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1、2022-2023学 年 高 三 月 考 卷 数 学 试 卷（答 案 在 最 后）、单 选 题（每 题 5分,共 60分）1,已 知 集 合.加?，,。,力=ln（2022）,则 4 n 8=（）A.1,2022 B.（1,2022）C.1,2022）D.（C O,+8）【答 案】c【解 析】【分 析】解 指 数 不 等 式、对 数 不 等 式 确 定 集 合 A 3,然 后 由 交 集 定 义 计 算.【详 解】A=乂 y=2x,x 0 y y 1=1,+。）,B-x y=ln（2 0 2 2-x）=x|2022 x 0 二 x|x b c B.c h a C.b a c D.a c b【答
2、 案】C【解 析】【分 析】由 基 的 运 算 法 则 把 寨 的 事 指 数 化 为 相 同,然 后 由 黒 函 数 的 单 调 性 比 较 大 小.【详 解】=2,=8 b=y=9是 增 函 数,6 8 9,:c a b故 选:C.3.复 数 1 为 虚 数 单 位）的 共 辄 复 数 为 Z,则 五 的 虚 部 是（）A.-l B.1 C.-i D.i【答 案】B【解 析】【分 析】先 求 z,再 根 据 共 枕 复 数 写 出 虚 部.2 2(1-z),.【详 解】因 为.、”.、=1一，所 以 它 的 共 鋸 复 数=1+，其 虚 部 为 L1+z(l+z)(l-z)故 选:B4.函
3、 数 x)=4-4 Y 的 大 致 图 象 是()【解 析】【分 析】根 据 和 x f+8 函 数 值 得 正 负 即 可 排 除 C D,再 根 据 1)和/(2)的 函 数 值 即 可 排 除 A.【详 解】X-+8 时,指 数 函 数 增 速 快 于 二 次 函 数,故 兀 1)一+8,图 象 单 调 递 增,故 排 除 C；X-YO 时,4，T,T/f f o,故 7(x)0时 有 两 个 零 点,故 图 象 B符 合,图 象 A不 符 合.故 选:B.4+log3 x,x 0,5.已 知 函 数，(x)=/f ogi 9 4 7即 可4+log3 x,x 0,【详 解】因 为 x)
4、=44.13所 以 f/(log丄 9)=/(1-2108 y,2一 幅 3)=/,_=“1)=4+1呜 1故 选:D.（1 冉 6.已 知 a=b 司,则 3 与 的 夹 角 为（）兀 A.6D.5nT*【答 案】A【解 析】【分 析】由 向 量 夹 角 公 式 计 算 即 可.【详 解】Z-r a b-cos(a,b)=1 1=/耶 Ie 0,句,丄 2a A/3,1 j,b 2x1走,.与 的 夹 角 为 6故 选:A7.对 任 意 x e R,函 数/（=依 3+以 2+7 不 存 在 极 值 点 的 充 要 条 件 是（）A.0 W a W 2 1 B,021 C.a0或 a 21
5、D.或。=21【答 案】A【解 析】【分 析】由 广（x）=o 无 实 数 解 或 有 两 个 相 等 的 实 数 解 得 结 论.【详 解】由 已 知/（x）=3a f+2ax+7,a=0若 a=0,则/（x）=7x是 一 次 函 数,无 极 值 点,若。,八）无 极 值 点,则=4 一 8440，021,综 上,0W aW 21.故 选:A.8.设 仇 c 分 别 是 AABC的 内 角 氏 C 的 对 边,已 知 仅+百 小 in(A+C)=(a+c)(sinA-sinC),设 是 8 C边 的 中 点,且 8 C 的 面 积 为 1,则 丽(次+丽)等 于()A.2 B.2/3 C.2
6、百 D.-2【答 案】B【解 析】【分 析】利 用 正 弦 定 理 边 角 互 化 思 想 以 及 余 弦 定 理 可 求 得 A=二,由 三 角 形 的 面 积 可 求 6得 c=4,由 平 面 向 量 减 法 法 则 可 得 而 ZM+丽/c o s A,进 而 可 得 出 结 果.【详 解】.(+6。卜 in(A+C)=(a+c)(sinA-sinC),.由 正 弦 定 理 可 得:仅+=(a+c)(a c),整 理 可 得:h2+c2-a2=-y(3bc，由 余 弦 定 理 可 得:cosA=一 走,.由 Ac(O,乃),可 得：A=,2 6又 ABC的 面 积 为 1,即 csin=
7、1,/./?c=4,2 6又 通.回+网=(丽 网.(丽+-D ACB(AB+AC)2 _(AB-AC)2(AB+AC)24 4 4-44-AB-AC-=；/T=-=AB-AC=bccosA 2,34故 选:B9.折 纸 发 源 于 中 国 19世 纪,折 纸 传 入 欧 洲.与 自 然 科 学 结 合 在 起 成 为 建 筑 学 院 的 教 具,并 发 展 成 为 现 代 几 何 学 的 个 分 支,我 国 传 统 的 种 手 工 折 纸 风 车(如 图 1)是 从 正 方 形 纸 片 的 一 个 直 角 顶 点 开 始,沿 对 角 线 部 分 剪 开 成 两 个 角，将 其 中 一 个 角
8、 折 叠 使 其 顶 点 仍 落 在 该 对 角 线 上,同 样 操 作 其 余 三 个 直 角 制 作 而 成 的,其 平 面 图 加 图 2,则 下 列 说 法 不 正 确 的 是()E H/F C B.A H-B E=OC.EG=EH+EF D.E C E H=E C E D【答 案】A【解 析】【分 析】选 项 A,由 对 称 性 知,E H/F G,/与 C 即 不 平 行 也 不 重 合;选 项 B,设 风 车 的 中 心 为,由 戸=（0庁-04）（。百 一 0月）,结 合 平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 法 则,展 开 计 算,即 可;选 项 C,由 平 面 向 量 的
9、 加 法 法 则，可 判 断;选 项 D,根 据 平 面 向 量 数 量 积 的 几 何 意 义,可 判 断.【详 解】选 项 A,由 对 称 性 知,E H H F G,而 尸 G 与 C不 重 合,即 A 错 误;选 项 B,设 风 车 的 中 心 为,AH BE=（OH-OA）（OE-OB）=OH O E-dH OB-OA OE+OA OB=0-O H OB-OA OE+0=OF OB-OA OE=0 即 B 正 确;选 项 C,E G=E H+H G=E H+E F 即 C 正 确;选 项 D,EC EH=EC EHcosZCEH E C-O E,EC-ED EC ED cosZC E
10、D=EC O E,即 D 正 确.故 选:A.C L+C1 0.在 AABC中,角 4,B,C的 对 边 分 别 为 m b,c,角 A,B,C成 等 差 数 列,则 b的 取 值 范 围 是（）A.（1,2 B.（1,3 C.2,3 D.2,3）【答 案】A【解 析】7 T【分 析】根 据 角 B,C成 等 差 数 列,求 出 8=,再 利 用 正 弦 定 理 得 到 0;-2 sin A+焉,求 出 A（O,一）,故 利 用 三 角 函 数 图 象 求 出2sin(A+e J e(1,2.【详 解】角 A，B,C成 等 差 数 列,故 25=A+C,因 为 3+A+C=7 T,所 以 8=
11、1,a+c sin A+sin C 2.，.(4 兀、故 由 正 弦 定 理 可 知:/=sinA+sinl A+-Isin-L”3班 伍 i n 旦。s/所 以 A+2 6 因 为 Aw,所 以 2sin A+W e(l,2.故 选:A11.在 平 面 直 角 坐 标 系。）中,角 为 第 四 象 限 角,角 的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 尸（,%),若 sin a+J=丁,则 二()人 4 G-3 0 4+310 103+4io【答 案】c【解 析】3 7 3-410D.【分 析】由 题 意 利 用 任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义 求 得 cosa=x。，由 题 意
12、利 用 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 可 求 cos（a+乡）的 值,进 而 根 据 两 角 差 的 余 弦 公 式 即 可 得 解.6【详 解】在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中,a 为 第 四 象 限 角,角 a 终 边 与 单 位 圆。交 于 点 产（%，），/.cos a=x0,设 ct G(-F 2k,7v,2k 兀),k w Z,则 a+G(-F 2,，F 2/CTT),Z G Z,又 sin(a+J=0,/.a+G(+2k,2 4),G Z,/.cos(a+)=|,.x0=cosa=cosKa+&)一 生=cos(a+令 cos 生+sin(a+?)si 吟=
13、，3 丄=1故 选:C.12.已 知 曲 线 q:y=e*+x,c2;y=-x2+2x+a,若 有 且 只 有 一 条 直 线 与 q,都 相 切,则。=（）A.4 B.3 C.2 D.1【答 案】D【解 析】【分 析】设 出 切 点 坐 标,表 示 出 两 切 线 方 程,根 据 切 线 重 合 得 到 方 程 组,解 得 即 可.【详 解】解:设，与 G 相 切 于（%,炉+）,与 G 相 切 于 点。（，一 4+2+。），由 G：y=e+x,得=e*+1,则 与 G 相 切 于 点 p 的 切 线 方 程 为:y-e*玉=（e、即 y=x（l+e頃）+eV|,由。2=+2+。,y=-2
14、x+2,则 与 C2相 切 于 P 的 切 线 方 程 为:y+2（X（2+2）（x），即 y=2x2x+x；+2x+ci,y=x（2-2）+4+考，因 为 两 切 线 重 合,所 以，l+e=2-2,一%=a+考，由 得=子,代 入 得，4（1 一）9=4a+l2+e2”化 简 得 e 6+4%=一 1一 4。,明 显 可 见，x,=0,a=l时 等 式 成 立.故 选:D二.填 空 题（每 题 5 分,共 20分）13.已 知 函 数/（X）为 定 义 在 R 上 的 函 数 满 足 以 下 两 个 条 件:0）对 于 任 意 的 实 数 x,y恒 有/（x+y）=/（x）+.f（y）+l
15、：（2）x）在 R 上 单 调 递 减.请 写 出 满 足 条 件 的 个/（）=.【答 案】一 x-l(答 案 不 唯 一)【解 析】【分 析】由(2)可 设 析(x)=o x+6(a 0),由/(x+y)=x)+/(y)+l可 求。=一 1,从 而 可 求 解.【详 解】由(1)(2)可 设/(x)=a r+A(a 0),由，(x+y)=/(x)+/(y)+i，可 得 4(+)+=+缈+1=(+)+1,化 简 可 得=一 1.故(x)的 解 析 式 可 为/(x)=a r-l(a 2 2t=sinx+cosx=2(sinxd-cos x)=V2 sin(x+)e 7 2,0,2 2 4y(
16、x)=g(z)=/+/2-i+2=(/+-)2+,=&时，g()皿=忘+2+1=3+忘,即 x)1rax=3+拒.故 答 案 为:3+72.15.设 正 方 形 A8CZ)的 边 长 为 4,动 点 P在 以 AB为 直 径 的 圆 上,则 正.而 的 取 值 范 围 为【答 案】0,32【解 析】【分 析】设 E 是 8 中 点,。是 A 8中 点 即 为 已 知 圆 圆 心,利 用 丽=配,可 得 P C P D P E-4 而 冏 的 最 值 可 由|即 与 半 径 得 出.【详 解】设 E 是 8 中 点,。是 AB中 点 即 为 已 知 圆 圆 心,圆 半 径 为 R=2,ED=E
17、C，WMPC PD=(PE+EC)(PE+ED)=(PE+EC)(PE EC)=PE-E C=PE-4|E0|=4,p 在 圆 上 运 动,所 以 IP。=|+R=4+2=6,归 吐 血 T 即=4-2=2,所 以 P-P方 的 最 大 值 为 6-4=3 2,最 小 值 为 2?-4=0.故 答 案 为:0,32.16.已 知/(可 为/(x)的 导 函 数,且 满 足 f(0)=1,对 任 意 的 x总 有 2 r(x)“x)2,则 不 等 式”対+2 2 3 1 的 解 集 为-【答 案】0,”)20【解 析】/f(x)+2【分 析】构 造 新 函 数 g(x)=4,利 用 已 知 条
18、件 2/(/(2,可 以 判 断 e2g(尤)单 调 递 增,利 用 g(x)的 单 调 性 即 可 求 出 不 等 式 的 解 集【详 解】设 函 数 g(x)=1 7,则 e2g(x)f1(x)-e2-e-1 7(x)+2 _ 2/(x)-/(x)-2(x 2e2 72e?又.2/(x)/(x)2.g(x)0所 以 g(x)上 单 调 递 增,又 g(0)=/(0)+2=3故 不 等 式/(x)+2 2 3 可 化 为 g(x)之 g(。)由 g(x)的 单 调 性 可 得 该 不 等 式 的 解 集 为 0,+8).故 答 案 为:0,+00)三、解 答 题(17题 10分,18、19、
19、20.21、22题 每 题 12分,共 70分)17.已 知 不 等 式 4 1 2 4 0的 解 集 为 集 合 A,不 等 式 4x 机 2+4 4 0 的 解 集 为 集 合 8.(1)求 集 合 A、8;(2)当 0 时,若 x e A 是 x e B 成 立 的 充 分 不 必 要 条 件,求 实 数 用 的 取 值 范 围.【答 案】(1)A=x卜 2 x 0 时,8=x|2 机 x 2+m;20时,B=xl+m x 2-m-m=0,B=x|x=2(2)(4,+a).【解 析】【分 析】(1)别 解 一 元 二 次 不 等 式 可 得 集 合 A、求 出 4x n?+4=0 的 两
20、 根 再 比 较 大 小 可 得 集 合 8；(2)根 据 题 意 可 得 集 合 A 是 集 合 B的 真 子 集,结 合 数 轴 列 不 等 式 组 即 可 求 解.【详 解】(1)由 4X 1 2 K 0,可 得(X+2)(X-6)W 0 解 得:-2W xW 6.故 集 合 A=x-2%0 时,2 加 2+机,由 x2-4 x-m2+4 0 得 2 根 x 2+根,故 集 合 3=|2 根 工 42+z.当 22+2,由 一 4%?+4 0 得:2+74 2?，故 集 合 8=乂 2+2 2?.当!=0 时,由 4x+4 0 时,集 合 3=2 2 2+i.A是 5 成 立 的 充 分
21、 不 必 要 条 件,/.=1|一 2 6 是 8=目 2-7%2+?的 真 子 集,则 有 2-m 6解 得:加 2 4.又 当 川=4 时,B=x2-m x 2+m=x-2x0)的 最 小 正 周 期 为,将 函 数=X)的 图 象 向 左 平 移 S 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 y=g(x)的 图 象.求(I)函 数 y=g(x)的 表 达 式,并 写 出 它 的 单 调 区 间:(2)函 数 y=g(x)在 区 间,二|上 的 值 域.【答 案】(1)g(x)=6 c o s 2 x,单 调 减 区 间 为 k兀,k兀(ZeZ);单 调 增 区 间 为 k兀,k兀(e Z)
22、；【解 析】【分 析】(1)由 周 期 求 得。,再 由 图 象 变 换 求 得 g(x)的 表 达 式,然 后 利 用 余 弦 函 数 性 质 得 单 调 区 间:(2)利 用 余 弦 定 理 单 调 性 得 值 域;【小 问 1详 解】因 为/(x)=cos cox+2sin cox=cos cox sin x+2sin cox2 2走 cos ax+sin&%=V3 sin cox+的 最 小 正 周 期 为 万,所 以 y=2,即/(x)=百 sin2x+2 J,将 函 数(x)=百 sin2x+?J 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 长 度 后,函 数 y=g(x)=Gsin
23、2 x+=V3cos2x,6 I 6/6由 2 2 x 2 Q r+万,得 刀 V x;r+,2由 2k兀 兀 4 x 4 2k兀 得 k兀 x 0,解 得 x 3 或 x-1；由)0,解 1 c x 3.；./(x)的 单 调 增 区 间 为(-8,-1)和(3,+0 0):单 调 减 区 间 为(一 1,3).(2)令 g(x)=/(x)6 x?-15x+3j=x3-x2+6x+Z-3,则 原 题 意 等 价 于 g(x)图 象 与 x轴 有 三 个 交 点./=3x2-9x+6=3(x-l)(x-2),.由 g(x)0,解 得 x2 或 xl；由 g(x)0,解 得 lx2.二 g(x)
24、在 x=1时 取 得 极 大 值 g=。丄;g(x)在 x=2时 取 得 极 小 值 g=b-l.依 题 意 得 2,解 得 一 1.b-l/3 sin Acos B=0,即-cos A cos 8+sin A sin 8+cos A cos 8-G sin A cos 8=0，sin A w 0,*tan 3=百，(2)由 余 弦 定 理 可 知 2=Q2+C22QCCOS3,RATf#b2-a2+c2-a c-(a+c)2-3ac 1 3x|-=l-3 x|=丄,当 且 仅 当 a=c=一 时 取 等 号,2.的 取 值 范 围 是【点 睛】本 题 考 查 了 三 角 恒 等 变 形 的
25、应 用,由 余 弦 定 理 及 基 本 不 等 式 求 边 的 范 围,属 于 中 档 题.2 1.已 知 函 数/(x)=0 2x+l,x W 0(1)已 知 直 线 丁=，与 函 数，(x)的 图 象 交 于 点,B,求 A,B两 点 间 距 离 的 最 小 值:(2)若 方 程，(x)=ax有 三 个 不 同 的 实 数 根,x2,x3,且 为 求 出 切 线 方 程,令 y=0可 得 两 条 平 行 线 与 x 轴 的 交 点 坐 标 可 得 答 案;Inx,x 0(2)设 g(x)=0 时,g(无)=-利 用 导 数 得 到 图 象,结 合 图 象 可 得 答 案.【小 问 1详 解
26、】设 与/(x)=In x相 切 且 与 y=2x+l平 行 的 直 线 方 程 为 y=2 x+,切 点 为(x0,y0),所 以 由%=lnxo 一 j+得=In2 1,所 以 切 线 方 程 为 y=2x 1 In2,2=丄 xo令 y=0 可 得 两 条 平 行 线 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为=丄,%=1+In 2,2 2 2所 以 I幀 却 I m m.=i+2；【小 问 2 详 解】方 程/(力=,显 然 x=0不 为 该 方 程 的 实 数 根,Inx-,%0设 g(x)X,2 H,x 0 时,g(x)=,则 g(x)=2-由 g(x)=0,可 得 x e,g(x)0,可
27、 得 0 x 0,所 以 g(尤)在(0,e)上 单 调 递 增，在(e,+巧 上 单 调 递 减,且 当 1 时,g(x)0,当 X-+8 时,g(x)-o,从 而 作 出 g(x)的 大 致 图 象,由 图 可 知 当 0 a 丄 时，直 线 y 与 函 数 的 图 象 有 3个 交 点,e即 方 程 g(x)=a 有 三 个 不 同 的 实 数 根,由 2+丄=丄,得 x=,由 2+丄=0,得=一 1,所 以 内(；：-,一：,x e l-2e x 2 1l 2e 2J所 以 中 皿 出=!丄 3=百.士”=g=2%+1 丄,0.x2+x3 x2+x3 x2+x3 11 _ 2e 丿 2
28、2.已 知 函 数(x)=a-4X MR.(1)求 函 数/(X)的 单 调 区 间:(2)当。=1 时,求 证:f(x)+X2+1 0.【答 案】(1)答 案 见 解 析;(2)证 明 见 解 析.【解 析】【分 析】(1)求 导 后,对。分 类 讨 论,根 据 导 数 的 符 号 可 得 结 果;(2)(x)=/(x)+x2+l=ev-4x+x2+l,利 用 导 数 求 出 g(x)的 最 小 值 大 于 即 可 得 证 明 不 等 式 成 立.【详 解】(1)/,(x)=ze-4,当“WO时,/(x)0 时，令 r(x)0,可 得 xlna a所 以/(力 在(-g,ln”上 单 调 递
29、 减,在 r 上 单 调 递 增.综 上 所 述:当“40时，/(的 增 区 间 为(0。,+8)；当 a 0 时,小)的 增 区 间 为(%+8),减 区 间 为(一 8,In：).(2)证 明；当 a=l 时,x)=e-4x,令 g(x)=/(x)+x2+1=ev 4x+x2+1,g(x)=e*-4+2x,令 力(x)=4+2x，因 为“(x)=+2 0 恒 成 立，所 以 g(x)在 R上 单 调 递 增，g(O)=-3 0,由 零 点 存 在 性 定 理 可 得 存 在%e(0,1),使 得 g(x0)=O,即 e。4+2x0=0,当 X G(-8,Xo)时,g(x)O,g(x)单 调 递 增,所 以 g(尤)m in=g(%)=1 4+X；+1=4-2%-4%+/2+1=X02-6 X0+5,X0 G(O,1),由 二 次 函 数 性 质 可 得 g(血 g(l)=O,所 以 g(x)0,即/(x)+f+i o,得 证.