第八-十讲二次方程及不等式专题讲练_中学教育-中考.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 第八讲 根与系数的关系及应用 如果一元二次方程 ax2bxc=0(a 0)的两根为 x1，x2，那么 反过来，如果 x1，x2满足 x1+x2=p，x1x2=q，则 x1，x2是一元二次方程 x2-px+q=0 的两个根一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具 1已知一个根，求另一个根 利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根 例 1 方程(1998x)2-19971999x-1=0 的大根为 a，方程 x21998x

2、-1999=0 的小根为 b，求a-b 的值 解 先求出 a，b 由观察知，1 是方程(1998x)2-19971999x-1=0 的根，于是由韦达 又从观察知，1 也是方程 x21998x-1999=0 的根，此方程的另一根为-1999，从而 b=-1999 所以 a-b=1-(-1999)=2000 例 2 设 a 是给定的非零实数，解方程 解 由观察易知，x1=a 是方程的根又原方程等价于 2求根的代数式的值 在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧 例 3 已知二次方程 x2-3x1=0 的两根为，求：(3)33；(4)3-3 解 由韦达定理知+=3，=1

3、(3)33=(+)(2-+2)=(+)(+)2-3 =3(9-3)=18；(4)3-3=(-)(2+2)=(-)(+)2-例 4 设方程 4x2-2x-3=0的两个根是和，求 422的值 优秀学习资料 欢迎下载 解 因为是方程 4x2-2x-3=0的根，所以 42-2-30，即 42=23 42+2=2+3+2=2(+)+3=4 例 5 已知，分别是方程 x2x-1=0 的两个根，求 25+53的值 解 由于，分别是方程 x2x-1=0 的根，所以 2+-1=0，2+-1=0，即 2=1-，2=1-5=(2)2=(1-)2=(2-2+1)=(1-2+1)=-32+2 =-3(1-)+2=5-3

4、，3=2=(1-)=-2 =-(1-)=2-1 所以 25+53=2(5-3)+5(2-1)=10(+)-11=-21 说明 此解法的关键在于利用，是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要 例 6 设一元二次方程 ax2bxc=0 的两个实根的和为 s1，平方和为 s2，立方和为 s3，求 as3bs2cs1的值 解 设 x1，x2是方程的两个实根，于是 所以 as3bs2cs1=0 说明 本题最“自然”的解法是分别用 a，b，c 来表示 s1，s2，s3，然后再求 as3bs2cs1的值当然这样做运算量很大，且容易出错下面我们再介绍一种更为“本质”的解法 另解

5、因为 x1，x2是方程的两个实根，所以 同理 将上面两式相加便得 as3bs2cs10 3与两根之比有关的问题 例 7 如果方程 ax2bxc=0(a 0)的根之比等于常数 k，则系数 a，b，c 必满足：kb2=(k1)2ac 证 设方程的两根为 x1，x2，且 x1=kx2，由韦达定理 由此两式消去 x2得 次方程的两个根一元二次方程的韦达定理揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系我们可以解决诸如已知一根求另一根求根的代数式的值构造方程证明等式和不等式等问题它是中学数学中的一个有用的工具已知一个根求另一个是方程的根于是由韦达又从观察知也是方程的根此方程的另一根为从而所以例设是给定的非零实

6、数解方程解由观察易知是方程的根又原方程等价于求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中要灵活运用乘法公式和代数式的恒等是方程的根所以即例已知分别是方程的两个根求的值解由于分别是方程的根所以即所以说明此解法的关键在于利用是方程的根从而可以把它们的幂指数降次最后都降到一次这种方法很重要例设一元二次方程的两个实根的和为的值解优秀学习资料 欢迎下载 即 kb2(k1)2ac 例 8 已知 x1，x2是一元二次方程 4x2-(3m-5)x-6m20 解 首先，=(3m-5)296m20，方程有两个实数根由韦达定理知 从上面两式中消去 k，便得 即 m2-6m+5=0，所以 m1=1，m2=5 4求作新的

7、二次方程 例 9 已知方程 2x2-9x8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方 解 设 x1，x2为方程 2x2-9x8=0 的两根，则 设所求方程为 x2+px+q=0，它的两根为 x1，x2，据题意有 故 所以，求作的方程是 36x2-161x34=0 例 10 设 x2-pxq=0 的两实数根为，(1)求以3，3为两根的一元二次方程；(2)若以3，3为根的一元二次方程仍是 x2-pxq=0，求所有这样的一元二次方程 次方程的两个根一元二次方程的韦达定理揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系我们可以解决诸如已知一根求另一根求根的代数式的值构

8、造方程证明等式和不等式等问题它是中学数学中的一个有用的工具已知一个根求另一个是方程的根于是由韦达又从观察知也是方程的根此方程的另一根为从而所以例设是给定的非零实数解方程解由观察易知是方程的根又原方程等价于求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中要灵活运用乘法公式和代数式的恒等是方程的根所以即例已知分别是方程的两个根求的值解由于分别是方程的根所以即所以说明此解法的关键在于利用是方程的根从而可以把它们的幂指数降次最后都降到一次这种方法很重要例设一元二次方程的两个实根的和为的值解优秀学习资料 欢迎下载 解(1)由韦达定理知+=p，=q，所以 3+3=(+)(+)2-3=p(p2-3q)，33=()

9、3=q3 所以，以3，3为两根的一元二次方程为 x2-p(p2-3q)x+q3=0 (2)由(1)及题设知 由得 q=0，1若 q=0，代入，得 p=0，1；若 q=-1，代入，以，符合要求的方程为 x2=0，x2-x=0，x2+x=0，x2-1=0 5证明等式和不等式 利用韦达定理可以证明一些等式和不等式，这常常还要用判别式来配合 例 11 已知实数 x，y，z 满足 x=6-y，z2=xy-9，求证：x=y 证 因为 xy=6，xy=z29，所以 x，y 是二次方程 t2-6t+(z2+9)=0 的两个实根，于是这方程的判别式=36-4(z2+9)=-4z20，即 z20因 z 为实数，显

10、然应有 z20要此两式同时成立，只有 z=0，从而=0，故上述关于t 的二次方程有等根，即 x=y 例 12 若 a，b，c 都是实数，且 abc=0，abc=1，证 由 abc=0 及 abc=1 可知，a，b，c 中有一个正数、两个负数，不妨设 a 是正数，由题意得 于是根据韦达定理知，b，c 是方程 的两个根又 b，c 是实数，因此上述方程的判别式 因为 a0，所以 次方程的两个根一元二次方程的韦达定理揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系我们可以解决诸如已知一根求另一根求根的代数式的值构造方程证明等式和不等式等问题它是中学数学中的一个有用的工具已知一个根求另一个是方程的根于是由韦达又

11、从观察知也是方程的根此方程的另一根为从而所以例设是给定的非零实数解方程解由观察易知是方程的根又原方程等价于求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中要灵活运用乘法公式和代数式的恒等是方程的根所以即例已知分别是方程的两个根求的值解由于分别是方程的根所以即所以说明此解法的关键在于利用是方程的根从而可以把它们的幂指数降次最后都降到一次这种方法很重要例设一元二次方程的两个实根的和为的值解优秀学习资料 欢迎下载 a3-40，a34，例 13 知 x1，x2是方程 4ax2-4ax+a+4=0 的两个实根 解(1)显然 a0，由=16a2-16a(a+4)0，得 a0由韦达定理知 所以 所以 a=9，这与

12、 a0 矛盾故不存在 a，使 (2)利用韦达定理 所以(a+4)|16，即 a+4=1，2，4，8，16结合 a0，得 a=-2，-3，-5，-6，-8，-12，-20 练习八 1选择：(1)若 x0是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0)的根，则判别式=b2-4ac 与平方式 M=(2ax0+b)2的关系是 (A)M (B)=M (C)=M (D)不确定 次方程的两个根一元二次方程的韦达定理揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系我们可以解决诸如已知一根求另一根求根的代数式的值构造方程证明等式和不等式等问题它是中学数学中的一个有用的工具已知一个根求另一个是方程的根于是由韦达又从观察知也

13、是方程的根此方程的另一根为从而所以例设是给定的非零实数解方程解由观察易知是方程的根又原方程等价于求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中要灵活运用乘法公式和代数式的恒等是方程的根所以即例已知分别是方程的两个根求的值解由于分别是方程的根所以即所以说明此解法的关键在于利用是方程的根从而可以把它们的幂指数降次最后都降到一次这种方法很重要例设一元二次方程的两个实根的和为的值解优秀学习资料 欢迎下载 (2)方程 x2+px+1997=0 恰有两个正整数根 x1，x2，则 (A)-4 (B)8 (C)6 (D)0 为 (A)3 (B)-11 (C)3 或-11 (D)11 2填空：(1)如果方程 x2+

14、px+q=0 的一根为另一根的 2 倍，那么，p，q 满足的关系式是_ (2)已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为 2 和 4，乙由于看错了某一项系数的符号，1993+5a2+9a4=_ (4)已知 a 是方程 x2-5x+1=0 的一个根，那么 a4+a-4 的末位数是_ 另一根为直角边a，则此直角三角形的第三边 b=_ 3已知，是方程 x2-x-1=0的两个实数根，求4+3的值 4作一个二次方程，使它的两个根，是正数，并且满足关系式 5如果关于 x 的方程 x2+ax+b=0 的两个实数根之比为 45，方程的判别式的值为 3，

15、求 a，b 的值 第九讲 判别式及其应用 一元二次方程的根的判别式()是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有许多应用熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力 1判定方程根的情况 例 1 已知方程 x2-2x-m=0没有实数根，其中 m 是实数试判定方程 x2+2mx+m(m+1)=0有无实数根 解 因为方程 x2-2x-m=0无实数根，所以 1=(-2)2-4(-m)=4+4m 0，即 m-1 因为 2=(2m)2-4m(m+1)=-4m 0，所以方程 x2+2mx

16、+m(m+1)=0有两个不相等的实根 例 2 已知常数 a 为实数，讨论关于 x 的方程(a-2)x2+(-2a+1)x+a=0 的实数根的个数情况 次方程的两个根一元二次方程的韦达定理揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系我们可以解决诸如已知一根求另一根求根的代数式的值构造方程证明等式和不等式等问题它是中学数学中的一个有用的工具已知一个根求另一个是方程的根于是由韦达又从观察知也是方程的根此方程的另一根为从而所以例设是给定的非零实数解方程解由观察易知是方程的根又原方程等价于求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中要灵活运用乘法公式和代数式的恒等是方程的根所以即例已知分别是方程的两个根求的值

17、解由于分别是方程的根所以即所以说明此解法的关键在于利用是方程的根从而可以把它们的幂指数降次最后都降到一次这种方法很重要例设一元二次方程的两个实根的和为的值解优秀学习资料 欢迎下载 实根 当 a2 时，原方程为一元二次方程，其判别式=(-2a+1)2-4(a-2)a=4a+1，说明 对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式 2确定方程中系数的值或范围 例 3 关于 x 的一元二次方程 有实根，其中 a 是实数，求 a99+x99的值 解 因为方程有实根，所以 即-a2-2a-10 因为-(a+1)20，所以

18、a+1=0，a=-1 当 a=-1 时，原方程为 x2-2x+1=0，x=1，所以 a99+x99=(-1)99+199=0 例 4 若方程 x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0 有实根，求 a，b 的值 解 因为方程有实根，所以它的判别式=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)0，化简后得 2a2+4ab+4b2-2a+10，所以 (a+2b)2+(a-1)20，说明 在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值 例 5 ABC 的一边长为 5，另两边长恰是方程 2x2

19、-12x+m=0 的两个根，求 m 的取值范围 解 设ABC 的三边分别为 a，b，c，且 a=5，由=122-42m=144-8m 0 并且不等式 25=a2(b-c)2=(b+c)2-4bc=36-2m，次方程的两个根一元二次方程的韦达定理揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系我们可以解决诸如已知一根求另一根求根的代数式的值构造方程证明等式和不等式等问题它是中学数学中的一个有用的工具已知一个根求另一个是方程的根于是由韦达又从观察知也是方程的根此方程的另一根为从而所以例设是给定的非零实数解方程解由观察易知是方程的根又原方程等价于求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中要灵活运用乘法公式和

20、代数式的恒等是方程的根所以即例已知分别是方程的两个根求的值解由于分别是方程的根所以即所以说明此解法的关键在于利用是方程的根从而可以把它们的幂指数降次最后都降到一次这种方法很重要例设一元二次方程的两个实根的和为的值解优秀学习资料 欢迎下载 3求某些方程或方程组的解 例 6 求方程 5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0 的实数解 解 先把 y 看作是常数，把原方程看成是关于 x 的一元二次方程，即 5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0 因为 x 是实数，所以判别式=(8y-2)2-45(5y2+2y+2)0，化简后整理得 y2+2y+1 0，即(y+1)20，从而 y=-1将 y

21、=-1代入原方程，得 5x2-10 x+5=0，故 x=1所以，原方程的实数解为 x=1，y=-1 说明(1)本题也可以把 x 看作常数，把方程写成关于 y 的一元二次方程，再用判别式来求解 (2)本题还可以用配方的方法，把原方程变形为 4(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=0，从而 x=1，y=-1 例 7 解方程组 解 引入待定系数 k，由 k+得 或写成 =(k+4)2-4(k+7)(k-1)=0 即 4证明不等式，求最大值和最小值 次方程的两个根一元二次方程的韦达定理揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系我们可以解决诸如已知一根求另一根求根的代数式的值构造方程证明等式和不等式等

22、问题它是中学数学中的一个有用的工具已知一个根求另一个是方程的根于是由韦达又从观察知也是方程的根此方程的另一根为从而所以例设是给定的非零实数解方程解由观察易知是方程的根又原方程等价于求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中要灵活运用乘法公式和代数式的恒等是方程的根所以即例已知分别是方程的两个根求的值解由于分别是方程的根所以即所以说明此解法的关键在于利用是方程的根从而可以把它们的幂指数降次最后都降到一次这种方法很重要例设一元二次方程的两个实根的和为的值解优秀学习资料 欢迎下载 用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去 是多少？(x-3

23、)2+(kx-3)2=6，即 (k2+1)x2-6(k+1)x+12=0，将它看成关于 x 的一元二次方程因 x 是实数，所以=36(k+1)2-48(k2+1)0，即 k2-6k+10 解 由于 所以 yx2+(y-2)x+y=0，上式可以看成关于 x 的一元二次方程因 x 为实数，所以=(y-2)2-4y20，即 3y2+4y-40，(3y-2)(y+2)0 当 y=-2时，代入 yx2+(y-2)x+y=0 中，得 x=-1，即 x=-1时，y=例 10 实数 a，b，c 满足 a+b+c=2，且对任何实数 t，都有不等式-t2+2tab+bc+ca 9t2-18t+10，证 因为对任何

24、实数 t，有-t2+2t=-(t-1)2+11，9t2-18t+10=9(t-1)2+11，当 t=1 时，便有 次方程的两个根一元二次方程的韦达定理揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系我们可以解决诸如已知一根求另一根求根的代数式的值构造方程证明等式和不等式等问题它是中学数学中的一个有用的工具已知一个根求另一个是方程的根于是由韦达又从观察知也是方程的根此方程的另一根为从而所以例设是给定的非零实数解方程解由观察易知是方程的根又原方程等价于求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中要灵活运用乘法公式和代数式的恒等是方程的根所以即例已知分别是方程的两个根求的值解由于分别是方程的根所以即所以说明此

25、解法的关键在于利用是方程的根从而可以把它们的幂指数降次最后都降到一次这种方法很重要例设一元二次方程的两个实根的和为的值解优秀学习资料 欢迎下载 1ab+bc+ca 1，所以 ab+bc+ca=1 由于 a+b=2-c，于是 ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1)2，于是 a，b 是一元二次方程 t2-(2-c)t+(c-1)2=0 的两个实数根所以=(2-c)2-4(c-1)20，即 3c2-4c0，练习九 1选择：(1)某一元二次方程根的判别式=2m2-6m+5，此方程根的情况是 (A)有两个不相等的实根 (B)有两个相等的实根 (C)没有实根 (D)由实数 m 的值而定 (2

26、)关于 x 的方程 2kx2+(8k+1)x=-8k 有两个实根，则 k 的取值范围是 (3)如果关于 x 的方程 mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于 x 的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0 的实根个数为 (A)2 个 (B)1 个 (C)0 个 (D)不确定 (4)方程(x+1)2+(y-2)2=1 的整数解有 (A)1 组 (B)2 组 (C)4 组 (D)无数组 (5)若 x0是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0)的根，则判别式=b2-4ac 与平方式 M=(2ax0+b)2的关系是 (A)M (B)=M (C)M (D)不确定 2填空：(1)关于 x

27、 的方程(a2-4)x2-2(a+2)x+1=0 恰有一个实根，则 a=_ (2)设 m 是不为 0 的整数，二次方程 mx2-(m-1)x+1=0 有有理根，则 m=_ (3)当 m=_ 时，二次方程(m2-2)x2-2(m+1)x+1=0 有两个不等的实数根 (4)p，q 是正数，如果方程 x2+px+q=0 的两个根之差是 1，那么 p=_ (5)若 x 为实数，且有 4y2+4xy+x+6=0，则使 y 取实数值的所有 x 值的范围是_ 3求方程 5x2-12xy+10y2-6x-4y+13=0 的实数解 4解方程组 次方程的两个根一元二次方程的韦达定理揭示了根与系数的一种必然联系利用

28、这个关系我们可以解决诸如已知一根求另一根求根的代数式的值构造方程证明等式和不等式等问题它是中学数学中的一个有用的工具已知一个根求另一个是方程的根于是由韦达又从观察知也是方程的根此方程的另一根为从而所以例设是给定的非零实数解方程解由观察易知是方程的根又原方程等价于求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中要灵活运用乘法公式和代数式的恒等是方程的根所以即例已知分别是方程的两个根求的值解由于分别是方程的根所以即所以说明此解法的关键在于利用是方程的根从而可以把它们的幂指数降次最后都降到一次这种方法很重要例设一元二次方程的两个实根的和为的值解优秀学习资料 欢迎下载 5已知 a，b 是整数，x2-ax+3

29、-b=0 有两个不相等的实根，x2+(6-a)x+7-b=0 有两个相等的实根，x2+(4-a)x+5-b=0 没有实根，求 a，b 的值 6已知 a 是实数，且关于 x 的方程 x2-ax+a=0 有两个实根 u，v，求证：u2+v22(u+v)第十讲 一元二次不等式的解法 形如 ax2+bx+c 0 或 ax2+bx+c 0(a 0)的不等式叫作一元二次不等式一元二次不等式的解法与二次函数、一元二次方程的根之间有着密切的联系，a0 的情况如表 101 所示。a0 时，可先在不等式两边同乘-1(不等号方向改变)，化为上述情况 本讲将介绍有关处理一元二次不等式问题的方法与技巧 1含参数的不等式

30、的解法 例 1 设 a 为参数，解关于 x 的一元二次不等式 x2(a+3)x+3a 0 解 分解因式(x-3)(x-a)0 (1)若 a3，解为 3xa；(2)若 a3，解为 ax3；(3)若 a=3，原不等式变成(x-3)20，无解 例 2 设 a 为参数，解关于 x 的一元二次不等式 ax2-(a+1)x+1 0 解(1)a=0，原不等式为-x+10，解为 x1 (2)a 0，分解因式得 若 a0，则 次方程的两个根一元二次方程的韦达定理揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系我们可以解决诸如已知一根求另一根求根的代数式的值构造方程证明等式和不等式等问题它是中学数学中的一个有用的工具已知

31、一个根求另一个是方程的根于是由韦达又从观察知也是方程的根此方程的另一根为从而所以例设是给定的非零实数解方程解由观察易知是方程的根又原方程等价于求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中要灵活运用乘法公式和代数式的恒等是方程的根所以即例已知分别是方程的两个根求的值解由于分别是方程的根所以即所以说明此解法的关键在于利用是方程的根从而可以把它们的幂指数降次最后都降到一次这种方法很重要例设一元二次方程的两个实根的和为的值解优秀学习资料 欢迎下载 若 a0，则 例 3 对一切实数 x，不等式 ax2+(a-6)x+2 0 恒成立，求 a 的值 解 由于不等式对一切 x 恒成立，故 a 应该满足 即 所以

32、 2a18 例 4 设有不等式 试求对于满足 0 x2 的一切 x 成立的 t 的取值范围 解 令 y=x2-3x+2，0 x2，则在 0 x2 上 y 能取到的最小 所以 2含绝对值的不等式 例 5 解不等式 x2-x-5|2x-1|x2-x-5 2x-1，次方程的两个根一元二次方程的韦达定理揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系我们可以解决诸如已知一根求另一根求根的代数式的值构造方程证明等式和不等式等问题它是中学数学中的一个有用的工具已知一个根求另一个是方程的根于是由韦达又从观察知也是方程的根此方程的另一根为从而所以例设是给定的非零实数解方程解由观察易知是方程的根又原方程等价于求根的代数

33、式的值在求根的代数式的值的问题中要灵活运用乘法公式和代数式的恒等是方程的根所以即例已知分别是方程的两个根求的值解由于分别是方程的根所以即所以说明此解法的关键在于利用是方程的根从而可以把它们的幂指数降次最后都降到一次这种方法很重要例设一元二次方程的两个实根的和为的值解优秀学习资料 欢迎下载 即 x2-3x-4 0，x2-x-5 1-2x，即 x2+x-60，综上所述，原不等式的解为 x-3或 x4 例 6 解不等式|x2-2x-3|2 解|y|2，即 y2 或 y-2，所以，可以把原不等式分为两个不等式：x2-2x-3 2，x2-2x-3-2 解得 综合上述两个不等式的解，原不等式的解为(图 3

34、13)3可化为一元二次不等式来解的不等式 例 7 解不等式 解 原不等式可化为 (x-1)(x+1)0，所以 x-1或 x1 例 8 解不等式 解 首先，由 次方程的两个根一元二次方程的韦达定理揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系我们可以解决诸如已知一根求另一根求根的代数式的值构造方程证明等式和不等式等问题它是中学数学中的一个有用的工具已知一个根求另一个是方程的根于是由韦达又从观察知也是方程的根此方程的另一根为从而所以例设是给定的非零实数解方程解由观察易知是方程的根又原方程等价于求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中要灵活运用乘法公式和代数式的恒等是方程的根所以即例已知分别是方程的两个

35、根求的值解由于分别是方程的根所以即所以说明此解法的关键在于利用是方程的根从而可以把它们的幂指数降次最后都降到一次这种方法很重要例设一元二次方程的两个实根的和为的值解优秀学习资料 欢迎下载 得-1x3将原不等式变形为 由于上式两边均非负，故两边平方后、整理得 (7-8x)216(x+1)，所以 64x2-128x+330，例 9 设 a0，解不等式 解 因为 a0，的左端非负，因此 x+10下面分两种情形讨论 (1)x 0 时，式左右两边平方得 a2x(x+1)2，整理得 x2+(2-a2)x+1 0 因为=(2-a2)2-4=a2(a2-4)，所以 a2 时，0，对一切 x0 成立a2 时，0

36、，x2+(2-a2)x+1 有实根，而且两根的积为 1，和为非负数 a2-2，所以两根均为正的解为 及 (2)-1x0 时，式变为 式两边平方、整理得 x2+(a2+2)x+1 0 因为=(a2+2)2-40，所以 x2+(a2+2)x+1 有两个不相等的实数根，由韦达定理知，两根均为负由于两根积为 1，较小的根小于-1，较大的根大于-1，所以的解为 综合(1)，(2)，原不等式的解为：当 a2 时，及 次方程的两个根一元二次方程的韦达定理揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系我们可以解决诸如已知一根求另一根求根的代数式的值构造方程证明等式和不等式等问题它是中学数学中的一个有用的工具已知一个

37、根求另一个是方程的根于是由韦达又从观察知也是方程的根此方程的另一根为从而所以例设是给定的非零实数解方程解由观察易知是方程的根又原方程等价于求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中要灵活运用乘法公式和代数式的恒等是方程的根所以即例已知分别是方程的两个根求的值解由于分别是方程的根所以即所以说明此解法的关键在于利用是方程的根从而可以把它们的幂指数降次最后都降到一次这种方法很重要例设一元二次方程的两个实根的和为的值解优秀学习资料 欢迎下载 当 0a2 时，练习十 1填空：(1)不等式 5x-3x2-20 的解为_ (2)不等式 42x2+ax a2的解为_ (3)不等式 x2-4|x|+30 的解为

38、_ (8)若对任何实数 x，不等式 kx2-(k-2)x+k0 恒成立，则 k 的取值范围是_ 2解不等式 x4-3x2+20 3解关于 x 的不等式 4不等式 对一切 x 都成立，求 k 的取值范围 5a 为何值时，只有一个 x 值满足不等式 0 x2+ax+5 4 次方程的两个根一元二次方程的韦达定理揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系我们可以解决诸如已知一根求另一根求根的代数式的值构造方程证明等式和不等式等问题它是中学数学中的一个有用的工具已知一个根求另一个是方程的根于是由韦达又从观察知也是方程的根此方程的另一根为从而所以例设是给定的非零实数解方程解由观察易知是方程的根又原方程等价于求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中要灵活运用乘法公式和代数式的恒等是方程的根所以即例已知分别是方程的两个根求的值解由于分别是方程的根所以即所以说明此解法的关键在于利用是方程的根从而可以把它们的幂指数降次最后都降到一次这种方法很重要例设一元二次方程的两个实根的和为的值解