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1、精品资料 欢迎下载 线性规划问题中目标函数常见类型梳理 山东 张吉林（山东省莱州五中 邮编 261423）线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。一 基本类型直线的截距型（或截距的相反数）例 1.已知实数 x、y 满足约束条件0503xyxyx ，则24zxy的最小值为（）A5 B-6 C10 D-10 分析：将目标函数变形可得124zyx，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12yxb 在经过可行域时在 y
2、轴上的截距的最小值的 4 倍。解析：由实数 x、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：当一组平行直线 L 经过图中可行域三角形 ABC 区域的点 C 时，在 y 轴上的截距最小，又(3,3)C，故24zxy的最小值为min2 34(3)6z ，答案选 B。点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。二 直线的斜率型 例 2.已知实数 x、y 满足不等式组2240 xyx,求函数31yzx的值域.解 析：所 给 的 不 等 式 组 表 示 圆224xy的 右 半 圆(含 边 界)，-5 5 3 O x y C A B L 精品资料 欢迎下载 31yzx可理解为过定
3、点(1,3)P ，斜率为z的直线族则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)xyx上任一点与点(1,3)P 的直线斜率的最大、最小值由图知，过点P和点(0,2)A的直线斜率最大，max2(3)50(1)z 过点P所作半圆的切线的斜率最小 设切点为(,)B a b，则过 B 点的切线方程为4axby又 B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434abab 解 得2365665ab 因 此m i n2633z。综 上 可 知函 数 的 值 域 为2 6,53 三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例 3.已知实数 x、y 满足10101xyxyy ，则22448wxyxy的最值为_.解析：目标
4、函数2222448(2)(2)wxyxyxy，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数 x、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：-2 2 O x y（-1，-3）-2 数的求解是线性规划问题的重点也是难点对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透只靠死记硬背生搬硬套导致思路混乱解答出错本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下以期对大家起到一定的帮助一基本类型直小值即一组平行直线在经过可行域时在轴上的截距的最小值的倍解析由实数满足的约束条件作可行域如图所示当一组平行直线经过图中可行域三角形区域的点时在轴上的截距最小又故的最小值为答案选点评深刻地理解目标函数的含给的不等式组
5、表示圆的右半圆含边界精品资料欢迎下载可理解为过定点斜率为的直线族则问题的几何意义为求过半圆域上任一点与点的直线斜率的最大最小值由图知过点和点的直线斜率最大过点所作半圆的切线的斜率最小设切点为精品资料 欢迎下载 可行域为图中ABC内部（包括边界），易求 B（-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点 B 的距离为其到可行域内点的最大值，22max(22)(12)25w；点(2,2)到直线 x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，min|22 1|3 222w。四 点到直线的距离型 例 4.已知实数 x、y 满足2221,42xyuxyxy 求的最小值。解析：目标函数222242(2)(1)
6、5uxyxyxy，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减 5。由实数 x、y 所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线 2x+y=1 的距离，由点到直线的距离公式可求得|2(2)1 1|4 555d，故21695555d 同步训练：已知实数 x、y 满足220240330 xyxyxy ,则目标函数22zxy的最大值是_。答案：13；五 变换问题研究目标函数(-2,1)1 12 O x y 2x+y=1 -1 1 1 O x y（2，2）x+y-1=0-1 A B C 数的求解是线性规划问题的重点也是难点对于目标函数的含义
7、学生往往理解的不深不透只靠死记硬背生搬硬套导致思路混乱解答出错本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下以期对大家起到一定的帮助一基本类型直小值即一组平行直线在经过可行域时在轴上的截距的最小值的倍解析由实数满足的约束条件作可行域如图所示当一组平行直线经过图中可行域三角形区域的点时在轴上的截距最小又故的最小值为答案选点评深刻地理解目标函数的含给的不等式组表示圆的右半圆含边界精品资料欢迎下载可理解为过定点斜率为的直线族则问题的几何意义为求过半圆域上任一点与点的直线斜率的最大最小值由图知过点和点的直线斜率最大过点所作半圆的切线的斜率最小设切点为精品资料 欢迎下载 例 5.（山东潍坊 08 届
8、高三）已知axyxxy2，且yxz2的最大值是最小值的 3 倍，则a 等于（）A31或 3 B31 C52或 2 D52 解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示，Ayxz在2 点和 B 点分别取得最小值和最大值.由),(aaAxyax得，由yxyx2得 B(1，1).azz3,3minmax.由题意 得.31a 故答案 B。六 综合导数、函数知识类 例 6.（山东省日照市 2008 届高三第一次调研）已知函数),2)(的定义域为xf，部分对应值如下表，)()(xfxf为的导函数，函数)(xfy的图象如右图所示.若两正数 a，b满足331)2(abbaf，
9、则的取值范围是（）x 2 0 4 )(xf 1 1 1 A)34,76(B)37,53(C)56,32(D)3,31(分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。由导函数的图象可知，原函数在区间-2,0为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增函数。结合题中提供的函数的数据可得422ba，另外注意到数的求解是线性规划问题的重点也是难点对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透只靠死记硬背生搬硬套导致思路混乱解答出错本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下以期对大家起到一定的帮助一基本类型直小值即一组平行直线在经过可行域时在轴上的截距的最
10、小值的倍解析由实数满足的约束条件作可行域如图所示当一组平行直线经过图中可行域三角形区域的点时在轴上的截距最小又故的最小值为答案选点评深刻地理解目标函数的含给的不等式组表示圆的右半圆含边界精品资料欢迎下载可理解为过定点斜率为的直线族则问题的几何意义为求过半圆域上任一点与点的直线斜率的最大最小值由图知过点和点的直线斜率最大过点所作半圆的切线的斜率最小设切点为精品资料 欢迎下载 33ab的几何意义，转化为线性规划问题可求解。解析：由导函数的图象可知，原函数在区间-2,0为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增函数，又1)4(,1)0(,1)2(fff，故422ba，而ba,均为正数，可得可行域如图，
11、33ab的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点（0，4），此时为373034，最小为点（2，0），此时为533230，所以答案 B.如果实数,a b满足条件：20101abbaa ，则22abab的最大值是_.补充：1.如果实数,a b满足条件：20101abbaa ，则22abab的最大值是 2.已知 O 是坐标原点，(2,1),(,)AP x y满足430352510 xyxyx ，求|c o sO PA O P的最大值。(-3,-3)4 2 O x y 数的求解是线性规划问题的重点也是难点对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透只靠死记硬背生搬硬套导致思路混乱解答出错本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下以期对大家起到一定的帮助一基本类型直小值即一组平行直线在经过可行域时在轴上的截距的最小值的倍解析由实数满足的约束条件作可行域如图所示当一组平行直线经过图中可行域三角形区域的点时在轴上的截距最小又故的最小值为答案选点评深刻地理解目标函数的含给的不等式组表示圆的右半圆含边界精品资料欢迎下载可理解为过定点斜率为的直线族则问题的几何意义为求过半圆域上任一点与点的直线斜率的最大最小值由图知过点和点的直线斜率最大过点所作半圆的切线的斜率最小设切点为