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1、学习必备 欢迎下载 第七讲 立体几何 知识概要 一、直线、平面之间的位置关系 立体几何中的位置关系，主要考查直线与直线的平行和垂直，直线与平面的平行和垂直，平面与平面的平行和垂直。在证明这些平行和垂直关系时，常常可以通过以下三个方面入手：（1）利用定义或判定证明。如证明直线与平面平行，可利用定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行（可用于反证）。也利用判定：如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）利用平行或垂直关系证明。如证明线线垂直常用三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、（3）利用向量法证明。如对于直线1l和2l，可设1l，2l的方向向量为1a，2a。当21aa，0时1l/2l；当021aa时，21ll。二、空间中的角和距离（1）求异面直线所成角 平面法：过点 P 作1l/1l，2l/2l,则1l与2l的夹角就是1l与2l的夹角。向量法：设1l，2l的方向向量为1a，2a，则1l与2l的夹角为2121arccosaaaa。注意：两条异面直线所成角的范围是2,0。（2）求直线与平面所成角 定义法：若直线l在平面内的射影是直线l，则l与l的夹角就是l与的夹角。向量法：设直线l的方向向量为a，n是平面的法向量，则直线l与平面所成的角为nanaarcsin。最小角定理
3、：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成角中最小的角。（3）求二面角 定义法：在二面角-AB-的半平面任取一点 P，过 P 作 AB 的垂线，垂足为 C，再过 P 作的垂线，垂足为 D。连结 CD，则ABCD，故PCD为二面角-AB-的平学习必备 欢迎下载 面角。面积射影定理：设二面角-AB-的大小为，平面内一个平面图形 M 的面积为 S,M,在内的射影图形的面积为S，则SScos，当为钝角时取“-”号，否则取“+”。三面角的余弦定理：三面角 P-ABC中，BPC，CPA，APB,又二面角 BPAC=,则sinsincoscoscoscos。向量法：设m，n分别
4、是二面角-AB-的面，的法向量，则就是二面角-AB-的平面角或其补角的大小，其中nmnmn,mcos（4）求两点间距离 将其置于某个三角形中，通过解三角形进行计算。建立空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式计算。用异面直线上两点间的距离公式，如图，cos2MN2222mnnmd，其中，是二面角-AB-的平面角，点 M,N 分别在半平面，内且ABMA，ABNA，有|AB|=d,|MA|=m，|NB|=n（5）求点到直线的距离 作出垂线段，直接计算。利用平面几何知识，如转化为求三角形的高。（6）求点到平面的距离 定义法：先作出垂线段，再求其长度。体积法：转化为求一个棱锥的高SVh3，其中 V为棱
5、锥的体积，S 为底面面积，h 为底面上的高。向量法：设 P 为平面外一点，PA 是平面的一条斜线（A 为斜足），n是平面的法向量，则点 P 到平面的距离nPAnd（7）求异面直线距离 定义法：作出两直线的公垂线段，再求其长度。转化法：将异面直线的距离转化为平行线面间的距离或平行平面间的距离。线的平行和垂直直线与平面的平行和垂直平面与平面的平行和垂直在证明这些平行和垂直关系时常常可以通过以下三个方面入手利用定义或判定证明如证明直线与平面平行可利用定义如果一条直线与一个平面没有公共点则这条直线面平行利用平行或垂直关系证明如证明线线垂直常用三垂线定理在平面内的一条直线如果它和这个平面的一条斜线的射影
6、垂直那么它也和这条斜线垂直利用向量法证明如对于直线和可设的方向向量为时当时当二空间中的角和距离求成角的范围是求直线与平面所成角定义法若直线在平面内的射影是直线则与的夹角就是与的夹角向量法设直线的方向向量为是平面的法向量则直线与平面所成的角为最小角定理平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和学习必备 欢迎下载 极值法：构造异面直线上两点间距离的函数，然后求函数的最小值。向量法：设n是异面直线1l，2l的法向量，点 A,B 分别在直线1l，2l上，则两直线的距离nABnd 三、多面体 棱柱和棱锥是两种基本的多面体，它们的基本概念和性质，高中课本已作了详尽的介绍，在此不再重述。这里主要介绍几
7、个出现频率较高的多面体的有关性质以及关于多面体的一些重要定理。长方体的性质.长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和。.长方体的一条对角线与其一端点上三条棱的夹角是,，则 1coscoscos222.长方体的一条对角线与过其一端点的三个面的夹角分别是321,，则 1sinsinsin322212 四面体的性质.任何一个四面体都有外接球和内切球。.设四面体 ABCD 表面积为 S，内切球半径为 r，则它的体积为 V=Sr/3.设四面体 ABCD 各面上的高分别为4321,hhhh，内切球半径为 r，则 432111111hhhhr.(斯坦纳定理)在四面体 ABCD中，体积为 V，记 AB 与 C
8、D 所成角为，距离为 d，则CDABVd6sin,CDABADBCBDAC2)()(cos2222 其中，正四面体（四个面都是全等的正三角形的四面体）又具有以下特殊性质：.设正四面体的棱长为 a，高为 h，外接球半径为 R，内切球半径为 r，体积为 V，则 ah36，aR46，ar126，3122aV，且 R+r=h，R=3r.正四面体相邻两面的二面角为33arccos。.正四面体对棱间的距离是棱长的22倍。线的平行和垂直直线与平面的平行和垂直平面与平面的平行和垂直在证明这些平行和垂直关系时常常可以通过以下三个方面入手利用定义或判定证明如证明直线与平面平行可利用定义如果一条直线与一个平面没有公
9、共点则这条直线面平行利用平行或垂直关系证明如证明线线垂直常用三垂线定理在平面内的一条直线如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直那么它也和这条斜线垂直利用向量法证明如对于直线和可设的方向向量为时当时当二空间中的角和距离求成角的范围是求直线与平面所成角定义法若直线在平面内的射影是直线则与的夹角就是与的夹角向量法设直线的方向向量为是平面的法向量则直线与平面所成的角为最小角定理平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和学习必备 欢迎下载 欧拉定理与正多面体.欧拉定理：简单多面体的顶点数 V，棱数 E，面数 F满足：V+F-E=2.正多面体有且仅有 5 种：正四面体，正六面体（正方体），正八面体，正
10、十二面体和正二十面体。线的平行和垂直直线与平面的平行和垂直平面与平面的平行和垂直在证明这些平行和垂直关系时常常可以通过以下三个方面入手利用定义或判定证明如证明直线与平面平行可利用定义如果一条直线与一个平面没有公共点则这条直线面平行利用平行或垂直关系证明如证明线线垂直常用三垂线定理在平面内的一条直线如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直那么它也和这条斜线垂直利用向量法证明如对于直线和可设的方向向量为时当时当二空间中的角和距离求成角的范围是求直线与平面所成角定义法若直线在平面内的射影是直线则与的夹角就是与的夹角向量法设直线的方向向量为是平面的法向量则直线与平面所成的角为最小角定理平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和