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1、学习必备 欢迎下载 相似模型在中考题中的应用 在近几年的中考试题里，一类相似模型出现的概率非常大，引起了广大一线教师的高度重视兹例析如下 相似模型(一)如图 1，在 Rt ABC 和 Rt CDE 中，B D ACE 90，点 B、C、D 在同一直线上，则 ABC CDE(1)直接应用 例 1 如图 2，正方形 ABCD 的边长为 1cm，M、N 分别是 BC、CD 上两个动点，且始终保持 AM MN 当 BM _cm 时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为_cm2(2)构造应用 几何综合性问题通常是由若干个基本图形组合而成，若能熟练掌握基本图形，添加适当的辅助线，则水到渠成 例 2 如
2、图 3，直角梯形 ABCD 中，AB BC，AD BC，BCAD，AD 2，AB 4，点 E 在 AB 上，将 CBE 沿 CE 翻折，使 B 点与 D 点重合，则 BCE 的正切值是 _ 分析 如图 4，连结 DE，由折叠可知，EDC B 90 A 90，利用相似模型(一)，则想到过点 C作 CH AD 交 AD 的延长线于点 H，易证：AED HDC，四边形 ABCH 为矩形 学习必备 欢迎下载 常规解法 如图 5，连结 DE，由折叠问题想到利用勾股定理 要求 tan BCE，需要求 BC 的长，由直角 梯形常用辅助线想到作高作 DH 上 BC，垂足 为日，设 BC y，则 DC y，易证
3、四边形 ABHD 是矩形，DH AB 4，HC y 2放到 Rt DHC 中，利用勾股定理，算出 y 5，即 BC 5 tan BCE 12 显然，常规解法要繁得多，若能掌握基本图形的性质，灵活运用基本图形，将大大帮助学生提高解题效率 注 本题也可连结 BD，利用直角三角形斜边上的高这个基本图形，证 BCE ABD，tan BCE tan ABD 2 14 2ADAB 相似模型(二)如图 6，若相似模型(一)中具备条件 AC CE，则可证得 ABC CDE，此为相似模型(一)的特例，不妨称之为相似模型(二)例 3 如图 7，平面内 4 条直线 l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻 2 条平
4、行线的距离都是 1 个单位长度，正方形 ABCD 的 4 个顶点 A、B、C、D 都在这些平行线上，其中点 A、C分别在直线 l1、l4上，该正方形的面积是 _平方单位 一线教师的高度重视兹例析如下相似模型一如图在和中点在同一直线上则直接应用例如图正方形的边长为分别是上两个动点且始终保持当时四边形的面积最大最大面积为构造应用几何综合性问题通常是由若干个基本图形组合而成若 析如图连结由折叠可知利用相似模型一则想到过点作交的延长线于点易证四边形为矩形学习必备欢迎下载常规解法如图连结由折叠问题想到利用勾股定理要求需要求的长由直角梯形常用辅助线想到作高作上垂足为日设则易证四边形 学生提高解题效率注本题
5、也可连结利用直角三角形斜边上的高这个基本图形证相似模型二如图若相似模型一中具备条件则可证得此为相似模型一的特例不妨称之为相似模型二例如图平面内条直线是一组平行线相邻条平行线的距离都学习必备 欢迎下载 分析 此题答案许多学生都误填 9，系因考虑问题不全面而导致错误若能想到相似模型(二)，把正方形 ABCD 斜过来放，问题便迎刃而解 正确解法：如图 8，正方形边长为 3，显然正方形 ABCD 的面积为 9；如图 9，分别过B 点、D 点向 l4作垂线段，垂足分别为 M、N，运用相似模型(二)，易证 BMC CND，CN BM 1 DN 2，DC 5，正方形 ABCD 的面积为 5综上所述，正方形面
6、积为 5 或9 相似模型(三)若将相似模型(一)一般化，可以得到如下相似模型(三)：如图 10，已知点 B、C、D 在同一直线上，且 B 1 D，则 ABC CDE，证明方法与相似模型(一)相同 例 4 如图 11 所示，直线 y34x b 与 x 轴相交于点 A(4，0)，与 y 轴相交于点 B，将 AOB 沿着 y 轴折叠，使点 A 落在 x 轴上，点 A 的对应点为点 C(1)求点 C 的坐标；(2)设点 P 为线段 CA 上的一个动点，点 P 与点 A、C 不重合，连结 PB，以点 P 为端点作射线 PM 交 AB 于点 M，使 BPM BAC 一线教师的高度重视兹例析如下相似模型一如
7、图在和中点在同一直线上则直接应用例如图正方形的边长为分别是上两个动点且始终保持当时四边形的面积最大最大面积为构造应用几何综合性问题通常是由若干个基本图形组合而成若 析如图连结由折叠可知利用相似模型一则想到过点作交的延长线于点易证四边形为矩形学习必备欢迎下载常规解法如图连结由折叠问题想到利用勾股定理要求需要求的长由直角梯形常用辅助线想到作高作上垂足为日设则易证四边形 学生提高解题效率注本题也可连结利用直角三角形斜边上的高这个基本图形证相似模型二如图若相似模型一中具备条件则可证得此为相似模型一的特例不妨称之为相似模型二例如图平面内条直线是一组平行线相邻条平行线的距离都学习必备 欢迎下载 求证：PB
8、C MPA；是否存在点 P，使 PBM 为直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解(1)C(4，0)；(2)由 AOB 沿 y 轴折叠，则 BCO BAC BPM BAC，BCO BPM BAC，则构造了相似模型(三)，易证 PBC MPA；(3)略 实践表明，认识和掌握基本图形的特征和相关结论，可以使复杂的问题简洁化、生疏的问题熟悉化；有助于学生思维的激活，能激发学生学习数学的兴趣，提高分析问题、解决问题的能力 一线教师的高度重视兹例析如下相似模型一如图在和中点在同一直线上则直接应用例如图正方形的边长为分别是上两个动点且始终保持当时四边形的面积最大最大面积为构造应用几何综合性问题通常是由若干个基本图形组合而成若 析如图连结由折叠可知利用相似模型一则想到过点作交的延长线于点易证四边形为矩形学习必备欢迎下载常规解法如图连结由折叠问题想到利用勾股定理要求需要求的长由直角梯形常用辅助线想到作高作上垂足为日设则易证四边形 学生提高解题效率注本题也可连结利用直角三角形斜边上的高这个基本图形证相似模型二如图若相似模型一中具备条件则可证得此为相似模型一的特例不妨称之为相似模型二例如图平面内条直线是一组平行线相邻条平行线的距离都