微分方程与差分方程详解与例题_高等教育-微积分.pdf

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1、 -.-总结资料-第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常

2、系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法

3、，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。【考点分析】本章包括三个重点容：1常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。2微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。3数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应

4、用问题。【考点八十三】形如()()yf x g y 的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序：当()0,()()()()dyg yyf x g yf x dxg y时，然后左、右两端积分(),()dyf x dxCg y上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1()()dyg yg y表示函数的一个原函数，()f x dx表示函数()f x的一个原函数.【例 7.1】微分方程1yxxyy的通解为_。-.-总结资料-【详解】dxdyyxy11，dxxydy11.两边积分得 dxxydy11，即 121211lncxy，2211211211xxcCeee

5、y，12121xCey，C 为任意常数。【例 7.2】微分方程 022dyyyxdxxxy，当0 x时，1y的特解为_。【详解】分离变量得 01122dyxydxyx，01122dyyydxxx.积分得12211Cdyyydxxx，1221ln211ln21Cyx，122211lnCyx，即 CeyxC122211.令1,0 yx，则C 2，所求特解为 21122 yx.【例 7.3】若连续函数 f x满足关系式 20ln22xtfxfdt ，则 f x等于（）（A）ln2.xe（B）2ln2.xe（C）ln2.xe（D）2ln 2.xe 【详解】对所给关系式两边关于x求导，得 2fxf x，

6、且有初始条件 0ln2f.于是，2fxf x，2df xdxf x，积分得 ln|2ln|f xxC，故 2.xf xCe 令 20,ln2.ln2.xxCf xe得故应选（B）。【例 7.4】已 知 曲 线 10,2yfxx y过点且其上任一点处 的 切 线 斜 率 为 2ln 1,xx则 _f x.要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程

7、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-【详解】201ln 1,|.2xdyyf xxxydx 满足 222222111ln 1ln 11ln 1222yxxdxxd xxxxC 将10,2xy 代入上式1.2C 得 2211ln 11.2f xxx故【例 7.5】一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面

8、积 S 成正比，比例常数0k。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为0r的雪堆在开始融化的 3 小时，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少小时？【详解】半径为r的球体体积为334r，表面积为24 r，而雪堆为半球体状，故设雪堆在t时刻的底面半径为 r，于是雪堆在t时刻的体积332rV，侧面积22 rS。其中体积V，半径r与侧面积 S 均为时间t的函数。由题意，有kSdtdv.222332rkdtdrr。即kdtdrkdtdr,，dtkdr，cktr 又0t时，00rrt,Cr 0，即0rktr.而0381ttVV，即 30303281332rrk.061rk，0061rtrr。

9、当雪堆全部融化时，0,0 Vr 令00610rtr，得6t（小时）。【例 7.6】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N，在0t时刻已掌握新技术的人数为0 x，在任意时刻t已掌握新技术的人数为)(tx（将)(tx视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数0k，求)(tx。【详解】首先要根据题中所给条件，建立)(tx的微分方程。由于题中条件很明确，即：)(tx的变化率dtdx与)()(txNtx成正比，容易得出)(tx的微分方程，再求出特解即得)(tx。要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识

10、是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-由已知得00 xxxNkxdtdxt ,

11、分离变量，得kdtxNxdx.积分得kdtxNxdx 即 dxxNxNxxNdxckt1111dxNxxN111 xNxNNxxNln1ln1 1lnNcNktxNx,NktNtkNCCeeexNx1.NktNktceNcex1,又00 xxt 代入得 00 xNxC，故 NktNktexxNeNxtx000)(。【考点八十四】形如xydxdy的微分方程称为齐次方程。其解法是固定的：令xyu，则dxduxudxdyuxu,，代入得 udxduxu.分离变量，得 xdxuudu。两端积分，得 xdxuudu，求出积分后，将u换成xy，即得齐次方程的通解。【例 7.7】求初值问题 00 0122x

12、yxxdydxyxy的解。【详解】022xdydxyxy0 x 22yxydydxx21xyxy 故此方程为齐次方程，其解法是固定的。令dxduxudxdyxuyxyu,，故21 uudxduxu xdxudu21，积分得 12ln1lncxuu 要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次

13、线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-xeeuucCx11ln21Cx 代入xyu，得 Cxxyxy221 即222cxyxy，由已知01xy，代入得 101022C，1C 所求初值问题的解为 222xyxy，化简得 1212xy.【例 7.8】设函数)(xf在),1 上连续。若由曲线)(xfy，直线)1(,1ttxx与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所

14、成的旋转体体积为 ).1()(3)(2ftfttV试求)(xfy 所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件922xy的解。【详解】由旋转体体积计算公式得,)()(12dxxftVt于是，依题意得)1()(3)(212ftftdxxft.两边对 t 求导得 ).()(2)(322tftttftf 将上式改写为 xyyyx2322，即.2)(32xyxydxdy 令xyu，则有 ).1(3uudxdux 当1,0 uu时，由xdxuudu3)1(.两边积分得31Cxuu.从而方程xyxydxdy2)(32的通解为CyCxxy(3为任意常数）。由已知条件，求得,1C从而所求的解为 yxxy3或).1

15、(13xxxy 要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条

16、件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-【例 7.9】求微分方程222(32)(2)0 xxyydxxxy dy的通解.【详 解】将 微 分 方 程222(32)(2)0 xxyydxxxy dy进 行 恒 等 变 形，化 为22223.2dyyxyxdxxxy 设yxu，有 23121uuduxdxu ，则 22131ududxxuu .积分得 232231,.uuCxxyx yxC 即【考点八十五】1.形如()()0dyp x yQ xdx的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程，其通解公式为：cexQdxxp)(p(x)dx)(ey.【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数 c,因此

17、通解公式中的积分和dxxp)(dxexQdxxp)()(，只表示其中一个任意的原函数，不含任意常数 c。2.求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推导公式的方法求解。3.通 解 公 式 的 记 忆 方 法：一 阶 线 性 非 齐 次 微 分 方 程()()yp x yQ x 等 价 于p(x)dx()e()().p x dxyp x yeQ x 即).()()(xQeyedxxpdxxp 两边积分得,)()()(cdxexQyedxxpdxxp 即 .)()()(cdxexQeydxxpdxxp 【例 7.10】微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为 .【分析】直接套用一阶线

18、性微分方程)()(xQyxPy的通解公式：)()()(CdxexQeydxxPdxxP，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为 xyxyln2，于是通解为 ln1ln2222CxdxxxCdxexeydxxdxx 要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微

19、分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-=2191ln31xCxxx，由91)1(y得 C=0，故所求解为.91ln31xxxy【评注】本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外，本题也可如下求解：原方程可化为 xxxyyxln222，即 xxyxln22，两边积分得 Cxxxxdxxyx332291ln31ln，再代入初始条件即可得所求解为.91ln31xxxy【例 7

20、.11】设,xp(x)yyx的一个解是微分方程xey求 此 微 分 方 程 满 足 条 件02lnxy的特解。【详解】先求p(x),xye是方程xyp(x)yx 的解，代入方程得xx(e)(),xp x ex解出代入原方程得.)(xxexpx-xxy(xe)x yx，即 .1)1(ey-xy 这是一阶线性非齐次微分方程，而的通解公式为)()(xQyxpy：CdxexQeydxxpp(x)dx-)()(对应地，1)(,1)(xQexPx cdxeeydxedxexx111 cdxeexxexex Cedeexeexxx Ceexxeex xexxCee 又由02lnxy，得Ce21220，即21

21、 ec，)21(xexxeey。【例 7.12】设)(xf为连续函数，（1）求初值问题 0)(0 xyxfayy的解)(xy，其中a是正常数；（2）若kxf)(（k为常数）。要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数

22、齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-证明：当0 x时，有 axeakxy 1)(【详解】原方程的通解为 Cdxexfeyadxadx)(Cdxexfeaxax)(dxexfeCeaxaxax)(由于在本题中未给出函数)(xf的具体表达式，在上式中想利用初始条件00 xy来确定常数 C很困难。而通解中的式子dxexfax)(实为axexf)(的一个原函数，因此改写为dtetfxat0)(，于是通解为dtetfeCeyxataxax0)(

23、。令0 x，由 00 y，得00 C即0c.故所求的解是xataxdtetfey0)(。（2）由题设kxf)(及0 x知，当0 x时，xataxdtetfey0)(xataxdtetfe0)(dtetfeatxax0)(xataxdteke0 1axaxeeak axeak 1【例 7.13】设有微分方程)(2xyy，其中 1,01,2)(xxx若若 试求在,的连续函数)(xyy，使之在 1,和,1都满足所给方程，且满足条件 00 y。【详解】线性方程)(2xyy中的非齐次项)(x有间断点1x。在点1x处)(x无定义，且1x为)(x的第一类间断点中的跳跃间断点。当1x及1x时均可求出方程的解)

24、(xyy，二者相等。又因为)(xyy 是连续函数，故)1()(lim)(lim0101yxyxyxx，从而可以确定)(xy中的任意常数，得到解)(xy。当1x时方程为22 yy，其通解是 1222cdxeeydxdx1221122xxxeccdxee。将初始条件 00 y代入通解中，得到 要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些

25、常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-11c 得特解12xey 1x.又当1x时方程为02 yy，即ydxdy2，dxydy2，两端积分得 22lncxy，即xxcCeeey222.因为)(xyy 是连续函数，所以有 xxxxCee201201lim1lim，21eC.故当1x时，特解为 xeey221。补充)(xyy 在

26、1x处的函数值1)1(2 ey，则得到在,上的连续函数，即所求解为 1,11,1222xeexexyxx若若.【例 7.14】设 F(x)=f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在),(满足以下条件：)()(xgxf，)()(xfxg，且 f(0)=0,.2)()(xexgxf(1)求 F(x)所满足的一阶微分方程；(2)求出 F(x)的表达式.【分析】F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对 F(x)求导，并将其余部分转化为用 F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】(1)由 )()()()()(xgxfxgxfxF=)()(22xfxg =

27、)()(2)()(2xgxfxgxf=(22)xe-2F(x),可见 F(x)所满足的一阶微分方程为 .4)(2)(2xexFxF(2)4)(222CdxeeexFdxxdx =442Cdxeexx=.22xxCee 将 F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1.于是.)(22xxeexF【例 7.15】f(u,v)具有连续偏导数，且满足uvvufvufvu),(),(.求),()(2xxfexyx所满足的一阶微分方程，并求其通解.【分 析】本 题 综 合 了 复 合 函 数 求 偏 导 数 与 微 分 方 程。先 求y，利 用 已 知 关 系要方法是处理物理力学几何等应用问题的一

28、个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-uvvufvu

29、fvu),(),(，可得到关于 y 的一阶微分方程.【详解】因为 xvxuxxexyxxfexxfexxfey222222),(),(),(2，所以，所求的一阶微分方程为xexyy222.解得 xdxxdxeCxCdxeexey232222)31()(C 为任意常数).【例 7.16】设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程)(,22222ufzeyzxzx求。【详解】()sin,()cos,xxzzf u eyf u eyxy 22222222()sin()sin,()sin()cosxxxxzf u eyfu eyxzf u eyfu eyy 代入原方程，得0)

30、()(ufuf。特征方程为012r，特征根为 r=1,-1,故uueCeCuf21)(【例 7.17】设 f(x)是可微函数且对任何 x,y 恒有),()()(yfexfeyxfxy 又2)0(f，求 f(x)所满足的一阶微分方程，并求 f(x)【详解】令 x=y=0,得 f(0)=2f(0)，故 f(0)=0。在方程)()()(yfexfeyxfxy两边对 y 求偏导数，有)()()(yfexfeyxfxy。令 y=0，得)0()()(fexfxfx。于是求 f(x)，归法为求解下列初值问题：0)0(,2)0(2)()(ffexfxfx 解得 dxeeCexfxdxxdx2)(=xxxece

31、2。要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条件等掌握几类

32、方程的解法 -.-总结资料-由 f(0)=0，得 C=0，故xxexf2)(。【例 7.18】求lnln0yydxxy dy 的通解。【详解】化为标准型：1lndxxdyyyy，对比公式：)()(xQxxpdxdy，通解为 cdxexQeydxxpdxxp)()()(得新公式：()()dxP yxQ ydy，通解为 cdyeyQexdyypdyyp)()()(而本题：11(),()lnP yQ yyyy,()lnlnlndyP y dyyyy，()lnln1()P y dyyQ y edyedyy211lnln2ydyyy,通解为lnln21ln2yxeyC211lnln2ycy，即22 ln

33、lnxyyC【例 7.19】设)(xy连续，求解方程20)(21)(xxydxsyx.【详解】因为原方程中2x，xdxsy0)(均可导，故)(xy可导。对方程两边同时求导，将积分方程转化为微分方程：xxyxy2)(21)(，即xxyxy4)(2)(.根据一阶线性微分方程通解公式，得 cdxxeexydxdx224)(cdxxeexx224xCex212 又xdssyxxy02)(2)(,当0 x时，00 y.代入得 C 10 1C.12)(2xexyx 要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方

34、程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-【例 7.20】设函数)(xf在区间 ba,上连续，且满足方程)()(21)(1211221xfxfdxxfxxxx，

35、21xx，且baxx,21，求)(xf。【详解】当 bax,时，由已知条件 )()(21)(1xfafdttfaxxa，即xaxfafaxdttf)()(2)(.两边对x求导得)(2)()(21)(xfaxxfafxf,即axafxfaxxf)()(1)(.这是一阶线性微分方程，代入通解公式，得 11()()()()dxdxx ax af af xeedxCxa)()(afaxC.令bx，得abafbfc)()(，故)()()()()(afaxabafbfxf。【例 7.21】过点1,02且满足关系式2arcsin11yyxx的曲线方程为_y.【详解】方程化为21.arcsinarcsin1y

36、yxxx 设 211,.arcsinarcsin1PQxxx 于是 arcsinlnarcsin.arcsindxPdxxx 通解 lnarcsinlnarcsin1.arcsinarcsinxxxCyeedxCxx 由11110,.22arcsin2yCyxx 可定出故曲线方程为【例7.22】求 微 分 方 程 20 xdyxy dxyy x 的一个解，使 得 由 曲 线 1,2yy xxxx与直线以及轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小。【详解】题设方程可化为21.dyydxx 利用求解公式，得通解 要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程

37、的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-222.dxdxxxyeedxCxCx 旋转体体积 2

38、222131157.523V CxCxdxCC 由6215052VCC解得75.124C 由于 620.5V C故75124C 为惟一极小值点，也是最小值点，于是得275.124yxx 【考点八十六】可降阶的高阶微分方程：1.大纲要求：会用降阶法解下列高阶微分方程：)()(xfyn；),(yxfy（缺y）；),(yyfy（缺x）。2方程)()(xfyn：直接求n次积分，即可求解。3方程),(yxfy：这类方程的特点是不显含未知函数y。令yp，则化为关于P的一阶微分方程),(pxfu，然后再用解一阶微分方程的解法解之。4方程),(yyfy：这类方程的特点是不显含自变量x。令yyPP)(，则 dx

39、dpdxdydxddxydy22dydpPdxdydydp.因而原方程化为关于P的一阶微分方程：pyfdydpP,.要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的

40、二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-【例 7.23】求初值问题1)1(,1)1(,212yyyyy的解。【详解】方程yyy212不显含x，令yp，dxyddxydy22dydppdxdydydpdxdp。代入原方程得dydpypp212，即yppdydp212。分离变量，得ydyppdp212。两边积分，得12ln1lnCyp，Cyyepc121 由初始条件：1y时，1p，故2c，122yP.12 yP，12 yp（不合题意舍去）.12 ydxdy，即dxydy 12.两边积分得112Cxy

41、，再由1)1(y，得21c.所求特解为xy212，即54212xxy.【例 7.24】微分方程03 yyx的通解为_。【详解】设Py，则dxdpy .方程化为03 pdxdpx 。分离变量，得 xdxpdp3。两端积分，得1ln3lncxp 3311xcxePc，即3xcdxdy，dxxcdy3.积分得2212cxcy223cxc.因此应填223cxcy.【例 7.25】设对任意0 x，曲线)(xfy 上点)(,xfx处的切线在y轴上的截距等于xdttfx0)(1，求)(xf的一般表达式。【详解】曲线)(xfy 在点)(,xfx处的切线为xXxfxfY)()(。令0 x，得切线在y轴上的截距为

42、)()(xf xxfY。要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特

43、解定解条件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-由已知 xdttfxxf xxf0)(1)()(，即dttfxfxxxfx02)()()(。两端对x求导，得 0)()(xfxf x。令)(xfP，则dxdpxf)(。代入得0 Pdxdpx，分离变量，得xdxpdp。xCP1 即xcdxxdf1)(。积分得21ln)(Cxcxf。【例 7.26】求微分方程yyy2)(212满足条件20 xy，20 xy的特解。【详解】设yp，于是 dydppdxdydydpdxdpy.代入原方程，得ypdydpP2212，即ypdydp2212122.ypdydp422。这是关于2p和y的一阶线性方程，其通解为

44、 11124Cdyeyepdydy14Cdyyeeyy 1244Ceyeepyyy 141yecy.解出P，则 141yecPy或 141yecPy（不合题意舍去）141yecyPy。又20 xy，20 xy，01c，即 14yy，12ydxdy，分离变量，得dxydy21.两边积分得Cxy 1，12cxy，代入20 xy，得1c.221122xxxy.【例 7.27】函数 0,),01.f xf在上可导且满足等式 010,1xfxf xf t dtx （1）求导数 fx；要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试

45、均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-（2）证明：当 0,:1.xxef x时 成立不等式【详解】（1）原方程两边乘1x后再求导，得 1

46、2.xfxxfx 设(),fxp 则.dpfxdx方程化为 12dpxxpdx ，故 21dpxdxpx，1xCefxpx.由 01f及 000ff，知 01f ，从而1C ，故 1xefxx.（2）对 1xefxx 两端积分，得 001txefxfdtt，即 01.1txedtfxt 当000,01.1txxtxexdtedtet 时 有 于是 011xf xe ，所以 1.xef x 【考点八十七】二阶常系数齐次线性微分方程:1标准形式：0qyypy，qp,均为常数。2通解公式：特征方程为02qprr；若特征方程有互异实根21rr，则通解为2121rrececy；若特征方程有相等实根rrr

47、21，则通解为rxexccy21；若特征根为共轭复根ir（,为常数，0），则通解为xcxceyxsincos21【例 7.28】求下列微分方程的特解：要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶

48、的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-yyy6232，当0 x时，0y，1y。【详解】对应的特征方程为 036222rr，有二重特征实根 2621 rr.所以微分方程的通解为xrxexccexccy262121。求导得 xexcccy262212626.由已知，当0 x时，1,0 yy。代入得，2112610ccc 即1021cc，故所求特解为xxey26。【例 7.29】设二阶线性常系数齐次微分方程 0yyby的每一个解)(xy都有在区间),0(上有界，则实

49、数b 的取值围是（）。（A）,0 （B）0,（C）4,（D）,解：应选（A）。对应的特征方程为 012 brr 则242bbr（1）当2b时，特征根221brr，其通解为 xrxexccexccy2121。其中02221 cc，而此时 xxexcc21lim 在区间),0(，当2b，通解xexccy21无界。要方法是处理物理力学几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础微分方程作为考试的重点容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破数学一大纲容的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微

50、分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程微分方程的简单应用数学二大纲容常及解的结构定理二阶常数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用大纲要求要理解微分方程的有关概念如阶解通解特解定解条件等掌握几类方程的解法 -.-总结资料-不合题意，故2b。（2）当2b时，特征根1221brr，其通解为xexccy21，在),0(有界。故b可以等于 2。（3）当042b时，特征根 2424221bbbbr 2424222bbbbr 其通解为24224122bbbbececy 当042b时，要想使通解y