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1、湖北省咸宁市湖北省咸宁市 2020 年中考数学试题年中考数学试题一一、精心选一选精心选一选（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，满分满分 24 分分在每小题给出的四个选项中只在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）1.早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年，下列各式计算结果为负数的是（）A.3(2)B.3(2)C.3(2)D.(3)(2)【答案】C【解析】【分析】各式计算得到结果，即可作出判断【详解】解：A、3(2)=1，故选项不符
2、合；B、3(2)=5，故选项不符合；C、3(2)=-6，故选项符合；D、(3)(2)=32，故选项不符合；故选 C.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键2.中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计 2020 年中国在线教育用户规模将达到 305000000 人将305000000 用科学记数法表示为（）A.110.305 10B.83.05 10C.63.05 10D.8305 10【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n
3、为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数【详解】解：305000000 用科学记数法表示为 3.05108，故选：B【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3.下列计算正确的是（）A.32aaB.23a aaC.623aaaD.22436aa【答案】B【解析】【分析】利用合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可.【详
4、解】解：A、32aaa，故选项不符合；B、23a aa，故选项符合；C、624aaa，故选项不符合；D、22439aa，故选项不符合；故选 B.【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算，掌握运算法则是关键.4.如图是由 5 个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，从而得出该几何体的左视图【详解】解：该几何体的左视图是：故选 A.【点睛】本题考查了三视图，考验学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力5.如图是甲、乙两名射击运动员
5、某节训练课的 5 次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（）A.乙的最好成绩比甲高B.乙的成绩的平均数比甲小C.乙的成绩的中位数比甲小D.乙的成绩比甲稳定【答案】D【解析】【分析】根据折线统计图得出甲乙成绩的各项数据，从而判断各选项.【详解】解：由图可知：甲运动员的成绩为：6、7、10、8、9，乙运动员的成绩为：8、9、8、7、8，A、甲的最好成绩为 10 环，乙的最好成绩为 9 环，故选项错误；B、甲的成绩平均数为：（6+7+10+8+9）5=8，乙的成绩平均数为：（8+9+8+7+8）5=8，一样大，故选项错误；C、甲的成绩的中位数为 8，乙的成绩的中位数为 8，一样大，故选项错误；D、
6、甲的成绩的方差为2222216 8788 89 810 85=2，乙的成绩的方差为2222218 89 88 8788 85=0.4，0.42，所以乙的成绩比甲稳定，故选项正确；故选 D.【点睛】本题考查了平均数、中位数、方差，关键是根据甲乙的成绩计算出各项数据.6.如图，在O中，2OA，45C，则图中阴影部分的面积为（）A.22B.2C.22D.2【答案】D【解析】【分析】根据圆周角定理得出AOB=90，再利用 S阴影=S扇形OAB-SOAB算出结果.【详解】解：C=45，AOB=90，OA=OB=2，S阴影=S扇形OAB-SOAB=290212 23602=2，故选 D.【点睛】本题考查了
7、圆周角定理，扇形面积计算，解题的关键是得到AOB=90.7.在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”下列函数的图象中不存在“好点”的是（）A.yxB.2yxC.2yxD.22yxx【答案】B【解析】【分析】根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线 y=x 上的点，再各函数中令 y=x，对应方程无解即不存在“好点”.【详解】解：根据“好点”的定义，好点即为直线 y=x 上的点，令各函数中 y=x，A、x=-x，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；B、2xx，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；C、2xx，解得：2x ，经检验2x 是原方程的解，即“
8、好点”为（2，2）和（-2，-2），故选项不符合；D、22xxx，解得：x=0 或 3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；故选 B.【点睛】本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解题的关键是理解“好点”的定义.8.如图，在矩形ABCD中，2AB，2 5BC，E 是BC的中点，将ABE沿直线AE翻折，点 B 落在点 F 处，连结CF，则cos ECF的值为（）A.23B.104C.53D.2 55【答案】C【解析】【分析】根据折叠的性质得到AEB=AEF，再根据点 E 是 BC 中点可得 EF=EC，可得EFC=ECF，从而推出ECF=
9、AEB，求出cos AEB即可得到结果.【详解】解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，AEB=AEF，点 E 是 BC 中点，2 5BC，BE=CE=EF=5，EFC=ECF，AE=22253，BEF=AEB+AEF=EFC+ECF，ECF=AEB，cos ECF=cos AEB=53BEAE，故选 C.【点睛】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到ECF=AEB.二二、细心填一填细心填一填（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，满分满分 24 分分请把答案填在答题卷相应题号请把答案填在答题卷相应题号的横线上）的横线上）9.点
10、A 在数轴上的位置如图所示，则点 A 表示的数的相反数是_【答案】-3【解析】【分析】点 A 在数轴上表示的数是 3，根据相反数的含义和求法，判断出点 A 表示的数的相反数是多少即可【详解】解：点 A 在数轴上表示的数是 3，点 A 表示的数的相反数是-3故答案为：-3【点睛】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及相反数的含义和求法，要熟练掌握10.因式分解：22mxmxm_【答案】m（x-1）2【解析】【分析】先提取公因式 m，再利用完全平方公式进行因式分解即可【详解】22mxmxm221m xx21m x故答案为：21m x【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握完全平方公式是解题的关键1
11、1.如图，请填写一个条件，使结论成立：_，/a b【答案】1=4（答案不唯一）【解析】【分析】根据平行线的判定添加条件即可.【详解】解：如图，若1=4，则 ab，故答案为：1=4（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角解答.12.若关于 x 的一元二次方程2(2)xn有实数根，则 n 的取值范围是_【答案】n0【解析】【分析】根据平方的非负性可得结果【详解】解：关于 x 的一元二次方程2(2)xn有实数根，而2(2)0 x，n0，故答案为：n0【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握根的判别方法是解题的关键13.某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合
12、唱”活动，七年级准备从小明，小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是_【答案】16【解析】【分析】先画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出小聪和小慧被同时选中的结果数，然后根据概率公式求解【详解】解：画树状图如下：可知：共有 6 种等可能的结果，其中小聪和小慧同时被选中的情况有 1 种，小聪和小慧被同时选中的概率是16，故答案为：16.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有等可能的结果数，再找出某事件所占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率14.如图，海上有一灯塔 P，位于小岛 A北偏
13、东 60方向上，一艘轮船从北小岛 A 出发，由西向东航行24nmile到达 B 处，这时测得灯塔 P 在北偏东 30方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔 P的正南方，此时轮船与灯塔 P 的距离是_n mile（结果保留一位小数，31.73）【答案】20.8【解析】【分析】证明ABP 是等腰三角形，过 P 作 PDAB，从而求得 PD 的长即可【详解】解：过 P 作 PDAB 于 D，AB=24，PAB=90-60=30，PBD=90-30=60，BPD=30，APB=30，即PAB=APB，AB=BP=24，在直角PBD 中，PD=BPsinPBD=2432=12 320.8
14、.故答案为：20.8.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键15.按一定规律排列的一列数：3，23，13，33，43，73，113，183，若 a，b，c 表示这列数中的连续三个数，猜想 a，b，c 满足的关系式是_【答案】bc=a【解析】【分析】根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到 a，b，c 之间满足的关系式【详解】解：一列数：3，23，13，33，43，73，113，183，可发现：第 n 个数等于前面两个数的商，a，b，c 表示这列数中的连续三个数，bc=a，故答案为：bc=a【点睛】本题考查数字的变化类，
15、解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出 a，b，c之间的关系式16.如图，四边形ABCD是边长为 2 的正方形，点 E 是边BC上一动点（不与点 B，C 重合），90AEF，且EF交正方形外角的平分线CF于点 F，交CD于点 G，连接AF，有下列结论：ABEECG；AEEF；DAFCFE；CEF的面积的最大值为 1其中正确结论的序号是_（把正确结论的序号都填上）【答案】【解析】【分析】证明BAE=CEG，结合B=BCD 可证明ABEECG，可判断；在 BA 上截取 BM=BE，证明AMEECF，可判断；可得AEF 为等腰直角三角形，证明BAE+DAF=45，结合BAE=CEF
16、，FCH=45=CFE+CEF，可判断；设 BE=x，则 BM=x，AM=AB-BM=2-x，根据AMEECF，求出AME 面积的最大值即可判断.【详解】解：四边形 ABCD 为正方形，B=BCD=90，AEF=90，AEB+CEG=90，又AEB+BAE=90，BAE=CEG，ABEECG，故正确；在 BA 上截取 BM=BE，四边形 ABCD 为正方形，B=90，BA=BC，BEM 为等腰直角三角形，BME=45，AME=135，BA-BM=BC-BE，AM=CE，CF 为正方形外角平分线，DCF=45，ECF=135=AME，BAE=FEC，AMEECF（ASA），AE=EF，故正确；A
17、EF 为等腰直角三角形，EAF=EFA=45，BAE+DAF=45，而BAE=CEF，FCH=45=CFE+CEF，DAFCFE，故正确；设 BE=x，则 BM=x，AM=AB-BM=2-x，SAME=12x（2-x）=212xx，当 x=1 时，SAME有最大值12，而AMEECF，SAME=SCEF，SCEF有最大值12，所以错误；综上：正确结论的序号是：.故答案为：.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的最值，解题的关键是添加辅助线，灵活运用全等三角形的知识解决线段的问题.三、专心解一解（本大题共三、专心解一解（本
18、大题共 8 小题，满分小题，满分 2 分请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要分请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）17.（1）计算：0|12|2sin45(2020)；（2）解不等式组：(1)3,293.xx【答案】（1）0；（2）-3x-2【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算即可；（2）分别解得两个不等式的解集，再合并即可.【详解】解：（1）原式=221 212 =0；（2）(1)3293xx，解不等式得：x-2，解不等式得：x-3，不等
19、式组的解集为：-3x-2.【点睛】本题考查了实数的混合运算与解不等式组，以及特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则.18.如图，在ABCD中，以点 B 为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点 E，在AD上截取AFBE，连接EF（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）请用无刻度的直尺在ABCD内找一点 P，使90APB（标出点 P 的位置，保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据四边形 ABCD 为平行四边形，得出 AFBE，由作图过程可知 AF=BE，结合 AB=BE 即可证明；（2）利用菱形对角线互相垂直的性质，连接 AE 和 BF，交点即为点
20、 P.【详解】解：（1）根据作图过程可知：AB=BE，AF=BE，四边形 ABCD 为平行四边形，AFBE，AF=BE，四边形 ABEF 为平行四边形，AB=BE，平行四边形 ABEF 为菱形；（2）如图，点 P 即为所作图形，四边形 ABEF 为菱形，则 BFAE，APB=90.【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是利用相应的性质进行画图.19.如图，已知一次函数1ykxb与反比例函数2myx的图象在第一、三象限分别交于(6,1)A，(,3)B a 两点，连接OA，OB（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）AOB的面积为_；（3）直接写出12yy时 x 的取
21、值范围【答案】（1）1122yx，26yx；（2）8；（3）-2x0 或 x6.【解析】【分析】（1）把 A 代入反比例函数，根据待定系数法即可求得 m，得到反比例函数的解析式，然后将(,3)B a 代入，求得 a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；（2）求出一次函数图像与 x 轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的 x 取值范围【详解】解：（1）把(6,1)A代入反比例函数2myx得：m=6，反比例函数的解析式为26yx，(,3)B a 点在反比例函数2myx图像上，-3a=6，解得 a=-2，B（-2，-3），一次函数 y1=kx
22、+b 的图象经过 A 和 B，1632kbkb ，解得：122kb，一次函数的解析式为1122yx；（2）(6,1)A，(2,3)B，一次函数的解析式为1122yx，令 y=0，解得：x=4，即一次函数图像与 x 轴交点为（4，0），SAOB=141 382，故答案为：8；（3）由图象可知：12yy时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，x 的取值范围是：-2x0 或 x6.【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用20.随着科技的进步和网络资源的丰
23、富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间 t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表在线阅读时间频数分布表组别在线阅读时间 t（人数）A1030t 4B3050t 8C5070t aD7090t 16E90110t 2根据以上图表，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有_人，a _，m_；（2）求扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数；（3）若该校有 950 名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50 min?【答案】（1）50，20，8；（2）115.2；（3）7
24、22【解析】【分析】（1）根据 B 组人数和所占百分比求出被调查的学生总数，再根据 C 组所占百分比求出 a 值，最后根据 A组人数求出所占百分比；（2）求出 D 组所占百分比，再乘以 360即可；（3）用样本中在线阅读时间不少于50 min的总人数除以 50，再乘以全校总人数即可.【详解】解：（1）B 组的人数为 8 人，所占百分比为 16%，被调查的同学共有 816%=50 人，a=5040%=20 人，450100%=8%，m=8，故答案为：50，20，8；（2）（1-40%-16%-8%-4%）360=115.2，则扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数为：115.2；（3）95020
25、16250=722 人，全校有 722 学生平均每天的在线阅读时间不少于50 min.【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答21.如图，在RtABC中，90C，点 O 在AC上，以OA为半径的半圆 O 交AB于点 D，交AC于点 E，过点 D 作半圆 O 的切线DF，交BC于点 F（1）求证：BFDF；（2）若4AC，3BC，1CF，求半圆 O 的半径长【答案】（1）见解析；（2）138【解析】【分析】（1）连接 OD，根据切线的性质得到BDF+ADO=90，再结合ADO=OAD，推出BDF=B，即可；（2）过 F 作 FGBD
26、 于 G，先利用三角函数求出 BG=DG，再过点 O 作 OHAD 于 H，在AOH 中，求出 AO 即可.【详解】解：（1）连接 OD，DF 和半圆相切，ODDF，BDF+ADO=90，ADO=OAD，OAD+BDF=90，又C=90，OAD+B=90，BDF=B，BF=DF；（2）过 F 作 FGBD 于 G，则 GF 垂直平分 BD，1CF，BF=DF=2，4AC，3BC，C=90，AB=22345，cosB=BCBGABBF=35，325BG，解得：BG=65=DG，AD=AB-BD=135，过点 O 作 OHAD 于 H，AH=DH=12AD=1310，cosBAC=45ACAHAB
27、AO，AO=138，即半圆 O 的半径长为138.【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型22.5 月 18 日，我市九年级学生安全有序开学复课为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生已知每盒口罩有 100 只，每盒水银体温计有 10 支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多 150 元用 1200 元购买口罩盒数与用 300 元购买水银体温计所得盒数相同（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放
28、 2 只口罩和 1 支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买设购买口罩 m 盒（m 为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含 m 的代数式表示（3）在民联药店累计购医用品超过 1800 元后，超出 1800 元的部分可享受 8 折优惠该校按（2）中的配套方案购买，共支付 w 元，求 w 关于 m 的函数关系式若该校九年级有 900 名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？【答案】（1）每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是 200 元，50 元；（2）5m；（3）45043603604wm mwmm，需要购买口罩 18 盒，水银体温计 90 盒，所需总费用
29、为 6840 元.【解析】【分析】（1）设每盒水银体温计的价格是 x 元，根据用 1200 元购买口罩盒数与用 300 元购买水银体温计的盒数相同列出方程，求解即可；（2）先用 m 表示出需要水银体温计的支数，再表示出水银体温计的盒数；（3）分当 m4 时，当 m4 时，分别得出关系式，再合并，根据若该校九年级有 900 名学生求出口罩的盒数 m，从而得到体温计的盒数以及总费用.【详解】解：（1）设每盒水银体温计的价格是 x 元，则每盒口罩的价格是 x+150 元，根据题意可得：1200300150 xx，解得：x=50，经检验：x=50 是原方程的解，50+150=200 元，每盒口罩和每盒
30、水银体温计的价格各是 200 元，50 元；（2）购买口罩 m 盒，共有口罩 100m 个，给每位学生发放 2 只口罩和 1 支水银体温计，需要发放1002m支水银体温计，需要购买1001052mm盒水银体温计；（3）由题意可得：令 200m+5m50=1800，解得：m=4，若未超过 1800 元，即当 m4 时，则 w=200m+5m50=450m，若超过 1800 元，即当 m4 时，w=（200m+5m50-1800）0.8+1800=360m+360，w 关于 m 的函数关系式为45043603604wm mwmm，若该校九年级有 900 名学生，即1002m=900，解得：m=18
31、，则360360wm=6840，答：需要购买口罩 18 盒，水银体温计 90 盒，所需总费用为 6840 元.【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，弄清口罩盒数与体温计盒数的配套关系.23.定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则A与C的度数之和为_；证明：（2）如图 1，MN是O的直径，点,A B C在O上，AM，CN相交于点 D求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图 2，在对余四边形ABCD中，ABBC，60ABC，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由【答案】（
32、1）90或 270；（2）见解析；（3）222CDADBD，理由见解析【解析】【分析】（1）分当A 和C 互余时，当B 和D 互余时，两种情况求解；（2）连接 BO，得到BON+BOM=180，再利用圆周角定理证明C+A=90即可；（3）作ABD 的外接圆 O，分别延长 AC，BC，DC，交圆 O 于 E，F，G，连接 DF，DE，EF，先证明GF 是圆 O 的直径，得到222GEEFGF，再证明ABCFEC，ACDGCE，BCDGCF，可得22222222AB CFAD GCAC EFAC GE，BCBDCDkGCGFCF，从而得出222222AB CDAD BCAC BD，根据ABC 为等
33、边三角形可得 AB=AC=BC，从而得到222CDADBD.【详解】解：（1）四边形ABCD是对余四边形，当A 和C 互余时，A+C=90，当B 与D 互余时，B+D=90，则A+C=360-90=270，故答案为：90或 270；（2）如图，连接 BO，可得：BON=2C，BOM=2A，而BON+BOM=180，2C+2A=180，C+A=90，四边形ABCD是对余四边形；（3）四边形 ABCD 为对于四边形，ABC=60，ADC=30，如图，作ABD 的外接圆 O，分别延长 AC，BC，DC，交圆 O 于 E，F，G，连接 DF，DE，EF，则AEF=ABC=60，AEG=ADG=30，A
34、EF+AEG=90，即FEG=90，GF 是圆 O 的直径，AB=BC，ABC 为等边三角形，ABC=AEF，ACB=ECF，ABCFEC，得：ABACBCEFFCEC，则2222AB CFAC EF，同理，ACDGCE，得：ACADCDGCGECE，则2222AC GEAD GC，BCDGCF，得：BCBDCDkGCGFCF，可得：22222222AB CFAD GCAC EFAC GE，而222GEEFGF，222222AB CFAD GCAC GF，222222222CDBCBDABADACkkk，222222AB CDAD BCAC BD，AB=BC=AC，222CDADBD.【点睛】
35、本题考查了相似三角形的判定和性质，四边形的新定义问题，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，多边形内角和，解题的关键是理解对余四边形的概念，结合所学知识求证.24.如图，在平面直角坐标系中，直线122yx 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线223yxbxc 过点 B 且与直线相交于另一点5 3,2 4C（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是抛物线上的一动点，当PAOBAO 时，求点 P 的坐标；（3）点5(,0)02N nn在 x 轴的正半轴上，点(0,)Mm是 y 轴正半轴上的一动点，且满足90MNC求 m 与 n 之间的函数关系式；当 m 在什么范围时，符合条件的 N 点的
36、个数有 2 个？【答案】（1）227236yxx；（2）5 3,2 4或（3，12）或（-2，-3）；（3）241033mnn；0m2512【解析】【分析】（1）利用一次函数求出 A 和 B 的坐标，结合点 C 坐标，求出二次函数表达式；（2）当点 P 在 x 轴上方时，点 P 与点 C 重合，当点 P 在 x 轴下方时，AP 与 y 轴交于点 Q，求出 AQ 表达式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点 P；（3）过点 C 作 CDx 轴于点 D，证明MNONCD，可得MONONDCD，整理可得结果；作以 MC 为直径的圆 E，根据圆 E 与线段 OD 的交点个数来判断 M 的位置，即可得到
37、m 的取值范围.【详解】解：（1）直线122yx 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，令 x=0，则 y=2，令 y=0，则 x=4，A（4，0），B（0，2），抛物线223yxbxc 经过 B（0，2），5 3,2 4C，2322554342cbc，解得：762bc，抛物线的表达式为：227236yxx；（2）当点 P 在 x 轴上方时，点 P 与点 C 重合，满足PAOBAO，5 3,2 4C，5 3,2 4P，当点 P 在 x 轴下方时，如图，AP 与 y 轴交于点 Q，PAOBAO，B，Q 关于 x 轴对称，Q（0，-2），又 A（4，0），设直线 AQ 的表达式为 y=px+
38、q，代入，204qpq，解得：122pq，直线 AQ 的表达式为：122yx，联立得：212227236yxyxx，解得：x=3 或-2，点 P 的坐标为（3，12）或（-2，-3），综上，当PAOBAO 时，点 P 的坐标为：5 3,2 4或（3，12）或（-2，-3）；（3）如图，MNC=90，过点 C 作 CDx 轴于点 D，MNO+CND=90，OMN+MNO=90，CND=OMN,又MON=CDN=90，MNONCD，MONONDCD，即5324mnn，整理得：241033mnn；如图，MNC=90，以 MC 为直径画圆 E，5(,0)02N nn，点 N 在线段 OD 上（不含 O
39、 和 D），即圆 E 与线段 OD 有两个交点（不含 O 和 D），点 M 在 y 轴正半轴，当圆 E 与线段 OD 相切时，有 NE=12MC，即 NE2=14MC2，M（0，m），5 3,2 4C，E（54，382m），2382m=22153424m，解得：m=2512，当点 M 与点 O 重合时，如图，此时圆 E 与线段 OD（不含 O 和 D）有一个交点，当 0m2512时，圆 E 与线段 OD 有两个交点，故 m 的取值范围是：0m2512.【点睛】本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.