、j r J i令 一 一+2kji2x一 一-+2 k n,解 得 一 一+kTix 0 设 设 为,5),B(Xj,y2),则 X+%=2加,X%=2 n,玉+%=(世+)+(利 2+)=/n(y+必)+2=2机 2+2,玉/=my+n)(my2+n)=zn2y1y2+rnny+y2)+7?2=rr,设 M(如,yM),则 xM=m2+n,yM=;=m,_ 1,1点 M 到 准 线/的 距 离“V=xM+-=m-+n+-,|AB=JI+m2-4x 人 2=A/1+/+8,当=g 时,=gjl+/”2 54於+4=l+,2,点 M 到 准 线/的 距 离 d”=?2+1,则 以 4B为 直 径

18、 的 圆 与/相 切,故 A 错 误;当=2 时,OA-OB=xx2+yly2=n1-2 n O,则 0A_LO3,则 以 A B 为 直 径 的 圆 经 过 原 点。,故 B正 确;当|AB|=4 时,即 Jl+三 加 2+8=4,得”-14-m 2则 d“=加 2+=,+1史 2 2 二 匕 匹=2,当 且 仅 当?=1时 等 号 成 立,故 C 正 确;M 2 1+w2 2 Vl+w2 2当|A B|=I 时,即 J i+M+8=,得=8Q+.2)一 万 加 一,.2 1 1 1+所 以 4”=/-+-=-7-+.令 1+HT=t,t,2 8(1+)2则 4w=4+:=:(;+,),由

19、对 勾 函 数 的 性 质 得,当,时,,公 单 调 递 增,of 2 2 4,故 当 r=l时,4,取 最 小 值。,故 D 错 误.O故 选:BC.11.已 知 函 数 x)=x(x3)2,若/=f(b)=c),其 中 46 c,则()A.a 2 D.的 取 值 范 围 是(0,4)【答 案】BCD【解 析】【分 析】利 用 导 数 求 出 函 数 的 单 调 区 间 和 极 值,利 用 函 数 图 象 求 出/(x)=。三 个 根 范 围,再 利 用 方 程 变 形a+b+c=6求 出,从 而 利 用 不 等 式 性 质 求 范 围 即 可 abc=t【详 解】因 为/(x)=x(x 3

20、)2,所 以/(力=3%2 12%+9=3(%3)0 1),令/(力=0,解 得:=1或=3,当 代 勾 0时,%3或 1,所 以/(力 单 调 递 增 区 间 为(-8,1)和(3,+8);当,(x)0时,1%3,所 以/(x)单 调 递 减 区 间 为(1,3);且/(3)=0,/(1)=/(4)=4,如 图:设/(a)=/=/(c)=f,则 0r4,0alZ?3c4.故 选 项 A 错 误;又/(%)f-(x-a)(x-b)(x-b),所 以 x(x 3)t=(x a)(x b)(x c),即 x3-6x2+9x-1=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc,对 照 系

21、数 得 a+b+c=6,故 选 项 B 正 确;abc=re(0,4),故 选 项 D 正 确;因 为 3c4,所 以 36-3+加 4,解 得 2a+Z?3,故 选 项 C 正 确,综 上,正 确 的 选 项 为 BCD.故 选:BCD12.如 图,己 知 正 三 棱 台 ABC-A 4 G 的 上、下 底 面 边 长 分 别 为 2和 3,侧 棱 长 为 1,点 P在 侧 面 内 运 动(包 含 边 界),且 AP与 平 面 BCG A 所 成 角 的 正 切 值 为 迷,则()A.CP长 度 的 最 小 值 为-1B.存 在 点 P,使 得 APL8CC.存 在 点 尸,存 在 点 Q

22、e,使 得 AP/A,QD.所 有 满 足 条 件 的 动 线 段 AP形 成 的 曲 面 面 积 为 叵 3【答 案】ACD【解 析】【分 析】先 将 正 三 棱 台 侧 棱 延 长 补 成 正 三 棱 锥,求 出 点 A到 平 面 8 C G 8的 距 离 即 可 确 定 点 P 的 运 动 轨 迹,再 逐 项 分 析 即 可.【详 解】依 题 意,延 长 正 三 棱 台 侧 棱 相 交 于 点 0,取 妫 G 中 点。,BC中 点 E,连 接 则 有 0A=0B=0C,所 以 D E的 延 长 线 必 过 点。且。E,旦 G,O E,5C,过 点。作。尸 C,C,DG 4 8,则 四 边

23、 形 OFCG是 边 长 为 1的 菱 形.如 图 所 示:B.C.0C,0C,2 0C,在 0 8 C 中=-=Q C+C C-即=0 j解 得 O G=2,所 以 OC=OC+G。=2+1=3,所 以 0 8。为 边 长 为 3等 边 三 角 形,所 以 NDFE=NFDG=N0CB=三,0E=-3 2所 以 DE=DF xsin=l x,3 2 2因 为 ABC是 边 长 为 3的 等 边 三 角 形 且 E 为 8 C 中 点,所 以 A=砧,B C 1 A E,2在 Q 4 E中,由 余 弦 定 理 变 形 得,cos Z O E A=O l+A l-O A?2 x O E x A

24、E在 VAO石 中,由 余 弦 定 理 变 形 得,1 2 J。cos/D E A=D E2+A E2-A D22 x D E x A E2xG 3若 x2 223解 得 4。=#,所 以 AE?=:2+4)2,所 以 A O L O E;由 8C _ L AE,B C OE,A E c O E=E,可 得 6C J,平 面 AOE,又 A D u 平 面 A O E,所 以 8c_L AO,由 3 C L A D,AD DE,B C D E=E,可 得 加,平 面 BCC4,因 为 AP与 平 面 8 C G 8所 成 角 的 正 切 值 为 几,所 以 宝=丁 6,解 得。p=i,A P7

25、 A bi+D P1所 以 点 尸 在 平 面 B C C 的 轨 迹 为 G F,B 0,对 于 A:当 点 尸 运 动 到 D C 与 C F 的 交 点 时 C P 有 最 小 值,7 T因 为 四 边 形。尸 C G是 边 长 为 1且 N F D G=-的 菱 形,所 以。=百,所 以 CP=O C-O P=6-1,故 A选 项 正 确;对 于 B:要 使 得 A P _ L B C,则 点 P必 须 落 在 平 面 A D E 与 平 面 B C C&1 的 交 线 上 且 D P=1,由 图 易 知,在 平 面 B C G 4中 不 存 在 这 样 的 点 P,故 B选 项 错

26、误;对 于 C:当 点 P运 动 到 点 尸 时,连 接 A O R,O F 交 B 于 点 Q,连 接 A。,由 于 平 面 A B C-平 面 4BC,所 以 平 面 A A G,又 A 尸 U 平 面 A R?,平 面 A F O c 平 面=4 Q,所 以 AF I 4。,所 以 存 在 点 P,存 在 点 Q e B C,使 得 A P/A,Q,故 c 选 项 正 确;对 于 D:设 G F 的 长 度 为/,则/=|NH)G|x|DP|=xl=g,动 线 段 AP形 成 的 曲 面 展 开 为 两 个 面 积 相 等 扇 形,设 其 中 一 个 的 面 积 为 S,则 有 S=x/

27、x|AP|=X x V7=,2 1 1 2 3 6因 此 所 有 满 足 条 件 的 动 线 段 A P 形 成 的 曲 面 面 积 为 2s=2x叵=,6 3故 D 选 项 正 确;故 选:ACD.【点 睛】本 题 考 查 了 线 面 角 的 相 关 性 质 与 证 明,先 证 明 线 垂 直 于 平 面 是 几 何 法 中 求 线 面 角 的 关 键,线 面 垂 直 的 证 明,可 先 转 化 为 线 线 垂 直 的 问 题,利 用 等 腰 三 角 形 性 质,勾 股 定 理 是 证 明 线 线 垂 直 常 用 的 方 法,要 求 考 生 平 时 多 加 练 习 总 结,熟 练 掌 握 线

28、 面 平 行 垂 直、面 面 平 行 垂 直 的 判 定 定 理 及 其 相 关 性 质 定 理 是 高 考 的 基 本 要 求.三、填 空 题:本 题 共 4 小 题,每 小 题 5 分,共 20分.13.(1-司 5的 展 开 式 中 1 的 系 数 为(用 数 字 做 答).【答 案】-10【解 析】【分 析】利 用 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 求 解.【详 解】解:(1一 司 5的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 却=q(x)=q(-i)x,令 尸=3,则(1 力 的 展 开 式 中 X3的 系 数 为 C:=-10,故 答 案 为:-1014.若 椭 圆 上 的 点

29、到 焦 点 距 离 的 最 大 值 是 最 小 值 的 2倍,则 该 椭 圆 的 离 心 率 为.【答 案】-3【解 析】【分 析】根 据 椭 圆 的 性 质 可 知,点 到 焦 点 距 离 的 最 大 值 为 a+c,最 小 值 为 代 入 条 件 即 可 求 解.【详 解】依 题 意,由 图 象 的 性 质 可 知,点 到 焦 点 距 离 的 最 大 值 为 a+c,最 小 值 为 a-c,所 以=2,化 简 得=?,即 离 心 率 e=1,a-c a 3 3故 答 案 为:.315.定 义 开 区 间 的 长 度 为 经 过 估 算,函 数“X)今 炉 的 零 点 属 于 开 区 间(只

30、 要 求 写 出 一 个 符 合 条 件,且 长 度 不 超 过 的 开 区 间).6【答 案】(不 唯 一)【解 析】【分 析】利 用 函 数 的 零 点 存 在 定 理 求 解.【详 解】解:因 为 y=方,y=-炉 都 是 减 函 数,所 以/(月=/一 1 炉 是 1减 函 数,0-3 3所 以 函 数/(力 在 佶,外 上 有 零 点,且 3 2J 2 3 6故 答 案 为(不 唯 一)16.设 a 0,A(2a,0),B(0,2),。为 坐 标 原 点,则 以。4 为 弦,且 与 AB 相 切 于 点 A 的 圆 的 标 准 方 程 为;若 该 圆 与 以。8 为 直 径 的 圆

31、相 交 于 第 一 象 限 内 的 点 P(该 点 称 为 直 角 048的 Brocard点),则 点 P 横 坐 标 x 的 最 大 值 为.【答 案】.(兀 一。)2+3+/)2=+/.?#o.8【解 析】【分 析】以 Q 4 为 弦 的 圆 的 圆 心 记 作 D,易 得 圆 心 在 线 段 O A 的 垂 直 平 分 线,且 通 过 ZM_L A 3 可 得 左 以=a,得 到 直 线 D 4 的 方 程 即 可 求 出 圆 的 方 程;先 求 出 以 0B 为 直 径 的:C,然 后 两 圆 进 行 相 减 得 到 公 共 弦 方 程 2y=f x,代 入 0 c 可 得 点 P

32、横 坐 标 一/+1 a,然 后 用 对 勾 函 数 即 可 求 得 最 值 a-+l-+-ITa a+1【详 解】以 0 4 为 弦 的 圆 的 圆 心 记 作 O,且 圆 心 在 线 段 Q 4 的 垂 直 平 分 线 尤=。上,。与 直 线 A 8 相 切 于 A,则 ZMJ_A8,2-0|由 砥 8=-=一 一 可 得=a,所 以 直 线 Q A 为 y=a(x-2a),0 2。a将 尤=a 代 入 直 线 D 4 可 得 圆 心 为。(a,-/),7=|AD|=J(2a a j+(0+。21=y a2+a4,所 以 所 求 的 圆 的 标 准 方 程 为(x a)2+(y+/)2=/

33、+/;以。8 为 直 径 的 圆 的 圆 心 半 径 为 1,则。的 方 程 为 f+(y-l)2=l,一 可 得 2ar+2(a2+i)y=。,即=房%为。与。的 公 共 弦 所 在 直 线 的 方 程,将 丫=1-%代 入 O C 可 得 1+f-x=0,a2+la+1J J a+12x.-因 为 交 点 P 在 第 一 象 限,所 以 x w O,所 以 2+1 a,-?-a a+1令 m=d l=a+J_N2,(当 且 仅 当 a=l时 取 等 号)则,a a m a+2 Y,=m 2所 以 交 点 户 的 横 坐 标 1 一 m+m由 对 勾 函 数 可 得 了=加+,在 2,+8)

34、内 单 调 递 增,所 以 当 加=2 时,y=加+,取 得 最 小 值,为 g,m m 22 4所 以 交 点 P 的 横 坐 标 的 最 大 值 为(5)52A故 答 案 为:(x-a)2+(y+/y=/+/;-2【点 睛】关 键 点 睛:本 题 的 关 键 是 求 出 交 点 P 的 横 坐 标 一/+i a 后,利 用 换 元 法、构 造 函 数 法,-1-7-7a a+1结 合 对 勾 函 数 的 单 调 性 进 行 解 题.四、解 答 题:本 题 共 6小 题,共 70分,解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤,17.记 5.,为 数 列 4 的 前

35、 项 和,已 知 S.=+2+l,eN.(1)求 q+4,并 证 明 4+。,用 是 等 差 数 列;(2)求 S“.【答 案】(1)4+4=6,证 明 见 解 析 0 当“为 偶 数 时(2)S=n+几+2,当 为 奇 数 时【解 析】【分 析】(1)利 用。.与 前 项 和 S”的 关 系,由 5,+2+1可 得 q,%的 值,即 可 求 得 q+%的 值;根 据 相 减 法 求 得(a,用+a+2)-(a+%+1)为 常 数,证 明 其 为 等 差 数 列;(2)由(1)中 数 列 q,+4向 为 等 差 数 列,对 进 行 奇 偶 讨 论,即 可 求 得 S.【小 问 1详 解】解:己

36、 知=生+2+1,WN*2当=1 时,aA=-+2,%=4;当 及=2 时,at+a2=-+5,a2=2,所 以 4+a2=6.因 为 S“=3+/+l,所 以 S向=争+(+l)2+l.得,a“+i-+(n+l)n2,整 理 得 a”+a“+i=4”+2,“eN*,所 以(a,+i+4,+2)一(。+4+1)=4(+1)+2-(4+2)=4(常 数),eN*,所 以%+。,小 是 首 项 为 6,公 差 为 4 的 等 差 数 列【小 问 2 详 解】解:由(1)知,a,-+。“=4(-1)+2=4-2,wN*,n2.当 为 偶 数 时,c/,工 上、一 5(6+4 一 2)=7+;5“=(

37、4+%)+(%+4)+,+(.+)=-汕 否 4 粕 什 W(l0+4-2)2 s“=q+(4+。3)+(4+%)+(的+4)=4+-综 上 所 述,2+,当 为 偶 数 时 2+2,当 为 奇 数 时 1 8.记.ABC的 内 角 4,8,C 的 对 边 分 别 为 a,Z?,c,已 知 匕+c=2asin C+J.(1)求 A;(2)设 A 6的 中 点 为。,若 C D=a,且 力 一 c 二 l,求 一 A B C的 的 面 积.71【答 案】(1)A=-3 2【解 析】【分 析】由 b+c=2 a s in|c+可 得+c=Q asinC+a c o sC,由 正 弦 定 理 及 辅

38、 助 公 式 得 sin(A-|=g,即 可 求 得 答 案;r2 hr 在 C D 中,由 余 弦 定 理 得,a2=b2+-;在 A B C中,由 余 弦 定 理 得,a2=b2+c2-bc4 2从 而 得 b=生,再 由 一 c=l,可 得)=3,c=2,由 三 角 形 面 积 公 式 求 解 即 可.2【小 问 1详 解】解:由 已 知 得,Z?+c=G asin C+acosC,由 正 弦 定 理 可 得,sin 8+sin C=6 sin Asin C+sin AcosC 因 为 A+8+C=7r,所 以 sin B=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sinC,

39、代 入 上 式,整 理 得 cos Asin C+sinC=V3 sin Asin C 又 因 为 C w(0,兀),sin C w 0,所 以 sin A-cos A=1,即 岫 圄 小 又 因 为 A()1),LL,I 兀 4 兀 5JL所 以 一 一 A 一 一 一,6 6 6所 以 o o71解 得 A=7;3【小 问 2 详 解】2在.A C O 中,由 余 弦 定 理 得,C D2=Z?2+-2b-cosA.4 2而 4=3,C D=a,所 以/=+!如,3 4 2在,.A B C 中,由 余 弦 定 理 得,a2=b2+c2-b c,由 两 式 消 去 a,得 3c2=20c,所

40、 以 人=工,2又 b c=1,解 得 Z?=3,c=2.所 以 一 4 B C 的 面 积 S=csin A=之 亘.2 2T T19.如 图,在 四 棱 锥 P-48CD中,P D A B,且 P D=P B,底 面 ABC。是 边 长 为 2 的 菱 形,ZBAD=-.(1)证 明:平 面 隙 C,平 面 A8CO;(2)若 P4_LPC,求 平 面 的 8 与 平 面 尸 8c夹 角 的 余 弦 值.【答 案】(1)证 明 见 解 析(2)3【解 析】【分 析】(1)连 接 8 D,证 明 平 面 4 P C,再 由 9 D u 平 面 A8C,得 出 平 面 APCL平 面 A8CD

41、(2)作 辅 助 线,利 用 线 面 垂 直 的 判 定 证 明 平 面 A B C D,以 O为 坐 标 原 点,建 立 坐 标 系,利 用 向 量 法 求 解 即 可.小 问 1详 解】连 接 OB交 AC于 点 0,连 接 P0.因 为 ABCD是 菱 形,所 以 B D L A C,且。为 BO的 中 点.因 为 P B=P D,所 以 尸 0 L B D又 因 为 4C,P O u 平 面 A P C,且 A C P O=O,所 以 BO_L平 面 APC.又 B D u 平 面 ABC。,所 以 平 面 APCJ_平 面 A8CD【小 问 2 详 解】取 A B中 点 M,连 接。

42、M 交 AC于 点 H,连 接 PH.因 为 NBA)=工,所 以 A B O是 等 边 三 角 形,所 以。3又 因 为 P D L43,P D c D M=D,P R D M u 平 面 所 以 A8J_平 面 尸 D W.所 以 A8J_P4.由(1)知 且 所 以 尸 4_L平 面 A8CD.由 A8CZ)是 边 长 为 2 的 菱 形,在 ABC 中,A H=A O=A B cos30=3.cos300 3由 A P J_PC,在 APC 中,PH2=A H-H C=这 乂 正 上,所 以 P H=S R.3 3 3 3以。为 坐 标 原 点,。8、O C分 别 为 x 轴、y 轴

43、建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系,则 A(0,6,0),B(l,0,0),C(0,V 3,0)所 以 AB=(l,g,0)C8=(l,-0),设 平 面 以 B的 法 向 量 为 4=(N,x,z J,所 以 nA-BP=0n n2 CB=0所 以 X2-V3 2 n _n-2+Z2=0 x2-3 y2=0令=1 得%=(6,1,0).设 平 面 PAB与 平 面 P B C 的 夹 角 为 氏 八 I I n,-h?所 以,co s6=cos v 勺,2=/2-5/3 x V 3+1x1-x 2_ 2_=且 J(C+Y+-与 x j(Q+12+(夜)2所 以,平 面 物 8

44、 与 平 面 PBC夹 角 的 余 弦 值 为 正 320.某 企 业 因 技 术 升 级,决 定 从 2023年 起 实 现 新 的 绩 效 方 案.方 案 起 草 后,为 了 解 员 工 对 新 绩 效 方 案 是 否 满 意,决 定 采 取 如 下“随 机 化 回 答 技 术”进 行 问 卷 调 查:一 个 袋 子 中 装 有 三 个 大 小 相 同 的 小 球,其 中 1个 黑 球,2 个 白 球.企 业 所 有 员 工 从 袋 子 中 有 放 回 的 随 机 摸 两 次 球,每 次 摸 出 一 球.约 定“若 两 次 摸 到 的 球 的 颜 色 不 同,则 按 方 式 I 回 答 问

45、 卷,否 则 按 方 式 II回 答 问 卷”.方 式 I:若 第 一 次 摸 到 的 是 白 球,则 在 问 卷 中 画“。”,否 则 画“x”;方 式 U:若 你 对 新 绩 效 方 案 满 意,则 在 问 卷 中 画“。”,否 则 画“x”.当 所 有 员 工 完 成 问 卷 调 查 后,统 计 画。,画 x的 比 例.用 频 率 估 计 概 率,由 所 学 概 率 知 识 即 可 求 得 该 企 业 员 T H 荏 待 斗 士 安,,“士 前 必 任”,古 甘 小,*由 企 业 所 有 对 新 绩 效 方 案 满 意 的 员 工 人 数“M、。/工 对 新 绩 效 方 案 的 满 意

46、度 的 估 计 值.具 中 满 意 度=-,、“-,口-xlOO%.企 业 所 有 员 工 人 数(1)若 该 企 业 某 部 门 有 9 名 员 工,用 X 表 示 其 中 按 方 式 I 回 答 问 卷 的 人 数,求 X 的 数 学 期 望;(2)若 该 企 业 的 所 有 调 查 问 卷 中,画“。”与 画 X”的 比 例 为 4:5,试 估 计 该 企 业 员 工 对 新 绩 效 方 案 的 满 意 度.【答 案】(1)4(2)40%.【解 析】【分 析】(1)根 据 题 意 分 析 可 得 方 式 I 回 答 问 卷 的 人 数 X 利 用 二 项 分 布 的 期 望 的 公 式

47、运 算 求 解;(2)根 据 题 意 结 合 条 件 概 率 公 式 和 全 概 率 公 式 运 算 求 解【小 问 1详 解】2 1每 次 摸 到 白 球 的 概 率:,摸 到 黑 球 的 概 率 为 2 1 4每 名 员 工 两 次 摸 到 的 球 的 颜 色 不 同 的 概 率 P=C;x x=一,-3 3 9由 题 意 可 得:该 部 门 9 名 员 工 中 按 方 式 I 回 答 问 卷 的 人 数 4所 以 X 的 数 学 期 望 E(x)=9x j=4.【小 问 2 详 解】记 事 件 4 为“按 方 式 1 回 答 问 卷“,事 件 B 为“按 方 式 II回 答 问 卷”,事

48、 件 C 为“在 问 卷 中 画。”.4 5 2 1 2由 知 P(A)=,P(B)=1-P(A)=-,P(A)P(C|A)=P(A C)=-x-=-.P(C)=44+5 9由 全 概 率 公 式 P(C)=P(A)P(C|A)+P 尸 仁 忸),则 尸(。忸),解 得 P(C|B)=叁=0.4,9 9 9 5故 根 据 调 查 问 卷 估 计,该 企 业 员 工 对 新 绩 效 方 案 的 满 意 度 为 40%.221.已 知 双 曲 线 氏?一 丁=1与 直 线/:y=一 3相 交 于 A、8 两 点,M 为 线 段 AB 的 中 点.(1)当 变 化 时,求 点 M 的 轨 迹 方 程

49、;(2)若/与 双 曲 线 E 的 两 条 渐 近 线 分 别 相 交 于 C、。两 点,问:是 否 存 在 实 数&,使 得 A、8 是 线 段 C/)的 两 个 三 等 分 点?若 存 在,求 出 女 的 值:若 不 存 在,说 明 理 由.【答 案】(1)x2=4y2+12y,其 中 丁 2 4-1-4K则%=二 万,=-7,联 立 消 去 A,得 看=4y;+12y0,再 根 据 我 的 范 围 得 出 P 的 范 围,即 可 得 1 4Z 1 4攵 出 答 案;(2)设。(毛,%),。(王,),根 据 双 曲 线 E 的 渐 近 线 方 程 与 直 线/的 方 程 联 立 即 可 得

50、 出 事=4,2k 1乂=一 9 一,则 空 当=且 空=小,即 线 段 AB 的 中 点 M 也 是 线 段 C D 的 中 点,若 A,B 为 线 段 C。的 2k+2 1 4K两 个 三 等 分 点,则|CQ|=3|AB|,结 合 弦 长 公 式 列 式 得|不 一 天|=3|玉 一 引,即 可 化 简 代 入 得 出 12 If-2 4 k Y 160|42-i|-V v-42J+1-4妤,即 可 解 出 答 案.【小 问 1详 解】设 A(X1,_V|),8(马,丫 2),财(得 打),y=kx 3联 立 直 线/与 双 曲 线 E 的 方 程,得 2,2x-4/=4消 去 y,得(

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