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1、江苏省南外.海安中学、金陵中学2021考前高三数学高考模拟试题含答案南外海安金陵考前高三模拟卷数学注意 事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题.本题共8小 题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数二满足(1 +方=1 ,则目=A .-B ,-C ./2 D .12 22.已 知 集
2、合/=0,1,2,3,4 ,5 =x|ta n.v 0,xe/l)，则/C l 8中所有元素的和为A .I B .4 C .5 D .63 .已 知 向 量 满 足 同=2网=2 ,a-b=/5,则k+2 =A .2 石 B .4 C .V T 5 D .2上4.某班5名团员参加 共青团知识竞赛，决出第一名到第五名的名次(无并列名次),已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，据此推测5人的名次排列情况共有()种A .5 B ,8 C .1 4 D .2 1sin(2 a +生5.若ta n a =：,则一=2 sin(3 -2 a)A .-B ,2 C .-D .22 2(1、(1 Y A6.若
3、：=l o g3a ,=b =3,则a,仇c的大小关系是K.c a b B .c b a C.a c b D.b c b0)的左、右焦点直线/过耳交椭圆C于4 8b两 点，交歹轴于尸点，若 用=斯且不亏=0 ,则 椭 圆 的 离 心 率 为.16.艾萨克牛 顿(1642 1727)被称为有史以来最有影响力的思想家之一，在数学方面，牛顿 明显地推进了当时数学的每一个分支”.牛顿在给莱布尼茨的信中描述了他的一个发现一a、(a、(a、(a、-广 义 二 项 式 展 开 即(X+y)a=八X。+x a-2V +产*寸+，J 2)k)1 (a a(a-l)(a -2)-(a -A-+1)i Ht e其中
4、广乂项 式 系 数 八=1,=-/-,ae R,Ze N.根据以 上 信 息，若对任意都有%=a 0+q x +a,x 2+*x +，则1 1 2(l +2x)-%=-四、解 答 题：本题共6小 题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已 知 数 列 勺 满 足：4,+a =2 +7(e N*),且=4.(I )求数列 a,J的通项公式；1,-1,(2)已 知 数 列 也 满 足：2=,、,定义使4也 也 d/e N)为l o g(+2)a“，N2,e N整数k叫 做“幸福数，求区间 1,2021内 所 有 幸福数的和18.(12 分)已 知 函 数/(*)二c
5、o s x,s i n x-y j-/3s i n2x .7 T(I )求/(x)在0,上的最值；4(2)在 Z B C中，角4伉。所 对 的 边 分 别 为A c,=毡,a=l,Z X/B。的4面 积 为 止 叵，求s i n 8+s i n C的值.419.(12分)如 图，E是以菱形/8 C O的 边4。为直径的半圆弧上一点，ABAD =60.A B=BE=2 D E=2，目/为/。的中点.(I )求 证：平面1平面。;(2)设P为 往 上 任 意 一 点，求二面角B-P D-C的余弦值取值范围.AB20.（12分）某大学采用线上（网络讲座）与 线 下（现场讲座）相结合的方式开展一次全院
6、学生 参 加 的 奋进新青年，追梦新时代的专题培训.为了解参加培训的学生对于线上和线下培训的满意程度.现随机抽取15名 学 生，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据学生的 评 分（满 分100）得到如下数据：线 上：70 71 73 75 77 79 82 83 83 90 92 93 95 96 96线 下：72 73 77 79 79 84 84 85 87 88 90 93 94 95 96根据满意度的评分，将满意度从低到高分为三个等级：根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率.满意度评分低于80分80分到89分不低于90分满意度等级不满意满意很满意（1 ）从对线上培
7、训评价为 满意 与 很满意”的样本中随机抽取3人，设为3人中评价为 很 满 意 的 人 数，求随机变量X的分布列及数学期望；（2）根据以上的数据，现随机邀请5名评价者对线上、线下培训评分，至多有I人对线上和线下培训评价等级相同的概率.21.(12分)已知抛物线.r=4 y，。为抛物线外一点，过尸点作抛物线的切线交抛物线于4 3两点，交x 轴于历,乂两点.(1)若 打-1,一 2),设0 4 4 的面积为S-PMN的面积为S：,求 的值；2(2)若P(X.，M),求证：尸 的 垂 心 H 在定直线上.22.(12分)设函数/(x)=3 sin x-x3,g(x)=2e 3.(1)证明：当-1,0
8、 时，/(x)/2 D.122【答案】B2.已知集合力=0,1,2,3,4 ,5=x|t a n x 0,x e J），则4 D 8中所有元素的和为A.1 B .4 C.5 D.6【答案】C3.已 知 向 量 满 足 同=2同=2,a-b=y/5 ,J OU|a +2 b=A.25/5 B .4 C.V15 D.25/2【答案】I）4.某班5名团员参加 共青团知识竞赛，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，据此推测5人的名次排列情况共有（）种A.5 B .8 C.14 D.21【答案】C5.若 t a n a =，则2s i n 2a +s i n （3
9、乃一2 a）1cleA .B .-2 C.-D.22 2【答案】A/i a（i h I6.若 K =l o g,o,=b,c3=3-f,则 4,b,c 的大小关系是A .c a b B .c b a C.a c b D .b c a【答案】B7.如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为;，刚开始时，棋子在上底面点A处，若移了 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为P“.则P5=B .m6_j_ 2【答案】I)24-AI 3 J【解析】2 2 2 1P.=,p,=-x +-1 3 2 3 3 359移了 次后棋子落在上底面顶点的概率为p故落在下底面顶点的概率为1-p于是移了
10、 +1次后棋子落在上底面顶点的概率为2 1 八 、1 1P+l =P“+(1 一 P)=Pn+-1 i f i A-P-2 =3 P 2)凡-；是等比数列，首项为、,公比为:1 1(1)71 1 1P“=2+2Xy，1 1 1Pc=-1-X-5 2 2 35,选D.8.在三棱锥P-4?。中，49C是边长为2的正三角形，=P4=PC,瓦尸分别是P 4/4的 中 点，且 CE1 E F ,则三棱锥2-48。外接球的表面积为A.6乃 B .12乃 C.24%D.36乃【答案】A【解析】易证。8，力。.EF 为 AP AB 中位线，；.EF/P B又；Eh CE,:.P B L C E ,CE AC=
11、C,Z C,C E u平面PNC：.PB 1 平面 PA C.P B 1.P 4 ,且 P H 1 P C则尸4 P8,P C两两垂直如图将P -ABC补成一个正方体AB=AC=BC=2,-.PA =P B =P C=2外接球半径逅,5=4尸=6万，选A.2二、选 择 题：本题共4 小 题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合即目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.将函数/(x)=3s i n(2x +的图像向左平移g个单位长度得到g(x)的 图 像，则下列判I J J 2断正确的是TT 71A.函数g(X)在 区 间 上 单 调 递 增B
12、 .函数g(x)在 区 间-二,上单调递减c .函数g(x)图像关于直线x =对 称D.函数g(x)图 像 关 于 点g,0对称13)【答案】ACD410.已知函数/(x)=x -(为正整数)，则下列判断正确的有A.对于 壬意的正整数，/(x)为奇函数B .存在正整数，/(X)的图像关于歹轴对称C.当为奇数时，/(x)有四个零点D.当为偶数时，/(x)有两个零点【答案】BD11.在棱长为1的 正 方 体 相。-/6。.中，例 是 棱C G的 中 点，N为侧面8 8 C C内的动 点，且满足4 N 平面ZR M,则下列结论中正确的有加A.动点N在侧面8 3 C C内的轨迹长为B .直 线4 N与
13、侧面8 8 C C所成的最小角为?C.直 线4 N与 侧 面 所 成 的 最 大 角 的 正 切 值 为2 aD.当直线4 N与侧面B8 C C所成角最小时，过点O，M,N的平面截正方体所得的截面面积【答案】AC%/n、【解析】取瓦G中点E ,BB中点F.连EF易证 4尸。M,EF U AD、平 面 产 平 面 力2 M，由4 N 平面4 A M,N e侧面8 C G 4.4B点 轨 迹 为 所，E F =,A对24 4 1 平面直线4N与侧面BBG C所成角a为4 N与/所成角的余角当N与E （或尸 重合）时4 N与4片所成角最大t a n Z.NA,B.=-U =t a n 302 V3.
14、NN44/3=,D 错2 1 2 2 2选AC.2 212.已知双曲线-q=l ,为双曲线上一点，过尸点的切线为/,双曲线的左右焦点门,乙到直线/的距离分别为4,4，则A.4 d 2 =5B .直线/与双曲线渐近线的交点为,N ,则M,MG，6四点共圆V2/C.该双曲线的共轮双曲线的方程为-=14 5D.过行的弦长为5的直线有且只有1条【答案】AB【解析】切线/的方程 为 华 一 冬=1n 5x x-4y o y =2O,%一3,0）,乙（3,0）一尸5/-2 0|45%-20|_ 2：7(5x0)2+(4y0)2 y/25x：+16y：2A正确5xx-4%y=20/r-对 于B,石 二M S
15、y=-x l5x0-2y5xQx-4 yQy=20(r-RN 415_-U尸与 五“+_ 10k=凤-2*=1。“L _ 4 7 5 +3-4若 +3y/5x0-6y0-2yo10_ y/5x0-2y0 _ 105(9x：-16)25(9x：-16)=55x：+16y：-25片+(5x：-20)4-_ 10o 有x0-2yo)_、2 y J 卜，4 6-3 6%+6盟2yo/10_ 10tan/F、M&=，非-3下%+6y。/记&i。(4 6 +3y/5x0-6 y0)(4/5-3/5xQ+6y0)_ _-10k 二岛+2乳 _ T 0那 4及 +J商+3氐o +6汽，Zx0+2%_ _-10
16、k=后。+2打 _ TO%4.3 _ 4后 _ 3&-6 hx0+2yoTO 10则tan组NF,=4后+3&+6盟 俨3氐 6%=1 2,1001+-K-尸-=6 0(&-2 K)-180-(3A/5XO-6O)260(&o+2典)180-(3氐。+6%)2t a n 4 FMF【+t a n NF、NF260（屈0 -2 y0）180-（3氐。+6y o）2 +60（+2y0）l 80-（3-6y。）一 180 （3 国6盟 丹 180 一 （3 氐。+6为 再考察分子=60（屈。-2%）180-9（氐0+2 4）2+（氐0+2%）180-9（氐-2打 再=540（扇。-2%）20-（氐。
17、+2%）2 +（凤+2盟）20-（&。-2加）2=540 20 氐/40义-（5片-4）（&+2汽）+20+40打-（5x：-4v,；）（M x 2%）=540 40瓯-20（&,+2y。-20（凤-2肾）=0t a n FMF?+t a n ZF2NF2=0,“即2+4 F2N&=180,.M,N，6，K四点共圆，B正确2 2 2 2对 于C,双曲线0-号=1的 共 辗 双 曲 线 为 与-0 =1 ,c错误4 5 5 4对 于D,过匕的弦长为5的直线有3条，如图中的4 4，482,4反，D错，选AB.三、填 空 题：本题共4 小 题，每小题5 分，共 20分.13.某圆台下底半径为2,上底
18、半径为1 ,母线长为2,则 该 圆 台 的 表 面 积 为.【答案】14.高中生必读名著有 西游记、红楼梦、三国演义、水浒传、复活、老人与海,后两本为外国名著，甲读了其中的两本，乙读了其中的1本，则甲、乙看同一本外国名著的概率为.【答案】-9x2 y215设 耳、分别是椭圆C:*+S =im%0）的左、右焦点直线/过耳交椭圆C于4 8两 点，交歹轴于2点，若 至=通 且 以亏=0,则 椭 圆 的 离 心 率 为.【解析】设P(OJ),.不=福，二片为Z尸中点A(-2c,-t),FA-FP=0(3c,=0,t2=3c24b2c2+3a2c2=a2b2,4(a3-c2)c2+3a2c2=a2(a2
19、-c2)4a2c2-4c4+3a2c2=1 ac2,aA-Sa2c2+4c4=01 8/+4e4=0,e84x/3 4 2 6，es(0,l)2 4 23 f-/3-1 V3 1 e=,e=.4 I 2 J 216.艾萨克牛 顿（1642 1727）被称为有史以来最有影响力的思想家之一，在数学方面，牛顿 明显地推进了当时数学的每一个分支”.牛顿在给莱布尼茨的信中描述了他的一个发现一a、（a）（a、（a）广义二项式展开，即（x +y）a=c x+x Ty+、xa-y+-+,xakyk.其中广义二项式系数a(a-l)(a-2)-(a-k +),aeR ,A eN.根据以 上 信 息，若 对 任 意
20、|x|e r,=-7匕徽两边V的系数n C；=%+4%+4ao=%=27匕徵交两边 x的系数=C；(-1)=%+4%+4q=%=-8 1四、解 答 题：本题共6小 题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列%满 足：。+|+%=2+7(w N),且q=4.(1)求数列 叫 的 通 项 公 式;1,=1,(2)已知数列他,满 足：bn=i、,定义使也(A e N)为log(“+2M，N2,N整 数 人 叫 做“幸 福 数 ，求区间 1,2021内 所 有 幸福数的和【解析】(1),+1+勺=2+7，N 2,an+/_|=2+5 当2 2时，一 =。“+1 -=
21、2 4 的奇数项与偶数项各自成等差数列，且公差均为2,q=4,%=5。2 一|=q+2(-1)=2 +2=2 -I+3 n “=+3(n 为奇数)生=生+2(-1)=2 +3 n 4 =+3(为偶数)%=+31,=1)log(,+2)(+3),n2,ne N4也 也 仇=log45-log56-log(t+2)(Z:+3)=log4(Zr+3)设log4(+3)=m,w e N,：.k=4 -3令14342021=1加45,加6 1 ,.加=1,2,3,4,5区间 1,2021内的 幸福数”为4-3 ,42-3 ,-,45-3二 所 有“幸福 数 的 和 为4 1 “)_ 3X5=1349.1
22、-418.(12 分)已 知 函 数/(x)=cosx sin x-乙)一 sin 2x.k 3 J(I)求/(x)在0,f上的最值；4(2)在48 C中，角4 6,。所对的边分别为a,a c,/(：)=,a=7,彳8 c的面 积 为 二 夕，求sin B+sin C的值.4【解析】/,、/、(1 丛 6 1 -cos2x(I)/(x)=cosx smx-cosx-v3-(2 2)21 .V3 1 +COS2X 百6、=sinx cos x-1-cos 2x2 2 2 2 21 .o 百，373 1.(,始 3G=sin+coszx-=-sin 2x+-4 4 4 2 L 3 J 4c,，乃,
23、5 I.I,0 V x V r.V 2x+W ,4 sin 2x+414 3 3 6 2 I 3 J1-36/、/3 8 、1-3V3 、2-3月-4 ;(x)fee=15,b+c-28c=492 4 I 2),二(力+c f力c=49,b+c=8b _ c _ a _ 1 14G .l sin B sinC sin J J3 3rh+c 148 .n.4 6/.-=-n sin B+sin C=-sin 5+sin C 371 9.(1 2分)如图，E是以菱形/8 C。的边/。为直径的半圆弧上一点，/8/。=6 0。,4B=BE=2DE=2，且例为力 的中点.(1 )求证：平面，平面;(2
24、)设户为族上任意一点，求二面角B-P D-C 的余弦值取值范围.【解析】(1 ).四边形 4 8 c o 为菱形，NHW=6 0 ,Z 8。为等边又；M为AD的中点，,BM 1AD;DM=EM=,BM=6 ,BE=2.BM?+EM?=4=BE?BM LEM ,又：ADrEM=M,/.BM 1 平面 DEM BM u 平面 B E M，平面 BEM _ L 平面 DEM(2)取半周祇中占F.浑桂M/由(1 )知AM I平面DEM.又8/u平面力6 C O，平面力BCD 1平 面DEM:M F 1/D，“1平面，如图以M为坐标原点，建立空间直角坐标系x设尸(0,8545山。),600464180。
25、，5(73,0,0),(0,1,0),C(退,2,0)5D=(-73,1,0),0方=(0,1 cos。,一sin0),DC=(V3,l,0)设平面3PZ）和平面尸。的一个法向量分别为=（X ，M，Z|）,n2=（x2,y2,z2）n.BD=0_ _ =i PD=0 y/3x,+v,-0 n =(sinO,G sine,G(l-cos。)(1-cos 0)y,-sin%=0晨丽=0 f(l-cos 0)y2-sin 0z2=0m,DC=0 y/3x2+y2=02=(-s in a G s in。,G(l-cos。)设二面角8-P。-。的平面角为a,成后所成角为0二.cos a=|cos|=n-
26、n2 _ 2 sin:8+3(1 cos。尸同 同 4sin28+3(l-cose)22(1-cos2 8)+3(1-cos 0)24(1-cos2 6)+3(1-cos Of2(1+cos0)+3(l-cos)_ 5-cos”4(1+cos 6)+3(1-cos 6)7+cos。8 12、3 12,/.-2,-1 15 7+cos 0 5 7+cos。.1.cos a的取值范围为127+cos。-1COS0 x-2xox+4o=Ox=4y.J*+=2x(),.H 为 APMN 的垂心xlx2=4y()设”(Xo，,),MH 加)，PN=x0-y0M/-PJV=O=(xo-ll x0 l-w
27、o=O.,(XI+X2)-JT*-竽-叫=0片-%一=0：.m=-,故丛PMN的垂心在定直线y=-1上.222.(12 分)设函数/(x)=3sinx-，g(x)=2e 3.(1)证明：当丫目一1,0时，/(幻与0;(2)判断函数b(x)=/(x)-g(x)在(-2,+8)上的零点个数.【解析】(1)/(x)=3cosx-3x2=3(cosx-x2)1h(x)=cosx-x2,h(x)=-sinx-2x 0,，(x)在-1,0上/注意到人一l)=cosl-l 0 存在唯一的 x e(-1,0)使(x0)=0且当lW xx时，h(x)0,f(x)0,jx);当x0 0，/(x)0,/(x)/注意
28、至(一l)=-3s i n l +l ,/(0)=0,v-3s i n l +1 0 ,A/(X)02 2r x(2)F(x)=3s i n x-x3-2e 3,F(x)=3c o s x-3x 2-2e 3,2Ff f(x)=-3s i n x -6x -2e ,当一 2 xW l 时，F(x)=3(c o s x-x2)-2e 3 0,F(-l)=-3s i n l +l-2e-5 02 x)在(2,1)上有T零点为当一I WXW O 时，由(1 )知/()=3$出一/W O ,.-.F(x)0,/(x)无零点“。时，小)4 x =且当 0 c x 0,0(x)/;当 x 时,(px)O,0(x)(Ji Ji y(px)(p=-y 0 时，F(x)也无零点综 上：尸(外在(-2,+8)上有唯一的零点