《广东省2022-2023年高三数学期末试卷汇编12：圆锥曲线解析版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省2022-2023年高三数学期末试卷汇编12：圆锥曲线解析版.pdf（43页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、广东省2022-2023年高三数学期末试卷分类汇编专 题 12：圆锥曲线解析版一、单选r2 v21.（广东省五校期末试题）设士，鸟 分别为双曲线。：与一 2r=1 （a 0,60）的左、右焦点，人为双曲线的左顶点，以 为 直 径 的 圆 交 双 曲 线 的 某 条 渐 近 线 于M,N两点,且NM4N=1 2 0,（如图），则该双曲线的离心率为（）【答案】A【解析】【分析】先求出M,N两点的坐标，再利用余弦定理，求出a,c之间的关系，即可得了双曲线的离心率.【详解】解：不妨设圆与y=2 x相交，且点M的坐标为（/,%），/。，则点N的坐标为（不，为），联立%=一/,/2 +y02=c2.得 M
2、(a,b),N(-a,-b ),又 A(一a,0)且 ZM AN=120,所以|AW|=J(a+a)2+ZA|4V|=/?,所以由余弦定理得：4c2=(a+ay+b2+b2-25/(+)2+b2-Z?cos 120-化简得7/=3C2,故选：Ar22.（深圳市南山区期末试题）已知交于点尸的直线4 相互垂直，且均与椭圆C:二+2 =13相切，若A为C的上顶点，贝的取值范围为（）A.V 2,V 3 B.1,V 3 C.7 3,3 D.1,3【答案】D【解析】【分析】根据题意，设 尸（加,），由条件联立直线与椭圆方程，得到点P的轨迹是圆，从而得到结果.【详解】当桶圆的切线斜率存在时，设尸（加,），且
3、过P与椭圆相切的直线方程为：y n =k xm,2-X-=12 1联立直线与椭圆方程J 3 ,y-n =k x-m）消去 了 可得，（；+%2）%2+2k（n -k m）x+（-k m）2-1=0所以 =42一版了 一4（；+攵2）（_ 板）2 _ j _ Q即（3 加 之）左2 +2k m n +1-H2=0,设4,&为 方 程的两个根，由两切线相互垂宜，所以匕？2 2 J，所以 上 二 =一1，即 一3 =1-2,所以加2+2=4（病 工3）,3-n i 当椭圆 切线斜率不存在时，此时，加=6,九=1,也满足上式，所以加2+1=4,其轨迹是以（0,0）为圆心，2为半径的圆，又因为A为椭圆上
4、顶点，所以A（0,l）,当点P位于圆的上顶点时，.=2-1 =1,当点P位于圆的下顶点时，|以|,而=2 +1 =3,所以|尸A|4 1,3,故选:D3.（深圳市罗湖区期末试题）圆。1：%2 +/一4；-6 =0与圆0 2：/+/一6%+8 =0公共 弦 长 为（）A.75C.275【答案】C【解析】B.VioD.375【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直.线的方程，求出圆。|的圆心到公共弦的距离，再由公共弦长公式d=2/2 一力求出答案即可.【详解】联立两个圆的方程%2+y2 _ 4y _ 6=0 x2+y2-6 x +8y=0两式相减可得公共弦方程x-2 y-1 =Q,圆 :V +&
5、-2）2 =10的圆心坐标为a （0,2）,半径为厂=J而，圆心Q（0,2）到公共弦的距离为&=与点=后，公共弦长为d=2 商-d；=2V10-5=2也.故选:C.4.（清远市高三期末试题）古希腊的数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方米200元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为1.8米 且 离 心 率 为 逝3的椭圆，则小张要买的镜子的价格约为（）A.1356元 B.341元 C.339 元 D.344元【答案】C【解析】【分析】设镜子的外轮廓对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为a
6、米，b米，进而结合题a=0.9意 得,八,，再计算面积即镜子的价格。【详解】解：设镜子对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为a米，b米，因为长轴长为8米且离心半为 好，3 2 a=1.8 ,-a=0.9 rv有解得一 僦，IV a2 3 1 S一 二 0.9 x 0.6,即 S =0.54兀，710.54 兀 x 2 0 0 H 3 3 9 元故选：C.5.（清远市高三期末试题）已 知P,Q为圆f+y 2 =4上的两个动点，点且P M J.QM,则坐标原点O到直线尸Q的距离的最大值为（）A.6 B.2+C,.+&D.22 2【答案】C【解析】【分析】设P Q的中点为N，求得N点的轨迹，由此求得正
7、确答案.【详解】设P Q的中点为N，由尸M,得|PN|=,设 N（x,y）,由 =|ON+|P N =|ON+|M A f ,得*2+（%+）2+（y _ ）2 =4,H P%2+y2+%-1 =0 ,1 ,1 ,3即=/，所以N点的轨迹是以（一 1为圆心，半径 为 直 的圆.I 2 2）2则点O到直线P Q的距离的最大值为半+=产.故选：C6.(惠州市高三期末试题)设a e R,则“。=1是 直线y=/x+l 与直线y=x 1平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】若直线y=a2x+1与直线y=x-1 平行，则 a2=1
8、,解得a=1或 a=-1.经检验成立所以“a=1”是“直线y=a2x+1与直线y=x-1 平行”的充分不必要条件.故选A.7.(惠州市高三期末试题)设 m w R,过定点A 的动直线x+2+w(y-7)=0 和过定点B的动直线如一y 加+3=0 交于点p(x,y),贝 1J|PA|+|尸用的取值范围是()A.V5,2A/5 B,710,475 C.1 26,4括 D.卜,5五【答案】D【解析】【分析】可得直线分别过定点(2,7)和(1,3)且垂直，可得+|尸 8 =25.设Z A B P =6,则|PA|=5sine,|P=5cose,6w 0,|，则|PA|+|P理=5夜 sin(e+?),
9、利用正弦函数的性质即可求值域.【详解】由题意可知，动直线1+2+加(-7)=0 经过定点A(2,7),动直线znx_y-zn+3=0 即m(x-l)-y+3 =0,经过定点3(1,3),时，动直线x+2+m(y-7)=0 和动直线 吠一了一加+3=0 的斜率之积为-1,始终垂直，加=0 时，也垂直，所以两直线始终垂直,又尸是两条直线的交点，.B 4_ L EB，.q PA|2+|PB|2=|A 5|2=2 5.设Z A B P =6,贝i j|F=5s i n。，|P=5c os e,r r由|口4|0 0且忸8怛0,可得。e 0,-,.|PA|+|PB|=5(s i ne +c os e)=
10、5V5s i ne +?),0 E.-f-4 4.-.572 s i n 0+-故选:D.2 28.（华南师范大学附属中学高三期末试题）已知双曲线E:三 一 当=1（。（）/（）的焦点关于渐近线的对称点在双曲线E上，则双曲线E的离心率为（）B-TC.y/5D.V2【答案】C【解析】【分析】根据对称性的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合双曲线的定义及双曲线的离心率的公式即可求解.【详解】耳关于渐近线O M的对称点尸在双曲线上，如图所示，则=0F=|0段.所以 用_L 是：.gP的中位线,所以耳（-c,0）到渐近线Z z x +殴=0的距离为b(一C)+Q Xi =h,即|M|=6,c
11、d =-在Rt书。M中，|o q|=c,所以|o w|=-MFtf =yl c2-b2=a，进而=a,所以离心率 i +=-y 5 a a故选：C9.（东莞市高三期末试题）已 知 封为抛物线V=4 x的焦点，尸为抛物线上任意一点，0为坐标原点，若I P尸1=3,则|0 P|=（）A.27 2 B.3 C.25/3 D.V n【答案】C【解析】【分析】根据抛物线定义结合|PF|=3,求得点尸的坐标，即可求得答案.【详解】由题意产为抛物线V=4 x的焦点，则?（1,0）,且准线方程为彳=一1,设尸（巧,孙），由|=3可 得/,+1 =3,，/,=2,代入、2=4%得 耳=8,即 P(2,2&),故
12、|QP|=J焉+4=屈=2故选：C1 0.（梅州市大埔县高三期末试题）设椭圆C:靛十瓦=1（。Z?0）的左、右焦点分别为后，尸2,点M,N在C上（M位于第一象限），且点M,N关于原点O对称，若|M?V|=|片闾,2 0 1 M闾=|N可，则椭圆C的离心率为（）AA/2 R 1 0 6 V2-3 n 3V2-3A.D.-U.-U.-4 2 7 7【答案】C【详解】依题意作图,由于|MV|=|耳闾,并且线段M N,耳入互相平分，四边形“耳”是矩形，其中|g|=|咋设阿 闾=,贝 小4闽=2。一兀，勾股定理|M+|M g=E，（2”X+X2=4C2,整理得/奴+3 2 =。，山于点M在第一象限，x=
13、a 7 a J 2 b 2，由 2夜|摩|=加 用，得|用N|=3|摩即3（一4a 2一2Z?2）=2C,整理得7 c 2+6 a c 9a*=0,即7/+6 e 9=0,解得e =8 巨 -故选：C.71 1.（江门市高三期末试卷）已知直线4：x-y +4=0和直线几x =-2,抛物线V=8 x上一动点尸到直线4和直线4的距离之和的最小值是（）A.3 c B.4V2 C.|/2 D.2+2立A【详解】抛物线尸:口，抛物线的准线为x =-2,焦点为尸（2,0）,点P到准线x =-2的距离期等于点尸到焦点F的距离P F,即FA =P尸，点P到直线4和直线4的距离之和d =P B+P A =P B
14、+P F ,当 B,P,F三点共线时，PB +尸 产最小，=再行%=3五，点尸到直线4和直线4的距离之和的最小值为3啦.故选：A.二、多选12.（深 圳 市 南 山 区 期 末 试 题）在 平 面 直 角 坐 标 系x 0 y中，已 知 点P在双曲线。：2一5 72=4（%0）的右支上运动，平行四边 形 加 归 的顶点A ,8分别在。的两条渐近线上，则下列结论正确的为（）A.直线A O，AP的斜率之积为-1 B.C 的离心率为2C.|/利+归却的 最 小 值 为 后 D.四边形Q4PB的面积可能为丁【答案】AC【解析】【分析】根据题意可得：双曲线为等轴双曲线，即可得到离心率为 夜，渐近线方程为
15、xy=O,设 P 点的坐标，根据渐近线互相垂直可得：平行四边形Q4PB为矩形，利用点到直线的距离公式和基本不等式进而进行判断即可.【详解】由题意可知：双曲线一 了 2=4（几 0）为等轴双曲线，则离心率为行，故选项B 错误；由方程可知：双曲线。:产一丁二力便。）的渐近线方程为x 土y=。，不妨设点A在渐近线 x+y=O上，点B在渐近线x-y=O 上.因为渐近线互相垂直，由题意可知：平行四边形04尸 3 为矩形，则心=自3=1，k.A=-L所以直线A 0，/止的斜率之积为-1,故选项 A 正确；设点。（玉）,九），由题意知：Q4尸 8 为矩形，则。5,0 民 P A _ L O 4,由点到宜线的
16、距离公式可得：|24|=*=区/1,忙8|=乜/=区河，则1 1 Vl+1 V2 1 1 Vl+1 V2|PA|+|P5|2yj PA-PB =2 g =必当且仅当|可|=忸 耳，也即P 为双曲线右顶点时取等，所以|则+|尸用的最小值为疹，故选项C 正确；由选项C 的分析可知：|叫 陷=员 旨1,因为四边 形 加 方 为 矩形，2所以5加 8=|尸 山 忖 却=,，故选项D 错误,故选：AC.13.（深圳市罗湖区期末试题）已知A,2 2B为椭圆C：+与a2 b2l（a b 0）左、右顶点,/2 尸（c,0）为。的右焦点,M 是 C 的上顶点，N ,0,M N 的垂直平分线交C 于 ,E,7若。
17、，E,尸三点共线，则（）A.|/W|=aB.C的离心率为止二12C.点N到直线M尸的距离为幺cD.直线D4,B的斜率之积为-与a【答案】ABD【解析】1 2/2、【分析】根据题意得OE的方程为-x-，进而得,43/+/=o,再整2 bc1 2c J理得ac=，进而求|F N|,离心率判断AB；求出直线的方程并结合点线距公式求解判 断c；设。（毛,%），则 尤=层1一 今 卜、任 一 年），进而求解心七,即可判断D.（2【详解】解：由题知A（a,0）,8（。,0）,M（0,b）,N ,0,F（c,0）,k C 7k=上=一 （a2公所以，MA a2 a2，A/N的 中 点 为,-y 12c.2）
18、b c r（r 所以，跖V的垂直平分线D E的方程为y 二=%-,2 bcy 2c J因为。，E，尸三点共线,a2beb所以一不=2整理得c 4 3 a 2c2+4=0,所以（/-c2y-a2C2=0,即/_c2=a c =lj2.a a c b所以，|FN|=-c=-=一 =a,故A选项正确;c c c所以02一双/=0,即e 2 _ e _ i=o,解得e=二!或6=叵“（舍）2 2所以，椭圆的离心率为6=叵4，故B选项正确:2b因 为 直 线 的 方 程 为了 二 一一x+b,即/zx+cy /?c=0,/2 a2b a2b所以，点N 人,0到直线M F 的距离为c-_ a b、b 2,
19、故 c 选项错误；l 7 y/b2+c2 a c c2 2(2 1 2设 0(%)，贝 I与 +普=1，故 y；=/1-3 =-(2-),cr b2 a a x)由于 A（-a,0）,3（a,0）,所以“A DKk BD%_%+a X。-a x()ab2故 D 选项正确;故选：ABD1 4.（深圳市高级中学集团期末试题）第 24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆a：a；b；=1(4 b 0)和椭圆。2：5+%=1（4 4 ）的 离 心 率 相 同,且.则
20、下 列 正 确 的 是（）A.a；-尤 bx-h2C.如果两个椭圆。2，G 分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆G 均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则5 =0a2D.由外层椭圆G 的左顶点A 向内层椭圆G 分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与G 交于两点M，N,a 的右顶点为8,若直线A W 与 8 N 的斜率之Q1积 为 则 椭 圆 c 的离心率为【答案】BCD【解析】【分析】由离心率相同及已知得到a；-蜡 一 状、。2=乎，即可判断A、B；由产（生”2）在椭圆G 上得到？=，进而判断C：根据对称性确定A M,N,8
21、的坐标，结廿合斜率两点式得3=7 判断D.q【详解】A：由4 ,=:2 优且4，则一 仇 2。；一以，即a；一城 一片，故错误；B：由R=，得1_之1一号则仁管，所以q a2 a a2 4q-2 =4 -=-）4-2，故正确；C：尸（生，）满足椭圆G 方 程 与+与=L 又 鲁=?，则 虫=之，所以=1,L=夜，故正确；。2D：由对称性知:M、N 关于轴对称，A（-q,O）,B 0）,b2 r2k-%k-f O l l i v2 b+h2 8KAM ,，KBN-，则 j j y（）q 4 8,入 o+G X0 a AMBN=2=7-=x0-a,七一 4 4 9r T 7 7 ie=.l-幺=1
22、,故正确.y I a J 3故选：BCD.1 5.（深圳市高级中学集团期末试题）过平面内一点尸作曲线y=Hnx|两条互相垂直的切线4 4,切点为R、尸 4尸 八 尸 2不重合），设直线4,4 分别与y 轴交于点A B,则下列结论正确 的 是（）A.PI、P2两点的横坐标之积为定值B.直线尸1 尸 2的斜率为定值C.线段4 B 的长度为定值D.三角形尸面积的取值范围为（0,1【答案】ABC【解析】【分析】A.口 匚耳,鸟的位置，即可判断；B.%鸟的坐标，表示直线片鸟的斜率，即可判断；C.A,5的坐标，即可求线段A8的长度;D.P的横坐标，因为|A 8|为定值，即转化为求点尸的横坐标的取值范围.【
23、详解】因为y =|l n x|=-I n x,O x 1所以，当o v x v i时，y=-；当X N I时，y,X X不妨设点，鸟的横坐标分别为小马，且玉马，若。内 时，直线/的斜率分别为2=-卜，此时幽 二 京。,不合题意;,1 ,1 ,1若时，则直线心6的斜率分别为心记 此时 产豆不合题意.,1 ,1所以 0 X 4 1 马 或0芭 0,厂+1+所以，函数/(x)在(0,1)上单调递增，则当X (O/)时，/(x)0,l),2x所以，选项 D 错.故选：ABC.1 6.(惠州市高三期末试题)已知定圆4的半径为1,圆心A到定直线/的距离为d,动圆C与圆A和直线/都相切，圆心C的轨迹为如图所
24、示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为外，生，则()A.d B.p+p=2d C.pxp2=d D.1 1 2+Pi p2 d【答案】ABD【解析】【分析】根据动圆C与圆4和直线/都相切，分圆C与圆A相外切和圆C与圆月相内切,分别取到A的距离为d+1,d-1,且平行于/的直线4，4,利用抛物线的定义求解.【详解】解：动圆C与圆A和直线/都相切，当圆C与圆人相外切时，取到A的距离为d+1,且平行于/的直线则圆心C到A的距离等于圆心C到4的距离，由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以行为焦点，以4为准线的抛物线；当圆C与圆A相内切时，取到A的距离为d-1,且平行于/的直线4，则圆心C
25、到八的距离等于圆心C到4的距离，由抛物线 定义得：圆心C的轨迹是以4为焦点，以，2为准线的抛物线；所以Pi =d +l,，2=d l，当d L p+p2=2d ,Pi P=d-T ,+=7 +-r =T T =7 Pi 4+1 d 1 d 1 d d故选：ABD17.（华南师范大学附属中学高三期末试题）己知。为坐标原点，点 尸为抛物线C：y 2=4x的焦点，点P（4,4）,直线/：=阳+1交抛物线C于A,8两 点（不与P点重合），则以下说法正确的是（）A.|E 4|17 1B.存在实数加，使得N A O B 2=4 X，p =2,=1,焦点厂（1,0）,不妨设为A（8,y J,3（/,必），设
26、A，B到准线的距离分别为服，dK,对于A,由标准方程知，抛物线顶点在原点，开口向右，X,0,1由抛物线的定义|E 4卜 么=玉+5 =%+1 2 1,故选项A正确；y 2 =4x对于B,C 消去x,化简得/4m y 4=0 （A 0）.x =m y +12 2 2则 丁|+必=4根，yty2=-4-y2=4x,x =Y，xix2 =1O A=（X 1,y），O B=（9,%），OA-O B =个/+X%=1 -4=-3 0.c o s Z A O B=c o s /OA,OB =2 E 1 OA OB N A O 2，IT不存在实数加，使得NA。6一,选项B错误；2对于 C,河=（1一3,-必
27、），E8=（七一 1,%），AF=2F B，（1-4-必）=2（%2-1，%）=（29-2,2丫2），-凶=2%又 山选项B判断过程知M +%=4 m，i%=-4,解得 y=2 /，y2 V2,根或 x =2及，y2=V2,m=-,万若AE=2 F 8,则加=*，选项C正确；4对于D,由题意，百W 4,*4,x*4,y2 H4,直线 处 与P5的倾斜角互补时，斜率均存在，且kpA=kpB，2y1.二-14 二一2%1 二 74,代 入%=&丫？,%=红y2，化简得X+%+8=。，X 4 x?4 44由选项B的判断知，乂 +必=4根，4/n+8=0,m=-2,故选项D正确故选：ACD.21 8.
28、（东莞市高三期末试题）已知直线/：了 =丘+，与 椭 圆 土+尸=1交 于4 B两点，2 点尸为椭圆的右焦点，则下列结论正确的是（）A.当加=左时，存在Z e R使得|必|+|尸8|=4B.当帆=左时，|E 4+F 8|的最小值为2C.当=1时，存在加e R使得|必|+|尸8|=4D.当=1时，|E4+FB|的最小值为2【答案】ABC【解析】y-kx+m【分析】联立 d ，消去 并整理得（1 +2/口2+4加履+2/一2=0,由（）,+y=1I 2-得1+2左2m 2,设4元”|）、B（x2,y2）,得至iJX+%2和%也，对于A,当相=2时，直线/过左焦点，求出|4 5|,山|B 4|+|F
29、B|+|A 8|=4a=4&以 及|必|+|F B|=4,求出人=Ji+V5，可知A正确;对于B,当加=/时，得到I E 4 +F B I =(1+2-)2利用换元法可求出|E 4+F B|取最小值2，故 B正确；对于C,当女=1 时，求出|A B|=力 3-病 记 4 =|必|+1尸 81,可知C正确；对 于 D,当&=1时，求出|雨+/月|3 3=|5(W+|)2+1的最小值 为 竽 2.可知D不正确.丫 2,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _【详解】由5 +丁=1得。=行万=万斤=1，所以E(1,O),联立y=k x+mX2 2 i+V =112消去 并整理得(1+2k2)x2+4m
30、 k x+2 m2-2 =0,A =16 m2k2-4(1+2k2)(2 2)0 ,即 1+2炉 /,设 4(石，凹)、B(x2,y2),则%+x2 4m k1+2公2n r-2-1 +2 公所以|A B -yj +k2-J(Y+七 _ 4 卒 2=J 1+Z?,1 16m 2k 2 4(2/22)(1+语 (1+2公产(1+2女 2产y/l +k2-，原 2+8-8/1 +2公对于A,当加=左时，/：y =k(x +l)过椭圆的左焦点(一 1,0),此时|”|=后.2夜.尸=2 夜(1+f),1+2/1+2公若|必|+|所|=4，则由|雨|+|必|+|4 0=4。=4&，得|AB|=40-4
31、,所以2亚(1+,)=4 行 _4,解 得 公=1+&,k =+6，1 +2k所以存在 =J 1+J5，使得|E 4|+|f B|=4,故 A正确；4 氏 2对 于 B,当/篦=左时，X.+X9=-71-1+2/,、-,4 攵 .2ky,+必=%。+占)+2Z =-7 +2%=-71 2 1 2 1+2公 1+2公所以I E 4 +咫 I=1(%-1 +/一 1,X +%)I=Ja+%2-2)2+(、+%)2（-占-4+（良）2卜（4 4 2+1）2+4公 （1 +2 左2）24 1+2 =/b 则2公=1 1，则|E 4 +FB=J：*+2=后 一?+16=,2（装，因为0 1 4 1,所以
32、当！=1,即，=1,左=0时，|所+所|取最小值2,故B i E确;t t对于 C,当=1 时，|叫=J i +6 H 6K 上 8二 8=3,3 _ 2 血|/且=i,所以m 2 3，所以-J J m 超,所以当m=一冬时，|E 4+尸8|取最小值2叵2，.故D不正确.3 5故选：A B C三、填空题19.（广东省五校期末试题）若抛物线y 2=m x的准线与直线x =l间的距离为3,则抛物线 的 方 程 为.【答案】2=一16%或9=8【解析】【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.|E 4|+|E 5|,此时存在ze R 使得|E 4|+|F B|=4,故 C 正确;对于D,
33、当女=1时，%+/=一4m k1 +2公4 mVy+%=%+工2 +2m2时3 n,m,3 3所以|F A+尸81=（玉 T +W T，M+%）I=5/（尤1+%2 2）2 +（3+%）2I T T【详解】抛物线产=如 的准线为*=一 w，m则-1=3,解得加=-16或2 =8,4故抛物线的方程为/=一 16x或/=8x.故答案为：y=_ 6 x或y2=8x.20.(深圳市罗湖区期末试题)已知一A BC的 顶 点A(-2,1),点B,C均在抛物线”:丁=4彳上.若4 8,A C的中点也在H上，8 C的中点为。，则AD=,_ A B C的面积S=.【答案】.#6.7 5 .4 4 4【解析】【分
34、析】先利用点在曲线上构造出一元二次方程，求得点D的坐标，进而求得A D的长和_ A B C的面积.【详解】不妨设B ,C，必，I 4 )4 J则A 3的 中 点 一1 +今，三 匚 在H:y 2=4 x上，I 8 2 7(、2/2 2所 以 一=4 x -1 +二 =_ 4 +,整理得力一2%-17 =0,V 2/1 6 7 2/2 、又A C的中点 T+卷，=二 在“：y=4x上，1 8 2 7/、2 /2、2所以 2 =4 x 1+&=-4 +五,整理得y；-2%2 J 1 8）2所以力,乃是方程丁一2）,一17 =0的两根，则%+%=2,所以“3=2（%+%）+34=A 1 A =“8
35、8 4 2则|叫=/（2弋）2+（1-1）2=?，A BC的面积5 =9裂 民 一%|=去近+%1 _4 2=5 6 及2 4 o 0,%0）,联立y=8 x得，y2-8wy-16=0,则+%=8加,yxy2=-1 6,由/必 产 乂=120,设 NMPO=a,3 P o =0,则 tan a=,tan/?=,I X I I I 必 I由)=-=-9 =-石=X -%=6 G，64即%=+2)-4乂%=,64加2 +64 =6 M 解得加=m (舍去），故斜率左=11故答案为：勺 叵112 3.（汕头市高三期末试题）已知长方形八B C。中，4 B=4,B C=3,则以4、B为焦点,且过C、。的
36、椭圆 的 离 心 率 为.【答案】1#0.5【解析】【分析】利用椭圆定义及简单几何性质，明确a与c,即可得到椭圆的离心率.【详解】由题知，2c =A 3 =4,解得c =2,A C =yAB2+BC2=V 42+32=5，由椭圆的定义知：2a =A C+3 C =5 +3 =8,解得。=4,c 2 1所以椭圆的离心率e =.。4 2故答案为：y.2 224.（清远市高三期末试题）已知尸为双曲线C：鼻 一 方=1（。0力0）上异于顶点A-人 的任意一点，直 线P A-P4的斜率分别为 勺，k2,写 出 满 足C的 焦 距 小 于8且3 女上 4的C的一个标准方程：.2 2【答案】-匕=1 （答案
37、不唯一）2 7【解析】【分析】首先设点尸（不，儿），4（。,0），4（。,0），根据条件转化为关于/力2,0 2的不等式组，再写出满足条件的一个标准方程.【详解】设。（分，九），A（一。，0），4（。,0）,/2,b?其 一1 ,kk 一 y。_ J _ 1丁）,/+Q X。C L XQ Q XQ C l C l3与 4a所以02c0力0）的左、右焦a b点，点尸是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin/P&4=3sin/PK/，则双曲线C的 离 心 率 的 取 值 范 围 为.【答案】le|耳 闾，得3a+a 2 c,即2 a c,所以e=I,所以l e 2,a故答案为：le 0）,若过定点
38、p（l,l）有且仅有一条直线被圆C截得弦长为2,则r可以是 9 0转 化 为|Q P区2 a,由此求得点P横坐标的范围，进而得动点P的轨迹的长度.因为 Z A P B 9 0 ,所以 Z A P O 4 5 ,所以 s i n Z A P O =-2s i n 4 5 =,OP OP 2解 得|。区2次，设 点P的坐标为（羽、后），所以 J f+5 42 0，解得所 以 动 点P的轨迹的长度为2G.故答案为：2省.28.（梅州市大埔县高三期末试题）唐代诗人李顽的诗 古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下
39、某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为M+y 2 s 1,若将军从点4（2,0）处出发，河岸线所在直线方程为x +y =3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，贝 将军饮马”的最短总路程为;【解析】设点A关于直线x+y=3的对称点4（a,b）,（1卜 4 4的 中 点 为2,2 ,无=上，故卜一：，解 得 卜=3,2 2）M a-2 a+2 b,b=2 2要使从点A到军营总路程最短，即为点4到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为存*I7-1=V1O-129.（佛山市高三期末试题）已知抛物线C:x2=2py（p 0）的焦点为F
40、,点Z在抛物线C上，若点A到x轴的距离是|4尸|一2,则=.30.（佛山市高三期末试题）写出一个同时满足下列条件的 双 曲 线 的 标 准 方 程:.口焦点在x轴上；离心率为2.四、简答题31.（广东省五校期末试题）己知平面内两点A（0,2）,3（0,2）,动点尸满足人”脸=-（1）求动点尸的轨迹方程；（2）过定点Q（0,6）的直线/交动点尸的轨迹于不同的两点M,N（M在N的上方），点M关于y轴 对 称 点 为 求证 直 线 过 定 点，并求出定点坐标.2 2【答案】（1）上+2_=1（户0）3 4（2）直 线 恒 过 定 点【解析】【分析】（1）直接由斜率关系计算得到；（2）设出直线M N,
41、联立椭圆方程，韦达定理求出玉+，为，再结合M,N,。三点共线，求出参数，得到过定点.【小问1详解】设动点尸（x,y）,由已知有上士（x*o）,x x 32 2整理得 L+2 L =i（xxo）,3 42 2所以动点P的轨迹方程为乙+二=l（x/0）；3 4【小问2详解】由已知条件可知直线A/N和直线/斜 率 一定存在,设直线M 2 V方程为y =+，M （x p y）,N（x2,y2）,则加（一5，乂）,y=k x-t由 J y2,可得（3 Z +4）J+6攵Zx+3/-1 2 =0,（x w 0）,1 3 4则 =（6 m）2 4（3%2 +4）（3 r2-1 2）0,即为尸 3+4，-6k
42、 t 3产 一1 2%+/=记互5人=评盲因为直线/过定点Q（0,6）,所以M,N,。三点共线，即勺M=WV，即三=千，即-6）+玉（%-6）=0，即/（例 +/-6）+%（立+/-6）=0,即 2 向W+。6）（%+%）=。得 2 k m （-6）碧 =0，2整理厂-4 （f 6）/=0,得/=满足（）,则直线M N方程为y =丘+：,恒过定点（，【点睛】椭圆对称轴上一点M，椭圆的一条弦AB与此对称轴交与N,夹在 ，N之间的椭圆的顶点为Q,则Z A M B被对称轴平分o|。河|，|。|，|O N|成等比数列.3 2.（深圳市南山区期末试题）已知直线/与抛物线C：V=4 x交于A,B两点，且与
43、x轴交于点“（1,0）（。0）,过点A,8分别作直线4：x =-a的垂线，垂足依次为A ,Bi，动点N在4上.（1）当。=1,且N为线段A B 1的中点时，证明：A N 1 B N；（2）记直线附，N B,NM的斜率分别为4，&2,自，是否存在实数，使得勺+&=%?若存在，求 几的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）4 =2.【解析】【分 析】（1）取A8的 中 点。，连 接D N .利 用 几 何 法，分 别 证 明 出A N、B N为NAAQNB/。的角平分线，即可证明；（2）利用“设而不求法”分别表示出4，2 2，%3,解方程求出加【小问1详解】如图示：当。=1时，
44、加（1,0）恰为抛物线。：产=4；1的焦点.由抛物线的定义可得：|A|=|A A|,忸 闸=忸4|.取A3的中点O,连接QN,则QN为梯形A 8 4 A的中位线，所以|Z）M=；（|+忸41）.因为O为A3的中点，所以=|。M=g（|A 4,|+忸即），所以|Z M|=|D N|.在 A O V 中，由 卜|N|u 得：Z A N D =/N A D.因为ON为梯形A B g A的中位线，所以。N/A 4-所以NAM）=N A A N,所以 N M 4 O =N 4 A N.同理可证：4 N B D =2 B BN.在梯形4 8片A 中，N A A B +N 4 A 4 =1 8 O。，所以
45、N A A N +N N A D +N D B N+Z A？B B,=1 8 0,所以Z N A D +Z D B N=x 1 8 0 =9 0 ,2所以 z 7 W B =9 0。,即V _ L 8N.【小问2详解】假设存在实数之，使得匕+/=2二.由直线/与抛物线C:y 2 =4 x交于A ,B两点，可设/:x =my +a.v 2 =4 x设4（%（,%）,8（%2，%）,则 广 一 ，消去x 可得：y2-4fn y-4a=Q,所以2 疗 M y2+2m a（y +%）+4 a2x =m y+a乂+%=4机，乂 =-4。.则%+%V -+%乂 一。2 M f .、2凶 2,必 2 2 2
46、 一加（乂一必）-十-=-=-X）一（一 ）x2（一 ）my +2a m y2+2a 2（m y +2 t 7）（my2+2Q）一可（弘+必）2 4弘）,-m-4（-4 r z）J2 加（-4。）+2L.4/7 7 +4 4 2ma2L A _0而 7 2 2m-a-a-2a2m C所以-=M-,a a J解得：4=2.m.a3 3.(深圳市罗湖区期末试题)点M是平面直角坐标系x O)，上一动点，两直线，：y =x,/2：=-%口已知肠4,4于点人，A位于第一象限；MB2于点、B,B位于第四象限.若四边形。4 M B的面积为2.(1)若动点M的轨迹为C,求C的方程.(2)设/(s j),过点M
47、分别作直线P，MQ交C于点尸，。.若MP与MQ的倾斜角互补，证明直线尸。的斜率为一定值，并求出这个定值.【答案】(1)X2-/=4(x 0)；(2)证明见解析，定值为-9.t【解析】【分析】(1)设M(x,y)，然后求出点A的坐标，然后算出|。小、|MA|,然后由四边形。U的面积为2可得答案；(2)设直线M P:YT =HX-S),联立宜线MP与。的方程消元，然后求出点尸的坐标，然后同理可得点。的坐标，然后可算出直线P Q的斜率.【小问1详解】设M(x,y),依题意得x 0且x%,即 x-y 0 且x+y 0,设 则 A 4 =(%_,y _)，因 为 直 线4的 方 向 向 量 为(1,1)
48、，所 以M 4-(l,l)=x +y =0 ,=三 工，即所以|。4卜受j =一 =何;+/,必 卜fiWF牛二修2 _ 2所以四边形O A M B的面积为囱 =*丁 =2,即动点M的轨迹方程为x2 2=4（X 0）.【小问2详解】设直线MP：y-f =%(x -s)(A r 1),贝i j MQ:y-t-k(x-s),联立 y-f-yM x-4,s)得x _r 依-(抬、)r2=4,整理得(1 女2)厂+2k (k s-t)x(k s 4 =0,匚 g、2k(k s-t 2k2s-2k t k2s -2k t +s所以5 +号P=一k12-l-BP xpP =-2-2-_-1-s=-攵 2-
49、_-1-所以 乃=k(xp _)+/=-2k +2k s-F t，攵2 1r m,日 2k 2s +2k t同理得上=E l-2k2t-2k ss,为=1-+t,所以直线P Q的斜率k =）-=学=得证.XQ _ xp 4k t t3 4.（深圳市高级中学集团期末试题）如图，在平面直角坐标系中，耳，鸟 分别为等轴双曲2 2线：鼻1=1（。0 0 0）的左、右焦点，若点A为双曲线右支上一点，且|A 6|-|Ag|=48，直线AF2交双曲线于B点，点。为线段。的中点，延长AD,BD,分别与双曲线交于尸，Q两点.（1）若4（王，%）,8 5 2，%），求证：W M f =4（%一七）；（2）若直线A
50、 B,尸Q的斜率都存在，且依次设为尢,右，试判断战是否为定值，如果是，请求出U 的值；如果不是，请说明理出.【答案】（1）证明见解析；（2）定值，7.【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，斜率不存在时，直接验证，斜率存在时，运用斜率公式可证明；（2）设直线AO的方程为y =7（x +2）,与双曲线联立得p卜3%8,二,同理%+2、/（西+3%+3）得。（一 如:上二）,由斜率公式及（1）中的结论可得结论.x2+3 x2+3【小问1详解】由等轴双曲线知离心率e =及，|4 6|A Q|=4 0 =2 a,及0 2=储+6，a2 2可得/=8,=8,2 =1 6,所以双曲线方程为土 一 匕=1，鸟