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1、学习必备 欢迎下载 第 4 章 导数、积分、方程等的数值计算 在上一章的符号运算中已经指出，有些数学问题的解可以用一个解析式（数学公式）精确地表示出来，而另一些问题则不能。遇到这种情况时，人们常会转而去求它的近似数值解，所谓近似数值解是指按照某种逼近思路，推导出相应的迭代公式，当给定一个适当的初始值（或称初始点）后，由迭代公式就可产生一系列的近似解（点），从而一步一步的去逼近原问题的精确解（点）。在迭代过程中所有的计算（按迭代公式）都是对具体数值进行的，或者说计算的主要对象是具体的数值（主要是实数）。4.1 函数值与导数值的计算 4.1.1 函数值的计算 在 Mathematica 系统里,计
2、算函数值的过程同数学里的情况基本相似 Note：先定义函数表达式，再作变量替换。4.1.2 导数值的计算 Note：先定义函数表达式，再求导函数，最后作变量替换。4.2 定积分与重积分的数值计算 4.2.1 定积分的数值计算 在 Mathematica 系统中为我们提供的对定积分进行近似数值计算的函数是NIntegrate,它的调用格式如下:NIntegratef(x),x,a,b 式中 f(x)为被积分函数,x 为积分变量,a 为积分下限,b 为积分上限,有时 a 可取到-,b 可取到+4.2.2 重积分的数值计算 1.矩形区域 G:axb,c yd 上的二重积分 学习必备 欢迎下载 Not
3、e:先对 y 积分，再对 x 积分。2.一般（有界）区域上的二重积分 NIntegratefx,y,x,x1,x2,y,y1x,y2x Or NIntegratefx,y,y,y1,y2,x,x1y,x2y Zhou er 3.一般区域上的多重积分 4.3 方程的近似根 解析式数学公式精确地表示出来而另一些问题则不能遇到这种情况时人们常会转而去求它的近似数值解所谓近似数值解是指按照某种逼近思路推导出相应的迭代公式当给定一个适当的初始值或称初始点后由迭代公式就可产生一系列或者说计算的主要对象是具体的数值主要是实数函数值与导数值的计算函数值的计算在系统里计算函数值的过程数学里的情况基本相似先定义函
4、数表达式再作变量替换导数值的计算先定义函数表达式再求导函数最后作变量替换定积式如下式中为被积分函数为积分变量为积分下限为积分上限有时可取到可取到重积分的数值计算矩形区域上的二重积分先对积分再对积分学习必备欢迎下载一般有界区域上的二重积分一般区域上的多重积分方程的近似根学习必备欢学习必备 欢迎下载 牛顿迭代法的几何解释 在0 x处作曲线的切线,切线方程为 y=f(0 x)+f (0 x)(x-0 x).令 y=0,可得切线与 x 轴的交点横坐标 1x=0 x-)()(00 xfxf,这就是牛顿法的迭代公式.因此,牛顿法又称切线法.分析法（零点存在定理）图形法 随机生点法 解析式数学公式精确地表示
5、出来而另一些问题则不能遇到这种情况时人们常会转而去求它的近似数值解所谓近似数值解是指按照某种逼近思路推导出相应的迭代公式当给定一个适当的初始值或称初始点后由迭代公式就可产生一系列或者说计算的主要对象是具体的数值主要是实数函数值与导数值的计算函数值的计算在系统里计算函数值的过程数学里的情况基本相似先定义函数表达式再作变量替换导数值的计算先定义函数表达式再求导函数最后作变量替换定积式如下式中为被积分函数为积分变量为积分下限为积分上限有时可取到可取到重积分的数值计算矩形区域上的二重积分先对积分再对积分学习必备欢迎下载一般有界区域上的二重积分一般区域上的多重积分方程的近似根学习必备欢学习必备 欢迎下载
6、 4.4 常微分方程数值解 解析式数学公式精确地表示出来而另一些问题则不能遇到这种情况时人们常会转而去求它的近似数值解所谓近似数值解是指按照某种逼近思路推导出相应的迭代公式当给定一个适当的初始值或称初始点后由迭代公式就可产生一系列或者说计算的主要对象是具体的数值主要是实数函数值与导数值的计算函数值的计算在系统里计算函数值的过程数学里的情况基本相似先定义函数表达式再作变量替换导数值的计算先定义函数表达式再求导函数最后作变量替换定积式如下式中为被积分函数为积分变量为积分下限为积分上限有时可取到可取到重积分的数值计算矩形区域上的二重积分先对积分再对积分学习必备欢迎下载一般有界区域上的二重积分一般区域
7、上的多重积分方程的近似根学习必备欢学习必备 欢迎下载 4.5 偏微分方程求解（略）解析式数学公式精确地表示出来而另一些问题则不能遇到这种情况时人们常会转而去求它的近似数值解所谓近似数值解是指按照某种逼近思路推导出相应的迭代公式当给定一个适当的初始值或称初始点后由迭代公式就可产生一系列或者说计算的主要对象是具体的数值主要是实数函数值与导数值的计算函数值的计算在系统里计算函数值的过程数学里的情况基本相似先定义函数表达式再作变量替换导数值的计算先定义函数表达式再求导函数最后作变量替换定积式如下式中为被积分函数为积分变量为积分下限为积分上限有时可取到可取到重积分的数值计算矩形区域上的二重积分先对积分再对积分学习必备欢迎下载一般有界区域上的二重积分一般区域上的多重积分方程的近似根学习必备欢