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1、精品资料 欢迎下载 3.2 函数模型及其应用 1几类不同增长的函数模型及其增长差异 分别作出函数 y=2x，y=log2x，y=x2 在第一象限的图象如图函数 y=log2x 刚开始增长得最快，随后增长的速度越来越慢；函数 y=2x 刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；函数 y=x2 增长的速度也是越来越快，但越来越不如 y=2x 增长得快函数 y=2x 和 y=x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)在 x(2,4)时，log2x2xx2，在 x(0,2)(4，+)时，log2xx24 时，log2xx21)，y=logax(a1)和 y=xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不
2、同，而且不在同一个“档次”上 随着 x 的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y=xn(n0)的增长速度，而 y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢 因此，总会存在一个 x0，使当 xx0时，就有 logaxxn2，因而 yex增长速度最快 答案 D 2几类常见的函数模型(1)一次函数模型：f(x)kxb(k、b 为常数，k0)；(2)反比例函数模型：f(x)kxb(k、b 为常数，k0)；(3)二次函数模型：f(x)ax2bxc(a、b、c 为常数，a0)；注意：二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见 (4)指数函数模型：f(x)
3、abxc(a、b、c 为常数，a0，b0，b1)；(5)对数函数模型：f(x)mlogaxn(m、n、a 为常数，a0，a1)；说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色(6)幂函数模型：f(x)axnb(a、b、n 为常数，a0，n1)；(7)分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛 3通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：(1)收集数据；(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内描点；(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画其特征的函数模型；(4)选择其中的几组数据求出函数模型；精品资料 欢迎下
4、载(5)将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复步骤(3)(4)(5)；若符合实际，则进入下一步；(6)用求得的函数模型去解决实际问题 题型一 一次函数模型的应用 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份 0.20 元，卖出的价格是每份 0.30元，卖不完的还可以以每份 0.08 元的价格退回报社在一个月(以 30 天计算)内有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润 解 本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列
5、表分析 设每天从报社买进 x(250 x400，xN)份报纸.数量(份)价格(元)金额(元)买进 30 x 0.20 6x 卖出 20 x10250 0.30 6x750 退回 10(x250)0.08 0.8x200 设每天从报社买进 x 份报纸时，每月所获利润为 y 元，则 y(6x750)(0.8x200)6x 0.8x550(250 x400，xN)y0.8x550 在250,400上是增函数，当 x400 时，y 取得最大值 870.即每天从报社买进 400 份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为 870 元 点评 一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设
6、什么，列什么”这一方法来处理 题型二 二次函数模型的应用 渔场中鱼群的最大养殖量为 m(m0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量 x小于 m，以便留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量 y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为 k(k0)(1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群年增长量达到最大时，求 k的取值范围 解(1)根据题意知空闲率是mxm，得 ykxmxm(0 xm)(2)ykxmxmkmx2kx 函数刚开始增长得最快随后增长的速度越来越慢函数刚开始增长得较慢随后增长的速度越来越快
7、函数增长的速度也是越来越快但越来越不如增长得快函数和的图象有两个交点和在时在时所以当时一般地在区间上尽管函数和都是增函的增长速度则会越来越慢因此总会存在一个使当时就有这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长例下列函数中随的增大增长速度最快的是解析指数函数模型增长速度最快并且因而增长速度最快答案几类常见的函数模型一次函数模用题考查中最为常见指数函数模型为常数对数函数模型为常数说明随着新课标的实施指数对数函数模型将会起到越来越重要的作用在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色幂函数模型为常数分段函数模型这个模型实际是以上两种精品资料 欢迎下载 kmxm22mk4，当 xm2时，ymaxmk4.(3)根
8、据实际意义：实际养殖量 x 与年增长量 y 的和小于最大养殖量 m，即 0 xym，0m2mk4m，解之得：2k0，0k2.点评 解题的关键在于对“空闲率”的理解，正确理解题意，养成良好的阅读习惯是成功的一半而二次函数模型常涉及顶点坐标、函数的单调性、区间最值等问题，学会二次函数的配方是比较有效的解题手段 题型三 分段函数模型的应用 某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示：第 t 天 4 10 16 22 Q(万股)3
9、6 30 24 18(1)根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式；(3)用 y(万元)表示该股票日交易额，写出 y 关于 t 的函数关系式，并求出这 30 天中第几天日交易额最大，最大值为多少？解(1)设表示前 20 天每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)的一次函数关系式为 Pk1tm，由图象得 2k10m6k120m，解得 k115m2，即 P15t2；设表示第 20 天至第 30 天每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)的一次函数关系式为 Pk2tn，由图象得
10、6k220n5k230n，解得 k2110n8，即 P110t8.函数刚开始增长得最快随后增长的速度越来越慢函数刚开始增长得较慢随后增长的速度越来越快函数增长的速度也是越来越快但越来越不如增长得快函数和的图象有两个交点和在时在时所以当时一般地在区间上尽管函数和都是增函的增长速度则会越来越慢因此总会存在一个使当时就有这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长例下列函数中随的增大增长速度最快的是解析指数函数模型增长速度最快并且因而增长速度最快答案几类常见的函数模型一次函数模用题考查中最为常见指数函数模型为常数对数函数模型为常数说明随着新课标的实施指数对数函数模型将会起到越来越重要的作用在高考的舞台上将
11、会扮演愈来愈重要的角色幂函数模型为常数分段函数模型这个模型实际是以上两种精品资料 欢迎下载 综上知 P 15t2，0t20110t8，20t30(tN)(2)由表知，日交易量 Q 与时间 t 满足一次函数关系式，设 Qatb(a、b 为常数)，将(4,36)与(10,30)的坐标代入，得 4ab3610ab30，解得 a1b40.所以日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式为 Q40t(0t30 且 tN)(3)由(1)(2)可得 y 15t2(40t)，0t20110t8(40t)，20t30(tN)即 y 15t26t80，0t20110t212t320，20t30(tN)当
12、0t120，第 15 天日交易额最大，最大值为 125 万元 点评 分段函数及其应用问题是当前最热的函数类型，这是由分段函数的特点决定的由于分段函数兼具多种初等函数的性质，因此可以将多种函数的性质考查到，这在要求能力的高考命题中无疑是重要的命题素材 题型四 函数建模 个体经营者把开始六个月试销 A、B 两种商品的逐月投资与所获利润列成下表：投资 A种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元)0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资 B 种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元)0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下个
13、月投入 12 万元经营这两种商品，但不知投入 A、B 两种商品各多少才最合算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)函数刚开始增长得最快随后增长的速度越来越慢函数刚开始增长得较慢随后增长的速度越来越快函数增长的速度也是越来越快但越来越不如增长得快函数和的图象有两个交点和在时在时所以当时一般地在区间上尽管函数和都是增函的增长速度则会越来越慢因此总会存在一个使当时就有这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长例下列函数中随的增大增长速度最快的是解析指数函数模型增长速度最快并且因而增长速度最快答案几类常见的函数模型
14、一次函数模用题考查中最为常见指数函数模型为常数对数函数模型为常数说明随着新课标的实施指数对数函数模型将会起到越来越重要的作用在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色幂函数模型为常数分段函数模型这个模型实际是以上两种精品资料 欢迎下载 解 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中描点如图据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系 y=-a(x-4)2+2(a0)ybx 把 x1，y0.65 代入式，得 065a(14)22，解得 a0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资 A 种商品的金额的函数关系式可近似地用 y0.15(x4)22 表示；把 x4，y1 代入式，得 b0.
15、25，故前六个月所获纯利润关于月投资 B 种商品的金额的函数关系式可近似地用 y0.25x表示 设下个月投入 A、B 两种商品的资金分别是 xA万元、xB万元，总利润为 W万元，得 xAxB12WyAyB0.15(xA4)220.25xB，即 W320 xA196232019622.6.当 xA1963.2 时，W取得最大值，约为 4.1 万元，此时，xB5368.8.点评 本题设计新颖，要求能对数据进行处理，在此基础上选用恰当的模型进行拟合，并对所得到的模型进行比较，数据分析处理是在信息社会中所必须具备的一项重要的能力 某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 L15.06
16、x0.15x2，L22x，其中 x 为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为()A45.606 B45.6 C46.8 D46.806 错解 设甲地销售 x 辆，则乙地销售 15x 辆 总利润 LL1L25.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30 0.15()x10.2245.606 当 x10.2 时，获得最大利润 45.606 万元 错因分析 上面解答中 x10.2 不为整数，在实际问题中是不可能的，因此 x 应根据抛物线取与 x10.2 接近的整数才符合题意 函数刚开始增长得最快随后增长的速度越来越慢函数刚开始增长得较慢随后增长的速度
17、越来越快函数增长的速度也是越来越快但越来越不如增长得快函数和的图象有两个交点和在时在时所以当时一般地在区间上尽管函数和都是增函的增长速度则会越来越慢因此总会存在一个使当时就有这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长例下列函数中随的增大增长速度最快的是解析指数函数模型增长速度最快并且因而增长速度最快答案几类常见的函数模型一次函数模用题考查中最为常见指数函数模型为常数对数函数模型为常数说明随着新课标的实施指数对数函数模型将会起到越来越重要的作用在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色幂函数模型为常数分段函数模型这个模型实际是以上两种精品资料 欢迎下载 正解 设甲地销售 x 辆，则乙地销售(15x)辆，
18、则总利润 LL1L25.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30 0.15(x10.2)245.606.根据二次函数图象和 xN*，当 x10 时，获得最大利润 L0.151023.06103045.6 万元 正确答案 B 本节考查的重点是用函数来解决实际问题，解答这类问题的关键是学会阅读、理清线索、仔细观察图表，并熟悉各种函数模型，能结合所学数学知识、思想方法解决问题(2007 湖北)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为 y=(161)1.0
19、t(a 为常数)如图所示根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室 解析(1)设 y=kt(k0)，由图象知 y=kt 过点(0.1,1)，则 1=k0.1，k=10，y=10t(0t0.1)；由 y=at161过点(0.1,1)得 1=a1.0161，a=0.1，y=1.0161t(t0.1)(2)由1.0161t0.25=41，得 t0.6，故至少需经过 0.6 小时
20、答案(1)y=101,161,1010,10101tttt(2)0.6 函数刚开始增长得最快随后增长的速度越来越慢函数刚开始增长得较慢随后增长的速度越来越快函数增长的速度也是越来越快但越来越不如增长得快函数和的图象有两个交点和在时在时所以当时一般地在区间上尽管函数和都是增函的增长速度则会越来越慢因此总会存在一个使当时就有这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长例下列函数中随的增大增长速度最快的是解析指数函数模型增长速度最快并且因而增长速度最快答案几类常见的函数模型一次函数模用题考查中最为常见指数函数模型为常数对数函数模型为常数说明随着新课标的实施指数对数函数模型将会起到越来越重要的作用在高考的舞
21、台上将会扮演愈来愈重要的角色幂函数模型为常数分段函数模型这个模型实际是以上两种精品资料 欢迎下载 1某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了 a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米(b1 000，得 x3700，故至少要售出 234 张门票，能使游乐场每天的盈利额超过 1 000 元 7.自 2007 年以来，猪肉价格起伏不定，为了抑制猪肉价格上涨的势头，促进生猪市场的稳定，某地方政府决定对生猪养殖户在修建猪舍时给予补助某养殖户拟建一座平面图(如图所示)是矩形且面积为 200 平方米的猪舍，由于地形限制，猪舍的宽 x 不少于 5 米，不多于 a 米，如果该养殖户修建猪舍的地基平均每平方米可
22、得到补助 5 元，房顶(房顶与地面形状相同)每平方米可得到补助 8 元，猪舍外面的四周墙壁每米可得到补助 10 元，中间四条隔墙每米可得到补助 5 元 问：当猪舍的宽 x 定为多少时，该养殖户能从政府得到最多的补助，最多补助是多少？解 设该养殖户能从政府手中得到的补助为 y 元，猪舍的长为200 x米，y200520082x2200 x104x5 40 x100 x2 600(5xa)易得函数 f(x)x100 x在5,10)上单调递减，在10，)上单调递增，当 5a20，猪舍的宽定为 a 米，该养殖户能从政府得到最多的补助是40a100a2 600元 32.1 几类不同增长的函数模型 学习目
23、标 1结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性 2能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)，了解函数模型的广泛应用 自学导引 1三种函数模型的性质 函数性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化 随 x 的增大逐渐变“陡”随 x 的增大逐渐趋于稳定 随 n 值而不同 2.指数函数 yax(a1)，对数函数 ylogax(a1)和幂函数
24、 yxn(n0)增长速度的比较(1)对于指数函数 yax和幂函数 yxn(n0)在区间(0，)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内，ax会小于 xn，但由于 yax的增长快于 yxn的增长，因此总存在一个 x0，当 xx0时，就会有 axxn.(2)对于对数函数 ylogax(a1)和幂函数 yxn(n0)，在区间(0，)上，尽管在 x 的一定范围内，logax 可能会大于 xn，但由于 ylogax 的增长慢于 yxn的增长，因此总存在一个 x0，当 xx0时，就会有 logaxxn.一、一次函数模型 例 1 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，
25、其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间 x(分)与通话费 y(元)的关系如图所示 (1)分别求出通话费 y1，y2与通话时间 x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜 函数刚开始增长得最快随后增长的速度越来越慢函数刚开始增长得较慢随后增长的速度越来越快函数增长的速度也是越来越快但越来越不如增长得快函数和的图象有两个交点和在时在时所以当时一般地在区间上尽管函数和都是增函的增长速度则会越来越慢因此总会存在一个使当时就有这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长例下列函数中随的增大增长速度最快的是解析指数函数模型增长速度最快并且因而增长速度最
26、快答案几类常见的函数模型一次函数模用题考查中最为常见指数函数模型为常数对数函数模型为常数说明随着新课标的实施指数对数函数模型将会起到越来越重要的作用在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色幂函数模型为常数分段函数模型这个模型实际是以上两种精品资料 欢迎下载 解(1)由图象可设 y1k1x29，y2k2x，把点 B(30,35)，C(30,15)分别代入 y1，y2 得 k115，k212.y115x29，y212x.(2)令 y1y2，即15x2912x，则 x9623.当 x9623时，y1y2，两种卡收费一致；当 xy2，即如意卡便宜；当 x9623时，y1y2，即便民卡便宜 点评 由图象给
27、出的函数关系的应用问题，要先确定函数类型，然后，通过待定系数法列方程求解 变式迁移 1 商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价 20 元，茶杯每个定价 5 元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的 92%付款 顾客只能任选其一 某顾客需购茶壶 4 个，茶杯若干个(不少于 4 个)，若购买茶杯数为 x 个，付款数为 y(元)，试分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式，并讨论两种办法哪一种更省钱 解 由优惠办法(1)可得函数关系式为 y1204(x4)55x60(x4)；由优惠办法(2)得：y24200.92x50.924.6x73.6(x4)当购买 34 只
28、茶杯时，两办法付款相同；当 4x34 时，y134 时，y1y2，优惠办法(2)省钱 二、指数函数模型 例 2 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 20.301 0，lg 30.477 1)分析 每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤 n 次后杂质含量为210023n，结合按市场要求杂质含量不能超过 0.1%，即可建立数学模型 解 依题意，得210023n11 000，即23n120.则 n(lg2lg3)(1lg2)，故 n1lg2lg3lg27.4，考虑到 nN，
29、即至少要过滤 8 次才能达到市场要求 点评 一般地，形如 yax(a0 且 a1)的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数 yb axk作为模型的应用问题很常见，称这类函数为指数函数模型 以指数函数、对数函数为模型的实际应用问题通常与增长率、衰减率有关，在现实生活函数刚开始增长得最快随后增长的速度越来越慢函数刚开始增长得较慢随后增长的速度越来越快函数增长的速度也是越来越快但越来越不如增长得快函数和的图象有两个交点和在时在时所以当时一般地在区间上尽管函数和都是增函的增长速度则会越来越慢因此总会存在一个使当时就有这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长例下列函数中随的增大增长速度最快的是解析
30、指数函数模型增长速度最快并且因而增长速度最快答案几类常见的函数模型一次函数模用题考查中最为常见指数函数模型为常数对数函数模型为常数说明随着新课标的实施指数对数函数模型将会起到越来越重要的作用在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色幂函数模型为常数分段函数模型这个模型实际是以上两种精品资料 欢迎下载 和科学技术领域，诸如人口普查中的人口增长、细胞分裂次数的推算、考古中根据碳14的衰减推算年代以及药物在人体内残留时间的推算等问题都属于这一模型 变式迁移 2 2004 年全国人口普查时，我国人口数为 13 亿，如果从 2004 年开始按 1%的人口年增长率来控制人口增长，那么，大约经过多少年我国人口数
31、达到 18 亿？解 设大约经过 n 年，我国人口由 2004 年的 13 亿增加到 18 亿，则 13(11%)n18.1.01n1813，即 nlog1.011813lg1813lg1.01 lg18lg13lg1.011.255 31.113 90.004 3 32.883 733(年)即从 2004 年开始，大约经过 33 年，我国人口总数可达 18 亿 三、对数函数模型的应用 例 3 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v5log2Q10，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)
32、当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？分析 由题目可获取以下主要信息：已知飞行速度是耗氧量的函数；第(1)问知 v，求 Q；第(2)问知 Q，求 v.解答本题的关键是给变量赋值 解(1)由题知，当燕子静止时，它的速度 v0，代入题给公式可得：05log2Q10，解得Q10.即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位(2)将耗氧量 Q80 代入题给公式得：v5log280105log2815(m/s)即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度为 15 m/s.点评 直接以对数函数为模型的应用问题不是很多 此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解 变式迁移 3
33、 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 v (m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量 m(kg)的关系 v2 000ln1Mm.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达 12 km/s?解 由 12 0002 000ln1Mm，即 6ln1Mm，1Mme6，利用计算器算得Mm402.函数刚开始增长得最快随后增长的速度越来越慢函数刚开始增长得较慢随后增长的速度越来越快函数增长的速度也是越来越快但越来越不如增长得快函数和的图象有两个交点和在时在时所以当时一般地在区间上尽管函数和都是增函的增长速度则会越来越慢因此总会存在一个使当时就有这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增
34、长例下列函数中随的增大增长速度最快的是解析指数函数模型增长速度最快并且因而增长速度最快答案几类常见的函数模型一次函数模用题考查中最为常见指数函数模型为常数对数函数模型为常数说明随着新课标的实施指数对数函数模型将会起到越来越重要的作用在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色幂函数模型为常数分段函数模型这个模型实际是以上两种精品资料 欢迎下载 即当燃料质量约是火箭质量的 402 倍时，火箭的最大速度可达 12 km/s.1根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型 2常见的函数模型及增长特点(1)直线 ykxb(k0)模型
35、，其增长特点是直线上升；(2)对数 ylogax(a1)模型，其增长缓慢；(3)指数 yax(a1)模型，其增长迅速 一、选择题 1在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长 10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的 y 倍，则函数 yf(x)的图象大致为()答案 D 2能使不等式 log2 xx2400).其中 x 是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数 f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)分析 由题目可获取以下主要信息：总成本固定成本100 x；收益函数为一分段函数 解答本题可由已知总收益总成本利润，总利润总收益总
36、成本 由于 R(x)为分段函数，所以 f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题 解(1)设每月产量为 x 台，则总成本为 20 000100 x，从而 f(x)12x2300 x20 000(0 x400)60 000100 x(x400).(2)当 0 x400 时，f(x)12(x300)225 000，当 x300 时，有最大值 25 000；当 x400 时，f(x)60 000100 x 是减函数，f(x)60 00010040025 000.当 x300 时，f(x)的最大值为 25 000.每月生产 300 台仪器时，利润最大，最大利润为 25 000 元 点评 在函
37、数应用题中，已知的等量关系是解题的依据，像此题中的利润总收益总成本，又如“销售额销售价格销售数量”等像几何中的面积、体积公式，物理学中的函数刚开始增长得最快随后增长的速度越来越慢函数刚开始增长得较慢随后增长的速度越来越快函数增长的速度也是越来越快但越来越不如增长得快函数和的图象有两个交点和在时在时所以当时一般地在区间上尽管函数和都是增函的增长速度则会越来越慢因此总会存在一个使当时就有这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长例下列函数中随的增大增长速度最快的是解析指数函数模型增长速度最快并且因而增长速度最快答案几类常见的函数模型一次函数模用题考查中最为常见指数函数模型为常数对数函数模型为常数说明随
38、着新课标的实施指数对数函数模型将会起到越来越重要的作用在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色幂函数模型为常数分段函数模型这个模型实际是以上两种精品资料 欢迎下载 一些公式等，也常用来构造函数关系 变式迁移 1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明，用 f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强),x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f(x)0.1x22.6x43(0
39、 x10)59 (10 x16)3x107 (16x30)(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后 5 min 与开讲后 20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？解(1)当 0 x10 时，f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9，故 f(x)递增，最大值为 f(10)0.1(3)259.959；当 16x30 时，f(x)递减，f(x)31610759.因此，开讲后 10 min，学生达到最强的接受能力(值为 59)，并维持 6 min.(2)f(5)0.1(513)259.9 59.96.453.5，f(20)3201074753.5f(
40、5)，因此开讲后 5 min 学生的接受能力比开讲后 20 min 强一些 二、已知图象或表格的应用问题 例 2 甲、乙两人连续 6 年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图所示 甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年 1 万只甲鱼上升到第 6 年 2 万只 乙调查表明：甲鱼池个数由第 1 年 30 个减少到第 6 年 10 个，请你根据提供的信息说明：(1)第 2 年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第 6 年这个县的甲鱼养殖业的规模比第 1 年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由 分析 首先根据图象可知，两种调查信息都符合一次
41、函数，因此，可以采用待定系数法求出函数解析式，下面的问题就容易解决了 解(1)由图可知，直线 y甲=kx+b，经过(1,1)和(6,2)，可求得 k=0.2，b=0.8.y 甲=0.2(x+4)同理可得 y乙=4217x4.函数刚开始增长得最快随后增长的速度越来越慢函数刚开始增长得较慢随后增长的速度越来越快函数增长的速度也是越来越快但越来越不如增长得快函数和的图象有两个交点和在时在时所以当时一般地在区间上尽管函数和都是增函的增长速度则会越来越慢因此总会存在一个使当时就有这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长例下列函数中随的增大增长速度最快的是解析指数函数模型增长速度最快并且因而增长速度最快答案
42、几类常见的函数模型一次函数模用题考查中最为常见指数函数模型为常数对数函数模型为常数说明随着新课标的实施指数对数函数模型将会起到越来越重要的作用在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色幂函数模型为常数分段函数模型这个模型实际是以上两种精品资料 欢迎下载 第二年甲鱼池的个数为 26 个，全县出产甲鱼的总数为 261.2=31.2(万只)(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数 30 万只，而第 6 年出产甲鱼总数为 20 万只(3)设第 x 年规模最大，即求 y 甲y 乙=0.2(x+4)217x4=-0.8x2+3.6x+27.2 的最大值 当 x=8.026.3=2412 时，(y 甲y 乙)
43、max=-0.84+3.62+27.2=31.2.即第二年规模最大，为 31.2 万只 点评 本题的信息大都在已知的图上，所以要求要有一定的读图能力，能够由图象设出函数解析式，用待定系数法求出解析式其次，要会使用所求得的解析式解决新问题 变式迁移 2 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检验，病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表 天数 病毒细胞个数 1 1 2 2 3 4 4 8 5 16 6 32 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过 108 的时候，小白鼠将会死亡 如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的 98%.(1)为了使小白鼠
44、在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(答案精确到天，已知：lg2=0.301 0)解(1)由题意知，病毒细胞个数关于天数 t 的函数为 y=2t-1.则由 2t1108两边取常用对数得(t1)lg28，得 t27.6.即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为 2262%，再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞个数为 2262%2x.由题意，得 2262%2x108，两边取常用对数，得 26lg2lg22xlg28，得 x6.2，即再经过 6 天必须注射药物，即第二次应
45、在第 33 天注射药物 三、自建函数模型的应用问题 例 3 某企业实行裁员增效，已知现有员工 a 人，每人每年可创纯利润 1 万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收 0.01 万元，但每年需付给下岗工人 0.4 万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34，设该企业裁员 x 人后纯收益为 y 万元(1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围；(2)当 140a280 时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保函数刚开始增长得最快随后增长的速度越来越慢函数刚开始增长得较慢随后增长的速度越来越快函数增长的速度也是
46、越来越快但越来越不如增长得快函数和的图象有两个交点和在时在时所以当时一般地在区间上尽管函数和都是增函的增长速度则会越来越慢因此总会存在一个使当时就有这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长例下列函数中随的增大增长速度最快的是解析指数函数模型增长速度最快并且因而增长速度最快答案几类常见的函数模型一次函数模用题考查中最为常见指数函数模型为常数对数函数模型为常数说明随着新课标的实施指数对数函数模型将会起到越来越重要的作用在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色幂函数模型为常数分段函数模型这个模型实际是以上两种精品资料 欢迎下载 证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁)解(1)由题意可得 y(
47、ax)(10.01x)0.4x 1100 x2a100140100 xa.ax34axa4，x 的取值范围是0，a4中的自然数(2)由配方可得 y1100 xa27021100a2702a，且 140a280，a2700，a4.当 a 为偶数时，xa270，y 取最大值；当 a 为奇数时，xa1270 或 xa1270，y 取最大值 尽可能少裁人，xa1270.点评 注意实际问题中自变量的取值范围，不但要使函数式有意义，且还不能使实际问题失去意义 变式迁移 3 某工厂有 216 名工人接受了生产 1 000 台 GH 型高科技产品的总任务，已知每台 GH 型产品由 4 个 G 型装置和 3 个
48、 H 型装置配套组成每个工人每小时能加工 6 个G 型装置或 3 个 H 型装置现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置设加工 G 型装置的工人有 x 人，他们加工完 G 型装置所需时间为 g(x)，其余工人加工完成 H型装置所需时间为 h(x)(单位：小时，可不为整数)(1)写出 g(x)，h(x)的解析式；(2)比较 g(x)与 h(x)的大小，并写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务所用的时间最少？解(1)由题意知，需加工 G 型装置 4 000 个，加工 H 型装置 3 000 个，所用工人分别为 x 人和(216x)人
49、g(x)4 0006x，h(x)3 000(216x)3.即 g(x)2 0003x，h(x)1 000216x(0 x216，xN*)(2)g(x)h(x)2 0003x1 000216x1 000(4325x)3x(216x).0 x0.当 00，g(x)h(x)0；g(x)h(x)；当 87x216 时，4325x0，g(x)h(x)0，g(x)h(x)函数刚开始增长得最快随后增长的速度越来越慢函数刚开始增长得较慢随后增长的速度越来越快函数增长的速度也是越来越快但越来越不如增长得快函数和的图象有两个交点和在时在时所以当时一般地在区间上尽管函数和都是增函的增长速度则会越来越慢因此总会存在一
50、个使当时就有这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长例下列函数中随的增大增长速度最快的是解析指数函数模型增长速度最快并且因而增长速度最快答案几类常见的函数模型一次函数模用题考查中最为常见指数函数模型为常数对数函数模型为常数说明随着新课标的实施指数对数函数模型将会起到越来越重要的作用在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色幂函数模型为常数分段函数模型这个模型实际是以上两种精品资料 欢迎下载 f(x)2 0003x (0 x86，xN*)，1 000216x (87x216，xN*).(3)完成总任务所用时间最少即求 f(x)的最小值 当 0 x86 时，f(x)递减，f(x)f(86)2 00038