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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共 8 小题，每小
2、题 5 分，共 40 分。参考公式：参考公式：如果事件A、B互斥，那么()()()P ABP AP B如果事件A、B相互独立，那么()()()P ABP A P B圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxx R，则()ACB A 2B2,3C1,2,3D1,2,3,42设变量,x y满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy 则目标函数4zxy 的最大值为A2B3C5D63设xR，则“25
3、0 xx”是“|1|1x”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为A5B8C24D295已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l，若l与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且|4|ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为A2B3C2D56已知5log 2a，0.5og2.l0b，0.20.5c，则,a b c的大小关系为AacbBabcCbcaDcab7已知函数()sin()(0,0,|)f xAxA 是奇函数，将 yf x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所
4、得图象对应的函数为 g x若 g x的最小正周期为2，且24g，则38fA2B2C2D28已知aR，设函数222,1,()ln,1.xaxaxf xxaxx若关于x的不等式()0f x 在R上恒成立，则a的取值范围为A0,1B0,2C0,eD1,e2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）数学（理工类）第卷注意事项：注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共 12 小题，共 110 分。二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9i是虚数单位，则5ii1的值为_1083128xx的展开式中的常数
5、项为_11已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_12设aR，直线20axy和圆22cos,12sinxy（为参数）相切，则a的值为_13设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为_14在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE _三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分 13 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c已知2bca，
6、3 sin4 sincBaC（）求cosB的值；（）求sin 26B的值16（本小题满分 13 分）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为23假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（）用X表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件M发生的概率17（本小题满分 13 分）如图，AE 平面ABCD，,CFAEADBC，,1,2ADABABADAEBC（）求证：BF平面ADE；（）求直
7、线CE与平面BDE所成角的正弦值；（）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长18（本小题满分 13 分）设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的短轴长为 4，离心率为55（）求椭圆的方程；（）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上若|ONOF（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率19（本小题满分 14 分）设 na是等差数列，nb是等比数列已知1122334,622,24abbaba，（）求 na和 nb的通项公式；（）设数列 nc满足111,22,2,1,kknkkcncb n其中*k N（i）求数列2
8、21nnac的通项公式；（ii）求2*1niiiacnN20（本小题满分 14 分）设函数()e cos,()xf xxg x为 f x的导函数（）求 f x的单调区间；（）当,4 2x 时，证明()()02f xg xx；（）设nx为函数()()1u xf x在区间2,242nn内的零点，其中nN，证明20022sinc seonnnxxx一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】【分析】先求AB，再求()ACB。【详解】因为1,2AC，所以()1,2,3,4ACB.故选 D。【点睛】集
9、合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算2.设【答案】C【解析】【分析】画出可行域，用截距模型求最值。【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。目标函数的几何意义是直线4yxz在y轴上的截距，故目标函数在点A处取得最大值。由20,1xyx，得(1,1)A，所以max4(1)15z 。故选 C。【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围
10、即：一画，二移，三求3.【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】250 xx，即05x，11x等价于02x，故05x推不出11x；由11x能推出05x。故“250 xx”是“|1|1x”的必要不充分条件。故选 B。【点睛】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据pq，qp进行判断；(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题4.【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果。【详解】详解：
11、1,2Si11,12 25,3jSi 8,4Si，结束循环，故输出8。故选 B。【点睛】解决此类型问题时要注意：要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体；要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体5.【答案】D【解析】【分析】只需把4ABOF用,a b c表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。【详解】l的方程为1x ，双曲线的渐近线方程为byxa，故得(1,),(1,)bbABaa，所以2bABa，24ba，2ba，所以225cabeaa。故选 D。【点睛】双曲线22
12、221(0,0)xyabab的离心率21cbeaa。6【答案】A【解析】【分析】利用利用10,12等中间值区分各个数值的大小。【详解】551log 2log52a，0.50.5log0.2log0.252b，10.200.50.50.5，故112c，所以acb。故选 A。【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待。7.【答案】A【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出,A 值即可。【详解】()f x为奇函数，可知(0)sin0fA，由可得0；把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得1()sin2g xAx，由()g x的最小正周期为2可得2，由()24g，可得2A，
13、所以()2sin2f xx，33()2sin284f。故选 C。【点睛】在0 x 处有定义的奇函数必有(0)0f。8.【答案】C【解析】【分析】先判断0a 时，2220 xaxa在(,1上恒成立；若ln0 xax在(1,)上恒成立，转化为lnxax在(1,)上恒成立。【详解】首先(0)0f，即0a，当01a时，2222()22()22(2)0f xxaxaxaaaaaaa，当1a 时，(1)10f，故当0a 时，2220 xaxa在(,1上恒成立；若ln0 xax在(1,)上恒成立，即lnxax在(1,)上恒成立，令()lnxg xx，则2ln1()(ln)xg xx，易知xe为函数()g x
14、在(1,)唯一的极小值点、也是最小值点，故max()()g xg ee，所以ae。综上可知，a的取值范围是0,e。故选 C。【点睛】()af x在D上恒成立，等价于min(),af xxD；()af x在D上恒成立，等价于max(),af xxD。第第卷卷二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 6 6 小题小题.9.i是虚数单位，则51ii的值为_.【答案】13【解析】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。【详解】解法一：5(5)(1)23131(1)(1)iiiiiii。解法二：552613112iiii。【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式
15、，即abi(a，bR R)的形式，再根据题意求解10.83128xx是展开式中的常数项为_.【答案】28【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r的值，再求出其常数项。【详解】88 48 418831(2)()(1)28rrrrrrrrTCxC xx，由840r，得2r=，故所求的常数项为228(1)28C.【点睛】二项式中含有负号时，要把负号与其后面的字母看作一个整体，计算中要特别注意符号。11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_.【答案】4【解析】
16、【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。【详解】四棱锥的高为5 12，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12，故其体积为21124。【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。12.设aR，直线20axy和圆22cos,12sinxy（为参数）相切，则a的值为_.【答案】34【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a满足的方程，解之解得。【详解】圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，所以22121aa，即2244144aaa，解得34a。【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与
17、圆的半径的大小作出判断。13.设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为_.【答案】4 3【解析】【分析】把分子展开化为26xy，再利用基本不等式求最值。【详解】2 26(1)(21)221264 3xyxyxyxyxyxyxyxyxy，等号当且仅当3xy，即3,1xy时成立。故所求的最小值为4 3。【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。14.在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE _.【答案】1【解析】【分析】可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。【详解】解法一：
18、如图，过点B作AE的平行线交AD于F，因为AEBE，故四边形AEBF为菱形。因为30BAD，2 3AB，所以2AF，即25AFAD.因为25AEFBABAFABAD ，所以2227273()()2 3512 10155552BD AEADABABADAB ADABAD .解法二：建立如图所示的直角坐标系，则(2 3,0)B，5 3 5(,)22D。因为ADBC，30BAD，所以30CBE，因为AEBE，所以30BAE，所以直线BE的斜率为33，其方程为3(2 3)3yx，直线AE的斜率为33，其方程为33yx。由3(2 3),333yxyx 得3x，1y ，所以(3,1)E。所以3 5(,)(
19、3,1)122BD AE 。【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。三三.解答题解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在V ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c.已知2bca，3 sin4 sincBaC.（）求cosB的值；（）求sin 26B的值.【答案】（）1cos4B （）3 57sin 2616B【解析】【分析】()由题意结合正弦定理得到,a b c的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB的值()利用二倍角公式首先求得sin2,cos2BB的值，然后利用两角
20、和的正弦公式可得2a 的值.【详解】（）解：在V ABC中，由正弦定理sinsinbcBC，得sinsinbCcB，又由3 sin4 sincBaC，得3 sin4 sinbCaC，即34ba.又因为2bca，得到43ba，23ca.由余弦定理可得222222416199cos22423aaaacbBaa .（）解：由（）可得215sin1 cos4BB，从而15sin22sincos8BBB，227cos2cossin8BBB，故153713 57sin 2sin2 coscos2 sin666828216BBB 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余
21、弦公式，以及正弦定理余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.16.设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（）用X表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件M发生的概率.【答案】（）见解析；（）20243【解析】【分析】()由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；()由
22、题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】()因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7:30 之前到校的概率均为23，故23,3XB，从面33210,1,2,333kkkP XkCk .所以，随机变量X的分布列为：X0123P12749827随机变量X的数学期望2()323E X .()设乙同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数为Y，则23,3YB.且3,12,0MXYXY.由题意知事件3,1XY与2,0XY互斥，且事件3X 与1Y，事件2X 与0Y 均相互独立，从而由()知：()3,12,0P MPXYXY3,12,0P XYP XY(3)(1)(2)(
23、0)P XP YP XP Y824120279927243.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.17.如图，AE 平面ABCD，,CFAEADBC，,1,2ADABABADAEBC.（）求证：BF平面ADE；（）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长.【答案】（）见证明；（）49（）87【解析】【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系()利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；()分别求得直线CE的方向向量和
24、平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；()首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以,AB AD AE 的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2ABCDE.设0CFh h，则1,2,Fh.()依题意，1,0,0AB 是平面ADE的法向量，又0,2,BFh，可得0BF AB ，又因为直线BF 平面ADE，所以BF平面ADE.()依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BDBECE ，设,nx
25、y z为平面BDE的法向量，则00n BDn BE ，即020 xyxz ，不妨令z=1，可得2,2,1n，因此有4cos,9|CE nCE nCEn .所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49.()设,mx y z为平面BDF的法向量，则00m BDm BF ，即020 xyyhz.不妨令y=1，可得21,1,mh.由题意，有2241cos,343 2m nhm nmnh ，解得87h.经检验，符合题意所以，线段CF的长为87.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.1
26、8.设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为 4，离心率为55.（）求椭圆的方程；（）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|ONOF（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率.【答案】（）（）2 305或2 305.【解析】【分析】()由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；()联立直线方程与椭圆方程确定点P的值，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】()设椭圆的半焦距为c，依题意，524,
27、5cba，又222abc，可得5a，b=2，c=1.所以，椭圆方程为.()由题意，设,0,0PPPMP xyxM x.设直线PB的斜率为0k k，又0 2,B，则直线PB的方程为2ykx，与椭圆方程联立222154ykxxy，整理得2245200kxkx，可得22045Pkxk，代入2ykx得228 1045Pkyk，进而直线OP的斜率24510PPykxk，在2ykx中，令0y，得2Mxk.由题意得0,1N，所以直线MN的斜率为2k.由OPMN，得2451102kkk ，化简得2245k，从而2 305k .所以，直线PB的斜率为2 305或2 305.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几
28、何性质直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.19.设 na是等差数列，nb是等比数列.已知1122334,622,24abbaba，.（）求 na和 nb的通项公式；（）设数列 nc满足111,22,1,2,kknkknccb n其中*kN.（i）求数列221nnac的通项公式；（ii）求2*1niiiacnN.【答 案】（）31nan；3 2nnb （）（i）221941nnnac（ii）2*211*127 25 212nnniiiacnnn NN【解析】【分析】()由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；()结合
29、()中的结论可得数列221nnac的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得21niiiac的值.【详解】()设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为q.依题意得262 426262 424124qddqdd，解得32dq，故4(1)331nann，1623 2nnnb.所以，na的通项公式为31nan，nb的通项公式为3 2nnb .()(i)222113 213 21941nnnnnnnacab.所以，数列221nnac的通项公式为221941nnnac.(ii)22111nniiiiiiiacaa c2222111nniiiii
30、aac2212432nnn 19 41nii2114 1 43 25 291 4nnnn 211*2725 212nnnnN.【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.20.设函数()e cos,()xf xxg x为 fx的导函数.（）求 fx的单调区间；（）当,4 2x 时，证明()()02f xg xx；（）设nx为函数()()1u xf x在区间2,242mm内的零点，其中nN，证明20022sincosnnnxxex.【答 案】（）单 调 递 增 区 间 为32,2(),()44kkkf xZ的
31、单 调 递 减 区 间 为52,2()44kkkZ.（）见证明；（）见证明【解析】【分析】()由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数 fx的单调区间；()构造函数 2h xfxgxx，结合()的结果和导函数的符号求解函数 h x的最小值即可证得题中的结论；()令2nnyxn，结合()，()的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.【详解】()由已知，有 ecossinxfxxx.当52,244xkkkZ时，有sincosxx，得 0fx，则 fx单调递减;当32,244xkkkZ时，有sincosxx，得 0fx，则 fx单调递增.所以，fx的单调递增区间
32、为32,244kkkZ，fx的单调递减区间为52,244kkkZ.()记 2h xfxgxx.依题意及()有：cossinxg xexx，从而()2sinxg xex.当,4 2x 时，0gx，故()()()()(1)()022h xfxg xxg xg xx.因此，h x在区间,4 2 上单调递减，进而()022h xhf.所以，当,4 2x 时，()()02f xg xx.()依题意，10nnu xf x，即ecos1nxnx.记2nnyxn，则,4 2ny.且ecosnynnfyy22ecos2enxnnnxnnN.由20e1nnfyfy及()得0nyy.由()知，当,4 2x 时，0gx，所以 g x在,4 2 上为减函数，因此004ng yg yg.又由()知02nnnfyg yy，故：2e2nnnnnfyyg yg y 022200000sincossincosnnnyeeeg yeyyxx.所以200e22sincosnnnxxx.【点睛】本题主要考查导数的运算不等式证明运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力综合分析问题和解决问题的能力.