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1、专题4.5角的比较与补（余）角-重难点题型【人 教 版】*7.注，?三【知识点1角的比较与运算】角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种.方法1：度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.方法2:叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较.如比较N A O B和 NAXTB，的大小：如下图，由 图（1）可得NAOBV NA，O，B;由图（2）可得N AOB=NA O B;由图（3）可得NAOBNA，O，B，.【题 型 1角的大小比较】【例 1】（2021秋宁德期末）比较两个角的大小关系：小明用度量法测得乙4。8=45,ZC6D=50；小丽用叠合法比较，将两个角
2、的顶点重合，边 0 3 与 0。重合，边 0 A 和 0 C 置于重合边的同侧，则边0A .（填序号：“在/C O C 的内部”；“在NCOO的外部”；“与边0 c 重合”）【解题思路】根据题意画出图形，由N A 08N C。，图形直观得出答案.【解答过程】解：如图，由于N A 0 3 08的大小关系是（）B.Z A O C ,NDOC,ZDOB,NQOA的大小关系是/0 4 /D 0 B /0 C .【解题思路】直接根据图形即可得出结论.【解答过程】解：由图可知，最大的角是/A O D；Z D O A Z D O B Z D O C.故答案为：ZAOD,Z D O A Z D O B ZDO
3、C.【变 式 1-3（2021秋门头沟区期末）如图所示的网格是正方形网格，点 A,B,C,D,。是网格线交点,那么/A 0 8 Z C O D.（填“”，V”或“=”）【解题思路】取格点E,作射线。,则/A O B=/C O ,依据叠合法即可得出结论.ZAOBZCOD,故答案为：.【知识点2角的和、差关系】如图所示，NAOB是N 1 与N 2 的和，记作：ZAOB=Z1+Z2;N 1 是NAOB与N 2 的差，记作：Z l=【例 2】（2021秋安庆期末）如图，已知/B O C=2N A O C,。平分NA O B,且/CO=20,求乙408【解题思路】此题可以设/A O C=x,进一步根据角
4、之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程即可进行计算.【解答过程】解：设/A O C=x,则/8O C=2x./A O 8=3x.又 0 力平分N A0 8,二 NA O O=l.5x.：.N C O D=N A O D -/A O C=1.5 x -x=2 0 .，x=4 0 ZAOB=2 0.【变式2-1 （2 0 2 1 秋五常市期末）用一副三角板不能画出的角是（）A.75 B.1 0 5 C.1 1 0 D.1 3 5【解题思路】一副三角板的度数有3 0 ,4 5 ,6 0 ,9 0 ,这几个度数进行加减组合，可以简间接画出其他度数：1 5 ,75 ,1 0 5 ,1 2 0
5、 ,1 3 5 ,1 5 0 ,1 6 5 ,1 8 0 .【解答过程】解：75 可以用三角板的3 0 和 4 5 画出，1 0 5 可以用三角板的4 5 和 6 0 画出，1 1 0 用 副三角板不能画出，1 3 5 可以用三角板的4 5 和 9 0 画出.故选：C.【变 式 2-2】2 0 2 1 秋北硝区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，B D、8E为折痕.若N A B E=3 0 ,则/D B C 为 6 0 度.【解题思路】根据折叠思想，通过角的和差计算即可求解.【解答过程】解：8 E 为折痕，二8 0、B E 分别平分NC8C、ZABA：.Z A BE=ZABE=30 ,
6、N D B C=N D B C ：Z A B E+Z A B E+Z D B C+Z D B C =1 8 0 NABE+NDBC=9 0：.ZDBC=60 .故答案为6 0【变式2-3 （2 0 2 1 秋荔湾区期末）把一副三角尺A 8 C 与 B O E 按如图所示那样拼在一起，其中4、D、B三点在同一直线上，BM为NA BC的平分线，BN为NCBE的平分线，则/MBN的度数是（）A.30 B.45 C.55 D.60【解题思路】由角平分线的定义可知/a M=/N A 8 C=*x 6 0 =30,ZCBN=ZEBC=1 x(60+90)=75,再利用角的和差关系计算可得结果.【解答过程】
7、解：为NABC的平分线，1 1ZCBM=ZABC=1 x60=30,BV为NC8E的平分线，/.ZCBN=ZEBC=1 x(60+90)=75,：.Z MBN=Z CBN-Z CBM=75-30=45 .故 选:B.【题型3 n 等分线】【例 3】(2021秋罗湖区校级期末)如图，已知O 为直线A 8上一点，过 点。向直线AB上方引三条射线OC、OD.O E,且 OC平分乙40。，/2=3 N 1,/C O E=70,求/2 的度数.【解题思路】所求角和N 1 有关，N 1 较小，应设N 1 为未知量.根据NCOE的度数，可表示出/3,也就表示出了 N 4,而这4 个角组成一个平角.【解答过程
8、】解：设N l=x,则N 2=3N l=3x,VZCO=Z1+Z3=70；./3=(70-x)(2 分)：。(7平 分/4 0 0，；./4=/3=(70-%)VZl+Z2+Z3+Z4=180：.x+3x+(70-x)+(70-x)=180解得：x=20(5 分).N2=3x=60(6 分)答：N 2 的度数为60.【变式3-1 (2021秋奉化区校级期末)。8 是NAOC内部一条射线，OM是N A 08平分线，ON是NAOC平分线，O P是/N O A 平分线，OQ是NMOA平分线，则/尸0。：N B O C=()A.1：2 B.1：3 C.2：5 D.1：4【解题思路】依据OM是NAOB平
9、分线，OQ是NMOA平分线，可得/AOQ=*A O M=依据ON 是NAOC 平分线，OP 是NNOA 平分线，可得/A O P=NACW=%/AOC=(N 408+N B 0C),进而得出/P O Q NBOC=1：4.【解答过程】解：是NAOB平分线，。是NMOA平分线，11 ZAOQ=ZAOM=ZAOB,ON是NAOC平分线，O P是NNO4平分线，111ZAOP=ZAON=ZAOC=(NAO B+NBO C),ZPOQ=ZAOP-ZAOQ1I=7 (NAO8+NBOC)-J/A O 8,1=；NBOC,一A ZPOQ：NBOC=1：4,故选：D.OB【变式3-2（2021秋江汉区期末）
10、如图，射线0 8、OC在NAOD内部，其中。8 为N 4 0 C 的三等分线,OE、O F分别平分/8。和/C O。，若NEOF=14,请直接写出NAOC的大小.【解题思路】分两种情况：当/A 0 C=3/B 0 C 时和当N A 0 C=|/8 0 C 时，再利用角平分线的定义，借助角的和差可得答案.【解答过程】解：当NAOC=3N8OC时,设N8OC=x,NDOF=y,为/A O C 的三等分线，O/平 分/COZ）,；./4 O C=3 x,N C W=2y,NBOD=x+2y,平分 NBOZ),11 ZEOD=B O D=会+y,V ZEOF=4,1/.-.r+y-y=14,解得x=2
11、8,故 NAOC=3x=84.当/A O C=/B O C 时，设/8O C=2x,NDOF=y,；。8 为/4 O C 的三等分线，O F平分NCOD,A ZAOC=3x,ZCOD=2y,ZBOD=2x+2y,：OE 平分/8。，/EOD=ZBOD=x+y,:N E O 尸=14,/.x+y y=14,解得x=14,故N A O C=3 x=4 2 .综上，/A O C=8 4 或 4 2【变式3-3 （2 0 2 1 秋越秀区校级月考）如 图 1,已知N A O B=1 2 0 ,Z C O D=6 0a,O M .Z A O C1 1O N 在N B O D 内,Z A O M=AAOC
12、,N B O N/N B O D.（本题中所有角均大于0 且小于等于1 8 0 ）（1）/COO从 图 1 中的位置绕点O逆时针旋转到OC与 OB重合时，如图2,则1 0 0 ；（2）NCOO从图2中的位置绕点。逆时针旋转。（0 1 2 0 且“#6 0）,求NMON的度数；（3）NCOD从图2中的位置绕点。顺时针旋转/（0 1 8 0 且“W 6 0。，其中a为正整数），直接写出所有使/MON=2/BOC的n值.【解题思路】（1）当N C O D从 图 1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与O B重合时，如图2,可 得/M O N=N M O B+N B O N,再根据已知条件进行计算即可；（2
13、）根据NC。从图2中的位置绕点O逆时针旋转/（0 V V 1 2 0 且/6 0）,分两种情况画图：当 0 6 0 时，如（图 I）,当6 0 1 2 0 时，如（图 2）,结 合（1）进行角的和差计算即可；根 据 NCOO从图2中的位置绕点。顺时针旋转/（0 ”1 8 0 且”W 6 0 a,其中a为正整数），/M O N=2 N B O C,分两种情况画图：当0 6 0 时，如图3,当 6 0 ,NAOB=90,NABO=45,ZCDO=90,Z C 0D=30)(1)如 图 1摆放，点。、A、C 在一条直线上，N B O 1的 度 数 是 60；(2)如图2,变化摆放位置将直角三角板CO
14、O绕点O 逆时针方向转动，若要。8 恰好平分N C O D,则NAOC的 度 数 是 75；(3)如图3,当三角板OCD摆放在/A O B 内部时，作射线O例平分N 4 O C.射线ON平分N 80。，如果三角板OCQ在NAOB内绕点。任意转动，N M 0N的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由.图1 图2 图3【解题思路】(1)利用/8 0 O=NA0B-/C。进行计算；(2)先由08恰好平分/C。得到/C 0 B=/C 0 D=1 5 ,然后根据/4 0 C=N 4 0 B -NC0B进行计算；1 1(3)先根据。历平分/A O C,0 N 平分/8 0。得到NOCW=*
15、B。，Z C O M=Z A O C,则/O C W+Z C O M=1 (Z A O B -Z C O D),所以 N M 0 N=/D O N+N C O M+N C O D=W (N A O B+N C O D),然后把N A O 8=9 0 ,Z C=90-/A O C=25,所以/8O O=N 8O C-N C O=65-25=40（图 1）,或N8OD=NBOC+NCO3=65+25=90（图 2）.【题型6利用余角或补角的性质得角相等】【例6】（2021秋鹿邑县期末）如图，O为直线A B上一点，ZDO=90,O0是ZAO C的角平分线,若 NAOC=70.（1）求NB。的度数.（
16、2）试判断OE是否平分/B O C,并说明理由.【解题思路】（1）根据角的平分线的定义求得NA。的度数，然后根据邻补角的定义求得N 8。的度数；（2）首先根据/O O E=9（）,即/（7。+/。=9 0 ,即可求得NCOE的度数，然后根据NBOE=180-ZAO D-A D O E,求得N 8 0 E的度数，从而判断.【解答过程】解：（1）是N 4O C的角平分线（已知），/AO C=70/.ZAO D ZCOD=ZAOC=|x70=35（角平分线定义），NAOO+/8OD=180./8O O=180-NAO O=18（T-35=145；（2）答：OE平分N 80C理由：NCOE+NCOO=
17、NOOE,/。0=90,./C O E=N Q O E-N C O O=90-35=55.ZAOD+ZDOE+ZBOE=SO.,.ZBO=180-ZAOD-ZD；NAOB+NCOD=90；ZAOD+ZBOC=SO；若OB平分N A O C,则OC平分NBOZ）：NAO。的平分线与NBOC的平分线是同一条射线，其中正确的有 .（填序号）B【解题思路】由NA0B+/80C=NBO C+N CO D=90,可得N4OB=NCO；ZAOB+ZCOD=90 不一定和是 90；ZAOB+ZBOC=ZBOC+ZCOD=9(),ZAO D=ZAOC+ZCOD,：.ZAOD+ZBOC=ZAOC+ZCOD+NBO
18、C=9Q+90=180；ZA O B ZB O C Z COD=45,所以 OC 平分NBOZ)；由己知可得N 80E=N C 0E,/A O E=/O O E,所以NAO。的平分线与N 8 0 C的平分线是同一条射线.【解答过程】解：V ZA(?C=ZBOD=90,/.ZAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC=WQ,：.ZAOB=ZCOD.故正确；又；NAO B=NC。力不一定等于 45,，/AO 8+NCO力N90,故错误；X V ZAOB+ZBOC ZBOC+COD=90,ZA O D ZAOC+ZCOD,/A O O+/8 O C=/A O C+/COO+N80c=90+90=180,故
19、正确；1又平分/AO C,.4 0 8 =NBOC=4 0 C =45。，/。二 。-N3OC=90-45=45,：.ZCO D=ZBO C,；.O C平分/B。，故正确；又ZAOB=ZCOD,：.Z A O D的平分线与NBOC的平分线是同一条射线，故正确.综上，正确的有.故答案为：.【变式6-2(2021秋芮城县期末)综合与实践已知直线AB经过点O,/CO O=90,OE是NBOC的平分线.(1)如图 1,若/AO C=30,求/O O E；(2)如 图1,若/A O C=a，求/C O E；(用含a的式子表示)(3)将 图 1 中的NCO。绕顶点。顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，(
20、2)中的结论是否还成立？试说明理由；(4)将 图 1 中的/C。绕顶点。逆时针旋转到图3 的位置，其它条件不变，直接用含a的式子表示/DOE.图1【解题思路】(1)如 图 1,从而求得：Z8 0 0=30 ,由角平分线定义得：N BOE=3=75。，利用角的差可得结论;(2)同理可得：Z.DOE=a；(3)如图2,根据平角的定义得：N B O C=1 8 0 -a,由角平分线定义得：Z E O C=|z B G C=9 0 -1 a,根据角的差可得(2)中的结论还成立;(4)同理可得：ZD O E=ZCOD+ZC O E=1 8 0 -1 a.【解答过程】解：(1)如 图 1,/C O Z)=
21、9 0 ,/.ZAOC+ZBOD=9 0 ,；/A O C=30 ,.N B O O=6 0 ,A Z B O C=ZCOD+ZBOD=9 0+6 0 =1 5 0 ,O E 平分/B O C,A Z B O E=|ZB O C=7 5 ,：.ZDOE=1 5-6 0 =1 5 ；(2)如图 1,由(1)知：N A O C+N 8 O D=9 0 ,*.*Z A O C=a,：.ZBOD=9 0 -a,A Z B O C=Z C O D+Z B O D=9 0 +9 0 -a=1 8 0 -a,：0E 平分N B O C,Z B O E=|Z BOC=9 0-1 a,:.N D O E=N B
22、 O E-NBOD=9 0-1 a -（9 0 0 -a）=1 a；（3）将 图 1 中的NC。绕顶点。顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，（2）中的结论还成立,理由是：如图 2,./A O C+/8 O C=1 8 0 ,N A O C=a,./8 O C=1 8 0 -a,O E Z B O C,i 1：.Z E O C=Z B O C=Wa 一 方 a,V Z C O D=9 0 ,i iA Z D O E=Z C O D -ZCOE=9 0 -（9 0 一扣）=扣;1（4）Z 0 =1 8 0 如图 3,V ZAOC+ZBOC=SO ,Z A O C=a,A Z B O C=1 8
23、0 -a,OE 平分 2 BOC,：.E O C=1 ZB O C=9 0 -1 a,VZ COD=9 0 ,ZD O E=ZCOD+ZC O E=9 0 +(9 0 -,a)=1 8 0 -1 a.【变式6-3(2 0 1 9 秋东西湖区期末)如图1,平面内一定点A在直线所 的上方，点 O为直线E F 上一动点，作射线0 4、O P、0A,当点。在直线E F 上运动时，始终保持N E O P=9 0 、Z A O P=Z A O P,将射 线O A绕点。顺时针旋转6 0 得到射线OB.(1)如 图 1,当点。运动到使点A在射线。尸的左侧，若 0 4 平分NPOB,求/BOF的度数;(2)当点
24、。运动到使点A在射线OP的左侧，且NAOE=3NHOB时，求一的值；(3)当点O运动到某一时刻时，NAO8=130,请直接写出N 80P=9 5 或145 度.【解题思路】(1)设NPOA=Z Ar O B=x,构建方程求解即可.(2)分两种情形：当点O运动到使点A在射线O P的左侧，射 线0 B在N P O A 内部时，当点0运动到使A在射线。尸的左侧，但是射线OB在N P O 4 外部时，分别构建方程求解即可.(3)分两种情形，分别画出图形求解即可.【解答过程】解：(1)：0Af平分N P O-，设 NPOA=N A OB=x,V Z A O P=Z Ar OP,：.ZAOB=3xfV Z
25、AOB=60,Ax+2x=60,：.x=20,：.ZBOF=90-2x=50.(2)当点。运动到使点A在射线。尸的左侧，射线0 8在N P O A 内部时,V Z A 0 E=3 Z Af 0B,设NA OB=x,ZAOE=3xt、:OPVEF.：.ZAOF=180-3尤，ZAOP=90-3x,.乙40尸 _ 180。-3%乙40P 90-3x V Z A O P=Z Af OP,/.Z A O P=Z Af。2=型 产/.OPLEF,AOF 180。-3 x -9000 10IAOP=90-3X 号:=孚=痂=3当点。运动到使4在射线OP的左侧，但是射线0 8在N F O A 外部时,；/A
26、 O E=3/A O B,设/A OB=y,/A 0E=3 y,/.Z A O P Z A O P=p-,：.OPEF,2 3 yd6 0 y=Q9na。，y=24,.乙40F 180。-3y99 LAOP 90。-3y 一 (3)如图3,当N H O 8=130时，由图可得：ZAO A=ZAO B-ZAO B=30Q-60=70,XV NA。尸=N 4。尸，ZAOP=35,，NBOP=600+35=95.如图4,当N H O 8=130时，又：ZAOP=ZAVP,/.ZAOP=S5,：.ZB O P=60+85=145:综上所述：NBOP的度数为9 5 或145.【题型7求几何图形中互余或互
27、补角的个数】【例7】(2021 娄星区模拟)如图，C是直线A 8上一点，CQ是NACB的平分线.图中互余的角有/I与/3 ；图中互补的角有 NACD与NBCD、NACE与N1；图中相等的角有 N A C D=/B C D .【解题思路】根据角平分线的定义可得/A C O=N B C 3=9 N A C 8=9(r,由互余的定义可得出答案；根据互补的定义，结合图形即可得出答案根据角平分线的定义可得Z 4C O=N 8 C n【解答过程】解：(？是直线AB上一点，C。是NACB的平分线，1A ZACD=ZBCD=|ZAC B=90,/.Z l+Z 3=9 0 ,即N 1与N 3互余；：ZACD+Z
28、BCD=SO,Z4CE+Z 1 =180,互补的角有：NACO与NBC。、/A C E与N l；由得N4C=/B C D.故答案为：N1 与/3；NACD 与NBCD、NACE与N l；NACD=NBCD.【变式7-1(2021秋南开区期末)如图所示，已知。是直线4 B上一点，NBOE=NFOD=90,OB平分 NCOD.(1)图中与/Q O E相 等 的 角 有NAOF:(2)图中与NOOE互余的角有 4EOF、/B O D、NBOC；(3)图中与NQOE互补的角有 NBOF、NEOC【解题思路】(1)由垂直的定义得到：ZAOF+ZEOF=90,NOE+NEOF=90,等量代换即可得解；(2
29、)根据余角的定义解答；(3)根据补角的定义解答.【解答过程】解：(1)VZBOE=90,./AOE=180-NBOE=90，：.ZAOF+ZEOF=90a,；/F 8=9 0 ,/.ZDOE+Z 0=90,，ZAOF=ZDOE,故答案为：ZAOF；(2)V ZAOE=ZFOD=90,/.ZAOF+ZEOF=90a,NBOD+NDOE=9Q,NDOE+NEOF=90,；。8 平分/COO,:.NBOD=NBOC,/BOC+NOOE=90,.与 NOOE 互余的角有:/EO F、A BOD.ZBOC；故答案为：/EOF、A BOD.NBOC；(3)V ZAOE=ZFOD=9(),NBOE=90,A
30、 ZAOF+ZEOF=90,ZDOE+ZEOF=90,NDOE+NB()D=90,ZAOF=NDOE,ZEOF=NBOD,V ZAOF+ZBOF=1803,：.ZDOE+ZHOF=SOa,:OB 平分/COO,:.NBOC=NBOD=A EOF,：.ZBO F=ZCOE,：.ZD OE+ZCOE80Q,.与NOOK互补的角有：NBOF、ZEOC.故答案为：NBOF、ZEOC.【变式7-2(2021秋成都期中)如图，。是直线AB上的一点，乙4。=120,/AOC=90,O E平分4 B O D.写出图中所有互补的角和互余的角.【解题思路】根据已知条件求出N 8。、A DOE.NBOE、ZAOE.
31、ZOCD.NOCE的度数，再根据补角余角定义进行判断.【解答过程】解：/4。=120,：.ZBOD=60.平分 NBOQ,/.4 DOE=ZBOE=i 乙BOD=30.：.ZAO E=50,NOCZ)=30.A ZOCE=60.互补的角：NAOC 和N8OC,ZA O D ZB O D,ZA O E Z B O E,NAO。和 NCOE,NAOE 和/。OE,NAOE 和/C O D互余的角：/C O 力和 NBO。，和/BOD,NAOE 和/BO E,/A O 力和/C O E,NAOE 和/。OE,NAOE 和 NCOO.【变式7-3 (2021春吴中区月考)如果N a 和N 0 互补，且
32、N a N 0,则下列式子中：90-Z p；Z a-90；酹(Z a+Z p)；(Z a-Z|3).可 以 表 示 的 余 角 的 有()A.B.C.D.【解题思路】互补即两角的和为180,互余即两角的和为90,根据这一条件判断即可.【解答过程】解：已知N 0 的余角为：90-Z p,故正确；和/(?互补，且N a N 0,.,.Za+Zp=180,Z a90,.,.Zp=180-N a,.N。的余角为：90-(180-Z a)=/a-9 0 ,故正确；V Z a+Z p=180,1-(Z a+Z p)=90,.Np 的余角为：90-Z p=1 (Z a+Z p)-Z p=1 (Z a-Z p
33、),故正确.可 以 表 示 的 余 角 的 有：.故选：C.【题型8数学思想方法与角】【例 8】(2021秋河东区期末)己知/4O 8=90,OC为一射线，OM,ON分别平分/B O C 和乙4OC,则NMON是()A.45 B.90 C.45 或 135 D.90 或 135【解题思路】解答此题首先进行分类讨论，当 OC是 里 的 一 条 射 线 时，根据题干条件求出一个值,当。C 是NAOB外的一条射线时，根据平分线的知识可以得到角之间的关系，进而求得NMON的大小.【解答过程】解：如图所示：I O C ZA O B 内部，：OM,ON 分别平分N8OC 和NAOC,11：4 8 M=B
34、O C,ZCON=ZAOC,：.ZCOM+ZCON=ZBOC+ZAOC,B P ZMON=；X/A 08,又,.,/AOB=90,ZMON=45a；II、如图，当 OC在NAOB外部时，有以下两种情况:B,：OM,ON 分别平分N 80C 和 NAOC,ZAON=ZNOC=|ZA OC,NBOM=ZMOC=ZBOC,:.NMON=NNOC+NMOC=(360-90)4-2,：.ZMON=135,OM,ON 分别平分N 8 0 c 和/4O C,：.ZCOM=ZBOC,ZCON=ZAOC,:.NM 0N=NCOM-NCON=ZB O C-ZAOC=*A O B=45,综上所述:NM O N=45
35、或 135.故选：C.【变式8-1（2021秋成华区期中）（I）如 图 1,射线。C、。在N4O B的内部，射线OM、ON分别平分NAO。、Z B O C,且/BON=50,ZAOM=40,/CO O=30,求NAO3 的度数；（2）如图2,射线O C,。在N 40B 的内部，射 线 OM、ON分别平分/40、/B O C、且乙408=150,N DC BZCO D=30,求NMON 的度数.图2【解题思路】（1）根据角平分线的定义可得出NAOQ、N 8O C的度数，结 合/4。8=/4。-/（70。+NBOC即可得出结论；11根据角平分线的定义可得出乙40=今乙40。、N 8 C W=/B
36、0 C,由乙4。8=1 5 0、/。=30即可算出N A 0 Q+/8 0 C的度数，再根据N M 0 N=N A 0 8-9 (N A 0ZJ+N 80C),代入数据即可得出结论.【解答过程】解：(1),射线。加、ON分别平分NA。、N B O C,且N8ON=50,NAOM=40,NAO=2NAOM=80,/BOC=2/BON=1UO0,V Z C O D=30,：.Z A O B=Z A O D-ZC O D+ZBO C=-30+100=150.(2),射线OM、ON分别平分NAOQ、/BO C,1 1NAO M=*N4O。，NBO N=R BO C,V ZAOB=150,NCO=30,
37、NAOO+/8OC=NAO8+NCOO=15()+30=180,：.ZM O N=ZA O B-(NBON+NAOM)=Z A O B-(ZAOD+ZBOC)=150-90=60.【变 式8-2(2021秋无锡期末)如图，NAO8=I50,NCOO=40,O E平分乙4 O C,则2/8 0 NBOD=110 .【解题思路】设/E O O=x,/B O C=y,用x,y表示2/8O E -/B O O,利用已知条件得出x,y的关系式，然后整体代入可得结论.【解答过程】解：设NEOD=x,NBOC=y,则/E O C=/E O O+N C O D=x+40.,/OE 平分/AO C,/.ZAO
38、E=ZEO C=x+40.；/AOB=150,/.ZAOE+ZCOE+ZBOC50.即 2(x+40)+y=150.：.2x+y=70.2ZBOE-N80O=2(x+40+y)-(/+40)=2x+80+2y-y-40=2x+y+40,：.2NBOE-NBOD=70+40=110.故答案为110.【变式8-3（2021秋镇海区期末）新定义问题如图，已知N A 0 8,在NAO B内部画射线O C,得到三个角，分别为NAOC、NBOC、N A O B.若这三个角中有一个角是另外一个角的2 倍，则称射线OC为NAOB的“幸运线”.（本题中所研究的角都是大于0 而小于180的 角.）图 图 备用图【
39、阅读理解】（1）角的平分线 是 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图，2 0 8=4 5 ,射线OC为乙4。8 的“幸运线”，则/A O C 的度数为 15或 22.5或3 0；【解决问题】（3）如图，已知NAOB=60,射线OM从 OA出发，以每秒2 0 的速度绕。点逆时针旋转，同时，射线ON从。8 出发，以每秒1 5 的速度绕。点逆时针旋转，设运动的时间为，秒（0 /9）.若 OM、ON,OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的，值.【解题思路】（1）根据幸运线定义即可求解；（2）分 3 种情况，根据幸运线定义得到方程求解
40、即可；（3）分 3 种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可.【解答过程】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）设/4 O C=x,则NBOC=2x,由题意得，x+2x=45,解得x=15,设 N A O C=x,则/BO C=x,由题意得，x+x=4 5 ,解得x=2 2.5 ,设 NA OC=x,则 NBOC=营，由题意得，x+；x=4 5 ,解得x=3 0 ,故答案为：1 5 或 2 2.5 或 3 0 ；(3)当 0 /W 6 时，ZMON=60+5t,Z A O N=6 0 -5t,若O A是射线OM与O N的幸运线，1 1 12则乙4 O N=/MON,即
41、 60 -1 5=5(60+5?),解得 t=1 1 17Z A O N=Z M O N,即 60 -1 5 f=(60+5 力，解得 t=苦;N A O N=M O N,即 60 -1 5/=(60+5 力，解得 t=当 6V t 9 时，ZMOA=2 0t,N AO N=1 5 f-60,若O N是 射 线 与 OA 的幸运线，1 1则NA ON=、N M O A 即 1 5 L 60=1 x 2 0 f,解得 t=1 2 (舍)；Z A O N=Z M O A,即 1 5L 6 0=*2 0/,解得/=等；Z A O N=Z M O A,即 -60=(x 2 0 3 解得，=3 6(舍)；12 12 12 36故t的值是亍或二或五或三.