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1、2021年中考数学复习 中考压轴题之圆经典题型靶向提升练习(四)1 .三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.(1)如 图1,NE是 A B C中NA的遥望角，若乙4 =a,则N E=.如图2,四边形A B C。内接于。0,俞=而，四边形A B C D的外角平分线 下 交。于点八 连结8尸并延长交C。的延长线于点E.求证：N B E C是 4 B C中/B A C的遥望角.(3)如图3,在(2)的条件下，连结A E,A F,若A C是。的直径.求/A E Q的度数.2 .如图，平面直角坐标系中，A (0,8),B(6,0),C(-1,0
2、),点E为线段A B的中点，过点E作直线E D平行于x轴交线段4 c于点D,动 点。从点B出发沿射线B C以每秒1个单位的速度运动，过点Q作Q P L直线。,垂足为P,过E、P、Q三点作圆，交线段A B于点、N,连接Q N,P N,设点。运动的时间为，秒.(1)当 PQ N与A B C相似时，求f的值；(2)当 EPQ的外接圆与线段A O有公共点时，求r的取值范围；(3)请直接写出在点。运动过程中，线段P N的长的最小值.3 .如图，A 2为圆。的直径，C为圆0上一点，。为B C延长线一点，且B C=C,CELA D于点E.(1)求证：直线E C为圆。的切线；(2)设B E与圆。交 于 点 凡
3、A F的延长线与C E交于点尸,求证：PCPFPA 若P C=5,尸 尸=4,求s i n/PEF的值.4 .在平面直角坐标系x Oy中，已知点A (6,0),点B(0,6),动 点C在以原点。为圆心，半径为3的。上，连 接。C,过 点。作ODLOC,0。与。相交于点。(其中点C,0,。按逆时针方向排列)，连接A 8.(1)当OC A B时，Z B O C的度数为；(2)连接A C,B C,当点C在。上运动到什么位置时，A B C的面积最大？并求出A 8 C面积的最大值.(3)连接AD当0 C4,点C位于第二象限时，求出点C的坐标；直 线8 c是 否 为 的 切 线？并说明理由.5 .A B为
4、。的直径，弦CZ)1 _A 3,垂足为H,尸为弧B C上一点，且N F B C=N A B C,连接。F,分别交8C、4 B于E、G.(1)如 图1,求证：D F 1 B C；(2)如图2,连接E”，过点E作EM J _E”，E M交。于点M,交A B于点N.求证：N H=/A B；6 .如图，点。是等边三角形A B C外接圆的菽上一点(与点A,C不重合)，CE/AD 5 C BD于点E.(1)求证：CDE是等边三角形；(2)求证：A D=B E；(3)如果 4。=2,C D=4,求 4 c 的长.7.如图，A 8是以。为圆心的半圆的直径，半径C O LA O,点 M 是篇上的动点，且不与点4
5、、C、B 重合，直线AM交直线OC于点,连接OA/、CM.(1)如图，若半圆的半径为6,谕 的长为2 n 时，求 OM的长：(2)如图，点 N 是 A。的中点，A O=5,当点C 为。中点时，求 AM 的长；(3)在点M 的运动过程中，NOMC的大小是否为定值？若是，直接写出/QMC的值，8.如图，。的内接四边形ABCC两组对边的延长线分别交BC、DC于点E,F,设NE=x,ZF=y.(1)当 AC为直径时，求证：x=y；(2)当 x+y=60 时.求 ND4B的度数；连 接 0 4,过点。作 O”J_AB于 ，当A5=2O时，求N D 40度数.7B F9.已知如图，。的直径BC=4,第=新
6、=商，点尸是射线8。上的一个动点.(1)如 图1,求8。的长；(2)如 图1,若PB=8,连接P C,求证P C为。0的切线；(3)如图2,连接A P,点P在运动过程中，求4 P+/P B的最小值.1 0 .如图，在矩形A B C。中，AB=4,8c=6,点E是B C边上一动点，连接A E、DE,作A B E的外接。0,交A。于点片 交。E于点G,连接F G.(1)若/。尸G=6 0。，则/AE =。：(2)当C E的长为_ 时，CF G为等腰三角形；(3)如图，当。与C。相切时，求C E的长.国参考答案解：(1)N E是ABC中NA的遥望角，：.ZEBC=-ZBAC,ZECD=-ZACDf2
7、 2A ZE=ZECD-ZEBD=(ZACD-ZABC)=ZA,2 2ZE=a,2故答案为：-a；(2)如图2,延长SC到点T,四边形q CD内接于。0,：.ZFDC+ZFBC=SO,：ZFDE+ZFDC=SO,：.ZFDE=ZFBCfOF 平分 NAOE NADF=NFDE,/ZADF=ZABFf：./ABF=/FBC,8E是NABC的平分线，7 AD=BD-ZACD=/BFD,VZBFD+ZCD=180,NOCT+N8CO=180,:/DCT=/BFD,：.ZACD=NDCT,：.CE是ABC的外角平分线，/B E C 是ABC中ZBAC的遥望角；(3)如图3,连接。尸，:ZBEC是ABC
8、中NBAC的遥望角,：.ZBAC=2ZBECf；/BFC=/BAC,:/BFC=2/BEC,*/ZBFC=/BEC+/FCE,：/BEC=/FCE,:/F C E=/F A D,：.ZBEC=ZFADf,:4FDE=ZFDA,FD=FD,在户)：和FD4 中，Z F DE=Z F DA/F ED=N F A D，DF =DF：./F D E/F D A(A4S),：.DE=DA,：.ZAED=NDAE,.AC是O O 的直径，A ZADC=90,ZAED+ZDAE=90,A ZAED=ZDAE=45.E图3图22.解：(1)VA(0,8),B(6,0),C(-1,0)OA=8,OB=6,OC=
9、,-A B=VOA2+OB2=7S2+62=1 0J B C=7,；AE=EB,：.AE=EB=5f OE不轴，PEN+N EBQ=180,：/PQN+NPEN=180,:/PQN=NEBQ,：4QPN=4QEB,AQPNsdBEQ,PQN与ABC相似时，aBEQ 与ABC相似，当时，兽=骂，B A B C .5 _ t，1 0 71=3.5.当BEQs/BCA时，罂=黑，B C B A 5=_L7-1 0 =毁7 综上所述，满足条件的t 的值为3.5或 芈.(2)取 E。的中点M,当。与 y 轴相切时，由勾股定理得，E Q 2=E P2+P Q2,(9-f)2=42+(/-3)2,解得当O
10、M 经过点A 时，/E4Q=90,:.BAOSXAQO,.A O=B O,Q O-O A._8_=6.,0 Q _ 8：.OQ=3 2T.n c q 3 2 5 0 山叶 5 0.BQ=6+=,此时/=.，o o o满足条件的t的 值 为 弓 w w 岑.o o(3),:A Q P N s丛BEQ,P N =P Q，*E Q-E B，4:.P N=祗EQ,54 16 当PQ 与 EQ重合时，EQ 的值最小，此时PN 的值最小，最小值=X 4=.b 5 .NDEC=90,:BC=CD,C 是 的 中 点，又是AB的中点，OC是8D 4 的中位线，:.OC/AD,：NOCE=NCED=90,OC1
11、CE,又,点。在圆上，CE是圆。的切线；(2)连接AC,DBVOCCE,：.ZEC O=90,：A B是直径,A ZACB=90=NECO,：.Z E C A=Z O C Bf9：OC=OB,：./O C B=NOBC=NACE,ZABF=ZACF,：.ZOBC-NABF=ZACE-ZACF,:./E B C=N E C F,且 N E 3C=N C 4P,：.Z E C F=Z C A P,且/。尸=/。物，.,.PCFABAC,PC,PFPA PC：.PC1=PFPA TA B是直径，点尸在圆上，；NAFB=NPFE=90=ZC E A,:4 EPF=4EPA,.,.P E F A M E
12、,PE _PF*PA PEJ.PEPFPA：.PE=PCPF 4在直角中，s in Z P E F=r .PE 54.解:(1)4点 A(6,0),点 3 (0,6),：.OA=OB=6,.OAB为等腰直角三角形，OBA=45 ,JOC/AB,.当C点在y轴左侧时,ZB O C=ZO B A=45；当 C 点在 y 轴右侧时，NBOC=90+N O BA=135；综上所述，N 2 0 C的度数为4 5 或135,故答案为：4 5 或135；(2)为等腰直角三角形，.,.A 8=O A=6&,工当点C到A B的距离最大时，ABC的面积最大，过。点作0 E L A 8于E,O E的反向延长线交。于
13、C,如图:此时C点到A B的距离的最大值为C E的长，OE=1AB=3 M，C E=O C+O E=3+3&,.ABC 的面积.C E A B得X(3+3&)X 6我=9扬 18；即当点C在0。上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，4 4 8。的面积最大,最大值为9亚+18；(3)过C点作C F L x轴于尸，如图：.ZCOF=ZDAOf又 乙4。=/。/0=90,AAOCFRtAAOD,C F O C H n C F 3O D A O 3 6Q解得：CF=,在 RtAOCF 中，=“2小2=.c点坐标为（-3落-|）；直 线8 c是。的切线.理由如下:由得：（-,）.乙 乙Q在 RtZ
14、OC/中，OC=3,CF=-,：.CF=-OCf2：.ZCOF=30,：.ZOAD=30Q,AZBOC=60,ZAOD=60,在BOC和AOQ中，O C=O D Z B 0 C=Z A 0 D，O B=O AAABOCAAOD（SAS）,：.ZBCO=ZADO=90,:.OC_LBC,直线8 c为。的切线.5.(1)证明：CD_LAB,：.ZBHC=90,AZC+ZABC=90,：NFBC=NABC,N尸=NC,：.ZF+ZFBC=90,A ZBEF=90,：.DFLBC.(2)证明：连接OC图2：OC=OB,：.ZOCB=ZOBC=ZDf CDA.AB,NC O=90,CH=DH,：NCED
15、=NBEF=9U0,：.HE=-CD=CH=DHf2：.ZD=ZHED,：.ZOCB=ZHED,：EM上EH,：/HEN=/HED+NDEN=9C,；/DEN+/BEN=NBED=90,：.ZHED=ZBENf：.NOCB=/BEN,OC/EM,：.ZCOH=ZHNE,在AC O H与4H N E中,/C O H=N H N E Z C H O=Z H E N=9 0 ，C H=H E:.COHmXHNE（A4S）,，CO=NH,：.NH=AB,2（3）解：连接O M,过点M 作 MPJ_A8于点P.,:NHEN=/H EG+/G EN=9。,ZD+ZDGH=90,ZD=ZH EG,:/G E
16、 N=/D G H,*：NDGH=ZEGN,：./G E N=/EG N,:.EN=GN,:4COH XHNE,：OH=NE=GN,：HG=OH+OG=GN+OG=ON=6,:DG=6 坛,NDHG=90,HE=CH=DH=VDG2-HG2=7（&V3）2-62=6退，:DHGSBHC,.D H _ H G 丽 丽._ D H-C H _(6 V 2)j _ _1 9 Dll 1 ，*/,H G 6设 OB=OC=r,则 OH=BH-0B=12-r,：O+CH-OC2,：.(12-r)2+(6 7 2)2=J,解得：，=9,：.OM=9,N H=LB=9,NG=EN=BN=3,2:NMNP=N
17、HNE,NMPN=NHEP=90,:./MNPS/HNE,.M N =N P =M P*N H-N E;设.M.i 则N J D M N-N E a “M N-H E 2近NP=-=T-0P=0N+NP=6+寺V。产+例产=0加2,(6+)2+2=92,3 3解得：a=-9(舍去)，2=5,：.MN=5.故答案为5.6.(1)证明：ABC为等边三角形，：.ZBAC=ZACB=60,：.ZBDC=ZBAC=f)O,ZADB=ZACB=60,*：CE/ADf：.ZDEC=ZADB=60,ZDCE=ZDEC=ZBDC=60,CQE为等边三角形；(2)证明：?15 c和COE为等边三角形，：.BC=A
18、C,CE=CD,V ZBCE+ZACE=ZACD+ZACE=60,：./B C E=ZACDf在BCE和AC8中，B C=A CB C=3 0 ,连 接0 4交B Q于点H,:B C=f,贝!|B O=C O=2 丑在 R ta B。，中，8 4=B O c o s/Q B C=2 X喙=3则 BD=2BH=6；(2)在 R tZ xB C D 中，B C=4 g Z D B C=3 0 ,则 C =/C 8=2 F，PD=PB-BD=8-6=2,在 R t/X C D P 中，PC2=CD1+PD2=4+(25/3)2=1 6,在B C尸中，B d=(4 7 3)2=4 8,8尸=6 4,则
19、 PB2=CB2+PC2,故A B P C为直角三角形，故P C L C 8,故P C为。的切线；(3)过点A作A H LBC交8。于点尸,图2在 中，ZDBC=30,W lJ P H=P B,即 AP+4PB=AP+PH=4H 为最小，:俞、前 均 为6 0 的弧，则N A B O=60，而 AO=B。，故ABO为边长为2 T的等边三角形，则 AH=ABsin60=2 X即A P+PB的最小值为3.1 0.解：(1)四边形AEG尸是。的内接四边形，故答案为：60；(2)连接E F,如图所示：四边形FGE4是。0的内接四边形，:.NDGF=NDAE,又4 GDF=NADE,：./D F G/D
20、 E A,当AD EA为等腰三角形时，丛DFG为等腰三角形，:四边形ABCO是矩形，AB=4,BC=6,：.CD=AB=4,AD=BC=6,N B A Q=/A B C=/A C=9 0 ,；。0 是 AABE 的外接圆，NABE=90,是O。的直径，A ZAFE=90,.NDFE=180-NAFE=180-90=90,Z CDF=ZDCE=Z DFE=90 ,.四边形。CEF是矩形，:.DF=CE,Er=CD=4,若AEZ)为等腰三角形，分三种情况：当AE=Z)E时，V ZAFE=90,：.EFAD,：.AFD FAD3,2:.CE=DF=3；当AE=AO=6时，在RtZA8E中，由勾股定理
21、得：8E=缶2-AB 2=丘2.42=2泥,:.CE=BC-CE=6-2层 当OE=D4=6时，在RtZXOCE中，由勾股定理得：CE=7DE2-C D2=V 62-42=2V 5：综上所述，当BE的长为3或6-2旄 或2立 时，ZVOFG为等腰三角形,故答案为：3或6-2旄 或2泥；(3)过0作。”LAB于点，如图所示：则 0H/AD/CE,.四边形ABC。是矩形，A ZABC=90,.AE为。的直径，；.04=0E,；OH是梯形ADCE的中位线，：.OH=(AD+CE),2：.2OH=AD+CE,:。与CO相切，为切点，：.OH=OA,：.AE=2OH=AD+CE=6+CE,在 RtZABE中，由勾股定理得：AB1+BEL=AEL,即 42+(6-CE)2=(6+CE)2,