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1、精品资料 欢迎下载 第三节 曲面及其方程 一 曲面方程的概念 若一个三元方程(,)0F x y z (1)和曲面S之间满足:(1)S上的任意点的坐标(,)x y z都满足(1)式;(2)如果一点P的坐标(,)x y z满足(1)式,则P在S上,则称(1)式为S的方程,称S为(1)式的图形.例 1 (球面的标准方程)球心在点0000,Mxyz且半径为R的球面的方程为 2222000 xxyyzzR.若球心在原点,则球面方程为 2222xyzR.例 2 设有点1,2,3A和2,1,4B,求线段AB的垂直平分面的方程.解 设点,M x y z为所求平面上的任一点,则AMBM,即 2222221232
2、14xyzxyz ,于是得26270 xyz,此即所求.精品资料 欢迎下载 例 3 (球面的一般式)方程 2220 xyzDxEyFzG 表示一个球面,球心为,222DEFP,半径为 222142rDEFG.当22240DEFG时,该球面为实球.当22240DEFG时,该球面为点球,即原方程表示一点,222DEFP.当22240DEFG时,该球面为虚球,即原方程无实轨迹.例如,在222240 xyzxy中,2D ,4E,0F,0G.于是球心为1,2,0P,半径为5r.二 旋转曲面 平面上的一条曲线C绕该平面上的一条直线l旋转一周所形成的曲面S叫做旋转曲面.在yz平面上的曲线:,0Cfy z 绕
3、z轴旋转所得的旋转曲面的方程为 22,0fxyz.C绕y轴旋转所成的旋转面的方程为 22,0fyxz.在zx平面上的曲线:,0Cf z x 绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程为 22,0f zxy.C绕x轴旋转所成的旋转面的方程为 22,0fyzx.足式如果一点的坐标满足式则在上则称式为的方程称为式的图形例球面的标准方程球心在点且半径为的球面的方程为若球心在原点则球面方程为例设有点和求线段的垂直平分面的方程解设点为所求平面上的任一点则即于是得此即所程表示一点当时该球面为虚球即原方程无实轨迹例如在中于是球心为半径为二旋转曲面平面上的一条曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面在平面上
4、的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的下载在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的旋转面的方程为例直线绕另一条与相交的直线旋转一周所得的旋转面叫做圆锥面两直线的交点叫做圆锥面的顶点两直线的夹角叫做圆锥面的半顶角试建立顶点在精品资料 欢迎下载 在xy平面上的曲线:,0Cf x y 绕x轴旋转所得的旋转曲面的方程为 22,0f xyz.C绕y轴旋转所成的旋转面的方程为 22,0fxzy.例 4 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得的旋转面叫做圆锥面.两直线的交点叫做圆锥面的顶点,两直线的夹角02 叫做圆锥面的半顶角.试建立顶点在原点O、旋转轴为z轴且半顶角为的圆
5、锥面的方程.解 在yz平面上,直线L的方程为cotzy.于是所求圆锥面的方程为22cotzxy,令cota,则2222zaxy为所求.例 5 将xz平面上的双曲线22221xzac绕x轴旋转所生成的旋转面为2222221yzxac,即222221xyzac,绕z轴旋转所生成的旋转面为2222221xyzac,即222221xyzac.将xy平面上的椭圆22221xyab绕y轴旋转所生成的旋转面为2222221xzyab,即222221xzyab.例(补)说明下列旋转面是怎样形成的:22zxy.解 旋转面22zxy的旋转轴是z轴.用平面0 x 去截曲面22zxy,足式如果一点的坐标满足式则在上则
6、称式为的方程称为式的图形例球面的标准方程球心在点且半径为的球面的方程为若球心在原点则球面方程为例设有点和求线段的垂直平分面的方程解设点为所求平面上的任一点则即于是得此即所程表示一点当时该球面为虚球即原方程无实轨迹例如在中于是球心为半径为二旋转曲面平面上的一条曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的下载在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的旋转面的方程为例直线绕另一条与相交的直线旋转一周所得的旋转面叫做圆锥面两直线的交点叫做圆锥面的顶点两直线的夹角叫做圆锥面的半顶角试建立顶点在精品资料 欢迎下载 得yz
7、面上的抛物线2zy,它即旋转面22zxy的母线.注 若用平面0y 去截曲面22zxy,可得xz面上的抛物线2zx,它也是旋转面22zxy的母线.三 柱面 平行于固定直线并沿固定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面.固定曲线C叫做柱面的准线,动直线L叫做柱面的母线.方程,0F x y 在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,其准线为xy面上的曲线,0F x y.方程,0G x z 在空间直角坐标系中表示母线平行于y轴的柱面,其准线为xz面上的曲线,0G x z.方程,0H y z 在空间直角坐标系中表示母线平行于x轴的柱面,其准线为yz面上的曲线,0H y z.特别注意:不能说方程,0F x
8、 y 在空间直角坐标系中表示xy面上的一条曲线,而要说它表示一个曲面.对,0G x z 和,0H y z 也是一样的.例 6 方程222xyR表示母线平行于于z轴的圆柱面,其准线是xy面上的圆222xyR.足式如果一点的坐标满足式则在上则称式为的方程称为式的图形例球面的标准方程球心在点且半径为的球面的方程为若球心在原点则球面方程为例设有点和求线段的垂直平分面的方程解设点为所求平面上的任一点则即于是得此即所程表示一点当时该球面为虚球即原方程无实轨迹例如在中于是球心为半径为二旋转曲面平面上的一条曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为绕轴
9、旋转所成的下载在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的旋转面的方程为例直线绕另一条与相交的直线旋转一周所得的旋转面叫做圆锥面两直线的交点叫做圆锥面的顶点两直线的夹角叫做圆锥面的半顶角试建立顶点在精品资料 欢迎下载 方程22yz表示母线平行于于x轴的柱面,其准线为yz面上的抛物线22yz.该柱面称为抛物柱面.方程0 xz 表示母线平行于于y轴的柱面,其准线为xz面上的直线0 xz.该柱面为一个平面.四 二次曲面 三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.(1)椭圆锥面22222xyzab (2)椭球面1222222czbyax(a、b、0c).其中a、b和c称为椭球面的半轴.足式如
10、果一点的坐标满足式则在上则称式为的方程称为式的图形例球面的标准方程球心在点且半径为的球面的方程为若球心在原点则球面方程为例设有点和求线段的垂直平分面的方程解设点为所求平面上的任一点则即于是得此即所程表示一点当时该球面为虚球即原方程无实轨迹例如在中于是球心为半径为二旋转曲面平面上的一条曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的下载在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的旋转面的方程为例直线绕另一条与相交的直线旋转一周所得的旋转面叫做圆锥面两直线的交点叫做圆锥面的顶点两直线的夹角叫做圆锥面的半顶角试建立顶点在
11、精品资料 欢迎下载 若ab,则1222222czbyax成为 2222221xyzaac.这是由xz面上的椭圆22221xzac绕z轴旋转而成的旋转曲面,称为旋转椭球面.当abc 时,此椭球面成为球面2222xyza.例(补)求椭球面1222222czbyax与各坐标轴的交点.解 该曲面与x轴的交点,0,0 x满足222222001xabc,于是,xa.故曲面与x轴的交点为,0,0a.同理,曲面与y轴的交点为0,0b,与z轴的交点为0,0,c.(3)单叶双曲面2222221xyzabc(a、b、0c).足式如果一点的坐标满足式则在上则称式为的方程称为式的图形例球面的标准方程球心在点且半径为的球
12、面的方程为若球心在原点则球面方程为例设有点和求线段的垂直平分面的方程解设点为所求平面上的任一点则即于是得此即所程表示一点当时该球面为虚球即原方程无实轨迹例如在中于是球心为半径为二旋转曲面平面上的一条曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的下载在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的旋转面的方程为例直线绕另一条与相交的直线旋转一周所得的旋转面叫做圆锥面两直线的交点叫做圆锥面的顶点两直线的夹角叫做圆锥面的半顶角试建立顶点在精品资料 欢迎下载 若ab,则2222221xyzabc成为 2222221xyzaa
13、c.它是由yz面上的双曲线22221yzac绕z轴旋转而得的旋转面,称为旋转单叶双曲面.(4)双叶双曲面222222:1xyzSabc(a、b、0c).(5)椭圆抛物面2222xyzab 原点称为该椭圆抛物面的顶点.(6)双曲抛物面(马鞍面)2222xyzab 原点称为双曲抛物面的鞍点.足式如果一点的坐标满足式则在上则称式为的方程称为式的图形例球面的标准方程球心在点且半径为的球面的方程为若球心在原点则球面方程为例设有点和求线段的垂直平分面的方程解设点为所求平面上的任一点则即于是得此即所程表示一点当时该球面为虚球即原方程无实轨迹例如在中于是球心为半径为二旋转曲面平面上的一条曲线绕该平面上的一条直
14、线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的下载在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的旋转面的方程为例直线绕另一条与相交的直线旋转一周所得的旋转面叫做圆锥面两直线的交点叫做圆锥面的顶点两直线的夹角叫做圆锥面的半顶角试建立顶点在精品资料 欢迎下载 作业 P.318 19,10(1),(2),(3),11 足式如果一点的坐标满足式则在上则称式为的方程称为式的图形例球面的标准方程球心在点且半径为的球面的方程为若球心在原点则球面方程为例设有点和求线段的垂直平分面的方程解设点为所求平面上的任一点则即于是得此即所程表示一点当时该球面为虚球即原方程无实轨迹例如在中于是球心为半径为二旋转曲面平面上的一条曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的下载在平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的旋转面的方程为例直线绕另一条与相交的直线旋转一周所得的旋转面叫做圆锥面两直线的交点叫做圆锥面的顶点两直线的夹角叫做圆锥面的半顶角试建立顶点在