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1、名师总结 优秀知识点 等差数列的性质、求和知识点及训练 重点：掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法 难点:对等差数列的综合考察 一知识梳理 1.定义：daann 1（d为常数）（2n）；2等差数列通项公式：*11(1)()naanddnad nN ，首项:1a，公差:d，末项:na 推广：dmnaamn)(从而mnaadmn；3等差中项（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：2baA或baA2（2）等 差 中 项：数 列na是 等 差 数 列)2(211-naaannn212nnnaaa 4等差数列的前n 项和公式：1()2nnn aas1(1)2n nna
2、d211()22dnad n2AnBn（其中A、B是常数）（当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）5等差数列的判定方法 名师总结 优秀知识点（1）定义法：若daann 1或daann 1(常数Nn)na是等差数列 （2）等 差 中 项：数 列na是 等 差 数 列)2(211-naaannn212nnnaaa （3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。6等差数列的证明方法 定义法：若daann 1或daann 1(常数Nn)na是等差数列 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到 5 个元素：1a
3、、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2）通常把题中条件转化成只含1a和d的等式！8.等差数列的性质：（1）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（2）当mnpq 时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp 时，则有2mnpaaa.(3)若na是等差数列，则232,nnnnnSSSSS，也成等差数列（公差为md）图示：mmmmmmSSSmmSSmmSmaaaaaaaa323231221321 法难点对等差数列的综合考察一知识梳理定义为常数等差数列通项公式
4、首项推广从而等差中项公差末项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数当时是关于的二次式且常数列其中是常数数列是等差数列其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素及其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求通常把题中时则有特别地当时则有若是等差数列则也成等差数列公差为图示名师总结优秀知识点若等差数列的前和分别为且则若为等差数列则为等差数列求的最值法一直接利用二次函数的对称性由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数名师总结 优秀知识点（4）若等差数列na、nb的前n和分
5、别为nA、nB，且()nnAf nB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.（5）若na、nb为等差数列，则nnab为等差数列(6)求nS的最值 法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取最大值（或最小值）。若S p=S q则其对称轴为2pqn 法二：“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和 即当，001da 由001nnaa可得nS达到最大值时的n值“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即 当，001da 由001nnaa可得nS达到最小值时的n
6、值 或求na中正负分界项（7）设数列na是等差数列，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项的和，nS是前 n 项的和，则：1.当项数为偶数n2时，奇偶SSdn，其中 n 为总项数的一半，d 为公差；2、在等差数列na中，若共有奇数项12 n项，则 121111(1)(21)1nnnnnSnaSSSnaSnSnaSSaSn奇奇偶奇偶奇偶偶 注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：法难点对等差数列的综合考察一知识梳理定义为常数等差数列通项公式首项推广从而等差中项公差末项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数当时是关于的二次式且常数列其中是常数数列是等
7、差数列其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素及其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求通常把题中时则有特别地当时则有若是等差数列则也成等差数列公差为图示名师总结优秀知识点若等差数列的前和分别为且则若为等差数列则为等差数列求的最值法一直接利用二次函数的对称性由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数名师总结 优秀知识点 基本量法：即运用条件转化为关于1a和()d q的方程；巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量【类型 1】求等差数列通项【例 1】.等差数列na中，51210,31
8、aa，求1,nd aa.【变式 1】四个数成等差数列，它们的和为 28，中间两项的积为 40，求这四个数.【例 2】等差数列na中，381312aaa，381324a a a ，求通项公式na.【变式 1】等差数列na中，51510,25,aa则25a的值是 法难点对等差数列的综合考察一知识梳理定义为常数等差数列通项公式首项推广从而等差中项公差末项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数当时是关于的二次式且常数列其中是常数数列是等差数列其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素及其中称作为
9、基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求通常把题中时则有特别地当时则有若是等差数列则也成等差数列公差为图示名师总结优秀知识点若等差数列的前和分别为且则若为等差数列则为等差数列求的最值法一直接利用二次函数的对称性由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数名师总结 优秀知识点【变式 2】已知等差数列中61018aa 31a，则13a 【变式 3】等差数列na中，135105aaa，24699aaa，则20a 【变式 4】若等差数列na的前 5 项和525S，且23a，则7a 【例 3】已知数列中，=1，则数列的通项公式为 _ 【变式 1】已知数列中，=2,=3，其前 n项和满足(n2
10、，nN)，则数列的通项公式为 ()A=n B=C=n-l D=n+l 【例 4】在数列na和数列nb中，nS为数列na的前 n 项和，且满足22nSnn，数nana1a1(1)2nnnaannana1a2anS1121nnnSSS*nanana2nnana法难点对等差数列的综合考察一知识梳理定义为常数等差数列通项公式首项推广从而等差中项公差末项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数当时是关于的二次式且常数列其中是常数数列是等差数列其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素及其中称作为基本
11、元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求通常把题中时则有特别地当时则有若是等差数列则也成等差数列公差为图示名师总结优秀知识点若等差数列的前和分别为且则若为等差数列则为等差数列求的最值法一直接利用二次函数的对称性由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数名师总结 优秀知识点 列nb的前 n 项和nT满足13nnTnb，且11b （1）求数列na的通项公式（2）求数列nb的通项公式 【例 5】数列na中，11551,nnnaaaa，求数列na的通项公式；【类型 2】求等差数列前 n 项和【例 1 已知na为等差数列，nS为其前n项和，*nN，若32016,20,aS则10S的值为_ 法难
12、点对等差数列的综合考察一知识梳理定义为常数等差数列通项公式首项推广从而等差中项公差末项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数当时是关于的二次式且常数列其中是常数数列是等差数列其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素及其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求通常把题中时则有特别地当时则有若是等差数列则也成等差数列公差为图示名师总结优秀知识点若等差数列的前和分别为且则若为等差数列则为等差数列求的最值法一直接利用二次函数的对称性由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函
13、数名师总结 优秀知识点【变式 1】如果是一个等差数列的前 n 项和，其中 a，b，c 为常数，则 c的值为 【例 2】（10 年全国文 6）等差数列na中，34512aaa，那么na的前 7 项和7S 【变式 1】已知数列na、nb都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为1a、1b，且511 ba，*11,Nba设nbnac（*Nn），则数列nc的前 10 项和等于（）A55 B70 C85 D100 【例 3】na通项公式为21nann，则nS _ 2nSanbnc法难点对等差数列的综合考察一知识梳理定义为常数等差数列通项公式首项推广从而等差中项公差末项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或
14、等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数当时是关于的二次式且常数列其中是常数数列是等差数列其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素及其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求通常把题中时则有特别地当时则有若是等差数列则也成等差数列公差为图示名师总结优秀知识点若等差数列的前和分别为且则若为等差数列则为等差数列求的最值法一直接利用二次函数的对称性由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数名师总结 优秀知识点【变式 1】na通项公式为11nann 则nS na通项公式为11nann，若其前 n 项和为 10，
15、则项数 n 为 【例 4】等差数列na中，249nan，前 n 项和记为nS，求nS取最小值时 n 的值.【变式】差数列 na中，213nan，则n 时nS有最大值；【类型 3】等差数列性质的应用【例 1】（1）等差数列na中，230,100,mmSS求3mS的值.（2）等差数列na中，481,4SS，求17181920aaaa的值.【例2】（2009年辽宁理科14）等差数列na中，na的前n项和为nS，如果369,36SS，则789aaa 法难点对等差数列的综合考察一知识梳理定义为常数等差数列通项公式首项推广从而等差中项公差末项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差
16、数列的前项和公式其中是常数当时是关于的二次式且常数列其中是常数数列是等差数列其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素及其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求通常把题中时则有特别地当时则有若是等差数列则也成等差数列公差为图示名师总结优秀知识点若等差数列的前和分别为且则若为等差数列则为等差数列求的最值法一直接利用二次函数的对称性由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数名师总结 优秀知识点 【变式 1】（2009 年辽宁文）等差数列 na中，na的前 n 项和为nS，366,24,SS，则9a 【变式 2】已知等差
17、数列na中，12345612,18,aaaaaa则789aaa 【变式 3】已知数列na和nb的前 n 项和分别为,nnA B，且7+1,427nnAnBn求 1111ab的值.【例 3】等差数列的前 n 项和记为，若为一个确定的常数，则下列 各数中一定是常数的是（）C B C D 【变式 1】等差数列中，则（）nanS2610aaa6S11S12S13Sna1912,24,aa 9S 法难点对等差数列的综合考察一知识梳理定义为常数等差数列通项公式首项推广从而等差中项公差末项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数当时是关于的二次式且常数列其中
18、是常数数列是等差数列其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素及其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求通常把题中时则有特别地当时则有若是等差数列则也成等差数列公差为图示名师总结优秀知识点若等差数列的前和分别为且则若为等差数列则为等差数列求的最值法一直接利用二次函数的对称性由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数名师总结 优秀知识点 C-36 B48 C54 D72 【变式 2】等差数列中，已知前 15 项的和，则等于（）A B12 C D6 【变式 3】在等差数列中，若 则 【类型 4】证明数列是等差数列 【例
19、 1】知数列na的前 n 项和为21+2nnnS，求通项公式na并判断是否为等差数列 na9015S8a245445na99,S 46aa法难点对等差数列的综合考察一知识梳理定义为常数等差数列通项公式首项推广从而等差中项公差末项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数当时是关于的二次式且常数列其中是常数数列是等差数列其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素及其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求通常把题中时则有特别地当时则有若是等差数列则也成等差数列公差为图示名
20、师总结优秀知识点若等差数列的前和分别为且则若为等差数列则为等差数列求的最值法一直接利用二次函数的对称性由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数名师总结 优秀知识点 【例 2】在数列中，,设证明是等差数列 【例 3】已知数列na的前 n 项和为nS，且满足)2(021nSSannn，211a，求证：数列nS1是等差数列；求数列na的通项公式。【变式 1】数列na中，11551,nnnaaaa，判断1na 是否为等差数列.【例 4】数列na中，144nnaa，12nnab；1）求证nb是等差数列；nannnaaa22,111,21nnnabnb法难点对等差数列的综合考察一知识梳理定义为常数等差数
21、列通项公式首项推广从而等差中项公差末项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数当时是关于的二次式且常数列其中是常数数列是等差数列其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素及其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求通常把题中时则有特别地当时则有若是等差数列则也成等差数列公差为图示名师总结优秀知识点若等差数列的前和分别为且则若为等差数列则为等差数列求的最值法一直接利用二次函数的对称性由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数名师总结 优秀知识点 2）求na的通项公式.【
22、变式 1】已知数列na满足152a，114122nnnaana（1）设11nnba，求证nb为等差数列；（2）求na通项；法难点对等差数列的综合考察一知识梳理定义为常数等差数列通项公式首项推广从而等差中项公差末项如果成等差数列那么叫做与的等差中项即或等差中项数列是等差数列等差数列的前项和公式其中是常数当时是关于的二次式且常数列其中是常数数列是等差数列其中是常数等差数列的证明方法定义法若或常数是等差数列提醒等差数列的通项公式及前和公式中涉及到个元素及其中称作为基本元素只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求通常把题中时则有特别地当时则有若是等差数列则也成等差数列公差为图示名师总结优秀知识点若等差数列的前和分别为且则若为等差数列则为等差数列求的最值法一直接利用二次函数的对称性由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数