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1、.资料.数学学科教学知识（MPCK）研究综述【摘 要】在数学教师专业发展的众多维度中，MPCK 是核心要素，对于促进教师专业发展作用显著，基于 MPCK 的视角来认识数学教师专业发展应成为重要话题。有关 MPCK 的结构国外学者已有不少研究，但基本都囊括了数学学科容知识和教育性知识，主要研究成果集中于义务教育阶段MPCK 的涵、结构、特征、价值、发展途径、优秀教师的 MPCK 以及 MPCK 视角下的课堂考察等，但针对小学数学专家教师的个案研究还比较有限。【关键词】数学 MPCK 研究综述 20 世纪中期，美国学者舒尔曼提出了“缺失的式”（Missing Paradigm），给出了“PCK”（
2、Pedagogical Content Knowledge)的概念。此后，国外许多学者对此作了大批研究。2005 年以后，PCK 开始引起中国学者的广泛关注，并迅速成为教师知识研究的热点话题。就数学教育而言，掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展，教师更需具备 MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）。目前，国外学者们从不同层面对 MPCK 进行了研究，已有不少成果。1-10。一、MPCK 的定义及涵:相对于舒尔曼对 PCK 的定义，MPCK 更加紧密结合数学学科的特点。中国不同学者用不同的词语表示 MPCK。从教学的角度理解
3、，数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为 MPCK11。从中国学科教学传统的角度理解，有学者认为，MPCK 是关于教授某一具体容的方式或方法的知识。具体地说，是指教授某一特定容时，有多少有效或不太有效的方式？这些方式是什么？这些方式有什么优缺点？学生在理解某一特定数学概念时，可能会有哪些困难？有什么较为容易的方式让学生掌握12。另外，一些学者在 Shulman 的学科教学知识概念基础上提出了涵盖学科教学知识与学科容知识的“教学的数学知识”(mathematics knowledge for teaching，简称 MKT)概念，简单地讲就是教师教数学所需的数学知识。一方面，Shulman
4、的学科教学知识属于纯粹的理论性研究，旨在为促进教师的有效教学提供分析视角和工具，与此相反，教学的数学知识则源于对数学教师的实证研究；另一方面，Shulman 认为学科容知识与学科教学知识是两种不同类型的知识，而教学的数学知识则将两者整合在一起13。星云基于对学科教学知识与小学数学学科教学知识之间关系的研究认为，小学数学学科教学知识就是小学数学教师在特定教学情境中，基于对小学生和小学数学教学容的综合理解，选择合适的教学策略表征，将小学数学知识转化为小学生理解能理解掌握的知识过程中所使用的相关知识14。良火认为 MPCK 是指教师对“表达数学概念和过程的方式”的知识，其主要包括两个相关的方面：(1
5、)关于“方式”是什么的知识。就是说，在表达一特定数学概念时有多少有效或不那么有效的方式?那些方式是什么？(2)关于从教学的角度怎样选择方式的知识。也就是，对课堂教学来说那些方式有些什么优点和缺点?学生在理解某一特定数学概念时可能会有哪些困难?有什么较为容易的方式让他们理解15。廖冬发认为，数学教师的 PCK 是数学的学科知识、学生知识、教学法知识和情境知识等的整合或转换，是学科知识在教学应用中的转化形式，是随着教师不断成长而不断丰富和发展的知识16。显然，中国学者对 MPCK 涵的研究，或者与中国学科教学传统结合起来进行分析，或者从教学的角度理解学科容知识的重要性，但都与特定的数学容、教学实践
6、紧密相联。结合已有研究与自己的思考，教师 PCK 是教师关于如何将学科容以学生易理解的方式加工、转化给学生的知识，是随着教师不断成长而不断丰富和发展的知识。数学教师的 PCK 则是数学的学科知识、学生知识、教学法知识和情境知识等的整合或转换，是学科知识在教学应用中的转化形式，是随着教师不断成长而不断丰富和发展的知识。二、MPCK 的结构:国有关 MPCK 结构的研究成果如表 1所示。表 1国有关 MPCK 结构的研究成果 研究者 研究对象 结构 兴华 马云鹏 MPCK 视角下的小学数学教师专业发展17 国研究者都强调 MPCK 中的两类知识：数学教学该如何呈现的知识、数学教学该如何解释学生遇到
7、的误解和困难的知识；Shulman 提出学科教学知识的两个主要成分是教师对学科知识的表征以及对学生特定的学习困难与概念的理解。周正 初 中 数 学 教 师PCK 的课堂案例研究以七年级数学为例18 2005 年，Grossman，Schoenfeld，Lee 将学科教学知识分为两个大的方面：统领性观念和特定知识的教与学。其中特定知识的教与学分为：学生理解的知识、容组织知识、教学策略知识、效果反馈知识19 琼等主要从四个维度来研究数学教师的学科教学知识：学生思维特点与解题策略、诊断学生.资料.的错误概念、教师突破难点的策略与教学设计思想。20 黄毅英、许世红对数学学科教学知识的成分进行划分：数学
8、学科知识、一般教学法知识、数学学习的知识。11 柳笛 高中数学教师学科教学知识的案例研究19 多数研究者认为 PCK 包括学科容知识、学生理解的知识、课程知识、教学知识或教学策略知识。大多集中类似的概念：学科教学的观念或取向、学科容知识、学生对学科理解的知识、课程知识、教学知识或教学策略知识、评价知识和背景知识；董涛指出学科教学知识的各个成分是相互缠绕的。廖东发 数学教师学科教学知识结构缺陷与完善途径的研究以小学数学教师为例16 数学教师的 PCK 应包含教学目的的知识（不同年级水平最有教学价值的知识）、学生理解的知识（知道学生对某一具体课题理解的基础，可能的理解方式，理解的层次，理解的表现，
9、会发生的误解，理解是怎样发展的，关键性的认知环节）、课程的知识（数学教学可以获得的教材、教学媒体和材料知识，包括横向的课程知识和纵向的课程知识）、教学策略的知识（为达到预定效果而采取的多种教学活动的方案）和教学情境的知识（以问题趋动教学，在解决数学问题和数学知识应用的过程中引发出新的情境，从而又产生出深层次的数学问题，形成“情境一问题”学习链）。彦峰 数学有效教学最重要的知识基础：MPCK21 黄毅英认为，数学教师开展常规教学应具备的知识分为三类：数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、有关数学学习的知识（CK，把学习对象学生、学习背景、学习环境、教 育 宗 旨 等 方 面 的 知 识
10、全 部 归 入 这 类 知 识，以 示 与 前 两 类 知 识 的 不 同）。（随着教学经验的积累，MK、PK、CK 逐渐增大，它们的交集部分会越来越大，形成的 MPCK就会越来越丰富。）11 对于中小学数学教师而言，MPCK 除（MK）、（PK）、（CK）外，还融合了数学教育技术知识（TK）。TK 包括：有关计算机基本操作和相关数学教学软件操作等方面的知识。MPCK的课堂构成22：1、数学教学的统领性观念：即为什么教数学（对学生今后学习和发展最有价值的知识、教师的数学信念）、教哪些数学（数学的核心概念与过程、蕴涵在这些核心概念与过程里的数学思想方法）。2、容组织的知识：它是关于课程的知识（特
11、定课题在学科于的视角来认识数学教师专业发展应成为重要话题有关的结构国外学者已有不少研究但基本都囊括了数学学科容知识和教育性知识主要研究成果集中于义务教育阶段的涵结构特征价值发展途径优秀教师的以及视角下的课堂考察等但了的概此后国外许多学者对此作了大批研究年以后开始引起中国学者的广泛关注并迅速成为教师知识研究的热点话题就数学教育而言掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展教师更需具备目前国外学者们从不同层不同的词语表示从教学的角度理解数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为从中国学科教学传统的角度理解有学者认为是关于教授某一具体容的方式或方法的知识具体地说是指教授某一特定容时有多少有
12、效或不太有效的方式.资料.体系中的地位和作用、上位知识与下位知识的联系、新旧知识间的联系、与学生生活经验的联系）。3、学生理解的知识：关于学生对特定课题如何思考的知识（学生对课题知道了什么、可能的认知路径、学生理解的历程、学生认为课题容易或难懂、学生对课题的典型误解）。4、效果反馈的知识：指教师对学生的学习结果进行评测，及时调整学生的学习，做出后续教学决策，推动教学的持续进行。5、教学策略的知识：指教学活动的设计与顺序、教学容的呈现方式。MPCK 的表现形式：1、话题 MPCK：教师在讲解某一数学主题的过程中，估计学生可能遇到的困难、错误理解，通过解释、演示、举例、类比等教学方式，并以适合学生
13、的数学思维与学习特点来表征数学问题的教学知识。2、课堂 MPCK，教师将自己所掌握的数学学科知识转化成学生易于理解的形式的知识，由数学学科知识和教学知识通过一定的方式转化而来，将 MPCK 进行组织、调整，并呈现在课堂教学实践中，从而表现为课堂 MPCK。徐彦辉 中学生感知的数学教师学科教学知识的结构与特点23 An 等人将“MPCK”定义为有效教学的知识，包含 3 个方面的容：容知识、课程知识、教学知识，并强调这 3 种知识之间的联系24 Ball 等人认为“MPCK”主要包含了 3 个领域的容：关于容与学生的知识（KCS）、关于容与教学的知识（KCT）、关于容与课程的知识。25 景敏认为“
14、MPCK”是把数学知识与一般教学法知识、有关学生的知识、有关数学学习的知识等整合在一起所形成的知识，是把科学形态的数学有效地转化为教育形态的数学的知识26 童莉指出 MPCK 由两核心五成分构成：（1）特定数学容与教学联合的知识：怎样按有意义的顺序来组织和呈现数学容？为了促进学生的理解应该提供哪种或哪些形式的表达方式（解释、图形、符号、情境和操作等）？（2）特定数学容与学生联合的知识：学生在特定数学容的学习中会遇到什么困难？学生有哪些看法或误解？教师所使用的教学方法是怎样处理学生的困难和误解的？27 董涛认为，数学课堂教学中的 PCK 含有 5 个构成成分：数学教学的统领性观念、容组织的知识、
15、学生理解的知识、效果反馈的知识和教学策略的知识22 渺，宁连华认为 MPCK 是由数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、有关数学学于的视角来认识数学教师专业发展应成为重要话题有关的结构国外学者已有不少研究但基本都囊括了数学学科容知识和教育性知识主要研究成果集中于义务教育阶段的涵结构特征价值发展途径优秀教师的以及视角下的课堂考察等但了的概此后国外许多学者对此作了大批研究年以后开始引起中国学者的广泛关注并迅速成为教师知识研究的热点话题就数学教育而言掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展教师更需具备目前国外学者们从不同层不同的词语表示从教学的角度理解数学教师从事专业教学所应具备
16、的核心知识称为从中国学科教学传统的角度理解有学者认为是关于教授某一具体容的方式或方法的知识具体地说是指教授某一特定容时有多少有效或不太有效的方式.资料.习的知识（CK）以及教育技术知识（TK）融合而成。其中，MK 有 4 个维度（数学观念、学科容知识、数学思想方法以及数学史知识）；PK 有 4 个维度（教育观念、教育理论知识、课程知识以及教学知识）；CK 有 3 个维度（学生发展的知识、学生学习的认知因素与非认知因素知识以及学习环境的知识）；TK 有两个维度（有关传统教学媒体的知识以及有关现代教育技术的知识）27 由表 1可知，MPCK 包含的围是极为广泛的。它涵盖了学科的容、转型、表征，学生
17、的知识、能力与兴趣，以及教学情境等。国研究者倾向于将数学的容与课程知识整合起来进行说明，即“数学教学该如何呈现的知识”，将教学知识命名为“数学教学该如何解释学生遇到的误解和困难的知识”。国外研究者对于 MPCK 的结构划分倾向于三类知识：容知识、课程知识、教学知识。三、MPCK 研究的现状 目前国关于 MPCK 研究的现状如表 2 所示。表 2 国关于 MPCK 研究的现状 研究者、研究对象 及研究方法 研究成果 渺、万新才、田29 初中农村教师（国培计划 省农村中小学骨干教师置换脱产研修项目的 41 名初中数学教师）问卷调查法：话题 MPCK30、课堂 PCK；将 MPCK 来源据良火的研究
18、15分为三类；基于参考文献11从初中数学两大主要容“数与代数”和“图形与几何”中提取问题.（1）初中农村教师 MPCK 有两大特点：注重直观化的表达或解释、注重教学容的前后联系。（2）初中农村教师 MPCK 状况所存在的问题：表达或解释方式的多样性与开放性、教学容前后联系的“广度”与“深度”等方面需要进一步加强。（3）初中农村教师 MPCK 来源有两个特点：本原性和单一性。其中，“自身的教学经验与自我反思”和“教科书”是初中农村教师发展 MPCK 的两个主要来源，其次是“与同事的日常交流”和“课堂听课与教研活动”，接下来是“教学参考资料”、“网络资源”、“职前教育”、“在职培训”、于的视角来认
19、识数学教师专业发展应成为重要话题有关的结构国外学者已有不少研究但基本都囊括了数学学科容知识和教育性知识主要研究成果集中于义务教育阶段的涵结构特征价值发展途径优秀教师的以及视角下的课堂考察等但了的概此后国外许多学者对此作了大批研究年以后开始引起中国学者的广泛关注并迅速成为教师知识研究的热点话题就数学教育而言掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展教师更需具备目前国外学者们从不同层不同的词语表示从教学的角度理解数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为从中国学科教学传统的角度理解有学者认为是关于教授某一具体容的方式或方法的知识具体地说是指教授某一特定容时有多少有效或不太有效的方式.资料
20、.“专业书刊”和“作为学习者的经验”.研究者：琼、倪玉菁、萧20 研究对象：15 所小学 32 名小学数学专家与非专家教师 研究方法：问卷调查法：学科教学知识的测量：基于相关文献31，从学生思维特点与解题策略、诊断学生的错误概念、教师突破难点的策略与教学设计思想设置任务情境题目。学科知识的测量：从概念规则以及概念规则之间的联系、教师的数学观设置问题，包括分数的概念、分数运 1、专家教师在了解学生的思维特点、诊断学生的错误概念、突破难点的策略以及在各维度的总分上显著地高于非专家教师。2、教师的学科知识与学科教学知识存在显著的相关，对此关系各献最大的是学科知识中的知识组织与学科教学知识中的对学生思
21、维的了解。于的视角来认识数学教师专业发展应成为重要话题有关的结构国外学者已有不少研究但基本都囊括了数学学科容知识和教育性知识主要研究成果集中于义务教育阶段的涵结构特征价值发展途径优秀教师的以及视角下的课堂考察等但了的概此后国外许多学者对此作了大批研究年以后开始引起中国学者的广泛关注并迅速成为教师知识研究的热点话题就数学教育而言掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展教师更需具备目前国外学者们从不同层不同的词语表示从教学的角度理解数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为从中国学科教学传统的角度理解有学者认为是关于教授某一具体容的方式或方法的知识具体地说是指教授某一特定容时有多少有效
22、或不太有效的方式.资料.算以及分数相关概念的关系。研究者：燕、碧芬32 研究对象：具有代表性的初中数学教师教学案例 研究方法：个案研究：对个案教师某一课题的两次教学进行课前访谈、课堂观察（文字实录）、课后访谈（教师+学生），初步了解其 PCK 现状；再另选课题，采用同样的方法研究，以确认第一次教学的研究中得到的结论研究中两个课题依次为“垂直平分线的性质(一)”和“垂直平分线的 教师的 PCK 通过教学实践有了一定的发展，但是还不够理想，具体存在以下一些问题：1、低估学生的数学认知水平、对学生的认识表现出片面、对学生的学习困难判断不准.2、数学知识：较为关注学生学习特定课题的前提性知识，但几乎不
23、涉及关于该课题对于学生今后的学习与生活的作用；比较注重文字表征，不善于用多元表征形式进行教学；不能准确把握相关知识之间的联系与区别；存在一些科学性错误.3、教学法知识：试图采用新课程提倡的教学方法，但是在实际课堂中还是采用以教师为中心的讲授式教学；希望使用除教材外的更多的教学资源，但现实的教学资源不丰富、来源单一，教师教学资源开发和运用的能力还不够；形成了一些比较有效的课堂规，但也有一些课堂规阻碍了学生的自由发展 于的视角来认识数学教师专业发展应成为重要话题有关的结构国外学者已有不少研究但基本都囊括了数学学科容知识和教育性知识主要研究成果集中于义务教育阶段的涵结构特征价值发展途径优秀教师的以及
24、视角下的课堂考察等但了的概此后国外许多学者对此作了大批研究年以后开始引起中国学者的广泛关注并迅速成为教师知识研究的热点话题就数学教育而言掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展教师更需具备目前国外学者们从不同层不同的词语表示从教学的角度理解数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为从中国学科教学传统的角度理解有学者认为是关于教授某一具体容的方式或方法的知识具体地说是指教授某一特定容时有多少有效或不太有效的方式.资料.性质(二)”材料分析当中用到了“QUSA 课题”33 研究者：市青浦实验研究所（组长：朱连云）34 研究对象：为大家所公认的青浦区教龄 O3 年的小学数学新手教师 PC
25、K 中和青浦区教龄 1015年的小学数学名优教师 PCK，两位教师为同年级(三年级)任课教师 研究方法：课例研究方法：文本分析、录像带分析、参与式观察、深度访淡、测试与问卷调查相结合。课例选择：市九年制义务教育教捌数学第六 1、新手主目标、标准取向，具有学科知识“转化”教学任务的“教育学化”能力，但缺乏针对性，缺乏对学生掌握知识过程中障碍的正确把握，缺乏将教学任务“转化”成学生实际获得的能力；2、专家主学生有效学习的教学，具有良好的二次“转化”能力，并且在实际中，专家的二次“转化”是以交互的形式呈现于教学过程之中，认知图式更丰富、更精致，“具有丰富的关于学生发展、特点和学习规律的图式，能够观察
26、到学牛的行为和学习上的微弱线索”35，能及时、正确地捕捉到教学的要害，辨明教学的真义，化解教学的难点使学生有效地理解知识，获得解决问题的能力。于的视角来认识数学教师专业发展应成为重要话题有关的结构国外学者已有不少研究但基本都囊括了数学学科容知识和教育性知识主要研究成果集中于义务教育阶段的涵结构特征价值发展途径优秀教师的以及视角下的课堂考察等但了的概此后国外许多学者对此作了大批研究年以后开始引起中国学者的广泛关注并迅速成为教师知识研究的热点话题就数学教育而言掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展教师更需具备目前国外学者们从不同层不同的词语表示从教学的角度理解数学教师从事专业教学所应
27、具备的核心知识称为从中国学科教学传统的角度理解有学者认为是关于教授某一具体容的方式或方法的知识具体地说是指教授某一特定容时有多少有效或不太有效的方式.资料.册整理与提高单元“数学广场谁围的面积最大”研究者：周正18 研究对象：市 6名公办学校初中数学教师，平均教龄为 8 年，高级教师 1名，中级教师 2 名，初级教师 3 名。研究方法：文献分析法（研究开展的准备阶段，通过研究大量文献确定研究方向）、课堂观察法、案例分析法。1、教学目的的知识：教学目的知识对课堂教学具有引领性作用、教学目的知识基于对学科容知识的理解、教学目的知识，不应仅仅是培养学生解题技能的知识，还应是包含对学生情感培养的知识；
28、2、学科容知识：教师学科容知识的广度、深度及其对某一特定学科容知识在知识体系中地位的理解，很大程度上影响着课堂教学；3、效果反馈知识：效果反馈知识在课堂教学中，能有效地建立师生之间的联系，有利于教师掌握课堂节奏。4、教师拥有理解学生的知识，根据学生的现有知识水平，对教学容进行选择和改组，通过适当的教学策略进行课堂教学，这样的教学更适应认知发展规律；5、教师的 PCK 知识多来自于教学实践。于的视角来认识数学教师专业发展应成为重要话题有关的结构国外学者已有不少研究但基本都囊括了数学学科容知识和教育性知识主要研究成果集中于义务教育阶段的涵结构特征价值发展途径优秀教师的以及视角下的课堂考察等但了的概
29、此后国外许多学者对此作了大批研究年以后开始引起中国学者的广泛关注并迅速成为教师知识研究的热点话题就数学教育而言掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展教师更需具备目前国外学者们从不同层不同的词语表示从教学的角度理解数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为从中国学科教学传统的角度理解有学者认为是关于教授某一具体容的方式或方法的知识具体地说是指教授某一特定容时有多少有效或不太有效的方式.资料.研究者：柳笛19 研究对象：高中职初教师（教龄1-5年）和经验教师（教龄最少 10年）选择自示性高中 2 名、区重点高中 2 名、一般高中 2 名 研究方法：质化为主量化为辅的案例研究法，通过课
30、堂观察、半结构访谈、问卷调查、概念图各种文本资料等多种方式来呈现数学教师的学科教学知识。1、职初教师认为，课堂教学是以教师为中心，教师起带动引导作用。经验教师认为，课堂教学是以学生为中心，教师起“诊断”、改进的作用。2、在数学学习上，职初教师倾向于问题解决型（在任务的驱动下，学生自己通过观察、验证、归纳、分析而解决问题，摸索规律），经验教师倾向于建构主义（数学就像是“做拼图游戏”一样，学习数学就是“建造房子）。3、职初教师出现过分依赖教学设计，对教材并没有形成批判性的理解，无法调整或重组较长的教材容。完全按照备课组提供的教案进行教学，似乎没有意识到再次处理、加工教学设计的重要性，经验教师设置的
31、教学目标，相对具体、细致、具有操作性。同时，经验教师显得比较灵活，会对教学设计进行修改加工，会根据学生的情况调整上课进度。4、职初教师的知识块数量少于经验教师的知识块数量，这表明职初教师的知识整合程度低于经验教师。5、从教学容的组织上，职初教师表现出照搬教材或完全遵循集体备课的教案，对练习的选择上不够具有代表性，题量较大。而经验教师会结合相应的教材容，对教学容的顺序与编排进行了不同程度的调整，教学容具有低起点、小坡度的特点，体现对知识点进行深化、拓展和迁移的教学思维特点。6、职初教师常无法预知学生可能出现困惑的地方，经验教师比较了解学生、明白学生，清楚地知道学生在学习哪个知识点时，会出现哪几类
32、错误或疑惑。7、职初教师与经验教师对教材上的同一例题，往往采取截然不同的教学策略，职初教师总是提前归纳解题步骤，要求学生按照步骤做题，以此来规学生的解题；经验教师则采取开放式的方式，让学生自己思考，体验解题过程 于的视角来认识数学教师专业发展应成为重要话题有关的结构国外学者已有不少研究但基本都囊括了数学学科容知识和教育性知识主要研究成果集中于义务教育阶段的涵结构特征价值发展途径优秀教师的以及视角下的课堂考察等但了的概此后国外许多学者对此作了大批研究年以后开始引起中国学者的广泛关注并迅速成为教师知识研究的热点话题就数学教育而言掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展教师更需具备目前国
33、外学者们从不同层不同的词语表示从教学的角度理解数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为从中国学科教学传统的角度理解有学者认为是关于教授某一具体容的方式或方法的知识具体地说是指教授某一特定容时有多少有效或不太有效的方式.资料.研究者：廖东发16 研究对象：小学数学教师的学科教学知识 研究方法：问卷调查法、课堂观察法、访谈法 1、小学数学教师具备了数学课程的知识，但教师教育中缺乏关于学生对数学理解的系统知识（完成知识教学任务成为课堂教学的中心目的，其次才是学生发展能力的目标；教学以钻研教材和设计教案成为教学准备的中心任务，没有把学生考虑进去；课堂教学教程被异化为执行教案的过程，忽视了作为独立个体
34、、处于不同状态的教师和学生在课堂教学中的多种需要与潜在能力）2、教师对学生易错点的关注还不够，在对学生数学理解的知识方面还存在不足，小学数学教师在学生数学理解的知识方面较为缺乏，尽管也有教师具有学生对数学理解的知识，但所占比例较小。3、自我教学经验的总结与反思是影响数学教师缺乏学生对数学理解的知识的最重要因素、缺乏自我教学经验的积累和反恩是数学教师缺乏学生对数学理解的知识的重要原因。4、教师学科教学知识离不开教师在实际的教学实践环境中所获得的经验及其基于经验的有目的、有重点的反思。研究者：琼、倪玉菁、萧36 研究对象：市 15所小学的 32 名小学数学教师，其中专家教师与非专家教师各 16名
35、研究方法：学科知识的测量：基于已有研究者31对小学数学知识研究文献与参考 1、两类教师对数学知识的理解特点：在数学知识方面，专家教师在概念理解与相关知识的组织上表现出明显的差异，在分数基本的运算上两者未表现出显著的差异。说明两类教师在数学知识的理解上表现出不同的取向：非专家教师对数学知识的理解主要停留于“算法”的层面上，而专家教师在概念的理解与知识的组织方面具有更深刻的理解；分数加减法的知识组织方面比较明显地体现了两类教师相关知识在贯通性方面的差别。专家教师的知识组织更具有层次性与结构性，主要表现在由几个核心的概念将相关的知识点统领在一起，相应的概念点互相联系，体现了知识的贯通性。而非专家教师
36、不能从整体上把握知识所涉及的主次，对知识的组织相对比较零散。2、两类教师的数学观：两类教师在对数学学科本质的认识于的视角来认识数学教师专业发展应成为重要话题有关的结构国外学者已有不少研究但基本都囊括了数学学科容知识和教育性知识主要研究成果集中于义务教育阶段的涵结构特征价值发展途径优秀教师的以及视角下的课堂考察等但了的概此后国外许多学者对此作了大批研究年以后开始引起中国学者的广泛关注并迅速成为教师知识研究的热点话题就数学教育而言掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展教师更需具备目前国外学者们从不同层不同的词语表示从教学的角度理解数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为从中国学科教
37、学传统的角度理解有学者认为是关于教授某一具体容的方式或方法的知识具体地说是指教授某一特定容时有多少有效或不太有效的方式.资料.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)选取关于分数领域三个方面的容来编制调查问卷。教师的数学观问卷：基于已有研究37对教师数学观的研究从两个方面考察教师的数学观：一是对数学知识本质的认识；二是学生的数学学习 中表现出显著的差异，专家教师能够在教学情境中理解数学的本质（在对实际教学情境的反应中，大部分专家教师能够识别出学生的问题在于其未抽象出数学中的数量关系，抽象性是数学的本质特点，它是脱离了任何具体的事物之间的数量关系），而非专家教师只看到问题的表面，未从数学的本质特点去
38、解决学生的疑难；在对“做”数学的看法上，专家教师更倾向于“问题解决”的观点，即将数学问题的解决看作为猜想、论证与解释的活动；而非专家教师则为“掌握知识”的观点，即认为做数学题目就是按照既定的步骤，一步步得出答案的过程；研究者：徐章韬38 研究对象：我国中部某省一位著名特级教师 研究方法：采用文本分析法39对一些文本资料进行分析。这些文本资料取自特级教师对数学教学若干思考的自述材料和一些课堂实录40 该师在深刻理解数学的基础上形成了文化取向的学科知识(该师秉持文化教育的教育观，而不仅是知识教育的教育观。学习数学来自“成长的需要”“提高数学素质的需要”，“知识和方法并不是数学学习的全部”，这正是以
39、人为中心、以人为本，而不是以知识为中心、以知识为本的文化教育的特征)；课程的知识体现了数学知识的发生发展和结构特点，并考虑了学生的认知特点(该师既看到了数学知识的发生发展和结构特点，又看到了这种特点在教材上的表现形式，由此产生了处理教材的具体做法)；学情的知识切合了学生心理发展的特点，并能以具体容为载体推动学生心理的发展(要做到教书与育人的和谐统一，一方面要对学生心理有充分了解、有育人的理念，另一方面还要有与学科特点相匹配的实施育人理念的机智，更要教师自于的视角来认识数学教师专业发展应成为重要话题有关的结构国外学者已有不少研究但基本都囊括了数学学科容知识和教育性知识主要研究成果集中于义务教育阶
40、段的涵结构特征价值发展途径优秀教师的以及视角下的课堂考察等但了的概此后国外许多学者对此作了大批研究年以后开始引起中国学者的广泛关注并迅速成为教师知识研究的热点话题就数学教育而言掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展教师更需具备目前国外学者们从不同层不同的词语表示从教学的角度理解数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为从中国学科教学传统的角度理解有学者认为是关于教授某一具体容的方式或方法的知识具体地说是指教授某一特定容时有多少有效或不太有效的方式.资料.身垂)；教学的知识拟合了做数学的过程(问题提出、问题解决、问题应用和数学活动的三个方面“经验材料的数学化、数学材料的逻辑化、数学
41、理论的应用化”具有同构性，该师教学的知识可以看作是数学活动经验水平推演的结果。就连解题规律的概括，也深深烙上了数学思想的痕迹)。该师的学科教学知识既体现数学知识的认知属性，也体现数学知识的文化属性。提高教师的学科素养能促进教师对教学理论、课程编排及学生认知心理的认识，充分考察认知的文化性，也能促进教师对上述三者的认识，从而有效地发展学科教学知识。研究者：秀钢41 研究对象：两位高中数学教师，其中一位是新教师，另一位是经验教师 研究方法：1理论文献研究（为研究寻找更方法与理论基础）2、问卷调查（调查两位教师的数学教学观，包括教师的基本信息、数学教学目的观及数学观）3、教案分析（用于研究目标设计、
42、课堂安排及对学生 1教师数学教学目的观和数学观的差异：新教师支持数学教学要使学生理解数学的逻辑结构，使学生理解数学的推理特点。而经验教师反对这两个观点，认为性质定理需要解释证明，但学习性质定理的重要目的是应用定理，这也是学生学习的一个难点；经验教师认为数学是一些法则和公式的集合，它通过逻辑而将知识组织成一个彼此联系的结构，数学是发现而不是发明。新教师认为学习数学就是选用合适的法则与公式来解决数学问题，这可能是受到行为主义教育思想的影响42另外教师还没有注意到数学知识之间的彼此联系。关于新教师的数学观，最显著的特点是认为“数学学习中死记硬背是必要的；按照某种确定的方法一定能够解决数学问题”，而且
43、新教师反对这样的观点：“求解数学问题时，一般没有固定的方法。”也就是说新教师认为数学当中的一些公式法则还是要靠死记硬背的，无论什么数学问题，都是有固定的解决方法的。2、教学设计上的差异：经验教师的教学目标都没有涉及到一些提高学生哪些能力的词语，事实上从教学过程中还是比较关注学生数学能力的提高；新教师对数学教材的处理能力比较欠缺，对教学容的解析能力不够，只是把教学的主要容于的视角来认识数学教师专业发展应成为重要话题有关的结构国外学者已有不少研究但基本都囊括了数学学科容知识和教育性知识主要研究成果集中于义务教育阶段的涵结构特征价值发展途径优秀教师的以及视角下的课堂考察等但了的概此后国外许多学者对此
44、作了大批研究年以后开始引起中国学者的广泛关注并迅速成为教师知识研究的热点话题就数学教育而言掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展教师更需具备目前国外学者们从不同层不同的词语表示从教学的角度理解数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为从中国学科教学传统的角度理解有学者认为是关于教授某一具体容的方式或方法的知识具体地说是指教授某一特定容时有多少有效或不太有效的方式.资料.理解的差异）4课堂观察、课堂叙事（切实的反映课堂教学情况）5教师访谈（了解教师心的想法及思考）列为教学重点，不能估计学生学习可能遇到的难点。而经验教师对教学容的理解要深刻得多，不像新教师一样强调公式的记忆；新教师对
45、书上的例题不敢稍加变动，每堂课总是先完成书上的教学任务，再做课后练习，很少有自己添加的题目。经验教师则不同，根据学生的知识水平和教学的需要会改编甚至编制新的例题，从课堂中学生的反应看，这样做收到了很好的效果，另外经验教师十分注重基本知识与基本技能的落实，教学严谨。3教学方法与策略的使用以及教学反思与反馈：教学方法与策略上，新教师相对来说比较单一，运用不熟练，经验教师的教学方法比较丰富，且能灵活运用，善于为新课教学做好铺垫。教学反思方面，新教师多是对教学容知识作出反思，对整堂课缺乏总体的反思，而经验教师善于对教学的过程的整体进行反思，比较深刻。4、访谈：对 PCK 数学教学水平，两位教师都比较赞
46、成学生的考试成绩作为高中数学教师教学水平高的一个标志，但经验教师还注重课堂教学重点的突出与难点的突破，学生思维水平的提高。两位教师都很认为对课程容的深刻理解会对提高数学教学水平起到很大的作用，都认识到对学生原有知识基础、兴趣爱好及心理特点的了解也有助于教学。但是新教师本身正处于学习教学阶段，习惯于从其他教师的课堂中学习教学方法与相关知识，对数学及数学教学持较开放的态度，虚心好学。新教师认为对自己来说提高教学水平的最主要方式是多听老教师的课，多和同事交流，因为这样做对他的日常教学帮助是最大的。而经验教师认为提高教学水平主要途径主要是靠自己去钻研，去经历，去主动反思，态度是最重要的，最喜欢听优质课
47、，可以开阔视野，收获多一些。由表 2 可知，目前国学者关于 MPCK 研究主要体现在以下几个方面：（一）教师 MPCK 的普遍存在的问题 于的视角来认识数学教师专业发展应成为重要话题有关的结构国外学者已有不少研究但基本都囊括了数学学科容知识和教育性知识主要研究成果集中于义务教育阶段的涵结构特征价值发展途径优秀教师的以及视角下的课堂考察等但了的概此后国外许多学者对此作了大批研究年以后开始引起中国学者的广泛关注并迅速成为教师知识研究的热点话题就数学教育而言掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展教师更需具备目前国外学者们从不同层不同的词语表示从教学的角度理解数学教师从事专业教学所应具备
48、的核心知识称为从中国学科教学传统的角度理解有学者认为是关于教授某一具体容的方式或方法的知识具体地说是指教授某一特定容时有多少有效或不太有效的方式.资料.通过对具有代表性的数学教师进行案例研究，研究者们发现数学教师 MPCK 普遍存在的问题主要表现在以下几个方面：教师普遍存在低估学生的数学认知水平、对学生的认识表现出片面、对学生的学习困难判断不准的问题；教学几乎不涉及关于该课题对于学生今后的学习与生活的作用；注重文字表征，不善于用多元表征形式进行教学；不能准确把握相关知识之间的联系与区别；教学资源不丰富、来源单一，教师教学资源开发和运用的能力还不够；形成了一些比较有效的课堂规，但也有一些课堂规阻
49、碍了学生的自由发展。（二）不同类别教师其 MPCK 的特点不同 从新手教师与专家教师的比较出发，有些学者认为，专家教师具有良好的教育学科知识，注重对教材容的“二次开发”；专家教师的教学行为自然，提问具有启发性。有学者针对中学特级教师进行了个案研究认为，特级教师在深刻理解数学的基础上形成了文化取向的学科知识；课程的知识体现了数学知识的发生发展和结构特点，并考虑了学生的认知特点；学情的知识切合了学生心理发展的特点，并能以具体容为载体推动学生心理的发展；教学的知识拟合了做数学的过程。有学者对小学数学专家教师研究后认为，专家教师对数学知识具有深刻的理解，包括深层的概念理解与结构化的知识组织。专家教师倾
50、向于用“问题解决”的观点看待数学学科与学生的数学学习。综上所述，新手教师与专家教师的 MPCK 存在显著不同，而专家教师 MPCK 的形成是一个长期的过程。那么专家教师在课程设计、课程实施、学生管理等过程中是如何应用 MPCK 的？为了使 MPCK 研究达到一定的广度和深度，使 MPCK 的研究结论具有应用性和普适性，应加强专家教师 MPCK 的案例研究。教学案例研究是沟通数学教育理论与数学教育实践的桥梁，为教师提供了理解“实践情境”的机会。从这个意义上来说，MPCK 案例研究是从教师个人的实践角度去理解数学知识、理解数学教学理论的一次学习过程。正因为如此，加强 MPCK 案例研究有助于教师形