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1、.优质资料.离散数学试题及答案 一、填空题 1 设集合A,B，其中 A1,2,3,B=1,2,则 A-B _3_;(A)-(B)_3，1，3，2,3,1,2,3 _.2.设有限集合 A,|A|=n,则|(A A)|=_ 2(n2)_.3.设集合 A=a,b,B=1,2,则从 A 到 B 的所有映射是_A1=(a,1),(b,1),A2=(a,2),(b,2),A3=(a,1),(b,2),A4=(a,2),(b,1),_ _,其中双射的是_A3,A4_.4.已知命题公式 G(PQ)R，则 G 的主析取式是_P QR(m5)_.5.设G是完全二叉树，G 有 7 个点，其中 4 个叶点，则G的总度
2、数为_12_，分枝点数为_3_.6 设 A、B 为两个集合,A=1,2,4,B=3,4,则从 A B_ 4_;A B_1,2,3,4 _;AB _1,2_.7.设 R 是集合 A 上的等价关系，则 R 所具有的关系的三个特性是_自反性_,_对称性_,_传递性_.8.设命题公式 G(P(Q R)，则使公式 G 为真的解释有_（1,0,0）_，_(1,0,1)_,_(1,1,0)_.9.设集合 A1,2,3,4,A 上的关系 R1=(1,4),(2,3),(3,2),R1=(2,1),(3,2),(4,3),则 R1 R2=_(1,3),(2,2),(3,1)_,R2 R1=_(2,4),(3,3
3、),(4,2)_,R12=_(2,2),(3,3)_.10.设有限集 A,B，|A|=m,|B|=n,则|(A B)|=_ 2(m*n)_.11 设 A,B,R 是三个集合，其中 R 是实数集，A=x|-1 x1,x R,B=x|0 x 2,x R,则A-B=_x|-1 x 0,x R_,B-A=_x|1 x 6 (D)下午有会吗？5 设 I 是如下一个解释：Da,b,0 1 0 1b)P(b,a)P(b,b)P(a,),(aaP 则在解释I 下取真值为 1的公式是(D ).(A)x yP(x,y)(B)x yP(x,y)(C)xP(x,x)(D)x yP(x,y).6.若供选择答案中的数值表
4、示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是(C ).1 2 3 4 5 6 则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个
5、顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.(A)(1,2,2,3,4,5)(B)(1,2,3,4,5,5)(C)(1,1,1,2,3)(D)(2,3,3,4,5,6).7.设 G、H 是一阶逻辑公式，P 是一个谓词，G xP(x),H xP(x),则一阶逻辑公式 GH是(C ).(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束式.8 设命题公式 G(PQ)，HP(Q P)，则 G 与 H 的关系是(A )。(A)G H (B)H G (C)G H (D)以上都不是.9 设 A,B 为集合，当(D )时 ABB.(A)AB (B)A B (
6、C)B A (D)A B.10 设集合 A=1,2,3,4,A上的关系 R(1,1),(2,3),(2,4),(3,4),则 R 具有(B )。(A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)以上答案都不对 11 下列关于集合的表示中正确的为(B )。(A)a a,b,c (B)a a,b,c(C)a,b,c (D)a,b a,b,c 12 命题 xG(x)取真值 1的充分必要条件是(A ).(A)对任意 x，G(x)都取真值 1.(B)有一个 x0，使 G(x0)取真值 1.(C)有某些 x，使 G(x0)取真值 1.(D)以上答案都不对.13.设 G 是连通平面图，有 5 个顶点，6 个面
7、，则 G 的边数是(A ).(A)9 条 (B)5 条 (C)6 条 (D)11 条.14.设 G 是 5 个顶点的完全图，则从 G 中删去(A )条边可以得到树.(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.15.设图 G 的相邻矩阵为0110110101110110010111110，则 G 的顶点数与边数分别为(D ).(A)4,5 (B)5,6 (C)4,10 (D)5,8.则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的
8、树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.三、计算证明题 1.设集合 A1,2,3,4,6,8,9,12，R 为整除关系。(1)画出半序集(A,R)的哈斯图；124836129(2)写出 A 的子集 B=3,6,9,12 的上界，下界，最小上
9、界，最大下界；B 无上界，也无最小上界。下界 1,3;最大下界是 3.(3)写出 A 的最大元，最小元，极大元，极小元。A 无最大元，最小元是 1，极大元 8,12,90+;极小元是 1.2.设集合 A1,2,3,4，A 上的关系 R(x,y)|x,y A 且 x y,求 (1)画出 R 的关系图；1 2 3 4 (2)写出 R 的关系矩阵.1000110011101111RM 3.设 R 是实数集合，,是 R 上的三个映射，(x)=x+3,(x)=2x,(x)x/4,试求复合映射 ，,，.则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设是集合上的等价关系则
10、所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.(1)(x)(x)+3 2x+3 2x+3.(2)(x)(x)+3(x+3)+3 x+
11、6,(3)(x)(x)+3 x/4+3,(4)(x)(x)/4 2x/4=x/2,(5)()+32x/4+3 x/2+3.4.设 I 是如下一个解释：D=2,3,a b f(2)f(3)P(2,2)P(2,3)P(3,2)P(3,3)3 2 3 2 0 0 1 1 试求(1)P(a,f(a)P(b,f(b);P(a,f(a)P(b,f(b)=P(3,f(3)P(2,f(2)=P(3,2)P(2,3)=10 =0.(2)xy P(y,x).xy P(y,x)=x(P(2,x)P(3,x)=(P(2,2)P(3,2)(P(2,3)P(3,3)=(0 1)(01)=11 =1.则的主析取式是设是完全
12、二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.5.
13、设集合 A1,2,4,6,8,12，R 为 A 上整除关系。(1)画出半序集(A,R)的哈斯图；2416812(2)写出 A 的最大元，最小元，极大元，极小元；无最大元，最小元 1，极大元 8,12;极小元是 1.(3)写出 A 的子集 B=4,6,8,12 的上界，下界，最小上界，最大下界.B 无上界，无最小上界。下界 1,2;最大下界 2.6.设命题公式 G=(PQ)(Q(PR),求 G 的主析取式。7.(9 分)设一阶逻辑公式：G=(xP(x)yQ(y)xR(x)，把G化成前束式.G=(xP(x)yQ(y)xR(x)=(xP(x)yQ(y)xR(x)=(xP(x)yQ(y)xR(x)=(
14、xP(x)yQ(y)zR(z)=xyz(P(x)Q(y)R(z)则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能
15、画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.9.设 R 是集合 A=a,b,c,d.R是 A 上的二元关系,R=(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(1)求出 r(R),s(R),t(R)；r(R)RIA(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),s(R)RR1(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,d),(d,c),t(R)RR2R3R4(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)；(2)画出 r(R),s(R),t(
16、R)的关系图.bacdr(R)bacds(R)bacdt(R)11.通过求主析取式判断下列命题公式是否等价：(1)G=(P Q)(PQR)(2)H=(P(Q R)(Q(PR)G(PQ)(PQR)(PQ R)(PQR)(PQR)m6m7m3 (3,6,7)H=(P(Q R)(Q(PR)(PQ)(Q R)(PQR)(PQ R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQ R)(PQR)(PQR)则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设
17、是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.m6m3m7 (3,6,7)G,H 的主析取式相同，所以 G=H.13.设R和S是集合Aa,b,c,d上的关系，其中R(a,a),(a,c),(b,c),(c,d),S(a,b),(b,
18、c),(b,d),(d,d).(1)试写出R和S的关系矩阵；0000100001000101RM 1000000011000010SM (2)计算RS,RS,R1,S1R1.RS(a,b),(c,d),RS(a,a),(a,b),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d),(d,d),R1(a,a),(c,a),(c,b),(d,c),S1R1(b,a),(d,c).四、证明题 1.利用形式演绎法证明：PQ,RS,PR蕴涵QS。证明：PQ,RS,PR蕴涵QS(1)PR P(2)RP Q(1)(3)PQ P 则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设
19、是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.(4)RQ Q(2)(3)(5)QR Q(4)(6)RS P(7)
20、QS Q(5)(6)(8)QS Q(7)2.设 A,B 为任意集合，证明：(A-B)-C=A-(B C).证明：(A-B)-C=(AB)C =A(B C)=A(B C)=A-(BC)3.(本题 10 分)利用形式演绎法证明：AB,C B,CD蕴涵 AD。证明：AB,C B,CD蕴涵 AD(1)A D(附加)(2)AB P(3)B Q(1)(2)(4)C B P(5)B C Q(4)(6)C Q(3)(5)(7)C D P(8)D Q(6)(7)则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题
21、公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.(9)A D D(1)(8)所以 AB,C B,CD蕴涵 AD.4.(本题 10 分)A,B 为两个任意集合，求证：A(AB)=(A
22、B)B.证明：A(AB)=A(A B)A(A B)(AA)(AB)(AB)(AB)AB 而(AB)B=(A B)B=(A B)(BB)=(A B)=A B 所以：A(AB)=(A B)B.则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门
23、关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.离散数学试题（A 卷及答案）一、（10 分）某项工作需要派A、B、C和D 4 个人中的 2 个人去完成，按下面 3 个条件，有几种派法？如何派？(1)若A去，则C和D中要去 1个人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，则D留下。解 设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(BC)，CD必须同时成立。因此(ACD)(BC)(CD)(A(C D)(CD)
24、(BC)(CD)(A(C D)(CD)(BC)(BD)C(CD)(ABC)(ABD)(AC)(ACD)(C DBC)(C DBD)(C DC)(C DCD)(CDBC)(CDBD)(CDC)(CDCD)FF(AC)FF(C DB)FF(CDB)F(CD)F(AC)(BC D)(CDB)(CD)(AC)(BC D)(CD)T 故有三种派法：BD，AC，AD。则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成
25、完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.二、（15 分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。解：论域：所有人的集合。S(x)：x是专家；W(x)：x是工人；Y(x)：x是青年人；则推理
26、化形式为：x(S(x)W(x)，xY(x)x(S(x)Y(x)下面给出证明：(1)xY(x)P(2)Y(c)T(1)，ES(3)x(S(x)W(x)P(4)S(c)W(c)T(3)，US(5)S(c)T(4)，I(6)S(c)Y(c)T(2)(5)，I(7)x(S(x)Y(x)T(6)，EG 三、（10 分）设A、B和C是三个集合，则AB(BA)。证明：ABx(xAxB)x(xBxA)x(xAxB)x(xBxA)x(xAxB)x(xBxA)x(xAxB)x(xAxB)(x(xAxB)x(xAxB)(x(xAxB)x(xBxA)(BA)。四、（15 分）设A1，2，3，4，5，R是A上的二元关系
27、，且R，求r(R)、s(R)和t(R)。解 r(R)RIA，s(R)RR1，R2，R3，则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一
28、个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.R4，R2 t(R)1iRi，。五、（10 分）R是非空集合A上的二元关系，若R是对称的，则r(R)和t(R)是对称的。证明 对任意的x、yA，若xr(R)y，则由r(R)RIA得，xRy或xIAy。因R与IA对称，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是对称的。下证对任意正整数n，Rn对称。因R对称，则有xR2yz(xRzzRy)z(zRxyRz)yR2x，所以R2对称。若nR对称，则x1nRyz(xnRzzRy)z(znRxyRz)y1nRx，所以1nR对称。因此，对任
29、意正整数n，nR对称。对任意的x、yA，若xt(R)y，则存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是对称的。六、（10 分）若f：AB是双射，则f1：BA是双射。证明 因为f：AB是双射，则f1是B到A的函数。下证f1是双射。对任意xA，必存在yB使f(x)y，从而f1(y)x，所以f1是满射。对任意的y1、y2B，若f1(y1)f1(y2)x，则f(x)y1，f(x)y2。因为f：AB是函数，则y1y2。所以f1是单射。综上可得，f1：BA是双射。七、（10 分）设 是一个半群，如果S是有限集，则必存在aS，使得a*aa。证明 因为 是一个半群，对任意的bS，由*
30、的封闭性可知，b2b*bS，b3b2*bS，bnS，。因为S是有限集，所以必存在ji，使得ibjb。令pji，则jbpb*jb。所以对qi，有qbpb*qb。因为p1，所以总可找到k1，使得kpi。对于kpbS，有kpbpb*kpbpb*(pb*kpb)则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集
31、则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.kpb*kpb。令akpb，则aS且a*aa。八、（20 分）（1）若G是连通的平面图，且G的每个面的次数至少为l(l3)，则G的边数m与结点数n有如下关系：m2ll(n2)。证明 设G有r个面，则 2mriifd1)(lr。由欧拉公式得，nmr2。于是，m2ll(n2)。（2）设平面图G 是自对偶图，则|E|2(|V|1)。
32、证明 设G*是连通平面图G 的对偶图，则G*G，于是|F|V*|V|，将其代入欧拉公式|V|E|F|2 得，|E|2(|V|1)。则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释
33、下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.离散数学试题（B 卷及答案）一、（10 分）证明(PQ)(PR)(QS)SR 证明 因为SRRS，所以，即要证(PQ)(PR)(QS)RS。(1)R 附加前提(2)PR P(3)P T(1)(2)，I(4)PQ P(5)Q T(3)(4)，I(6)QS P(7)S T(5)(6)，I(8)RS CP(9)SR T(8)，E 二、（15 分）根据推理理论证明：每个考生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所作为，所以，一定有
34、些考生是聪明的。设P(e)：e是考生，Q(e)：e将有所作为，A(e)：e是勤奋的，B(e)：e是聪明的，个体域：人的集合，则命题可符号化为：x(P(x)(A(x)B(x)，x(A(x)Q(x)，x(P(x)Q(x)x(P(x)B(x)。(1)x(P(x)Q(x)P(2)x(P(x)Q(x)T(1)，E(3)x(P(x)Q(x)T(2)，E(4)P(a)Q(a)T(3)，ES(5)P(a)T(4)，I(6)Q(a)T(4)，I(7)x(P(x)(A(x)B(x)P(8)P(a)(A(a)B(a)T(7)，US 则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设
35、是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.(9)A(a)B(a)T(8)(5)，I(10)x(A(x)Q(x
36、)P(11)A(a)Q(a)T(10)，US(12)A(a)T(11)(6)，I(13)B(a)T(12)(9)，I(14)P(a)B(a)T(5)(13)，I(15)x(P(x)B(x)T(14)，EG 三、（10 分）某班有 25 名学生，其中 14 人会打篮球，12 人会打排球，6 人会打篮球和排球，5 人会打篮球和网球，还有 2 人会打这三种球。而 6 个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数。解 设A、B、C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则：|A|12，|B|6，|C|14，|AC|6，|BC|5，|ABC|2，|(AC)B|6。因为|(AC)B|(AB)(B
37、C)|(AB)|(BC)|ABC|(AB)|526，所以|(AB)|3。于是|ABC|12614653220，|CBA25205。故，不会打这三种球的共 5 人。四、（10 分）设A1、A2和A3是全集U的子集，则形如31iAi(Ai 为Ai或iA)的集合称为由A1、A2和A3产生的小项。试证由A1、A2和A3所产生的所有非空小项的集合构成全集U的一个划分。证明 小项共 8 个，设有r个非空小项s1、s2、sr(r8)。对任意的aU，则aAi或aiA，两者必有一个成立，取Ai 为包含元素a的Ai或iA，则a31iAi，即有ari 1si，于是Uri 1si。又显然有ri 1siU，所以Uri
38、1si。任取两个非空小项sp和sq，若spsq，则必存在某个Ai和iA分别出现在sp和sq中，于是spsq。综上可知，s1，s2，sr是U的一个划分。五、（15 分）设R是A上的二元关系，则：R是传递的R*RR。证明 (5)若R是传递的，则 R*Rz(xRzzSy)xRccSy，由R是传递的得xRy，即有 R，所以R*RR。反之，若R*RR，则对任意的x、y、zA，如果xRz且zRy，则 R*R，于是有 R，即有xRy，所以R是传递的。六、（15 分）若G为连通平面图，则nmr2，其中，n、m、r分别为G的结点数、边则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合
39、则从设是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.数和面数。证明 对G的边数m作归纳法。当m0 时，由于G是连
40、通图，所以G为平凡图，此时n1，r1，结论自然成立。假设对边数小于m的连通平面图结论成立。下面考虑连通平面图G的边数为m的情况。设e是G的一条边，从G中删去e后得到的图记为G，并设其结点数、边数和面数分别为n、m 和r。对e分为下列情况来讨论：若e为割边，则G 有两个连通分支G1和G2。Gi的结点数、边数和面数分别为ni、mi和ri。显然n1n2n n，m1m2m m1，r1r2r 1r1。由归纳假设有n1m1r12，n2m2r22，从而(n1n2)(m1m2)(r1r2)4，n(m1)(r1)4，即nmr2。若e不为割边，则n n，m m1，r r1，由归纳假设有n m r 2，从而n(m1
41、)r12，即nmr2。由数学归纳法知，结论成立。七、（10 分）设函数g：AB，f：BC，则：(1)fg是A到C的函数；(2)对任意的xA，有fg(x)f(g(x)。证明 (1)对任意的xA，因为g：AB是函数，则存在yB使 g。对于yB，因f：BC是函数，则存在zC使 f。根据复合关系的定义，由 g和f得 g*f，即 fg。所以DfgA。对任意的xA，若存在y1、y2C，使得、fgg*f，则存在t1使得 g且 f，存在t2使得 g且 f。因为g：AB是函数，则t1t2。又因f：BC是函数，则y1y2。所以A中的每个元素对应C中惟一的元素。综上可知，fg是A到C的函数。(2)对任意的xA，由g
42、：AB是函数，有 g且g(x)B，又由f：BC是函数，得 f，于是 g*ffg。又因fg是A到C的函数，则可写为fg(x)f(g(x)。八、（15 分）设 是 的子群，定义R|a、bG且a1*bH，则R是G中的一个等价关系，且aRaH。证明 对于任意aG，必有a1G使得a1*aeH，所以 R。则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是
43、设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假.优质资料.若 R，则a1*bH。因为H是G的子群，故(a1*b)1b1*aH。所以R。若 R，R，则a1*bH，b1*cH。因为H是G的子群，所以(a1*b)*(b1*c)a1*cH，故 R。综上可得，R是G中的一个等价关系。对于任意的baR，有 R，a1*bH，则存在hH使得a1*bh，ba*h
44、，于是baH，aRaH。对任意的baH，存在hH使得ba*h，a1*bhH，R，故aH aR。所以，aRaH。则的主析取式是设是完全二叉树有个点其中个叶点则的总度数为分枝点数为设为两个集合则从设是集合上的等价关系则所具有的关系的三个特性是自反性对称性传递性设命题公式则使公式为真的解释有设集合上的关系则设有限集则设是具有个顶点的树则中增加条边才能把变成完全图设谓词的定义域为将表达式中量词消除写成与之对应的命题公式是设集合上的二元关系则二选择题设集合为全集则下列命题正确的是设集合上的关系则不具备自反性传递性对称性题请把门关上地球外的星球上也有人下午有会吗设是如下一个解释则在解释下取值为的公式是若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度能画出图的是优质资料设是一阶逻辑公式是一个谓词则一阶逻辑公式是恒真的恒假