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1、.-.word.zl-第十章 微分方程习题 一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233 4 )(xyxyy的阶数是.1-2-41、微分方程022xyyyxy的阶数是.1-3-42、微分方程0dddd22sxsxs的阶数是.1-4-43、xyyyysin5 10 4)()4(的阶数是 .1-5-44、微分方程xyxy2dd满足条件1|0 xy的特解是.1-6-45、微分方程0ddyxy的通解是.1-7-46、方程yeyx的通解是 .1-8-47、方程yyyln的通解是 .1-9-48、方程044 yyy的通解是 .1-10-49、方程044 yyy的通解是 .1-11-50、方程0134
2、 yyy的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221 rr则二阶常系数齐次微分方程为 1-13-52、微分方程xey 的通解为 .1-14-53、微分方程xeyxsin 2的通解为 .1-15-54、若0d),(dx),(yyxQyxP是全微分方程,则QP,应满足 .1-16-55、与积分方程xyxfyxxd),(0等价的微分方程初值问题.-.word.zl-是 .1-17-56、方程0d)2(d)(22yxyxxyxy化为齐次方程是 .1-18-57、通解为21221,(CCeCeCyxx为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yxey2满足条件00 xy的特解是
3、.1-19-59、方程0dy1dx2xxy化为可分离变量方程是 1-20-60、方程xyy2的通解是 1-21-61、方程xyxyxyxydddd22化为齐次方程是 1-22-62、若tycos是微分方程09 yy的解,则 .1-23-63、若ktCeQ 满足QdtdQ03.0,则k .1-24-64、yy2的解是 1-25-65、某城市现有人口50(万),设人口的增长率与当时的人口数x(万)和x1000的积成正比,则该城市人口)(tx所满足的微分方程为 1-26-66、圆222ryx满足的微分方程是 1-27-67、axaey 满足的微分方程是 1-28-68、一阶线性微分方程)()(ddy
4、xQyxPx的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221 rr,则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25xy 是微分方程yxy2的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0 qypyy对应的特征方程有两个不的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口
5、万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐次线性微分方程对应的特征方程有两个不等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方程的通解是微分方程的通解是下列方程中是全微分方程的.-.word.zl-等实根，则其通解为.1-33-73、将微分方程0)2()(22dyxyxdxyxy写成齐次微分方程的标准形式为 二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dxdy的通解是()A.2xy B.25xy C.2Cxy D.Cxy 2-2-57、微分方程0dy1
6、dx2xxy的通解是()A.21 xey B.21 xCey C.xCyarcsin D.21xCy 2-3-58、下列方程中是全微分方程的是()A.0dydx)(2xyx B.0dydxxy C.0dy)(1dx)1(xyyxy D.0dydx)(22xyyx 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是()A.xxee32,B.xx2sin,2cos C.xxxsincos,2sin D.2ln,lnxx 2-5-60、方程032 yyy的通解是()A.xxeCeCy321 B.xxeCeCy321 C.xxeCeCy321 D.xxeCeCy321 2-6-61、方程0 yy的通解是()A.
7、xCysin B.xCycosC.xCxycossinD.xCxCycossin21 2-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是()的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐次线性微分方程
8、对应的特征方程有两个不等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方程的通解是微分方程的通解是下列方程中是全微分方程的.-.word.zl-A.xyyx33dxdy B.0dy2dx)3(2xyyex C.234dxdyxyyx D.yxxyy321dxdy 2-8-63、微分方程0cotxyy的通解是()A.xCycos B.xCysin C.xCytan D.xCycsc 2-9-64、已知微分方程0 pyy的通解为)(212xCCeyx,则p的值是()A.1 B.0 C.21 D.41 2-10-65、微分方程02yy的通解是()A.Cxy2sin B.Ceyx24
9、 C.xCey2 D.xCey 2-11-66、方程xy2dxdy的通解是()A.Cex2 B.Cxe2 C.2Cxe D.2)(Cxe 2-12-67、xey 的通解为y()A.xe B.xe C.21CxCex D.21CxCex 2-13-68、微分方程xe21dxdy满足10 xy的特解为()A.1221 xey B.3221xey C.Ceyx212 D.212121 xey 2-14-69、微分方程0ydy-dx3x的通解是()A.Cyx2422 B.Cyx2422 C.02422yx D.12422yx 2-15-70、微分方程0ydy-dx3x的通解是()A.222yx B.9
10、33yx C.133yxD.13333yx 的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐次线性微分方程对应的特征方程有两个不等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方
11、程的通解是微分方程的通解是下列方程中是全微分方程的.-.word.zl-2-16-71、过点,0()2的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是()A.32xy B.52xy C.53xey D.5xCey 2-17-72、齐次方程xyxytandxdy化为可分离变量的方程,应作变换()A.2uxy B.22xuy C.uxy D.33xuy 2-18-73、设方程)()(xQyxPy有两个不同的解21,yy,若21yy也是方程的解,则()A.B.0 C.1 D.,为任意常数 2-19-74、方程dx2dxdyyxx的通解是()A.xCxy2 B.xxCy2sin C.Cxy
12、2cosD.Cxy2 2-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ()A.xyxy2B.xxyysinC.xyy D.xyy2 2-21-76、曲线上任一点P的切线均与OP垂直的曲线方程是()A.yxy B.yxy C.xyy D.xyy 2-22-77、方程2)3(,0yyy的解是()A.xey32 B.xey32 C.32xey D.32xey 2-23-78、微分方程xyyln的通解是()A.xxeyln B.xxCeyln C.xxxeyln D.xxxCeyln2-24-79、的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是已知特征方程的两
13、个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐次线性微分方程对应的特征方程有两个不等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方程的通解是微分方程的通解是下列方程中是全微分方程的.-.word.zl-下列哪个不是方程yy4 的解()A.xey22 B.xey2 C.xey
14、2 D.xey2 2-25-80、方程0sin 653)4(yyyyxxyy的阶是()A.6 B.5 C.4 D.3 2-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于yx2，则这条曲线是()A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.圆 2-27-82、下列可分离变量的方程是()A.xyyxdxdy33B.02)3(2xydydxyex C.xyyxdxdyD.yxxyydxdy321 2-28-83、微分方程0cotxyy的通解是()A.xCycos B.xCysin C.xCytan D.xCycsc 2-29-84、已知微分方程0 pyy的通解为)(212xCCeyx,则p的值()A.1
15、 B.0 C.21 D.41 的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐次线性微分方程对应的特征方程有两个不等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方程的通解是微分
16、方程的通解是下列方程中是全微分方程的.-.word.zl-三.计算题：（59）3-1-52、0dtansecdtansec22yxyxyx 3-2-53、0lnyyxy 3-3-54、0dsec)2(dtan32yyexyexx 3-4-55、yxyyxxy22222)1(3-5-56、yxeyexdxdy 3-6-57、0)1()1(xdyyydxx 3-7-58、xxyyyxdsincosdsincos,4|0 xy 3-8-59、0)0(,02)1(22yxyyx 3-9-60、1)(,ln2eyxyy 3-10-61、xxyyyxdsincosdsincos,4|0 xy 3-11-6
17、2、0y)dx-(xdy)(yx 3-12-63、)ln(lndxdxyyyx 3-13-64、0)2(22dyxdxxyy 的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐次线性微分方程对应的特
18、征方程有两个不等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方程的通解是微分方程的通解是下列方程中是全微分方程的.-.word.zl-3-14-65、xyxyxytan 3-15-66、xyxyxyxyln)(3-16-67、dxdyxydxdyxy22 3-17-68、xyyxy,2|1xy 3-18-69、xyxyy,eyex|3-19-70、2|,122xyyxyxy 3-20-71、xxyxysin1,1|xy 3-21-72、xexyxy43 3-22-73、342xxyy 3-23-74、xyxyln11 3-24-75、xeyxxyx21 3-25-76、xx
19、yysectan,0|0 xy 的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐次线性微分方程对应的特征方程有两个不等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方程的通解是微
20、分方程的通解是下列方程中是全微分方程的.-.word.zl-3-26-77、xxyxysin1,1|xy 3-27-78、22112xyxxy,0|0 xy 3-28-79、xxyxyln,eyex|3-29-80、22ddyxxexyx 3-30-81、)sin(cosddy2xxyyx 3-31-82、5ddyxyyx 3-32-83、02ddy4xyxyx 3-33-84、4)21(3131ddyyxyx 3-34-85、xyxyx2ddy2 3-35-86、xyy 3-36-87、01)(2yyy 3-37-88、01 3yy 3-38-89、yy3 ,1|0 xy,2|0 xy 3-
21、39-90、223 yy,1|3xy,1|3xy 3-40-91、02 yy 3-41-92、0134 yyy 的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐次线性微分方程对应的特征方程有两个不
22、等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方程的通解是微分方程的通解是下列方程中是全微分方程的.-.word.zl-3-42-93、02 yyy 3-43-94、045 yyy 3-44-95、043 yyy,0|0 xy,5|0 xy 3-45-96、0294 yyy,0|0 xy,15|0 xy 3-46-97、04 4yyy,2|0 xy,0|0 xy 3-47-98、04 4yyy,2|0 xy,0|0 xy 3-48-99、0134 yyy,0|0 xy,3|0 xy 3-49-100、044 yyy,0|0 xy,1|0 xy 3-50-101、xeyyy2
23、 2 3-51-102、xeyyxcos 3-52-103、xexyyy3)1(96 3-53-104、22xyyye 3-54-105、1232 xyyy 3-55-106、sin20yyx,1|xy,1|xy 3-56-107、523 yyy,1|0 xy,2|0 xy 3-57-108、xeyyy2910,76|0 xy,733|0 xy 3-58-109、xxeyy4,0|0 xy,1|0 xy 3-59-110、xxeyyy265 四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(,它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分,求这的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是
24、方程的通解是方程的通解是方程的通解是已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐次线性微分方程对应的特征方程有两个不等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方程的通解是微分方程的通解是下列方程中是全微分方程的.-.word.zl-曲线方程.4-2-1
25、0、已知xxxyttytt03231d)(12,求函数)(xy 4-3-13、求一曲线,这曲线通过原点,并且它在点),(yx处的切线斜率等于yx 2.4-4-14、试求xy 的经过点)1;0(M且在此点与直线12xy相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程.4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(,它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x满足xxtttxx01dsin)(2cos)(,求)(x.4-8-10、已知某商品需求量Q对价格p的弹性为22pEpEQ,最大需
26、求量为1000Q,求需求函数)(pfQ.4-9-11、设质量为m的物体在高空中静止下落,空气对物体运动的阻力与速度成正比.求物体下落的数率v与时间t的关系,再求物体下落距离与时间t的关系 4-10-12、在串联电路中,设有电阻R,电感L和交流电动势tEEsin0,在时刻0t时接通电路,求电流i与时间t的关系(0E,为常数).4-11-13、如图,位于坐标原点的我舰向位于x轴上)0,1(A点处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷始终对准敌舰,设敌舰以常数0v沿平行与y轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为02v,求鱼雷的航行曲线方程.的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解
27、是已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐次线性微分方程对应的特征方程有两个不等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方程的通解是微分方程的通解是下列方程中是全微分方程的.-.word.zl-4-12-14、根据经验可知,某产品的纯利润L与广告支
28、出x有如下关系)(d dLLAkx，（其中0,0 Ak）,若不做广告,即0 x时纯利润为0L,且AL 00,试求纯利润L与广告费x之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中,知道某地区的国民收入y,国民储蓄S和投资I均是时间t的函数,且在任一时刻t,储蓄)(tS为国民收入)(ty的101,投资额)(tI是国民收入增长率t ddy的31.设0t时国民收入为5(亿元),假定在时刻t的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1xy)(2xy是二阶齐次线性方程0)()(yxqyxpy的两个解,令)()
29、()()()()()()()(21212121xyxyxyxyxyxyxyxyxw 证明:)(xw满足方程0)(wxpw 5-2-19、设1y,2y,3y是线性方程)()(ddyxQyxPx的 3 个相异特解,证明1213yyyy为一常数.的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方
30、程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐次线性微分方程对应的特征方程有两个不等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方程的通解是微分方程的通解是下列方程中是全微分方程的.-.word.zl-部分应用题答案 487在串联电路中,设有电阻 R,电感 L 和交流电动势tEEsin0,在时刻0t时接通电路,求电流i与时间t的关系(0E,为常数).解.设)(tii,由回路电压定律tEdtdiLRisin0,即tLELRdtdisin0 sin)(0CdtteLEetitdtLRLR=sin0CdtteLEettLRLR =)c
31、ossin(2220tLtRLRECetLR 将0|0ti代入通解得2220LRLEC)cossin()(2220tLtRLeLREtitLR 488.设质量为m的物体在高空中静止下落,空气对物体运动的阻力与速度成正比.求物体下落的数率v与时间t的关系,再求物体下落距离与时间t的关系 解：.物体重力为mgw,阻力为kvR,其中g是重力加速度,k是比例系数.由牛顿第二定律得kvmgdtdvm,从而得线性方程gvmkdtdv,0|0tv tmkdtdtCegkmCdtgeevkmmk,将0|0tv代入通解得gkmC)1(tmkegkmv,再积分得122CgekmgtkmStmk,将0|0tS代入求
32、得gkmC221 的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐次线性微分方程对应的特征方程有两个不等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方程的通解是微分方程的通解是
33、下列方程中是全微分方程的.-.word.zl-)1(22 tmkegkmgtkmS 489.如图,位于坐标原点的我舰向位于x轴上)0,1(A点处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷始终对准敌舰,设敌舰以常数0v沿平行与y轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为02v,求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(xyy,在时刻t,鱼雷的坐标巍巍),(yxP,敌舰的坐标为),1(0tvQ.因鱼雷始终对准敌舰,故xytvy10,又弧OP的长度为xtvdxy00221,从以上两式消去tv0得121)1(2yyyyx,即2121)1(yyx 根据题意,初始条件为0)0(y,0)0(y 令py,原方程化为2121)1(
34、ppx,它是可分离变量得方程,解得21)1(112xCpp,即21)1(112xCyy 将0)0(y代入上式得11C,故21)1(12xyy 而21)1(11122xyyyy,得2121)1()1(21xxy 积分得22321)1(31)1(Cxxy,将0)0(y代入上式得322C,所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321xxy 490根据经验可知,某产品的纯利润L与广告支出x有如下关系)(d dLLAkx，（其中0,0 Ak）,若不做广告,即0 x时纯利润为0L,且AL 00,试求纯利润L与广告费x之间的函数关系.的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解
35、是方程的通解是已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐次线性微分方程对应的特征方程有两个不等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方程的通解是微分方程的通解是下列方程中是全微分方程的.-.word.zl-解：依题意得)(LAkdxdL,00|LL
36、x,解可分离变量得微分方程,得通解 kxCeAL,将00|LLx代入通解,得ALC0,所以纯利润L与广告费x之间的函数关系为kxeALAxL)()(.491 在宏观经济研究中,知道某地区的国民收入y,国民储蓄S和投资I均是时间t的函数,且在任一时刻t,储蓄)(tS为国民收入)(ty的101,投资额)(tI是国民收入增长率t ddy的31.设0t时国民收入为5(亿元),假定在时刻t的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:yS101,dtdyI31,解之得通解tCey103,将5|0ty代入通解得 5C,所以国民收入函数为tey1035 492试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.
37、解：设在某一时刻t,商品的价格为)(tp,因供需差价,促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断地调节价格,就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(tp的变化率dtdp与需求和供给之差成正比.记需求函数为),(rpf,供给函数为)(pg,其中r为参数.于是得微分方程)(),(pgrpfkdtdp,0)0(pp,其中0p为0t时商品的价格,k为正常数.若需求供给函数均为线性函数,bkprpf),(,dcppg)(,则方程为)()(dbkpckkdtdp,0)0(pp,其中dcbk,均为正常数,其解为 ckdbeckdbptptckk)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1)设p为静
38、态均衡价格,则应满足0)(),(pgrpf,即dpcbpk,则ckdbp,从而价格函数pepptpckk)(0)()(,取极限:ptpt)(lim.的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐
39、次线性微分方程对应的特征方程有两个不等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方程的通解是微分方程的通解是下列方程中是全微分方程的.-.word.zl-它表明:市场价格逐步趋于均衡价格.若初始价格pp 0,则动态价格就维持在均衡价格p上,整个动态过程就变为静态过程.(2)由于tckkeckkppdtdp)(0)()(,所以当pp 0时,0dtdp,)(tp单调下降向p靠拢,这说明:初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低,逐渐接近均衡价格;而当初始价格低于均衡价格时,动态价格会逐渐增高,逐渐接近均衡价格.的特解是微分方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是方程的通解是已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解为若是全微分方程则应满足与积分方程等价离变量方程是方程的通解是方程化为齐次方程是若是微分方程的解则若满足则的解是某城市现有人口万设人口的增长率与当时的人口数万和的积成正比则该城市人口所满足的微分方程为圆满足的微分方程是满足的微分方程是一阶线齐次微分方程的结构为其一个特解与之和二阶常系数齐次线性微分方程对应的特征方程有两个不等实根则其通解为将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为二选择题微分方程的通解是微分方程的通解是下列方程中是全微分方程的