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1、-1-绝密启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学数学注意事项注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共本试卷共 4 页，均为非选择题页，均为非选择题(第第 1 题题第第 20 题，共题，共 20 题题)。本卷满分为。本卷满分为 160 分，考试时分，考试时间为间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2答题前答题前，请务必将自己的姓名请务必将自己的姓名、准考证号用准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填
2、写在试卷及答题毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置卡的规定位置.3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4作答试题作答试题，必须用必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作在其他位置作答一律无效答一律无效.5如需作图，须用如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：参考公式：柱体的体积柱体的体积VSh，其中，其中S是柱体的底面积，是
3、柱体的底面积，h是柱体的高是柱体的高一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置答题卡相应位置上上1.已知集合 1,0,1,2,0,2,3AB，则AB _.2.已知i是虚数单位，则复数(1 i)(2i)z 的实部是_.3.已知一组数据4,2,3,5,6aa的平均数为 4，则a的值是_.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是_.5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为2，则输入x的值是_.-2-6.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线22xa
4、25y=1(a0)的一条渐近线方程为 y=52x，则该双曲线的离心率是_.7.已知 y=f(x)是奇函数，当 x0 时，23f xx，则 f(-8)的值是_.8.已知2sin()4=23，则sin2的值是_.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm.10.将函数 y=sin(2)43x 的图象向右平移6个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是_.11.设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列an+bn的前 n 项和221
5、()nnSnnnN，则 d+q 的值是_12.已知22451(,)x yyx yR，则22xy的最小值是_13.在ABC 中，43=90ABACBAC，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若3()2PAmPBm PC （m 为常数），则 CD 的长度是_14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知3(0)2P，A，B 是圆 C：221()362xy上的两个动点，满足PAPB，则PAB 面积的最大值是_二二、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共计共计 90 分分，请在请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答内作答，解答时应写出文字解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、说明、证明过程或演算步骤15.在三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点-3-（1）求证：EF平面 AB1C1；（2）求证：平面 AB1C平面 ABB116.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,2,45acB（1）求sinC的值；（2）在边 BC 上取一点 D，使得4cos5ADC，求tanDAC的值17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上、桥 AB 与MN 平行，OO为铅垂线(O在 AB 上).经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离1h(米
7、)与 D 到OO的距离 a(米)之间满足关系式21140ha；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离2h(米)与 F 到OO的距离b(米)之间满足关系式3216800hbb.已知点 B 到OO的距离为 40 米.（1）求桥 AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上(不包括端点).-4-桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价32k(万元)(k0).问O E为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆22:143xyE的左、右焦点分别为 F1，F
8、2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1与椭圆 E 相交于另一点 B（1）求AF1F2的周长；（2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求OP QP 的最小值；（3）设点 M 在椭圆 E 上，记OAB 与MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐标19.已知关于 x 的函数(),()yf xyg x与()(,)h xkxb k bR在区间 D 上恒有()()()f xh xg x（1）若 2222()f xxxg xxxD ，求 h(x)的表达式；（2）若21 ln,()()()(0)xxgkxhkxk
9、Df xxx，求 k 的取值范围；（3）若422242()2()(48()430)22f xxxg xxh xtt xttt，,2,2Dm n，求证：7nm20.已知数列*()nanN的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn设与 k 是常数，若对一切正整数 n，均有11111kkknnnSSa成立，则称此数列为“k”数列（1）若等差数列 na是“1”数列，求的值；（2）若数列 na是“323”数列，且 an0，求数列 na的通项公式；（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列 na为“3”数列，且 an0?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由，-5-数学数学(附加题附加题)【选做题【选做题】本
10、题包括本题包括 A、B、C 三小题三小题，请选定其中两小题请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答并在相应的答题区域内作答若若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换21.平面上点(2,1)A在矩阵11abM对应的变换作用下得到点(3,4)B（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵1MB选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，已知点1(,)3A在直线:cos2l上，点2(,)6B在圆:4sinC上（其中0，02）（1）
11、求1，2的值（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标C选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲23.设xR，解不等式2|1|4xx【必做题】第【必做题】第 24 题、第题、第 25 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答，解答内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤24.在三棱锥 ABCD 中，已知 CB=CD=5,BD=2，O 为 BD 的中点，AO平面 BCD，AO=2，E 为 AC 的中点（1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF=14BC，设二面
12、角 FDEC 的大小为，求 sin的值25.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球-6-的概率为 qn（1）求 p1q1和 p2q2；（2）求 2pn+qn与 2pn-1+qn-1的递推关系式和 Xn的数学期望 E(Xn)(用 n 表示)答案解析答案解析一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置答题卡相应位置上上1.已
13、知集合 1,0,1,2,0,2,3AB，则AB _.【答案】0,2【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】1,0,1,2A ,0,2,3B 0,2AB I故答案为：0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型2.已知i是虚数单位，则复数(1 i)(2i)z 的实部是_.【答案】3【解析】-7-【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.【详解】复数12zii2223ziiii 复数的实部为 3.故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题3.已知一组数据4,2,3,5,6aa的平均数为 4，则a的值是_.【答案】2【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可【详解
14、】数据4,2,3,5,6aa的平均数为 44235620aa，即2a.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是_.【答案】19【解析】【分析】分别求出基本事件总数，点数和为 5 的种数，再根据概率公式解答即可【详解】根据题意可得基本事件数总为6 636个.点数和为 5 的基本事件有1,4，4,1，2,3，3,2共 4 个.出现向上的点数和为 5 的概率为41369P.故答案为：19.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.如图是一个算法
15、流程图，若输出y的值为2，则输入x的值是_.-8-【答案】3【解析】【分析】根据指数函数的性质，判断出1yx，由此求得x的值.【详解】由于20 x，所以12yx ，解得3x .故答案为：3【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.6.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线22xa25y=1(a0)的一条渐近线方程为 y=52x，则该双曲线的离心率是_.【答案】32【解析】【分析】根据渐近线方程求得a，由此求得c，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22215xya，故5b.由于双曲线的一条渐近线方程为52yx，即522baa，所以22453cab，所
16、以双曲线的离心率为32ca.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.7.已知 y=f(x)是奇函数，当 x0 时，23f xx，则 f(-8)的值是_.【答案】4【解析】-9-【分析】先求(8)f，再根据奇函数求(8)f【详解】23(8)84f，因为()f x为奇函数，所以(8)(8)4ff 故答案为：4【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知2sin()4=23，则sin2的值是_.【答案】13【解析】【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】22221sin()(cossin)(1 s
17、in2)4222Q121(1 sin2)sin2233故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm.【答案】12 32【解析】【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为23622=12 34-10-圆柱体积为21()222所求几何体体积为12 32故答案为：12 32【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.将
18、函数 y=sin(2)43x 的图象向右平移6个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是_.【答案】524x【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin2()3sin(2)6412yxx72()()122242kxkkZxkZ当1k 时524x 故答案为：524x【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.11.设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列an+bn的前 n 项和221()nnSnnnN，则 d+q 的值是_【答案】4【解析】【分析】结合等差数列和等比数列前n
19、项和公式的特点，分别求得 ,nnab的公差和公比，由此求得dq.【详解】设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为q，根据题意1q.等差数列 na的前n项和公式为2111222nn nddPnadnan，等比数列 nb的前n项和公式为1111111nnnbqbbQqqqq，-11-依题意nnnSPQ，即22111212211nnbbddnnnanqqq，通过对比系数可知111212211ddaqbq 112021daqb，故4dq.故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式，属于中档题.12.已知22451(,)x yyx yR，则22xy的最小值是_【答案】4
20、5【解析】【分析】根据题设条件可得42215yxy，可得4222222114+555yyxyyyy，利用基本不等式即可求解.【详解】22451x yy0y 且42215yxy422222222114144+2555555yyyxyyyyy，当且仅当221455yy，即2231,102xy时取等号.22xy的最小值为45.故答案为：45.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点
21、，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13.在ABC 中，43=90ABACBAC，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若3()2PAmPBm PC （m 为常数），则 CD 的长度是_-12-【答案】185【解析】【分析】根据题设条件可设0PAPD ，结合32PAmPBm PC 与,B D C三点共线，可求得，再根据勾股定理求出BC，然后根据余弦定理即可求解.【详解】,A D P三点共线，可设0PAPD ，32PAmPBm PC ，32PDmPBm PC ，即32mmPDPBPC ，若0m且32m，则,B D C三点共线，321mm，即32，9A
22、P，3AD，4AB,3AC,90BAC，5BC，设CDx，CDA，则5BDx，BDA.根据余弦定理可得222cos26ADCDACxAD CD，222257cos26 5xADBDABAD BDx，coscos0，257066 5xxx，解得185x，CD的长度为185.当0m 时，32PAPC ，,C D重合，此时CD的长度为0，-13-当32m 时，32PAPB ，,B D重合，此时12PA，不合题意，舍去.故答案为：0 或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出0PAPD 14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知3(0)2P，A，
23、B 是圆 C：221()362xy上的两个动点，满足PAPB，则PAB 面积的最大值是_【答案】10 5【解析】【分析】根据条件得PCAB,再用圆心到直线距离表示三角形 PAB 面积，最后利用导数求最大值.【详解】PAPBPCABQ设圆心C到直线AB距离为d，则231|=2 36,|144ABdPC所以22212 36(1)(36)(1)2PABSddddV令222(36)(1)(06)2(1)(236)04ydddydddd（负值舍去）当04d时，0y；当46d时，0y，因此当4d 时，y取最大值，即PABS取最大值为10 5，故答案为：10 5【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查
24、综合分析求解能力，属中档题.二二、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共计共计 90 分分，请在请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答内作答，解答时应写出文字解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤15.在三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点-14-（1）求证：EF平面 AB1C1；（2）求证：平面 AB1C平面 ABB1【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）通过证明1/EF AB，来证得/EF平面11ABC.（2）通过证明AB 平面1ABC，来证得平面1ABC 平面
25、1ABB.【详解】（1）由于,E F分别是1,AC BC的中点，所以1/EF AB.由于EF 平面11ABC,1AB 平面11ABC，所以/EF平面11ABC.（2）由于1BC 平面ABC，AB平面ABC，所以1BCAB.由于1,ABAC ACBCC，所以AB 平面1ABC,由于AB平面1ABB，所以平面1ABC 平面1ABB.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.16.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,2,45acB-15-（1）求sinC的值；（2）在边 BC 上取一点 D，使得4cos5ADC，求tanDAC的值【答案】（1）
26、5sin5C；（2）2tan11DAC.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinC.（2）根据cosADC的值，求得sinADC的值，由（1）求得cosC的值，从而求得sin,cosDACDAC的值，进而求得tanDAC的值.【详解】（1）由余弦定理得22222cos922 3252bacacB ，所以5b.由正弦定理得sin5sinsinsin5cbcBCCBb.（2）由于4cos5ADC，,2ADC，所以23sin1 cos5ADCADC.由于,2ADC，所以0,2C，所以22 5cos1 sin5CC所以sinsinDACDACsinADCCsincoscossi
27、nADCCADCC32 5452 5555525.由于0,2DAC，所以211 5cos1 sin25DACDAC.所以sin2tancos11DACDACDAC.-16-【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上、桥 AB 与MN 平行，OO为铅垂线(O在 AB 上).经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离1h(米)与 D 到OO的距离 a(米)之间满足关系式21140ha；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离2h(米)与 F 到OO的距
28、离b(米)之间满足关系式3216800hbb.已知点 B 到OO的距离为 40 米.（1）求桥 AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上(不包括端点).桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价32k(万元)(k0).问O E为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低?【答案】（1）120 米（2）20O E米【解析】【分析】（1）根据 A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）由题意得2311|406 40|8040800O AO
29、 A|8040120ABO AO B米（2）设总造价为()f x万元，21|8016040O O，设|O Ex，32131()(1606)160(80),(040)800240f xkxxkxx-17-3221336()(160),()()0208008080080f xkxxfxkxxx(0 舍去)当020 x时，()0fx；当2040 x时，()0fx，因此当20 x=时，()f x取最小值，答：当20O E米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.18.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆22:143xyE的
30、左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1与椭圆 E 相交于另一点 B（1）求AF1F2的周长；（2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求OP QP 的最小值；（3）设点 M 在椭圆 E 上，记OAB 与MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐标【答案】（1）6；（2）-4；（3）2,0M或212,77.【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得124AFAF，从而可求出12AFF的周长；（2）设0,0P x，根据点A在椭圆E上，且在第一象限，212AFFF，求出31,2A，根据准
31、线方程得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设11,M x y，点M到直线AB的距离为d，由点O到直线AB的距离与213SS，可推出95d，根据点到直线的距离公式，以及11,M x y满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.【详解】（1）椭圆E的方程为22143xy-18-11,0F,21,0F由椭圆定义可得：124AFAF.12AFF的周长为426（2）设0,0P x，根据题意可得01x.点A在椭圆E上，且在第一象限，212AFFF31,2A准线方程为4x 4,QQy200000,04,4244QOP QPxxyxxx ，当且仅当02x 时取等号.OP QP 的
32、最小值为4.（3）设11,M x y，点M到直线AB的距离为d.31,2A，11,0F 直线1AF的方程为314yx点O到直线AB的距离为35，213SS2113133252SSABAB d 95d 113439xy2211143xy联立解得1120 xy，1127127xy .-19-2,0M或212,77.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213SS推出95d 是解答本题的关键.19.已知关于 x 的函数(),()yf xyg x与()(,)h xkxb k bR在区间 D 上恒有()()()f xh xg x（1）若 2222(
33、)f xxxg xxxD ，求 h(x)的表达式；（2）若21 ln,()()()(0)xxgkxhkxk Df xxx，求 k 的取值范围；（3）若422242()2()(48()430)22f xxxg xxh xtt xttt，,2,2Dm n，求证：7nm【答案】（1）2h xx；（2）0,3k；（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）求得 fx与 g x的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得 h x的表达式.（2）先由 0h xg x，求得k的一个取值范围，再由 0f xh x，求得k的另一个取值范围，从而求得k的取值范围.（3）先由 f xh x，求得t的取值范围，由方程 0
34、g xh x的两个根，求得nm的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有2222xxkxbxx对任意的xR恒成立.令0 x，则00b，所以0b.因此22kxxx即220 xk x对任意的xR恒成立，所以220k，因此2k.故 2h xx.（2）令 1 ln0F xh xg xk xxx，01F.又 1xFxkx.-20-若k0，则 F x在()0,1上递增，在()1,+上递减，则 10F xF，即 0h xg x，不符合题意.当0k 时，0,F xh xg xh xg x，符合题意.当0k 时，F x在()0,1上递减，在()1,+上递增，则 10F xF，即 0h xg x，符
35、合题意.综上所述，0k.由 21f xh xxxkxk 2110 xkxk当102kx，即1k 时，211yxkxk在()0,+为增函数，因为 0010fhk，故存在00,x，使 0f xh x，不符合题意.当102kx，即1k 时，20f xh xx，符合题意.当102kx，即1k 时，则需21410kk，解得13k.综上所述，k的取值范围是0,3k.（3）因为423422243248xxtt xttx对任意,2,2xm n 恒成立，423422432xxtt xtt对任意,2,2xm n 恒成立，等价于222()2320 xtxtxt对任意,2,2xm n 恒成立.故222320 xtxt
36、对任意,2,2xm n 恒成立令22()232M xxtxt，当201t，2880,11tt ，此时2217nmt，当212t，2880t ，但234248432xtt xtt对任意的,2,2xm n 恒成立.等价于2322443420 xtt xtt对任意的,2,2xm n 恒成立.-21-2322443420 xtt xtt的两根为12,x x，则4231212328,4ttxxtt x x，所以2121212=4nmxxxxx x642538ttt.令2,1,2t，则32538nm.构造函数 325381,2P，231033 31P，所以1,2时，0P，P递减，max17PP.所以max
37、7nm，即7nm.【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20.已知数列*()nanN的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn设与 k 是常数，若对一切正整数 n，均有11111kkknnnSSa成立，则称此数列为“k”数列（1）若等差数列 na是“1”数列，求的值；（2）若数列 na是“323”数列，且 an0，求数列 na的通项公式；（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列 na为“3”数列，且 an0?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由，【答案】（1）1（2）21,13 4,2nnna
38、n（3）01【解析】【分析】（1）根据定义得+11nnnSSa，再根据和项与通项关系化简得11nnaa，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得111222+1+13()3nnnnSSSS，根据平方差公式化简得+1=4nnSS，求得nS，即得na；-22-（3）根据定义得111333+11nnnSSa，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果【详解】（1）+111111101nnnnnnSSaaaaa Q（2）11221100nnnnnaSSSS Q111222+1+13()3nnnnSSSSQ1111112222222+1+1+11()()()3nn
39、nnnnSSSSSS1111111222222+1+1+1+11()=2=443nnnnnnnnnnSSSSSSSSS111Sa，14nnS122443 4,2nnnnan 21,13 4,2nnnan（3）假设存在三个不同的数列 na为3数列.111113333333+11+1+1()()nnnnnnnSSaSSSS1133+1nnSS或11221123333333+1+1+1()()nnnnnnSSSSSS+1nnSS或22113333333+1+1(1)(1)(2)0nnnnSSSS对于给定的，存在三个不同的数列 na为3数列，且0na 1,10,2nnan或22113333333+1+
40、1(1)(1)(2)01nnnnSSSS有两个不等的正根.22113333333+1+1(1)(1)(2)01nnnnSSSS可转化为2133333+1+12133(1)(2)(1)01nnnnSSSS，不妨设1310nnSx xS，则3233(1)(2)(1)01xx有两个不等正根，设 3233(1)(2)(1)01f xxx.-23-当1时，32323(2)4(1)004，即01，此时 3010f，33(2)02(1)x 对，满足题意.当1时，32323(2)4(1)004，即314，此时 3010f，33(2)02(1)x 对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，01【点睛】本题
41、考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.数学数学(附加题附加题)【选做题【选做题】本题包括本题包括 A、B、C 三小题三小题，请选定其中两小题请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答并在相应的答题区域内作答若若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换21.平面上点(2,1)A在矩阵11abM对应的变换作用下得到点(3,4)B（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵1M【答案】（1）22ab；（2）121551
42、255M.【解析】【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数,a b的值；（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【详解】（1）平面上点2,1A在矩阵 11aMb对应的变换作用下得到点3,4B 123114ab21324ab ，解得22ab-24-（2）设1m nMcd，则12210=2 201mcndMMmcnd21202021mcndmcnd，解得25151525mncd 121551255M【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题B选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，已知点1(,)
43、3A在直线:cos2l上，点2(,)6B在圆:4sinC上（其中0，02）（1）求1，2的值（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标【答案】（1）1242，（2）(2 2,)4【解析】【分析】(1)将 A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【详解】（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43，因为点B为直线6上，故其直角坐标方程为33yx，又4sin对应的圆的直角坐标方程为：2240 xyy，由223340yxxyy解得00 xy或31xy，-25-对应的点为0,0,3,1，故对应的极径为20或22.（2）cos2,4sin,4si
44、ncos2,sin21，50,2),44，当4时2 2；当54时2 20，舍；即所求交点坐标为当(2 2,),4【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.C选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲23.设xR，解不等式2|1|4xx【答案】22,3【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224xxx 或10224xxx 或0224xxx21x 或10 x 或203x所以解集为22,3【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.【必做题】第【必做题】第 24 题、第题、第 25 题，每题题，每题 10 分，共计分，共
45、计 20 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答，解答内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤24.在三棱锥 ABCD 中，已知 CB=CD=5,BD=2，O 为 BD 的中点，AO平面 BCD，AO=2，E 为 AC 的中点-26-（1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF=14BC，设二面角 FDEC 的大小为，求 sin的值【答案】（1）1515（2）2 3913【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹
46、角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连,COBCCD BOODCOBDQ以,OB OC OA为,x y z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)ABCDE115(1,0,2),(1,1,1)cos,155 3ABDEAB DE uu u ruuu ruu u r uuu r从而直线AB与DE所成角的余弦值为1515（2）设平面DEC一个法向量为1(,),nx y z11200(1,2,0),00 xynDCDCxyznDE 令112,1(2,1,1)yxzn u r设平面DEF一个法向量为-27-2111(,),n
47、x y zu u r1122111710017 1(,0),4244 200 xynDFDFDBBFDBBCnDExyz 令111272,5(2,7,5)yxzn u u r1261cos,6 7813n n u r u u r因此122 39sin1313【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.25.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn（1）求 p1q1和 p2q2；（2
48、）求 2pn+qn与 2pn-1+qn-1的递推关系式和 Xn的数学期望 E(Xn)(用 n 表示)【答案】（1）112212716,332727pqpq；（2）111222+33nnnnpqpq【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求nnpq，即得递推关系，构造等比数列求得2nnpq，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1）111 312 32,3 333 33pq，2111 31 211227+3 33 3333927ppq，2112 31 12 2222516+0+3 33 3333927qpq （2）11111 31 212+3 33 339nnnnnppqpq，111112 31 12 23 212+(1)+3 33 33 393nnnnnnqpqpqq ，因此112122+333nnnnpqpq，从而11111212(2+),21(2+1)333nnnnnnnnpqpqpqpq，-28-即1111121(2+1),2133nnnnnnpqpqpq .又nX的分布列为nX012P1nnpqnqnp故1()213nnnnE Xpq.【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.