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1、2022届海南省高三数学全真模拟试题（一）一、单选题1.已知i 为虚数单位，复数z=（3-i）（2+i）,则 z 的虚部为（）A.i B.1 C.7i D.7【答案】B【分析】由复数代数形式的乘法运算再结合复数虚部的概念，即可求解.【详解】z=（3-i）（2+i）=7+i 的虚部为1.故选：B.2.已知集合知=卜卜一l）（x-6）0,N=1,2,3,5,则（）A.1,2,3,5 B.3,5 C.2,3,5 D.1,3,5【答案】C【分析】求出集合M,利用交集的定义可求得结果.【详解】M=x|（x-l）（x-6）0=xl x c a B.b a cC.abc D.a c h【答案】A【分析】由对
2、数函数、指数函数的单调性确定小b,c 所在区间，比较大小即可得解.【详解】解:由 产 唾 在(0,也)单调递减，得l o g。/l o g。/=0,即a l o g0 7 0.7 =1,即。1 ；由 y=0.7，在 R上单调递减,得0 V O：?0.7 =1,g p0 c c a.故选:A.6 .已知直线/：y =履与圆6x-2 y =()相交于M,N 两点，若|M N|=26,则非零实数人的值为()A.7 2 B.2 C.7 3 D.3【答案】C【分析】圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径；由弦长|M N|=26,利用勾股定理,即可求出实数A 的值.【详解】圆 C:f +/-2&-2y=()
3、,可化为(x-6)2+(y-l)2=4,圆心C的坐标(石)，半径为2圆心到直线的距离为百小又圆心到直线的距离”=吧 I故选:c7.在中,则c o s A的值为解得出=0 (舍 去)或 k=J 3内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,a=2 c,若3 s i n C =2 s i n B,()A 1B-(0 4D.廿【答案】D【分析】由 已 知 利 周 正 弦 定 理 可，结合已知a=2 c,利用余弦定理即可求解5的值.【详解】因为3sinC=2sinB由正弦定理可得3八 所以八吾又 a=2c所以姐=三(打+c 2 c2X3CXC2故选:D8.我国古代将四个面都是直角三角形的四面体称作整儒.如
4、图，在鳖儒SA8C中 SC，平面ABC,AABC是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形，且 A8=S C,则异面直线BC与 S4所成角的正切值为（）A aA.-2V3L -3B.五D.6【答案】B【分析】先作出异面直线BC与 S4所成角的平面角为NSAD（或其补角），再求其正切值即可.【详解】作正方形A 8C D,连接S,则异面直线8C 与 SA所成角的平面角为/SA。（或其补角），又由已知有BC CD,B C r S C,则 BC1 面 S C D,即 AO_L 面 SCD,C F AA D 1 S D,设 他=SC=1,则 4=1,S=&,则 tanNSAD=0.AD故选：B.二、多选题9.
5、下列函数最小值为2 的 是()A.y=x2-2x+3 B.y=x?+4XC.y=e，+5 D.y=|ln_x|+l【答案】ABC【分析】A 选项直接由二次函数的性质判断；B、C 选项指数函数结合基本不等式进行判断；D 选项通过对数函数的性质进行判断.【详解】对于A,y=x2-2 x +3=(x-l)2+2 2,最小值为2；对于B,y=x2+-2.lx2-=2,当且仅当x=l时取得最小值2；x V 厂 x对于C,y=e+4 =2e U=2,当且仅当e=4，即x=0 时取得最小值2；e V e e对于D,y=jlar|+l l,当x=l 时取得最小值1,综上可知：ABC正确.故选：ABC.10.已
6、知函数/(X)=COS(2X-),先将函数y=的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3 倍，再将所得图象上所有的点向右平移?个单位长度，得到函数y=g(x)的图象.则()A.g(x)=cos(6 x-普)S 7 TB.g(x)的图象关于x=9 对称OC.g(x)的最小正周期为3万D.g(x)在(苧，?)上单调递减O O【答案】BCD【分析】直接利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用余弦型函数的性质判断A、B、C、D 的结论.【详解】函数/(x)=cos(2 x-7),先将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3 倍，得到y=c o s|x-()的图象，再
7、将所得图象上所有的点向右平移?个单位长度，得到函数y =g(x)=c o s(|x-)的图象，故 A错误；当X =1 时，=1,故 B正确；2 万函数的最小正周期为5 2 k，故 C正确；-=5713当工(苧,?)时，,故函数在该区间上单调递减，故 D正确.o o 3 1 2故选：B C D.1 1 .在数列%中，4=1,数列1-5-+4是公比为2的等比数列，设S,为 q 的前项和，则()1 1 1A B.an=+7C.数列 4 为递减数列 D.邑 O【答案】A C D【分析】由已知结合等比数列通项公式可求,+1,进而可求对,然后结合单调性定义及数列的求和分别检验各选项即可判断和选择.【详解】
8、因为4=1,数列 l+1 是公比为2的等比数列，所以，+l =2-2 T=2 生，所以 =5 匕，故人正确，B错误；因为y =2=l,(x Nl)是单调增函数，故)，=工,(犬 2 1)是单调减函数，故数列 q,是减数列，故C正确；1 1 7$3 =4 +。2 +3 =1+三 三，故 D 正确.3 7 8故选：A C D.1 2 .已知三棱锥尸-A B C 的四个顶点都在球。的球面上，布 J _ 平面ABC在底面A B C中，N B吟BC=2AB=与,若球0 的体积为迷乃，则下列说法正确的是()A.球。的半径为亚2R“一 厢H A C=-2C.底面Zi A B C 外接圆的面积为4 兀D.AP
9、=【答案】BD【分析】由题意利用球的体积公式可得球的半径，由余弦定理可得AC的长度，利用正弦定理求得外接圆的半径即可求解其面积，利用勾股定理结合几何体的特征可得A P的长度.【详解】设球的半径为七 由体积公式可得丫=乃 内=%，.尸=3 /?=，选3 4 2项 A 错误，在AABC中，由余弦定理可得：A C2=AB2+BC2-2ABXBCXCOSB=4+-2X2X X =-,：.A C =,选项 B2 2 2 2 2正确，_ AC _ V io _ R r-设 ABC的外接圆半径为r,由 正 弦 定 理 可 得 一 而-访 一 ,=则S=兀户=3兀，选项C 错误:如图所示，设A 4B C的外心
10、为E 作 0 后，平面481于点E,且 OE=：A P,则。点为棱锥/M B C的外接圆圆心，由勾股定理可得AP=2OE=2A/F=7 =2x、的二1 =1,选项故选：BDD 正确.三、填空题1 3.已知抛物线C：y=/,则抛物线C 准线方程为:一.【答案】y=4【分析】把抛物线C 的方程化为标准方程，求出P 值，依据开口方向写出准线方程.【详解】抛物线c y=f,即r =y,.p=g,开口向上，故准线方程为），=-；.故答案为：y=-.4i(3 a 114.已知 tan a 彳 J=1,贝 ljtana=.3【答案】-0.6【分析】由已知利用两角差的正切函数公式即可求解.3兀 E、f(/)、
11、)tana-tan4 tana+1 t 1 3“【详解】解:因为tan a-=-=1-=:贝iJtana=-=I 4 1 +tanatan 四 4 543故答案为:-115.(x+y)4的展开式中外3项的系数为_.【答案】4【分析】求出展开式中含冲3的项，由此即可求解.【详解】由己知可得展开式中含4的项为4D 3则孙3的系数为优=4故答案为416.已知存在”0,使得函数/(x)=aln x 与g(x)=/-3 x-。的图象存在相同的切线,且切线的斜率为1,则 6 的最大值为一.【答案】-3【分析】分别求出两函数的导函数，由切线斜率为1求得切点坐标，写出曲线f(x)在切点处的切线方程，把 g(x
12、)的切点代入，可得6 与的关系式，再由导数求最值即可【详解】解:(x)=7,g x)=2x-3令/(x)=?=l，得x=a,切点、为(a,alna),令 g(x)=2x 3=1,得x=2,切点为(2,-2-加.切线方程为y-a ln a =代入，可得-2 b-a/na=2-a 则方=a-H a-4令=4,则(工)=1 一Inx l=-ln x,当O v x v l时，/()0,当x l 时，hr(x)/3 c o s B因为s i n 8 w 0所以t a n 8 =6因为8（0,万），所以8（2）由余弦定理可得 b2=a2+c2-2 a c c o s B =52+12-2 x 5 x l
13、x l =2 1解得6 =&T故4 A B C的周长为a+6 +c =V 2 T +61 8.已知等差数列 q的前项和为S ,且 九=1 4 5,%=7,公比为2的等比数列也满足4 =2%.求数列 叫、也 的通项公式；（2）求数列佃自 的前 项和T.【答案】（1）“=3 -2,b,=T（=（3 -5 2 m+1 0【分析】（1）设等差数列也 的公差为d,根据题意可得出关于、d的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得 4的通项公式，求出耳的值，利用等比数列的通项公式可求得数列 2的通项公式；（2）求得。也=（3 一2 2 ,利用错位相减法可求得I.【详解】解：设等差数列z q x
14、 的公差为d，则IS=10=a 1+0a+4=5 7J =145，解 得 弓C L=3 1,所以，a“=q+(l”=3-2,;b=2 c i=2,贝IJ =2X2T=2.解:因 为 侬,=(3n 2 2,则 成=1。+422+723+(3 一2卜2 ,27；=1 +4 +(3-5)2+(3-22的，一 得 _2向=2+-1 2-2-)-(3n-2)-2+1 2=-10+(5-3)-2,+,因此，刀,=(3n-52向+10.1 9.如图所示，在四棱锥尸-A8CC中，必_L底面A8C。，底面4BCD为直角梯形，其中NB4Z)=ZADC=9(y,且 E4=A)=C=2,”为尸。的中点.(1)求证4
15、4，平面P D C；(2)求直线CP与平面A”C所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析 13【分析】(1)易得R4，C,AO,OC,从而DCJ_平面以。，进而得到DCLA”，再由A H J.P D,利用线面垂直的判定定理证明；(2)以A为坐标原点，AB为x轴，AO为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CP与平面AHC所成角的正弦值.【详解】(1)证明：因为以，底面A8CQ,所以因为45_L O C,又B 4 c 4)=A,所以力C_L平面融,则rC_LAH,因为R4=A D,，是PD中点，所以 又 D C c P D =D,所以A H _L平面PDC.(2)以A为坐标原
16、点，AB为无轴,A。为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标则 A (0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),H(0,1,1),所 以 方=(-2,-2,2),加=(0,1,1),A C=(2,2,0),设平面A H C的一个法向量n=(x,v,z),则呼=y +z=0n-A C =2x+2y=0取x=l,得万设直线C P与平面AHC所成角为e,cP-n 2 1所以sin6 =.J.=-后 行=-.|C P|.|n|V 1 2-V 3 32 0.已知A是正面体(eN*),8是正4面体，且都质地均匀，A和B的各面分别标着数字1,2,3,与1,2,3,4.甲持A、乙持8,两人各投掷一
17、次，两个着地数字都不大于3的概率为JO求的值：(2)某人将两个正多面体同时投掷一次，若正面体的着地数字大于正4面体的着地数字,则投掷者得1分:若两个正多面体着地数字相等，则投掷者得。分；若正面体的着地数字小于正4面体的着地数字，则投掷者得-1分，求得分X的分布列和期望.【答案】(1)6(2)分布列见解析，1【分析】(1)利用独立事件的概率求解；(2)得分X的值分别为-1,0,1,利用相互独立与互斥事件计算其相应概率，得出X的分布列，再求数学期望.【详解】(1)解：因为两个着地数字都不大于3 的概率为O3 3 3所 以 展 T厂 w，解得 =6；(2)得分X 的值分别为 1,0,1,nil/xz
18、1 3 1 2 1 1 1则 P(X=-1)=x+x+x=,6 4 6 4 6 4 4p(X =0)=x x4=,7 6 4 6i i 7p(X=l)=l-p(X =-l)-p(X =0)=l-=,i i 7 i E(X)=-l x-+0 x-+lx =-.v 7 4 6 12 32 1.已知函数 f(x)=x+a(2-e*)+2(a e R).(1)若函数f(x)在x=0 处的切线与直线x+y-l=0 平行，求实数。的值；(2)若函数f(x)的极大值不小于3 a,求实数。的取值范围.【答案】(l)a=2(2)(0,1【分析】(1)求出了(X,由己知可得。,，即可求出实数。的值；(2)分。0
19、两种情况讨论，利用导数分析函数/(x)的单调性，求出函数“X)的极值，可得出关于实数a 的不等式，通过构造函数，结合函数的单调性可解得实数。的取值范围.【详解】解：因为 x)=x+a(2 e)+2,则/小 一 酒，在直线方程x+y-l=0 中，令x=0,可得y=l,由题意可得,，解得a=2./(0)=a+2Hl(2)解：因为函数x)=x+a(2 e)+2 的定义域为 R,_f(x)=l ae*.当。40时，对任意的xeR,r(x)0,即函数x)在R上单调递增，此时函数/(x)无极值；当a 0时，由/(x)=0,可得x=-ln，当x v-ln a时，/(司0,此时函数/(x)单调递增,当x T
20、n时，/(x)0,则g(a)=l+,0,故函数g(a)在(0,+8)上单调递增，且g(l)=0,由 a+lna-1 4 0可得g(a)Mg，解得0 6 0)的左、右顶点，F是椭圆的右焦点，点。(6，正)在 椭 圆 上，P是椭圆上异于A,3的一点.2(1)求椭圆C的标准方程：(2)设直线/的方程为x=4,若直线AP与直线/交于点M,直线8尸与直线/交于点N,求证:赤标为定值.【答案】(1)三+工=14 3(2)证明见解析【分析】(1)由A,8为椭圆的左右顶点可得。的值，再将O代入椭圆的方程可得匕的值，进而求出椭圆的方程：(2)设P的坐标，代入椭圆的方程可得P的横纵坐标的关系，设M,N的坐标，由北
21、，AM共线，BP,8N共线可得M,N的纵坐标的乘积为定值，进而求出诉.而为定值0.【详解】(1)由A,8为椭圆的左右顶点可得。=2,又。(&，3）在椭圆上，所以3 a 1-1-7=14 h-解得从=3,所以椭圆的方程为反+反=14 32 2(2)证明：设 尸(x0,%),且与工2,贝！乎+为=1 可得4 y；=3(4 4)设 M(4,m),N(4,)，且2,异号，由 AR AM 共线，BP,BN共线,知6%=加(+2)，2%-2).x可得“(片-4)=1 2 =9(4 一年)，即m n=-9,因为尸(1,0),所 以 标=(3,机),河网 3,-)所 以 疗 标 =9 +3=9-9=0，所 以 砺 标 为 定 值 0.