含绝对值的三角函数题型归纳.pdf-淘文阁

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4、.故选A.5.已知函数/(x)=b in x|c os x,则(D )A./(x)的值域为 1,1 B./(x)在0,y 上单调C.%为/(x)的周期 D.(5,0)为/(x)图象的对称中心6.(多选).已知函数/(x)=s in x c os x (x表示不超过实数x的最大正数部分),则(AB)A./(%)的最小正周期为2 4 B./()是偶函教0.力在上单调递减D./(x)的值域为-s in 1,s in”.题型二：方程零点与函数交点问题1.(2022 全国课时练)方程W=COSX在(Y,+O O)内()A.没有根 B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根 D.

5、有无穷多个根【答案】c【解析】在同一坐标系中作出函数=凶及函数y=c o sx的图象，如图所发现有2个交点，所以方程N=cosx有2个根.2.方程3=sinx(xe -2万,2万 )的实数解有个.【答案】2.【解析】在区间-2兀2兀上，分别画出J=3ny=sinx的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像在区间 2兀,2可上有两个交点，也即3A=sinx(x e -2乃,2)的实数解有2个.故填：2.3.函数/(%)=|1对-8.在(YO,+O O)内的零点个数为.【答案】6.【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数y=|lgx|和y=cosx的图像如图，结合图像的对称性可以看出两函数

7、sm|x|不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D.y=t an|x|是偶函数，最小正周期是开，没有对称中心4.|si n 4x|,x 0）,则下列结论错误的是（）0 =1 时，函数“X）图象关于X=：对称；函数/（X）的最小值为-2；若函数了（X）在一：，0 上单调递增，则。e（0,3；为，为两个不相等的实数，若|/(占)|+|/()|=4 且|士-%2|的最小值为7 1，则0 =2.A.B.C.D.6./(x)=y x2,(x)=2(x-x2),(x)=|3x2-4x+l|,/lW =|si n 2 x|,9 9=,n =0,l,2,9 9.记圾=2|&)-(%)|伏=1，2,3,4).

8、则下列结论正确的是9 9/=|()L M.I 4 JIL M,I J 4IIL M4 M,M,4 I JIVM i MN.M2 /轴对称；丁=8$%与丫=8$(-力的图象关于y 轴对称；其中正确命题的序号是16.设xe0,2旭，关于x 的方程sinx+2|sinx|-公+狂=0 有四个实根,则实数a 的取值范围是.四、解答题17.已知函数y=gsinx+g 卜 in_r|.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期；求此函数的值域.参考答案:1.D【分析】先去绝对值，化为分段函数，再根据余弦函数的单调性，得出答案.【详解】y=+=0,领 k 2 22cosx,0别r

9、工或 0 时,/(x)=s in x,又 x)=sink|是偶函数,由此可判断命题的真假.7T 37r【详解】当x 0 时，x)=s in x,在上是单调递减的，故 A 正确；/(x)=sinM是偶函数,无周期性，故 B 错误；/(x)=sin|M是偶函数，在-j 0单调递减，故 C 错误；x)=sin|x|是偶函数，无对称中心，故 D 错误；故选：A3.D【分析】利用图象逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，如下图所示：由图可知，函数y=、i冏不是奇函数，最小正周期是没有对称中心，A 对;对于 B 选项，如下图所示：答案第1 页，共 13页由图可知，y=|co

10、W是偶函数，最小正周期是万，有无数多条对称轴，B对;由图可知，函数y=t anW是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D错.故选：D.4.B【分析】根据分段函数x)的解析式分析其性质，结合g(x)中对数的函数性质确定函数图象，并将原问题转化为/。)，8。)在万卜2,2 的交点问题，应用数形结合判断交点的个数即可.【详解】由题设，对于/在-2 4 x 4 0 上值域为 0,1 ,1、/(x)在 -2,-苧上递增，-，-勺上递减，(2，-若上递增，|-即，-勺上递减：(注o o 2 2 o o 4意：-1 -.,一勺)8 42、元 3 乃 TT 7T0 /(-2)1,_?)=/(_?)=1,/

11、(-)=/(-y)=0.o o 2 43、由分段函数解析式知：0 /(2),g(-l)=O.3、由于g(-x)=logz|-x|=log2|x|=g(x),即 g(x)为偶函数，故在 1 4 x 4 2 上g(x)递增;g=1,g(l)=O.综上,可得如下图函数图象,/。)-。)=0 在，卜2,2 上根等价于/*)屈外在总卜2,2 上故选：B5.B【分析】由题设可得f(x)=2sin cox,sin cox cos cox2 cos cox,sin cox cosr2cos f,sin fv cos 1先研究的性质，结合前者逐项研究/(x)的性质后可得正确的选项.【详解】由题设可得f(x)=2

12、sin cox,sin cox cos cox2 cos cox,sin cox cos/令=应，设 g)=(,2cosr,sinr cosr当 sin 2 cos，时,2k兀 +1 W t W 2kjr+,k s Z,x/2 /z 2,当sin，cosf 时;2k7V-t 2k/r+,k GZ,故一五故M，)的最小值不是-2 即/(x)的最小值不是-2，答案第3 页，共 13页而人的最大值为“2版 +多=/?(2=2,2kn+故 x)=-0)/2的最大值为2,其中kwZ,故错误.因为|/(西)|+|/(受)|=4,故/(演)=/()=2,故人一xL,=2=，故故错误 2C D

13、 2当 g=1 时，f (x)=sinx4-cosx+|sinx-cosx|,=sinx4-cosx4-|sinx-cosx|=/(x),故f(x)的图象关于直线X=?对称，故正确.又(/)=,2 sin r,2k兀 +t 2k兀 +442cos。2攵万一旦 t 2k7r+4 4其中ZEZ,故在2k唱出+三上，力为增函数，在2&乃+j 2氏+今上，/?为减函数，在2k兀一半2 k兀上，响为增函数，在1 2 0,2版 +上为减函数，_4_当xw ,0 时，有f=s，,0,故一与即 ye(0,3,故正确.故选：B【点睛】思路点睛：对于较为复杂的三角函数的图象和性质的问题，可

14、结合正弦函数和余弦函数的性质来讨论，而且为了简化讨论，可利用复合函数的处理方法来处理.6.A【分析】结合二次函数，三角函数的图象性质分别计算即可.答案第4页，共13页【详解】因为凡喘,=0,1,2,9 9,所以04“4 1,因为工(x)吟公在(0,1)上单调递增，所以 A =(4)-/(4)+/；(/)-工(4)+/3 3)-工(4)+f M-f M=/,()-/()=/(1)-1%M,95 6 4 9,故选：A【点睛】关键点点睛：本题考察函数的单调性与对称性，分别结合二次函数，三角函数的图象性质计算得解.7.AC【分析】根据正切函数的性质判断A,画出函数图象，结合图象判断B、C,

15、根据奇偶性与单调性判断D.【详解】解：函数/)的定义域与y=tanx的定义域相同，即为卜卜+故 A正确；由/(-x)Ttanx|=f(x)及/(x)的定义域知/(x)是偶函数，故 B 错误；作出的图象如图所示，由图可知函数的最小正周期为兀，故 C 正确；由于引，果，且根据图象知f(x)在吟上单调递增，所以彳升,目即(扑僧)，故。错误.故选：AC.8.BC【分析】先利用函数周期性的定义判断A x)的最小正周期为万，利用偶函数的定义判断直线x=0 是函数/(x)图象的一条对称轴，对/(x)=|sinx|+G|cosx|的解析式在xw(),乃上进行答案第6 页，共 13页化简，研究其性质

17、|c o s x|=/(x),所以 f M 为偶函数，故直线x =0 是函数/5)图象的一条对称轴，故 B正确；函数/(X)在,K上单减，在乃，之上单增，故 D错误.故选：B C.【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次的结构，借助于y =s i n x 或y =c o s x 的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式.9.C D【分析】对给定函数式按x 0 及 x K)两段化简，再结合正弦函数的性质验证选项A,B并判断，求解选项C,D并判断.答案第7 页，共 1 3页【详解】当 x 0,则/e(-乃,0),与+7 0,/(玉)=51

19、集合的并集即可.10.BCD【分析】根据点（0,百）关于点心 0）对称的点（：，一石）不在函数“X）图象上，判断A 不正确；根据x）=x）判断B 正确；JF J T求出函数/（X）在 y，上的值域可判断C 正确；根据函数的最大值，结合/（与）/（）=4 推出/（芭）=/（）=2,再根据/（x）的最小正周期为兀可得阮-司的最小值为可得 D 正确.【详解】在/“）的图象上取一点（0,6），其关于点G，。）对称的点（三，-6）不在6 3f（x）=2sin（2 x j）的图象上，所以函数“X）的图象不关于点（仁,0卜寸称，故 A 不正确;因为帮一 j=2 s i n -2 x

20、j=/（x）,所以函数f（x）图象的一条对称轴是x 故 B 正确;答案第8 页，共 13页若则2%一丁 y 所以/(%)=2 s i n(2 x-)=c g,2 ,故 C 正确；因为/(x)四=2,所以小)=受)=2,所以上一/=1 4/，故 D正确故选：B C D1 1.A D【分析】由x+g=x)即可得到“X)的周期，再求出X 0,|上的函数解析式，从而得到函数的最小值，即可判断A、B,再由即可判断C,再结合函数的图像与性质以及奇偶性即可判断D.【详解】/x+fsin(x+?)Hcos(x+?)=|c o s X +|s i n=/(x),./(x)是以I为周期的函数，故 A正

21、确.2当臼。小时 +-i nx +cosxM小+则x +与,.1 4 夜 s i n(x +m 4 夜，函数，(x)的最小值为1,故 B错误，4|_4 4 I 4J由 s i ny l+l c o s y J+J */(0)=1 ,故 C 错误；5笈 (万、当不 ,五时 /(%)=1 s i n x|+1 c o s x|=s i n x+c o s x =V 2 s i nl x +I,此时/(X)在上单调递增，在再上单调递减，在x =g处取得最大值应,_ 4 J|_4 1 2 J 4S 乃故f(x)=0 在x e 0,上有唯一解，又因为 f(-x)=|s i n(-x)

23、 T T T故答案为：x e kn-,lai+-,kwZ._ 4 4 _1 3.(2,4)【分析】在同一坐标系内画出x）与 y =z 的图像，利用数形结合去求火的取值范围.|4 s i nx,0 x 7 T【详解】/（x）=s i nx+3 s i n =.一 2 s m x,兀 x 2 兀又0）力兀）=八2 兀）=0,吗）=4,樗）=2又函数.f（x）的图像与y =k 仅有两个不同交点，则人的取值范围是2%4故答案为：（2,4）1 4.7【分析】判断出/（x）的奇偶性和周期性，画出/（X）和 y =|c o s 时在 -1,3 上的图象，根据对称性求得所求.【详解】依题意“X）是定义在R上

25、5.【分析】根据函数图象变换以及函数奇偶性的知识对四个命题逐一分析，即得.【详解】对于，y=sin|x|为偶函数，它的图象是由y=sinx图象保留了 0 的部分，然后关于，轴对称得到x 0 部分所得，所以丫二国川可与旷:兽!的图象不关于y 轴对称，故错误；对于，y=cos(-x)=cosx,y=cosW=c o s x,故它们图象相同，故正确；对于，y=Mnx|函数值都是非负数，y=sin(-x)函数值有正有负，所以它们图象不关于y轴对称，故错误；对于，cos(-x)=c o s x,故它们图象关于y 轴对称，同时也重合，故正确.综上所述，正确命题的序号是.答案第11页，共 13页故答案为：.

26、【分析】根据题意，转化为两图像的交点问题，结合正弦函数的图像，数形结合即可求解.【详解】当xe0,22 时，关于x 的方程sinx+2|sinx|-&2+%=。,/(x)=sinx+2|sin.r|可化为，g(x)=k?-kf M =g(x),X G0,27T,作出函数/(x)=3 sin A:-sinx:%和痣一(瀛2兀)的图象如图 4 所示,因为方程有四个实根，故解得!z l k 0 或2 2，实数上的取值范围是故答案为:17.(1)见解析；(2)是周期函数，最小正周期为2兀；值域为0.【分析】(1)去绝对值，写出分段函数解析式，分别作图;(2)根据函数图象判别周期性；(3)直接由图象即可得到其值域.【详解】(1)y=-sin.r+-|sinx|2 2答案第12页，共 13页si n2攵兀，2攵兀+兀 (攵 e Z),O,XG 2 E-兀,2E)(Z e Z).函数图象如图所示:AZ 1/z :-3n-2n-n 0 元 2n 3n x(2)由图象知该函数是周期函数，其图象至少每隔2万重复一次，故函数的最小正周期是27r.(3)由图象易得函数值域为 0.答案第13页，共 13页

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