《2023届湖南省衡阳市高三年级上册学期第一次月考数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届湖南省衡阳市高三年级上册学期第一次月考数学试题含答案.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届 湖 南 省 衡 阳 市 第 一 中 学 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 试 题 一、单 选 题 1.已 知 集 合“=料 八 3-40,83 lgrl；贝 产 口”（）x|-lx4 B x|-lx10Q x|0 x 10 D xl0 x4【答 案】D【分 析】先 求 出 集 合 4 a 然 后 取 交 集 即 可.【详 解】由，-3-40 得 所 以=x|-lx4,又 8=xlO x 10,所 以 4cB=x0 x=4+31,则 复 数 z的 虚 部 是（）A.i B.-i C.-1 D.1【答 案】C4+3iz=【分 析】根 据 已 知 可 得 i+2i,根 据
2、复 数 的 除 法 运 算 可 得 z=2-i,即 可 求 得 答 案.【详 解】由 4+2小=4+31可 得：复 数，一 7 万 一 用？-5-一 复 数 z的 虚 部 是-1,故 选：C.3.从 0,2,4,6,8中 任 取 2 个 不 同 的 数 分 别 记 作 a,b,则 心 一 4?的 概 率 是（）2 3A.5 B.10 C.5 D.5【答 案】D【分 析】首 先 求 出 基 本 事 件 总 数，再 用 列 举 法 列 出 取 出 的 2个 数 之 差 的 绝 对 值 等 于 2的 事 件 数，最 后 利 用 对 立 事 件 和 古 典 概 型 的 概 率 公 式 计 算 可 得.
3、八=io【详 解】解：从 0,2,4,6,8中 任 取 2个 不 同 的 数 a，b,共 有 2 个 基 本 事 件，取 出 的 2个 数 之 差 的 绝 对 值 等 于 2有（，2）,Q，4）,（4,6）,国 共 4个 基 本 事 件，P=l=3所 以 所 求 概 率 为 10 5.故 选：D4.明 朝 的 一 个 葡 萄 纹 椭 圆 盘 如 图（1）所 示，清 朝 的 一 个 青 花 山 水 楼 阁 纹 饰 椭 圆 盘 如 图（2）所 示,北 宋 的 一 个 汝 窑 椭 圆 盘 如 图（3）所 示，这 三 个 椭 圆 盘 的 外 轮 廊 均 为 椭 圆.已 知 图（1）、（2）、（3）当
4、四 3中 椭 圆 的 长 轴 长 与 短 轴 长 的 比 值 分 别 9 45 7,设 图（1）、（2）、（3）中 椭 圆 的 离 心 率 分 别 为 马 叱 华,则（）(1)(2)(3)A ete e2 B e2e3 e,C W e、D e2e,-所 以 椭 圆 的 长 轴 长 与 短 轴 长 的 比 值 越 大，离 心 率 越 大.由 9-7 45,所 以 故 选：B.（八 小 二 丫 5.已 知 2 J 的 展 开 式 中 各 项 系 数 的 和 为-3,则 该 展 开 式 中 x 的 系 数 为（）A.0 B.T20 C.120 D.160【答 案】A【分 析】令 x=l,构 建 方
5、程 可 得。=2,再 根 据 I J 的 展 开 式，令=2和 厂=3,代 入 运 算 求 解.（X2+a）X-【详 解】因 为 2 X J 的 展 开 式 中 各 项 系 数 的 和 为-3,所 以 令 x=l,得 一（+l）=-3,解 得 q=2,2 丫 TX-x j 的 展 开 式 为 2/=0,1,2,3,4,5x2 xC3r2+2 x C2r3 f-=0则 展 开 式 中 含 X的 项 为 5,故 工 的 系 数 为 0.故 选：A.6.两 条 异 面 直 线 力 所 成 的 角 为 60,在 直 线。力 上 分 别 取 点 4 E 和 点 民/，使。，且/8 工 6.已 知 ZE=
6、6,8尸=8,=2炳 则 线 段 的 长 为（）A.8 B.4 m C.4百 口.8 G【答 案】B【分 析】利 用 空 间 向 量 而=2+工 豆+而，结 合 模 长 运 算 处 理，重 点 注 意 或、游 的 夹 角 与 异 面 直 线 的 夹 角 之 间 的 关 系.【详 解】由 题 意 知：EF=EA+AB+BF,所 以 EF2=EA2+AB2+BF2+2EA-AB+2,AB BF+2EA-JF,又 异 面 直 线 所 成 的 角 为 6 0,则 142=6?+港 2+8?+0+0 2 x 6 x 8cos60。所 以 网=川 4 8-6 4 8,则 倒=4 6 或 同=。（舍 去）故
7、 选：B.88-F2 7.已 知|。=2 1=53,c=(2+e),则“，4 0 的 大 小 关 系 为()A.bca B.cbaQ ha c D.cab【答 案】A【分 析】化 简 由 题 意，可 得(2+2)2/=(2+3)*=(2+e):构 造/3=”(2+?得 到 则-ln(2+x)/(x)=x+2-g(x)=-ln(2+x)x，再 令 x+2 求 得 函 数 的 单 调 性，结 合 单 调 性，即 可 求 解.【详 解】由 题 意，可 得“=(2+2)2,b=(2+3)3,c=(2+e)1 ln(2+x)所 以 令 小)=”(2+。)，/”)=令 g(x)=M，(2+x),(x0),
8、则 g)=&。，所 以 g(x)在(，+8)上 单 调 递 减，g(x)g(o)=o,所 以/(x)恒 成 立，所 以/(x)在(，+8)上 单 调 递 减，因 为 2 e/(e)3),即 f”2+2)小(2+领(2+3),|_ 1 1所 以 ln(2+2)2 ln(2+e)e ln(2+3)3,所 以 4?(2+e)，5,gp bca故 选：A.8.已 知 123山 侬 是 方 程 6 2+法+=()(4=0)的 两 根，有 以 下 四 个 命 题：甲 尸)=-；乙.tancrtan/?=7:3.sin(a+力)_ 5丙：cos(a-)4；丁 tanatan/?tan(a+#)一 tan(a
9、+/)=5:3如 果 其 中 只 有 一 个 假 命 题，则 该 命 题 是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答 案】Bc b ctana+tanp=,tana-tan=【分 析】根 据 韦 达 定 理 可 得。a,对 乙、丁 运 算 分 析 可 知 乙、丁 一 真 一 假,分 别 假 设 乙、丁 是 假 命 题，结 合 其 他 命 题 检 验 判 断.b c详 解】因 为 tan%tan/?是 方 程#+反+c=0(a w 0)的 两 根，所 以 加+tan=-/Jana.tan夕=-,btan(a+止,ana+tan=上 l-ta n a ta n/7 c c-a 2则 甲：a；bsin
10、(+/?)_ sinezcosy0+cosasin/7 _ tana+tanyff _ a _ b _ 5c o s(-/7)cosacos+sinasin/7 1+tanatany9 j+c+a 4丙：。,若 乙、丁 都 是 真 命 题，_ b _5)=9,则 实 数$的 值 是,【答 案】AB【分 析】根 据 统 计 案 例 中 的 相 关 概 念 理 解 运 算.【详 解】两 个 随 机 变 量 的 线 性 相 关 性 越 强，相 关 系 数 的 绝 对 值 越 接 近 于 1，故 A 正 确;B 中 样 本 数 据 玉，*2,，%的 方 差 为%贝 I J 2%+30,2%+30,2x
11、“+3 0的 方 差 为 22x4=1 6,标 准 差 为 4,B 正 确；C 中 由 6.3 5 2 6.6 3 5,没 有 99%的 把 握 判 断 认 为 A和 B有 关，C 不 正 确；_ 9 _ 3 3 9,.7x=,y=b x F1 b=D 中 10.1 0,由 10 10 得 9,D 不 正 确；故 选：AB.0 7 11 0.若 函 数/（X）=g s in 2 x+2cos2x+”在 区 间 2 上 的 最 大 值 为 6,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）B.2兀 是 函 数/（x）的 一 个 周 期（W 0 4C.当 时，不 等 式 c/（x）c+4恒 成 立，则 实
12、 数 C的 取 值 范 围 是 2,3）D.将 函 数/（*）的 图 像 向 左 移 动 个 单 位 得 到 函 数 且）的 图 像，则 函 数 g（x）是 一 个 偶 函 数【答 案】BD/（x）=2sin I 2x+I+m+1 2x+-【分 析】先 根 据 三 角 恒 等 变 换 整 理 得 I，以 6 为 整 体，结 合 正 弦 函 数 图 像 与 性 质 运 算 求 解，并 运 用 图 像 平 移 处 理 求 解 判 断.f（x-V3sin2x+2cos2x+m-V3sin2x+cos2x+m+=2sin 2x+w+l【详 解】I 6，花(.兀、兀 7兀 xe 0,-2x+e当 L 2
13、 时，则 I 6；L6 6x=-y-z/信）=4所 以 当 6 时，的 最 大 值 为 6,即 7=3,所 以 U 2 J,选 项 A 不 正 确;/G）的 最 小 正 周 期 7 则 2兀 是 函 数/G）的 一 个 周 期，选 项 B 正 确；当 叫 5_|时,3/（X）6；fc 3所 以 不 等 式 c x）c+4恒 成 立，则 6 c+4,解 得 2C 3,选 项 C 不 正 确；兀 函 数/（X）的 图 像 向 左 移 动 6 个 单 位 得 到 函 数g(x)=2sin 2卜+)+言+4=2sin2x+J+4=2cos2x+4，函 数 g(x)是 一 个 偶 函 数，选 项 D 正
14、 确.故 选：BD.11.树 人 中 学 的“希 望 工 程 中，甲、乙 两 个 募 捐 小 组 暑 假 期 间 走 上 街 头 分 别 进 行 了 为 期 两 周 的 募 捐 活 动.两 个 小 组 第 1天 都 募 得 1000元，之 后 甲 小 组 继 续 按 第 1天 的 方 法 进 行 募 捐，则 从 第 2 天 起，甲 小 组 每 一 天 得 到 的 捐 款 都 比 前 一 天 少 50元；乙 小 组 采 取 了 积 极 措 施，从 第 1天 募 得 的 1000元 中 拿 出 了 600元 印 刷 宣 传 材 料，则 从 第 2 天 起，第(“”2)天 募 得 的 捐 款 数 为
15、 8()(“2一 元.若 甲 小 组 前 天 募 得 捐 款 数 累 计 为 5,元，乙 小 组 前 天 募 得 捐 款 数 累 计 为 北 元(需 扣 除 印 刷 宣 传 材 料 的 费 用)，则()A.B.甲 小 组 募 得 捐 款 为 9550元 C.从 第 7 天 起，总 有 2 _T=800+800-,2 n 0,再 结 合 数 列 单 调 性 得 到 答 案.【详 解】由 题 可 知 414且 设 凡 代 表 第 天 甲 小 组 募 得 捐 款，且 对 于 甲 小 组，4=100。/=-50,所 以，=4+(-1)=一 50+10500,所 以 14 420,=-25/+i 0 2
16、 5(4.所 以 2 且 eN,所 以 几=9450,故 选 项 B 不 正 确；1000,77=1b“=,设 2 代 表 第 天 乙 小 组 募 得 捐 款，由 题 可 知,工,=*1+b2+b3+-+bn所 以-6 0 0=400+800，+；800.2+800(1+(+8Oo|l+y=400+800(n 1)+800+l J=800”+4 0 0-粤,e N，,2 4 4142，故 选 项 D 错 误;因 为$6=5 2 5 0,=5175 V s6,故 该 选 项 A 正 确;C,=T,-S,=25 2-2 2 5-驾+400 选 项 C,令 2T,所 以 G=3 7.5 0C.-C,
17、=50n+-2 0 0 0而 当“2 7 时，向 2,所 以 数 列 6 为 递 增 数 列，因 此，一 北,所 以 s，0）与 直 线/：x=4 交 于 P，0 两 点，且 尸,。.抛 物 线 C 的 准 线 与 X轴 交 于 点 M，G（x。，儿）是 以 M 为 圆 心，为 半 径 的 圆 上 的 一 点（非 原 点），过 点 G 作 抛 物 线 C 的 两 条 切 线，切 点 分 别 为 4 8.则（）A.P=4 B.直 线 4 8 的 方 程 为 2工 一 坊 了+2*。=0C.-2/）,因 为。尸，。，所 以 丽 丽=1 6-需=0,故 诉=叱 又 M=8 p,所 以 P=2，故 抛
18、 物 线 C 的 方 程 为 V=4 x,所 以 A 选 项 不 正 确，；不 妨 设“（X”必）在 第 一 象 限，8（X2,%）在 第 四 象 限,则 直 线 G 4 的 方 程 为 2.、一 必=一（1一 石）必 化 简 为 2、一%7+2演=0；同 理 求 得 G B 的 方 程 为 2x _+2%=0,因 为 点 G 在 直 线 G/,G 8 上，所 以 2X()-M%+2 阳=02%一%先+2工 2=0由 此 可 知（占 必）,8。2，）的 坐 标 都 满 足 2 a 比 尸 2%=0,由 于 两 点 确 定 一 条 直 线,故 可 得 直 线 4 8 的 方 程 为 2 X-W+
19、2X。=0,所 以 B 选 项 正 确;由 A 的 分 析 可 知 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 工=-1,故/（T，）,所 以 以“为 圆 心，为 半 径 的 圆 的 方 程 为（x+i+=i,由 于 G（X。,）为 圆 上 动 点（非 原 点），故-2 4 X0 0,故 C 正 确;y2=4x 0,-2 x0 0则 凶+%=2%,%=4%,A B=J l+g）-J（必+%I=J（y；+4）（y；-4xo）d 阂 点 G（x,%）到 直 线 A B的 距 离 也+,S=-ABd=-+4 4 苏 _4%）I J=；（y：-4/?故 AN8G的 面 积 0+%,由 题 可 知，“（T）1
20、M=L 则 圆 河 的 方 程 为（x+lf+V=l,故（/+i）+y；=L 因 为 一 2 4 厮 0,所 以 火-仇=-片-6%=-（/+3）2+9 6（0,8,所 以 式*e（0,8向，故 8 G 面 积 的 最 大 值 为 为 8及，D 正 确；故 选：BCD【点 睛】本 题 考 查 了 抛 物 线 方 程 中 参 数 的 求 解 以 及 直 线 和 抛 物 线 相 切 时 切 线 以 及 弦 的 方 程 的 求 解 以 及 直 线 和 抛 物 线 位 置 关 系 中 三 角 形 面 积 最 值 的 求 法，涉 及 知 识 点 多，综 合 性 强，计 算 量 大，解 答 时 要 能 灵
21、 活 应 用 相 关 知 识 求 解，解 答 的 关 键 是 抛 物 线 切 线 方 程 的 求 法 以 及 三 角 形 面 积 最 值 的 求 解.三、填 空 题 13.函 数%)=等 的 极 大 值 点 是【答 案】&【分 析】求 得 函 数 的 导 数,利 用 导 数 的 符 号 求 得 函 数 的 单 调 性，结 合 极 值 点 的 概 念,即 可 求 解.【详 解】由 题 意，函 数 笔,/（x），可 得 _-xx2-21nrx2x?.x_ 2-41nxX3U0)令/()=。,即 41nx=2,解 得 x=色 当 x 正 时，/蹩）,故/（X）在（五）上 为 单 调 递 增 函 数，
22、当 X 右 时，故/（x）在 3,+0）上 为 单 调 递 减 函 数，X 21nx所 以 函 数“一 下 的 极 大 值 点 是 人.故 答 案 为：五.14.已 知 抛 物 线 的 焦 点?在 x 轴 上，直 线=-2 与 抛 物 线 交 于 点 A,且 2.写 出 抛 物 线 的 一 个 标 准 方 程.【答 案】V=2 x 或/=8 x 或/=_ 2 x 或/=_ 8 x（写 出 一 个 即 可）【分 析】根 据 题 意 设 抛 物 线 的 方 程 及 点 A 的 坐 标，根 据 抛 物 线 的 定 义 与 方 程 运 算 求 解.【详 解】设 所 求 焦 点 在 x轴 上 的 抛 物
23、 线 的 方 程 为 V=2 p x（p H 0）,（加,-2）,=AF=m+由 抛 物 线 定 义 得 2 2.又.（-2=2pm,:.p=士 或 p=土 4,故 所 求 抛 物 线 方 程 为/=短*或 9=8尤.故 答 案 为：，=2工 或/=&或/=_ 2 或 _/=_ 8.（写 出 一 个 即 可）15.定 义 在 R上 的 奇 函 数/（“）,当 x 0时/（X）的 解 析 式，此 时 斜 率 为 1的 点 到 直 线 的 距 离 最 小，再 与 原 点 到 直 线 的 距 离 相 比 较，取 最 小 值.【详 解】由 对 称 性 可 知，只 需 要 比 较 x 与 x=0 时 的
24、 距 离.设 x 0,-x 0,因 为 函 数 是 奇 函 数，所 以“x）=-/（-x）=2 x-l n x,则“）一 2 G./”（）=2=7 L=i 3,设 点 尸（X”必），则 凹=2再-I n演,解 得：必=l+ln3：+l+ln 3-l+ln3d_=3_此 时 点 P 到 直 线 V=r+1的 距 离 72&,设 x=。，则 原 点 色）到 直 线 V=r+1的 距 离 2立，d _红 因 为&4,所 以 曲 线 卜 二/。）上 的 点 到 直 线 V=r+1的 最 小 距 离 为 2 2.正 故 答 案 为：2.16.三 棱 锥 尸-/8 C 中，PA=PB=P C,底 面/8
25、C 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，民 厂 分 别 是 从，8 的 中 点，且 C E E F,若 M 为 三 棱 锥 P-/8 C 外 接 球 上 的 动 点，则 点 M 到 平 面 力 8 c 距 离 的 最 大 值 为巫 2【答 案】3#3【分 析】先 证 得 P8_L平 面 P/C,再 求 得 尸/=2 8=尸 0=0,从 而 得 为 正 方 体 一 部 分,进 而 知 正 方 体 的 体 对 角 线 即 为 球 直 径，从 而 得 解；【详 解】：P A=PB=PC,AABC为 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，P-/8 C为 正 三 棱 锥，P B 1 A C,又 瓦
26、 户 分 别 为 P M/8中 点，EF/PB,E F 1 AC,又 EF LCE,CEcAC=C,EF _L平 面 PAC,PB _ L 平 面 PAC,.,.Z.APB 90 PA-PB-PC V2.P-/5 C 为 正 方 体 一 部 分，R 故 2R=J 2+2+2=庭,即 2,M 为 三 棱 锥 P-/8 C 外 接 球 上 的 动 点，当/位 于 正 方 体 的 如 图 所 示 的 顶 点 处，点 到 平 面/8 C 距 离 最 大，设 为，3-l x l x V 22x j 2 x 4=2 二 可 求 得 三 棱 锥 M-/8 c 的 体 积 为：3 2 3,1 V3,272-x
27、 x2 力=-.3 4 3.276故 答 案 为：亍【点 睛】求 解 立 体 几 何 外 接 球 问 题，根 据 题 目 特 征 作 出 辅 助 线，找 到 球 心，求 出 半 径，或 补 形 为 长方 体 或 正 方 体，进 而 求 出 表 面 积 或 体 积.四、解 答 题 17.已 知 锐 角&48c中，角 C 所 对 的 边 分 别 为 命 c,2bcos8=qcosC+ccosZ 求 8；(2)若 c=2,求。的 取 值 范 围.71【答 案】(1)3 0,4)【分 析】(1)利 用 正 弦 定 理 进 行 边 化 角，结 合 两 角 和 正 弦 公 式 化 简 求 解：(2)利 用
28、 正 弦 定 理 进 行 a=14-边 化 角，结 合 三 角 恒 等 变 换 整 理 可 得 tanC,再 根 据 正 切 函 数 运 算 求 解.【详 解】(1)由 26cos8=洸。5。+8054及 正 弦 定 理 得 2sia5cos8=sirt4cosc+sinCcos/4所 以 2sinScos5=sin（4+C）又 sm(/+C)=s m 5,因 为。5,所 以 sinSwO,所 以 8s戏 万 0 B B=因 为 2,所 以 3(2)由 正 弦 定 理 得 siM sinC,2sinJ 2sin（8+C）sinC+V3cosC VJcosC V3C l=1 T-Id所 以 si
29、nC sinC sinC sinC tanC0 C-2u A=C c 因 为“8 C 是 锐 角 三 角 形，所 以 I 3 2,解 得 6 2.因 为 i nx在(相 上 单 调 递 增，所 以 邛,从 而 砒 3,所 以 i“4,即“的 取 值 范 围 是 4).18.如 图，在 三 棱 柱 8 C-4 8 G 中，平 面 C l 平 面 C C 4 N/B C=9(r,=8 C,四 边 形 C G 4 是 菱 形，/c=6 0,。是 N C的 中 点(1)证 明：8 C/平 面 片 0 4；(2)求 直 线 O A 与 平 面 B所 成 角 的 正 弦 值【答 案】(1)证 明 见 解
30、析 叵 1 0【分 析】(1)根 据 题 意 利 用 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 证 4 01 平 面 N 8 C,再 结 合 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明；根 据 题 意 建 系，先 平 面。A C 的 法 向 量 是 药，再 根 据 s m k s(O 4”运 算 处 理.【详 解】(1)连 接“c,因 为 四 边 形 C G 4 是 菱 形，则 C=4,因 为 N 4=6 0,故,4 C 为 等 边 三 角 形，所 以 W C.因 为 平 面 4 5 c l 平 面 4 C G 4,平 面 4%CC c 平 面/8 C=/C,/1 0 u 平 面 4 4 C C
31、,所 以 42_L平 面/8 C,；8 C u 平 面 N 8 C,所 以 因 为 4 4 8 4/Z 8 C=90。，所 以 又 4cBM=4,所 以 8 c l 平 面 片。4(2)连 接 5 0,因 为/*8 C=9(r,N 8=8 C,0 是 ZC 的 中 点，所 以 8 0 4/C.又 因 为 平 面/8 C/平 面 N C C/,平 面/8 C c 平 面 N C C/=Z C,8 0 u平 面 4 8 C,所 以 8 0 1 平 面 Z C G 4设/C=2,因 为 4 0 8 C以 点 为 坐 标 原 点，加 4 0 8 所 在 直 线 分 别 为 刈 WZ轴 建 立 如 图
32、所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系,则 0(0,0,0)000(1,0,0)1)C,(-2,AO)=(1,0,0),。瓦=i,右,1)西=6 2,6,0)设 平 面 4 G 的 法 向 量 是“=(2，%心)，n-OC=-2 X2+f3y2=0则 济 函=f+岛 2+Z 2=0,取 与=0，可 得 方=6 2-6)设 直 线 0 4 与 平 面 B 所 成 角 为 0.=同 瓯 作 因=噌=画 所 以 I 网 同 M 10,回.直 线 OA与 平 面 B 所 成 角 的 正 弦 值 是 T o.19.2022年 2 月 2 0日，北 京 冬 奥 会 在 鸟 巢 落 下 帷 幕，中 国 队
33、创 历 史 最 佳 战 绩.北 京 冬 奥 会 的 成 功 举 办 推 动 了 我 国 冰 雪 运 动 的 普 及，让 越 来 越 多 的 青 少 年 爱 上 了 冰 雪 运 动.这 场 冰 雪 盛 会 是 运 动 健 儿 奋 力 拼 搏 的 舞 台，也 是 中 外 文 明 交 流 互 鉴 的 舞 台，诠 释 着 新 时 代 中 国 的 从 容 姿 态，传 递 出 中 华 儿 女 与 世 界 人 民“一 起 向 未 来”的 共 同 心 声.某 学 校 统 计 了 全 校 学 生 观 看 北 京 冬 奥 会 开 幕 式 和 闭 幕 式 的 时 长 情 况(单 位：分 钟)，并 根 据 样 本 数
34、 据 绘 制 得 到 右 下 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图.(1)求 频 率 分 布 直 方 图 中 的 值，并 估 计 样 本 数 据 的 9。%分 位 数;（2）采 用 样 本 量 比 例 分 配 的 分 层 随 机 抽 样 方 式，从 观 看 时 长 在 120，280 的 学 生 中 抽 取 9 人 若 从 这 9人 中 随 机 抽 取 3 人 在 全 校 交 流 观 看 体 会，设 抽 取 的 3 人 中 观 看 时 长 在 120，240）的 人 数 为 X,求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.【答 案】（1）=604,90%分 位 数 为 235（2）分 布
35、 列 答 案 见 解 析，E（X）=2【分 析】（1）先 由 频 率 和 为 1解 得。=0。04按 百 分 位 数 的 定 义 求 出 90%分 位 数；（2）利 用 分 层 随 机 抽 样 求 出 在 两 个 区 间 中 应 分 别 抽 取 6 人 和 3 人.得 到 X 的 所 有 可 能 取 值 为，1，2,3.分 别 求 出 对 应 的 概 率，写 出 分 布 列，求 出 数 学 期 望.【详 解】（1）由 题 意，4 X（S 5+0 2 X 2+2+.06+0.0065）=1,解 得。=（）.004.由 频 率 分 布 直 方 图 知，观 看 时 长 在 200分 钟 以 下 占
36、比 为 40 x（0.0005+0.002+0.004+0.006+0.0065）=0.76观 看 时 长 在 240分 钟 以 下 占 比 为 0.76+40 x 0.004=0.92.r?n n200+40 x=2 35所 以 90%分 位 数 位 于 内，90%分 位 数 为 0.92-0.76（2）由 题 意,观 看 时 长 200,240）、240,280 对 应 的 频 率 分 别 为 0 1 6和 0.08,所 以 采 用 分 层 随 机 抽 样 的 方 式 在 两 个 区 间 中 应 分 别 抽 取 6 人 和 3 人.于 是 抽 取 的 3 人 中 观 看 时 长 在 120
37、，240）中 的 人 数 x 的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2,3.P（X=。）第=，P（X=1）=普 哈,P（X=2）=等 所 以，34 c9 34 c92084所 以,18 c 45、20 cE（X）=1 x+2 x+3 x=2v 7 84 84 842 0.已 知 数 列 J 满 足 川=2，且 4=1,（1）求 数 列 的 通 项 公 式；设%/=，求 证：1s，66 一 12万，为 奇 数 4=三【答 案】匕 2，为 偶 数（2）证 明 见 解 析 联=2【分 析】（1）根 据 题 意 整 理 可 得，讨 论 的 奇 偶 性 并 结 合 等 比 数 列 通 项 公 式 运
38、算 求 解;（2）利 用 错 位 相 减 进 行 求 和 运 算，再 利 用 放 缩 法 并 结 合 数 列 单 调 性 证 明.+2=2【详 解】（1）由 川=2 得%+4+2=2”,两 式 相 除 得 3所 以 K-i 见 都 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列，由 4=1及%+1=2|得 出=1,A+1-I所 以 为 奇 数 时，a=a2 2=2?,J 为 偶 数 时，%=段 22=2 2,-12厅,为 奇 数 j 2 h,为 偶 数 2/7-1 2/j-l 2 n-l”c S-3 5 2 n-S=卒=1+万+齐+-1 1 3 5 2/7-1则 2 S”n=2+r22+23r+-2-
39、,两 式 相 减 得 5=6 所 以 1=i+i+-+-42 222 n-l2 2-16+.-1-1-2-一 12 T 21=i+Ti-22=3-21 _ _ 2-12-2 2因 为“5,=%=下 1 0,所 以 5.单 调 递 增 所 以 邑 羽=1成 立，所 以 14S,0,/?0）21.设（心 是 双 曲 线 矿 卜 的 左、右 两 个 焦 点，。为 坐 标 原 点，若 点 尸 在 双 曲 线 C 的 右 支 上，且 1 刊 引 用=2 3 的 面 积 为 3.（1）求 双 曲 线 c 的 渐 近 线 方 程;若 双 曲 线 C 的 两 顶 点 分 别 为 4（-。，），4（。，0）,过
40、 点 的 直 线/与 双 曲 线 c 交 于 N 两 点,试 探 究 直 线 4 M 与 直 线 4 的 交 点。是 否 在 某 条 定 直 线 上？若 在，请 求 出 该 定 直 线 方 程；若 不 在,请 说 明 理 由.【答 案】尸 士 丛 1X=（2）存 在，在 定 直 线 方 程 2 上【分 析】（1）由 已 知 条 件 可 得 片 鸟 为 直 角 三 角 形，利 用 双 曲 线 的 定 义 和 勾 股 定 理 进 行 计 算 可 得 a,6,c,然 后 山 渐 近 线 公 式 可 得 答 案.（2）对 直 线/的 斜 率 不 存 在 和 存 在 两 种 情 况 进 行 讨 论，将
41、直 线 方 程 与 双 曲 线 方 程 联 立，写 出 直 线 4”和 直 线 4 的 方 程，并 联 立 利 用 韦 达 定 理 求 解 即 可.【详 解】由 班=1用=2 得 c=2,且 PFJPF?所 以 PFt-PF2=2a*国 叫=3附+附|2=4/=16=（尸 用 明 了+2|明 附|即 4a2+12=16 解 得。=1,又=C2=4,8=/3y=-x=/3x故 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为。由 可 知 双 曲 线 的 方 程 为、2 一 上 1（i）当 直 线/的 斜 率 不 存 在 时，M（2,3）,N（2,-3）,直 线 4 M 的 方 程 为，=X+1,直 线 4
42、、的 方 程 为y=-3x+3,联 立 直 线 4 M 与 直 线 4%的 方 程 可 得(ii)当 直 线/的 斜 率 存 在 时，易 得 直 线/不 和 渐 近 线 平 行，且 斜 率 不 为 0,设 直 线/的 方 程 为 y=Mx-2)g w0,左 N g,%)y=k（x-2）x2_-yy2=1 得（3-公.+必 2x_4公 _3=0,联 立 4r+3=甘-3，直 线 4 7=-（x+1）y=（x-1）的 方 程 为 玉+1,直 线 4 N 的 方 程 为 x2-l联 立 直 线 AM与 直 线&N 的 方 程 可 得:X+1 _ 必（为+1）（X+l=货（玉+1）2x-l G-l）,
43、两 边 平 方 得 X-J 3 _ 1）2,又 知（士,必）,N（x?,%）满 足“一 行=,.（再+1）2=+1）2=（+1）（占+1）=4+（阳+X2）+1y1（x2-1）2 3（X,2-1）（X2-1）2（x,-l）（x2-1）X,X2-（x,+x2）+l4储+3 4k2=T T y+p r 5+l=4公+3+4/+-一 3=9-4k2+3 4左 2,-4公+3-4/+/一 3 一;-;+1或 工=2,(舍 去).1 x=综 上，。在 定 直 线 上，且 定 直 线 方 程 为 2.22.已 知 函 数 8()=+/，6)=(。+2)其 中”R 若 直 线 y=G)是 曲 线 V=g(x
44、)的 切 线，求 负 数。的 值；设/G)=g(x)-Mx)(i)讨 论 函 数/G)的 单 调 性；(ii)若 函 数/(X)的 导 函 数 尸(X)在 区 间(Le)上 存 在 零 点，证 明：当 xe(l，e)时，f(x)【答 案】。=一 1(2)(i)答 案 见 解 析；(ii)证 明 见 解 析【分 析】（I）利 用 导 数 的 几 何 意 义 运 算 求 解；/（x）=G-lX2x-a）,x（）（2）（i）根 据 题 意 整 理 可 得 x,根 据 导 数 与 单 调 性 的 关 系 分 类 讨 论；（ii）结 合 分 析 可 知 uZxoeGZel/IxUL/aoAZxolnXo
45、T-Zx。，构 建 新 函 数 F（x）=2xlnx-x2-2x,xe（l,e）,利 用 导 数 求（尸 G）m*Q-alnx+Y g（x）=-+2x,x 0【详 解】（1）因 为 1n x+,所 以 x由 宜 线 八,（X）是 曲 线 尸 g H）的 切 线 可 知 丁 2一+2,即（2x-a）（l）=。又 a 0,所 以 x=l,则 切 点 坐 标 为），所 以 1=。+2故 4=7.（x），+2x-（a+2）=（l）Qx_a）,x o（2）（i）x x.若 L 即/（力 的 解 为 x l,所 以 当 x0,l）时，/（x）0J（x）单 调 递 减；当 x（l,+oo）时，/（x）0，/
46、（x）单 调 递 增；若。5%j0 2J（x）0 的 解 为 或,所 以 当 x e卜 S+8）时，/（X）。J Q）单 调 递 增；当“e（J）时，（x）0 J（x）单 调 递 减 若 5 一 即 2 J（、）=2 恒 成 立，所 以/（X）在（，+）上 单 调 递 增；若 葭 即 2/（x）0的 解 为 1或 所 以,（于 旧 时，单 调 递 增；当 时，/（x）J（x）单 调 递 减.综 上 所 述：若。4 0,当 x（）时，“X）单 调 递 减，时，/（x）单 调 递 增；若 0 a 2,当 x W O k）时，/G）单 调 递 增，时，x）单 调 递 减：若=2,7（）在（0,内）上
47、 单 调 递 增；xe(O,l),|,+oo j z、x e l 1,j z x若。2,当 12 J时，八 x)单 调 递 增，I 2 J时，J(x)单 调 递 减./，(*)_(1)(2)(i i)证 明：；x 在 区 间(技)上 存 在 零 点，设 零 点 为 X o，x e(l,e),则 q=2xo w(2,2e),所 以/(x)在(Lx。)上 单 调 递 减，在(所 述)上 单 调 递 增 故=/&)=2x0lnx0+x：-(2%+2)x0=2x0lnx0-x-2x0,F(x)=2xlnx-x2-2 x,x e(l,e)则 Ff(x)=21nx-2x2设 G(x)=F(x)=2 1 n x-2 x,x e(l,e),则 一 x?了。)在 0簿)内 单 调 递 减，又 尸=G(l)=-2,故/(x)=21nx-2x 尸(e)=T,故 当 x l,e)时，/(x)4