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1、学习好资料 欢迎下载 知识点典型例题直线、平面、简单的几何体 1 引言 立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形.平面 及空间直线 1.平面的基本性质:(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 公理 2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条直线.公理 3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面（不共线的三点确定一平面）推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.推论 2：经过两
2、条相交直线有且只有一个平面 推论 3；经过两条平行直线有且只有一个平面 注：水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法其规则是：在已知图形取水平平面，取互相垂直的轴,Ox Oy，再取 0z 轴，使90 xOz，且90yOz；画直观图时，把它们画成对应的轴,O x O y O z ，使45x O y(或135)，90 x O z,x Oy 所确定的平面表示水平平面；已知图形中平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段,在直观图中分别画成平行于x轴、y轴或z轴的线段；已知图形中平行于x轴和z 轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半 运用平面的三个公理及推论，能证明共点、
3、共线、共面一类问题。2.空间两条直线位置关系有：相交、平行、异面.相交直线 共面有且只有一个公共点；平行直线 共面没有公共点；公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行;等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 异面直线 不同在任一平面内.()两条异面直线所成的角(或夹角)：对于两条异面直线,a b，经过空间任一点 O 作直线aa,bb，则a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)若两条学习好资料 欢迎下载 平面 及空间直线 异面直线所成的角是直角
4、，则称这两条异面直线互相垂直.异面直线所成的角的范围是0,90 ()两条异面直线的距离：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离 注：如图:设异面直线 a，b 所成角为则 EF2=m2+n2+d22mncos或AB EFdAB 证明两条直线是异面直线一般用反证法。例 1.“直线 a 经过平面外一点 P”用符号表示为()(A),/Pa a (B)aP (C),PA P (D),Pa a 例 2.对于空间中的三条直线，有以下四个条件：三条直线两两相交；三条直线两两平行；三条直线共点；两直线相交，第三条平行于其中一条与另个一条相交.
5、其中使这三条直线共面的充分条件有（）个(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 例 3.如图 ABCDA1B1C1D1是正方体，O 是 B1D1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论错误的是()(A)A、M、O 三点共线 (B)M、O、A1、A四点共面(C)A、O、C、M 四点共面 (D)B、B1、O、M 四点共面 例 4.直线12ll与互相平行的一个充要条件是()(A)12ll、都垂直于同一平面 (B)l1平行 l2所在的平面(C)12ll、与同一平面所成的角相等 (D)l1，l2都平行于同一平面 例 5.a,b 为两异面直线，下列结论正确的是()(A)过不在 a,b 上
6、的任何一点，可作一个平面与 a,b 都平行(B)过不在 a,b 上的任一点，可作一直线与 a,b 都相交(C)过不在 a,b 上任一点，可作一直线与 a,b 都平行(D)过 a 可以并且只可以作一个平面与 b 平行 例 6.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB、CC1的中点，则异面直线 A1C 与 EF 所成角的余弦值为()(A)33 (B)32 (C)31 (D)61 例 7.已知如右图，在,中选择适当的符号填入各个空格：AB ，A AB，A ，CD，A ，BD ，D 。例 8.已知正ABC的边长为32,则到三个顶点的距离都为 1 的平面有_ 个.例 9.已知异面
7、直线 a 与 b 所成的角是 500，空间有一定点 P，则过点 P 与 a，b 所成的角都是 700的直线有_条.平面 及空间直例 10.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角，若 BCa，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值。割补形旋转等因此既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系也要能在复杂背景图形中剥出基本图形平面的基本性质公理如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线上的所有点都在这个平面内公理如果两个平面有一个公个平面不共线的三点确定一平面推论经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面推论经过两条相交直线有且只有一个平面推论经过两条平行直线有且只有一个平面注水平放置的
8、平面图形的直观图的画法用斜二测画法其规则面表示水平平面使或已知图形中平行于轴轴或轴的线段在直观图中分别画成平行于轴轴或轴的线段已知图形中平行于轴和轴的线段在直观图中保持长度不变平行于轴的线段长度为原来的一半运用平面的三个公理及推论能证明共点共学习好资料 欢迎下载 线 直线和平面 平行与平面和平面平行 1.直线和平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.注:直线与平面相交和直线与平面平行统称 为直线在平面外(1)直线在平面内有无数个公共点;(2)直线与平面相交有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行没有公共点 直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线与平面内的
9、一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.即 ,/abaab 直线和平面平行的性质定理:如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.即/llmm 2.两个平面的位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特殊情况）(1)两个平面相交有一条公共直线(2)两平面平行没有公共点()两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.即/ababPab 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.即,/,/ababA mnmnBambn 垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一
10、平面的两个平面平行.即,ll ;/()两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.即/,abab 注:平行问题常用平行转化的思想:例 11.若直线 ab，且 a平面，则直线 b 与平面的位置关系是()(A)b (B)b (C)b或 b (D)以上都不对 例 12.若直线 l 与平面的一条平行线平行，则 l 和的位置关系是()(A)l (B)/l (C)/ll或 (D)l和相交 例 13.直线与平面平行的充要条件是()割补形旋转等因此既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系也要能在复杂背景图形中剥出基本图形平面的基本性质公理如果一条直线上的两点在一个平面内那
11、么这条直线上的所有点都在这个平面内公理如果两个平面有一个公个平面不共线的三点确定一平面推论经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面推论经过两条相交直线有且只有一个平面推论经过两条平行直线有且只有一个平面注水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法其规则面表示水平平面使或已知图形中平行于轴轴或轴的线段在直观图中分别画成平行于轴轴或轴的线段已知图形中平行于轴和轴的线段在直观图中保持长度不变平行于轴的线段长度为原来的一半运用平面的三个公理及推论能证明共点共学习好资料 欢迎下载 直线和平面 平行与平面和平面平行(A)直线与平面内的一条直线平行 (B)直线与平面内的两条直线不相交(C)直线与平面
12、内的任一直线都不相交 (D)直线与平行内的无数条直线平行 例 14.“平面内不共线的三点到平面的距离相等”是“”的（）(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件 例 15.夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是()。(A)两条线段同时与平面垂直 (B)两条线段互相平行(C)两条线段相交 (D)两条线段与平面所成的角相等 例 16.经过平面外一点可以作 个平面平行于这个平面；可以作 条直线平行于这个平面.例 17.如图，直线 AC、DF 被三个平行平面、所截，已知 AB=2，BC=3，EF=4，则 DF=。例 18.给出下列四组命题：p q 直线
13、 l平面 l 上两点到的距离相等 直线 l平面 l 垂直于内无数条直线 平面平面 直线l，且/l 平面内任一直线平行于平面/满足 p 是 q 的充分且必要条件的序号是_ 例 19.如图所示，ABC 是正三角形，AE和 CD 都垂直于平面 ABC，且 AEAB2a，CDa，F 是 BE 的中点，求证：(1)DF/平面 ABC；(2)AFBD.例 20.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H 分别为棱 BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O 为AC 与 BD 的交点（如图）求证：EG平面 BB1D1D；平面 BDF平面 B1D1H；A1O平面 BDF；平面 BDF平面 AA1C.直
14、线和平 1.直线和平面垂直:(1)定义:如果一条直线l和一个平面内的任意一条直线都垂直,那么就说直线l和平面互相垂直.记作:l 割补形旋转等因此既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系也要能在复杂背景图形中剥出基本图形平面的基本性质公理如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线上的所有点都在这个平面内公理如果两个平面有一个公个平面不共线的三点确定一平面推论经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面推论经过两条相交直线有且只有一个平面推论经过两条平行直线有且只有一个平面注水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法其规则面表示水平平面使或已知图形中平行于轴轴或轴的线段在直观图中分别画成平
15、行于轴轴或轴的线段已知图形中平行于轴和轴的线段在直观图中保持长度不变平行于轴的线段长度为原来的一半运用平面的三个公理及推论能证明共点共学习好资料 欢迎下载 面垂直 (2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.即,mnmnAllmln (3)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 即 aabb 2.三垂线定理:(1)斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影注：垂线段比任何一条斜线段短 三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
16、垂直.即,aPAaOPaOA OA 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.即,aPAAaOAaOP OOP 垂足为 3.直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角 注:最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角即21coscoscos（1为最小角，如图）其中1为斜线 OA 与平面所成角，即为OAB，2为 OA 射影 AB 与内直线 AC 所成的角，为OAC.显然，1，2 一条直线垂直于平面，就说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平
17、面内，就说它们所成的角是0的角，可见，直线和平面所成的角的范围是0,90 直线与平面所成的角：关键是找直线在平面内的射影.三垂线定理及其逆定理在证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线等非常有用.垂直转化:例 21.等腰直角三角形 ABC沿斜边上的高 AD折成直二面角 B-AD-C，则 BD与平面 ABC所成角的正切值为()(A)2 (B)22 (C)1 (D)33 例 22.命题:（1）一个平面的两条斜线段中，较长的斜线段有较长的射影;（2）两条异面直线在同一平面内的射影是两条相交直线;（3）两条平行直线在同一平面内的射影是两条平行直线;（4）一个锐角在一个平面内的射影一定是
18、锐角.以上命题正确的有（）(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 例 23.平面内有一四边形 ABCD，P 为外一点，P 点到四边形 ABCD 各边的距离相等，则这个四边形（）(A)必有外接圆 (B)必有内切圆 (C)既有内切圆又有外接圆 (D)必是正方形 例 24.如图，PAO 所在平面，AB 为底面圆的直径，C 为下底面圆周上一点，CAB=，PBA=，CPB=，则（）(A)cossin=sin (B)sinsin=sin(C)coscos=cos (D)cossin=cos 割补形旋转等因此既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系也要能在复杂背景图形中剥出基本图形平面的基
19、本性质公理如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线上的所有点都在这个平面内公理如果两个平面有一个公个平面不共线的三点确定一平面推论经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面推论经过两条相交直线有且只有一个平面推论经过两条平行直线有且只有一个平面注水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法其规则面表示水平平面使或已知图形中平行于轴轴或轴的线段在直观图中分别画成平行于轴轴或轴的线段已知图形中平行于轴和轴的线段在直观图中保持长度不变平行于轴的线段长度为原来的一半运用平面的三个公理及推论能证明共点共学习好资料 欢迎下载 直线和平面垂直 例 25.如图，PA平面 ABC，ABC中，ACB=90
20、o.则图中 Rt的个数为（）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1 例 26.下列四个命题:lm,mn,nl；lm,m,nln lm,l,m；l,mlm 其中错误命题的个数是（）(A)0 个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 例 27.下列命题中正确的是（）(A)过平面外一点作此平面的垂面是唯一的 (B)过直线外一点作此直线的垂线是唯一的(C)过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的 (D)过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的 例 28.将正方形 ABCD 沿着对角线 BD 折成一个四面体 ABCD,在下列给出的四个角度中，30 60 90 120，不可能是 AC 与平面 BCD 所成的角是
21、 （把你认为正确的序号都填上）例 29.如图，BAD90的等腰直角三角形 ABD与正三角形 CBD 所在平面互相垂直，E 为 BC的中点，则 AE 与平面 BCD 所成角的大小为_.例 30.空间四边形 PABC 中，PA、PB、PC 两两相互垂直,PBA45,PBC60，M 为 AB 的中点.(1)求 BC 与平面 PAB 所成的角；(2)求证：AB平面 PMC.割补形旋转等因此既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系也要能在复杂背景图形中剥出基本图形平面的基本性质公理如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线上的所有点都在这个平面内公理如果两个平面有一个公个平面不共线的三点确定一平面推论经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面推论经过两条相交直线有且只有一个平面推论经过两条平行直线有且只有一个平面注水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法其规则面表示水平平面使或已知图形中平行于轴轴或轴的线段在直观图中分别画成平行于轴轴或轴的线段已知图形中平行于轴和轴的线段在直观图中保持长度不变平行于轴的线段长度为原来的一半运用平面的三个公理及推论能证明共点共