《湖南省邵阳市2022-2023学年高三下学期二模数学试题带答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省邵阳市2022-2023学年高三下学期二模数学试题带答案解析.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年邵阳市高三第二次联考试题卷数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）3 i1.在复平面内，复数T+i （i为虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【分析】先化简复数为代数形式，再判断对应的点所在的象限即可.3-i （3 【详解】依 题 意 不;=+（_ _；）=2 i,对 应 的 点 为 在 第 三 象 限.2.已知集合 人=-2,5 ,B =m+,2 m-.若“x e B”是“xe A”的充分不必要条件，则机的取值范围是（）A.（-,3 B.（2,3 C.0 D.2,
2、3【答案】B【分析】若“x e B”是“xwA ”的充分不必要条件，则BuA ,列出不等式组求解即可.【详解】若“xwB”是“xe A”的充分不必要条件，则BuA ,m+1 2加一1所 以 +1 N-2,解得2 加 3,即加的取值范围是（2,3 .2m-1 53 .已知向量 =（1,3）,=（1,-1）,r =（4,5）,若与万+然 垂直，则实数；I的值为（）【答案】A【分析】根据向量的坐标运算，垂直向量的坐标运算，可得答案.【详解】由题意，A +AC=（1 +4A,52-1）,由 与日+丸2垂直，则2伍+4 2）=0,2即l +4 4 +3 x（5；l-l）=（）,解得;1 二 一.4.已知
3、函数x）=|l og5x|,0 x 5,-c os x ,5 x 15.15 J若存在实数X,X）,七%4 (不%2%3(尤4 )，满足/(%)=/(犬 2)=/(%3 )=/(工 4 )，则 XIX2X3X4 的取值范围是()A.0,J B.（0,100）C.（75,4-D.（75,100）【答案】C【分析】根据分段函数的性质，画出图象，即可图象以及函数的对称性即可求解临界位置，即可求解.【详解】画出/（无）的图象如下图:由题意可知T og s X =l og s x2 n xix2=1，由图象可知W，%关于直线x =10对称，所以工 3+工 4=2 0,因此X/2X3 X4 =鼻匕，7 L
4、兀 -*-当一c os&=-c os x=1EI 寸，x,=5,X4=15 ,(5 3J 15 4J此时 x3x4=75,7 1 I 71 I _.15当 一C O S(w X3 j=_C O S s X4 j=0 时，*3=5,25 工 3 75,此时 x3x4=当存在Xj,演，X3，%4（%工 3 5）使得/（内）=/（9）=/（七）=/（玉）=。（0,1）5.党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为2 0 2 3年 2月 1 至 4月 1日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2
5、0 2 3年 2 月 1 日至2 月 5日时段的相关数据，这 5天的第X天到该电商平台专营店购物人数（单位：万人）的数据如下表：日期2 月 1日2 月 2日2 月 3 日2 月 4日2月 5 H第 X 天12345依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数X与到该电商平台专营店购物的人数y（单位：万人）具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数与直播天数X的线性回归方程为9=6.4X+。.请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营人数y（单位:万人）75849398100店购物的人数（单位：万人）为（）A.312【答案】CB.313C.314 D.315【分析】根据
6、回归直线过样本中心，建立方程，可得参数，即可得答案.【详解】由题意,-1+2+3+4+5x=-心 75+84+93+98+100=9,将（3,90）代入丁=6.4+。，可得90=6.4x3+。，解得。=70.8,线性回归直线方程为y=6.4x+70.8，将x=38代入上式，y=6.4x38+70.8=314.2 26.已知椭圆，+2=1（。方0）的左、右焦点分别为百，F2,半焦距为c.在椭圆上存a ba c在点尸使得.w w，则椭圆离心率的取值范围是（）sin ZPF F2 sin/PF?4A.V 2-l,l）B.（V 2-l,l）C.（0,V2-l）D.（0,72-1【答案】Bc sinZP
7、E）E|耳|P用.【分析】由正弦定理及椭圆定义得一=.，得PG=a sinZP/s 2a-PF 1 1结合|P K|e（a-c,a+c）,得关于e的不等式，从而求出e的范围.a c c sin/P工可 PFt|尸周【详解】由一/D.R,得一=.“妥=身=，得sinZPrlF2 sm N P F/a smZPFlF2 PF2 2a-PF即=laca-c又归用 (Q-C,Q+C),则 Q+C,a+ca2-c2 2ac 0,又ee(0,l),.e e(及-1,1).7.如图所示，在矩形ABC。中，AB=6 AD=l,A F L平面ABC。，且AE=3,点E为线段CD（除端点外）上的动点，沿直线AE将
8、DAE翻 折 到DAE,则下列说法中正确的是（）A.当点E固定在线段CD的某位置时，点 的 运 动 轨 迹 为 球 面B.存在点E,使451平面O A EC.点A到平面BCF的距离为也2D.异面直线E F与8C所成角的余弦值的取值范围是【答案】D【分析】当点E固定在线段CD的某位置时，线段AE的长度为定值，A O L D E,过DC作DH J.AE于点H,”为定点，D H的长度为定值，由此可判断A；无论E在CD（端点除外）的哪个位置，A3均不与AE垂直，即可判断B；以 通，A力，A为X，z的正方向建立空间直角坐标系，求出平面3 b的法向量为百，由点A到平面3 C E的距离公式即可判断C；设 后
9、（、须,1,0）,A （0,1）,利用向量夹角公式求解，即可判断D.选项A：当点E固定在线段C的某位置时，线段A E的长度为定值，AD DE,过。以 乍D H上A E于点H ,H为定点，0 7 7的长度为定值，且 在 过 点 与AE垂直的平面内，故OC的轨迹是以“为圆心，为半径的圆，故A错；选 项B：无 论 在 8(端点除外)的哪个位置，A B均不与A E垂直，故A B不与平面ADE垂直，故B错；选项C：以贻，A力，A户为x，z的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),尸(0,0,3),川 百,0,0),C(V3,l,0).B C=(0,1,0),B F=(-73,0,3),A B =(
10、瓜 0,0)，设平面BCF的法向量为f t -B C =y=0=(x,y,z),；.,n B P =J3x+3z=0取方=(6,0,1),则点A到平面B C F的距离为d=3=-,故c错;2选项 D：设 网G U,O),2e(O,l),BC=(0,1,0),呼=卜&,-1,3),设E F与3C所成的角为e,则cose=川 厂 F1EF BC V322+10(*,噜)，故D正确.8.若不等式re 一l-jln(x-l)0对任意xe2e+1,+。)恒成立，则正实数t的取值范围 是()ln2-,+o)2e+lB.ln2+l-,+82e+l002e+1,C.D.ln2 ln2+l2e+1 2e+1【答
11、案】B 分析由题意得txt,x e g f In(x-1)恒成立，令/(x)=xe*(x 1),则/(fx)2/(ln(x 1)恒成立，利用的单调性可得zx21n(x1)在x 2 2 e+l时恒成立,即12 In(x-1)a n 2e+1)恒成立,构造函数g(x)=皿 二D(xN 2e+l),由其单调性得1。1 g(x)g(2e+l)=-,即可得出答案.2e+l【详解】因为xN2e+l,1)20恒成立，即 Zxe (x-l)ln(x 1)=eln0),则/(fx)2/(ln(x-l)恒成立.因为/(力=(+3 0恒成立，故/(x)单调递增，所以比Nln(x 1)在xN 2e+l时恒成立，.t
12、足(二。(%之 2e+1)恒成立.X令 g(x)=2e+l),Xg 0)=二,(I)=_(l)ln(x T).X2 X2(-1)令(x)=x-(x_l)ln(x_l)(xN 2e+l),则”(x)=-ln(x-l)0 /z(x)单调递减./i(x)/?(2e+l)=2e+l-(2e+l-l)-ln(2e+l-l)=l-2eln2=1 -eln40,即g(x)o，则N砧 尸 为 锐角，故A错误;5如：A(4,0,0),D,(0,0,4),%(4,0,4),C(0,4,0),西=0,4),平=(-4,4,一4),.皿*=-4 x(T)+0 x4+4x(-4)=0,A J.A C,故 B 正确;0(
13、),0,0),4 (4,4,4),丽=(T,0,-1),瓯=(0),ED=0,T),设平面B Q b的法向量为n=(x,y,z),-BF=0n-B,D；=0-4 x-z =0-4 x-4 y =0不妨设x=l,则 y=l,z=-4s =(l,_ l,T),Z)方=Y x l+0 x(-l)+(T)x(T)=0,.-.ED I n 又ED U平面4。尸，则EO平面片。尸，故C正确;O C L平面B B C C，则DC=(0,4,0)是平面5 8 C C的一个法向量，又ER=(T,4,2),则直线E F与平面B B g C所成角的正弦值为EFDCEFDC坦=2,故D正确.6x4 310.若函数/(
14、x)=2cos6u(cosvx-sin0)的最小正周期为兀，则()_ V 62C./(X)在0,y内有5个零点jr 3允B./(x)在 上 单 调 递 增7 2 4jr jrD./(x)在一二,二 上的值域为4 4-1【答案】B C【分析】根据二倍角公式化简 x)=0cos(2s+：),由周期可得%)=近82%+；),代入即可判断A,根据整体法即可判断B D,令x)=(),根据c o s(2 x +：)=0即可求解满足条件的零点，即可判断C.【详解】r(n/(x)=2 c o s 5 (c o s 5 -s i n s)-1 =2 c o s%尢-2 c o s s s i n s:-1 =c
15、 o s Icox-s i n 2 cox=J2 c o s Icox+由最小正周期为兀，可 得 兀=/=。=1,故/(X)=QCOS(2X+；对于A,/-z=正c o s(-2+9 =6 c o s工=迈，故A错误；I 2 4 J/5COS(2X+；=0=c o s(2 x+；J=0,所 以 2 x 4 =F 2 kit x F kit,或 x-F kn,k&Z,4 2 8 8,八5K当 X G 0,2时，满足要求的有x =wj r ，x =?9 兀 ，x =丁17?t,x =5M i t ，x =1丁3 7t，故有5个零点，故Co 8 0 o o正确；兀兀对于D,当X G4 4n,八 I
16、t 兀3兀 U c 兀)时，2x H-G-,-,则 C OS 2,X H-6 4 44 I 4)71石 ，故44/(x)e -1,72,所以D错误.11.己知点尸为定圆。上的动点，点A为圆。所在平面上的定点，线段A P的中垂线交直线OP于点。，则点。的轨迹可能是()A.一个点 B.直线 C.椭圆 D.双曲线【答案】ACD【分析】根据分类讨论思想，分点A在圆内、圆上、圆外三种情况，结合椭圆、双曲线的定义，可得答案【详解】分以下几种情况讨论：设定圆。的半径为R,当点A在圆。上，连接。4,贝卜所以点0在线段AP的中垂线上，由中垂线的性质可知|AQ|=|PQ|.又因为点。是线段AP的中垂线与O P的公
17、共点，此时点。与点0重合，此时，点。的轨迹为圆心。；故A正确；当点A在圆。内，且点A不与圆心。重合，连接A Q,由中垂线的性质可得|QA|=|QP|,所以，|QA|+QO=QA+QP=OP=R OA,此时，点。的轨迹是以点A,。为焦点，且长轴长为R的椭圆，故C正确；当点A在圆。外：连接A Q,由中垂线的性质可得川=|。尸|,所以，|明一|。|=QP-QO=OP=R)+/(*2)恒成立【答案】ABD【分析】对函数求导，利用二次导函数的正负判断导函数函数的单调性，进而判断选项A,B；构造函数，利用导数求解函数的单调性并证明不等式，进而判断选项C,D.【详解】f(x)-e,In(1+%)+ev-=e
18、v ln(l+x)+,+x +x_g(x)=/(x)=e*ln(l+x)+9,则g，(x)=e ln(l+x)+1 L设力(x)=l n(l +x)+21l+x(1+4，/f (x)=1 2 2-+-l +x (l +x)2(1+%)3则函数(x)在(T,+8)上单调递增，/?(力2/1()=1 0,因此g(x)0对任意的x e(O,X。)恒成立，所以g(x)在(0,+。)上单调递增，故选项A正确；1 1 (1又(一)=-l n 2+4-40,所以加一一)./(0)0,则存在ae-,0,使得2 2 1 2,(a)=0.在 x (-l,a)时，A(x)0；所以函数广(x)在(Ta)单调递减，在(
19、。,+8)单调递增，故/(九)有唯一极小值，故选项B正确；令加(x)=/(x)-x =evl n(x+l)-x ,-1 x0 ,1l +xIn (l +x)+-l =7(x)-1，所以函数加(x)在(Ta)单调递减，在(a,+。)单调递增，且 加(0)=0,则有加(a)ee M-e-l =ee-2-l 0 因此存在/e(e-2-l,。)，使得加(%)=0,当一1 cx 0,当 x()x 0时，m(x)加()=又/n(e-3-l)=-3 ee*3-l-e-3+l -3 e-1-e-3+l 0,从而存 唯一/6 仁-3-1/0),使得加(/)=0.显然当fx o,当一 1c x 时，m(x)v(l
20、)=0,j 1 1(1 c l 3 1 ,1 3有 In 2=,-In -7=2 22 J 4 V e 2 4 6则。山，一斗=与0,V e 2 2 2 4 V e 4 V e即，-；0,x2 0,/(X +x2)-/(%,)-/(x2)=e+2 n(l +X j +x2)-ev,l n(14-x)-e 2l n(l +x2),设 o(x)=/(x+x2)-/(x)-f(%)=ex+X 2l n (1+x+x2)-evl n(l +x)-eA 2l n(l +x2),x 0,则”(x)=eS l n(l +x +x2)d-eA l n(l +x)+-=g(x+x2)-(x)1 +X+1 +X由
21、选项A知,g(无)在(0,+助 上单调递增,而x +W x 0,则g(x+*2)g(x)，即有”(x)=g(x+X 2)-g(x)0,因此函数0(x)在(0,+司上单调递增，(石)研0)=/()一 0)一 /(%2)=一/()=0,即有/(4 +玉)/(3)+/日,所以对任意的X ,工2 e(，+8)，总满足了(%+%)/(%)+/(工2)，故选项D正确.三、填空题(本大题4 小题，每小题5 分，共 20分)3 6 a1 3 .若a 0,b0,a +。=9,则 一 +7的 最 小 值 为.a b【答案】8【分析】由已知条件变 形 七+/=上2+f =4 +竺+:,然后利用基本不等式求解.a b
22、 a b a b【详解】若。0,力 0,a+b=9,则 生+旦=%也+0=4+竺+9 2 4+2 1隹?=8,当且仅当。=6,6 =3时取等号,a b a h a b a b则-的最小值为8.a b1 4 .在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数2.7 1 8 28 .小 明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有 个.【答 案】3 6【分 析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.【详 解】如果排列时要求两个2相 邻，两 个8不相邻，两 个2捆
23、 绑 看 作 一个元素与7,1全排列，排 好 后 有4个空位，两 个8插 入 其 中 的2个空位中，注 意 到 两 个2,两 个8均为相同元素，那 么 小 明 可 以 设 置 的 不 同 密 码 共 有=3 6.1 5 .已知直线/是曲线y =l n(x-2)+2与y =l n(x-l)的公切线，则 直 线/与x轴的交点坐标为.,07【分 析】利用导数求得函数的切线方程，由题意，建立方程组，可得答案.【详 解】设 直 线/与 曲 线y =l n(x+2)+2和y =l n(x l)分别相切于巩%，力)两 点，分别求导，得y =一二，=一1，x-2 x-13+l n 2【答 案】21故/:丁 一
24、 口.3 2）+2 =（x-西）整 理 可 得k六九+吨-2)+2-卷.-21X.同 理 得/：丁一1 1 1(-1)=-(x-x2),整理可得=-x+l n(x2-l)一一号.元 2 一%2 一 尤2 一 因为直线/为两曲线的公切线，所 以 1 1x,2 1，解 得 l n（M-2）+2-=l n（x2-1）a X j/X?13252公Q 1 C所 以 直 线/方 程 为y =2x-3-l n 2,令y =0,则尤.则 直 线/与X轴的交点坐标为 on,0j.加 林 室+(3+H 1 2()、故答案为：-.I 2)1 6 .己知数列 4满 足q =2,4用=2(+2)a“(e N*),设数列
25、 4的前项和为S”,则 数 列%的通项公式为4=S,+2=.【答案】.(n2+n)-2-.(*一+2)2【分析】由题得%1 =+2),利用累乘法得4 =4X&X2X_X2=(“2 +).2T,a“n a a2 an_t 通过错位相减法求得S”，进而得出答案.【详解】因为w,+1=2(”+2)4,且q=2#0,所以3=_SL,见 则当 2 2时，a=tZ x x x.x-4 a2%T.2x3 2x4 2x(n+l)/、.(2、,=2x-x-x-x-=+=n2+n)-2.1 2(n-1)V 7 V 7又当=1时，4=2符合上式，故为=(1+).2 1.由 S“=q+%+1-=(1 x 2)x2+(
26、2x3)x 21+f-n(n+l)-2,_1 25=1x2x2+-l)2i+(+12-得-S=2-(/7+l)-2n+4-2l+6-22+-+2rt-2,-/3(n+l)-2n+(l-2+2-22+3-23+-+-2n)令=1 2 i+2 +3 +”-2”,A 27；,=l-22+2-23+-+(n-l)-2,+n-2,!+1,一 得 7；=2、(22+23+2)2川=空 二 .2向=(/+12向 2.7；,=(n-l)-2+I+2.故S.=(+l2+(1 2e+2,则 S,=(n2_“+2).2 _ 2,即 S,+2=(/一+2).2.故答案为：(“2+”).2-,(n2-n +2)-2四、
27、解答题（本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知S,为数列 4 的前项和，q=2,Sn+I=S,+44-3,记%=题2（1-升.(1)求数列出 的通项公式;(2)已知c.=(/-l)n+i b盒+1 ，记数列i c.A 的前项和为1,求证：7；,2.21【答案】(1)bn=2n+llne N(2)证明见解析【分析】(1)利用S“与凡的关系，整理数列 4 的递推公式，根据构造法，可得通项，可得答案;(2)写出数列%的通项，利用裂项相消，可得Z,分奇偶两种情况，可得答案.【小 问1详解】由 S“+i=S,+4%-3,得S.+I-S,=4a,一3.%+i=4a
28、“-3,则a“+|-1 =4(a“1)/.-一.6 21当为偶数时小黑2 +3,1 是递增数列，.7；2(=；221-.+(-1)，+111 1 171、71_13 7综上得：Tn .18.人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空100j5m的点尸处,一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍.已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15。方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45。，拍摄羚羊的俯角为60。，假设A,B,C三点在同一水平面上.(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度；(2)若此时猎豹到点C处比到点5处的距离更近，且
29、开始以25m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以2()m/s的速度沿北偏东15。方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑6(X)m,试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能?请说明原因.【答案】(1)分类讨论，答案见解析；(2)不能捕猎成功，原因见解析.【分析】(1)根据题意，作图，结合图中的几何元素，利用三角函数以及正弦定理，结合分类讨论思想，可得答案；(2)由题意作图，设出时间，利用余弦定理，整理方程，利用零点存在性定理，可得答案.【小 问1详解】由题意作图如下：则 ZAPC=45,N C B P =60。,NBAC=4515=30AC=100扁，B C =tan Z A P CP Ctan
30、Z C B P=100m.由正弦定理ACsin ZABCBCsin ZBAC可得sin ZABC=也2因此 NABC=60 或 120,当NA5C=60。时，Z A C B =90,猎豹与羚羊之间的距离为A8=AC?+BC?=200m，当 NA3C=120,NACB=30=Z R 4 C,猎豹与羚羊之间 距离为 AB=BC=l(X)m.【小问2详解】由题意作图如下：Q在 中，B Q=20r,A Q =25t,A B =20 0,Z A B Q =120 .由余弦定理得：6 2 5 r =4 0 0 r +2 0 02-2 x 2 0 r x 2 0 0 xr整理得：9 r2-1 6 0 r-1
31、 6 0 0 =0.方法 1：设 。=9/一 1 6 0，-1 6()(),显然/()(),/豆因猎豹能坚持奔跑最长时间为24 s,且f(24)=-25 6 0.猎豹不能捕猎成功.19.如图所示，在四棱锥PA B C D中，底面A 3 C D是等腰梯形，AB C D,A B =2 C D =4.平面平面 AB C。，。为 A3 的中点，Z D A O =Z A O P =6 0 ,O A =OP,E,F,G分别为B C,PD,PC的中点./年一一|-D C(1)求证：平面P C D _ L平面A F G B；(2)求平面PDE与平面A B C D所成锐二面角的正切值.【答案】(1)证明见解析(
32、2)5【分析】(1)根据线面垂直判定定理以及性质定理，结合面面垂直判定定理，可得答案;(2)建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量计算公式，可得答案.【小 问1详解】如图所示，取4 9的中点H,连接H P,-,-_-_ /c在等腰梯形A B C D中，AB C D,AB =4,C D =2,N Q A O =6 0.：。为A B的中点，即有四边形8CDO是平行四边形，:.OD/B C,Z D O A =Z C B O =Z D A O =6 0.OAD为正三角形，.4 0 =2,H D 1 A 0.在 AOP 中，OA=OP=2,Z A O P =60,：.AOP为边长为2的正三角形，二AP
33、=2,P H A.A O.：.A P=A D,又 尸 为 田 的中点，A FJ.PO.V H D 1 A O,P H A O,H D c P H =H ,H D,P H u 平面P H D,AOJ_平面P H O,即 AB 1 平面；PO u平面PH O,二 AB，PD.而 G 为 PC 中点，则 F G/I C D I I A B ：A F c A B =A,AF,A B u 平面 A F G B ,：.P D 平面AFG3.,/P D u 平面 P C D,：.平面 P C D _L平面 A F G B .【小问2详解】:P H AB,平面PAB _L平面 ABCD,平面PA B c平面
34、AB,P H u平面PAB,P H J 平面 ABC。，.由（1）知，PH,HD,4 8两两垂直，以”为坐标原点，HD,HB,4 P所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则”(0,0,0),P(0,0,V3),D(V3,0,0),E 与 三,0于是“户=倒,0,百)，PD=(V 3,0,-),D E=-y-,|,0设平面PD E的法向量为。=（x,y,z）,n-P D -0,即 H-D=0,则6 x 4)z=0,V3 5 取 =5-x+y=0,I 2 2-则八=（5,后5）,设平面P D E与平面A B C D所成锐二面角为氏户为平面A8CD的一个法向量,.COS0=|co
35、sn,/p|用=_ 5nHP 753x73-3sin。=V l-cos2=,V53t a n%砧.cos。5平面P D E与平面A B C D所成锐二面角的正切值为2互.520.为响应习近平总书记“全民健身”的号召，促进学生德智体美劳全面发展，某校举行校园足球比赛.根据比赛规则，淘汰赛阶段，参赛双方有时需要通过“点球大战”的方式决定胜 负.“点球大战”的规则如下：两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再 踢（例如：第4轮结束时，双 方“点球大战”的进球数比为2:0,则不需要再踢第5轮）；若前5轮“点球
36、大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确，左右两边将球扑1 3出的可能性为m，中间方向扑出的可能性为g.若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数X的分布列和数学期望.（2）现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，需要通过“点球大战”来决定胜负.设甲队每名队员射进点球的概率均为一
37、，乙队每名队员射进点球的概率均为9,若甲队先踢，求甲队恰在第4 34轮取得胜利的概率.4 1 2 5【答案】（1）分布列见解析，数学期望为,；（2）【分析】（1）根据二项分布的概率计算公式即可求解（2）根据前3轮比分为1:0,2:0,2:1,3:1,3:2时，结合相互独立事件的概率乘法计算公式即可逐一求解.【小 问1详解】P（每次扑出点球）111111113 1=X X +X X +X X=一335335335 9X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P（x=o）=c bK（8?4096x 6561P（X=l）=C；xx872048656?P（X=2）=C；x_ 1 _9、2Xp（X=3）=C
38、：x_97、3X7 89892I 384、76561326561p(X=4)=C416 5 6 1，X的分布列X01234P4 0 9 66 5 6 12 0 4 83 8 46 5 6 13 26 5 6 116 5 6 16 5 6 11 4；(X)=4 x-=-.y 7【小问2详解】若甲队恰在第4 轮取得胜利，则前3 轮结束时比分可能为1:0,2:0,2:1,3:1,3:2.分别记前3 轮比分为1:0,2:0,2:1,3:1,3:2 且甲队恰在第4 轮取得胜利，事件分别为尸 PA,B,3 1p(c)=Cx-4x C X X 34 362 5 61 87 6 8P（D）=,2xC,x x3
39、 3x1f34 +ixn=2 2.=j6 0 _4 3)256 7 6 834 J产（力用yx|J1 3 1 1 2X X-X =-3 4 3 2 5 63 67 6 8故 尸（甲队恰在第4轮取得胜利）1 1 0 1 8 6 0-h-1-F-+7 6 8 7 6 8 7 6 8 7 6 83 67 6 81 2 57 6 8甲队恰在第4 轮取得胜利的概率为五.7682 22 1.已知双曲线C：0 春的右顶点为A ,左焦点口（一 c,0）到其渐近线析+a y =0的距离为2,斜率为g的直线4 交双曲线C于 A,B两点，且 卜 却=当 .（1）求双曲线C的方程；（2）过点7（6,0）的直线4与双曲
40、线C交于P,。两点，直线A P,AQ分别与直线1 =6相交于N 两点，试问：以线段M N为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标;若不过定点，请说明理由.2 2【答案】（1哈 一3 =1 以线段M N为直径的圆过定点（6 2 6,0）和（6 +2 6,0【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解力=2,进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解。=3,（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在x轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.【小 问1详解】.双曲线C的左焦点F（c,O）到双曲线C的一条渐近线法+分=0的距离为bc.d=.-=b,而d
41、=2,b=2-yla2+b22 2双曲线。的方程为二E =l（0 a 0,点A,8的 横 坐 标 分 别 为4，a2(a2+36)则/=“人a-36.a(/+36)a2-36|XA -%B|=-|XA -XB|=-T ：-XA=8.a(a2+36)a-a2-36即=8,解得 =3或a=1 2 （舍去），且a=3时，（）,.双曲线C的方程为三-L =i.9 4【小问2详解】依题意直线，2的斜率不等于0,设直线，2的方程为=加+6.x=my+6,由 f y 消去x 整理得：（W-9）/+4 8 +1 0 8=0,-=1,9 4A W-90-4o.设尸（），Q（x）则 X +%=U%1 0 84?2
42、 9直线AP的方程为y=同理可得N 6,3%-3、（x 3）,令 x=6 得：1=3%1 -3/o A,：.M 6,-1 X 3,.由对称性可知，若以线段M N 为直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上,设该定点为R9 0),则&W6,RN6-/,故MRN =(6T+屋俄司(6-，丫 +(6-户9yl y2（知 +3）32+3）_ 2 _m2yly2+3m（yi+y2）+9uc X-1-0-8-=（6_八2_ 9_r）f 0 8 3 m X 4 8m n4-9 4-9=（6T）2T 2 =0.解得 f =6-2g 或 f =6+2g.故以线段M N为直径的圆过定点（6 2g,0）和（6+.2 2
43、.已知函数 x）=e*c o s%,g（x）=x c o s x.(1)对任意的x e ,V(x)g (x)2 0恒成立，求实数，的取值范围;(2)设方程/(x)=g (x)在区间(2 兀+三,2 兀+)5 e N*)内的根从小到大依次为为,*2，X”，求证：”+|X”2 n 【答案】(1)rl(2)证明见解析兀7t【分析】(1)由已知可得出fecosxN 1 +sinx对任意的无 一7，恒成立，验证了二一二2 J 2冗1 4-sin x对任意的，ER恒成立；在一大冗0时，利用参变分离法可得出，利用倒数求2 e cosx1 4-cin r(T T出函数/I(x)=-J 在_ 7，0上的最大值即
44、可求解；e cos x I 2 _(2)令夕(力=eas x的 xb，利用导数分析9(x)在(2 无+1,2 兀+?(e N*)上的IT 7T单 调 性，利 用 零 点 存 在 性 定 理 可 知 e(2加+1,2 兀+,X eN*),求 得%+1 2兀(2兀+三，2无+5)(1*),证明出。(七,+|2兀)。*“)，结和(x)的单调性，即可证得结论成立.【小 问1详解】J Tgx)=l+sinx,对任意的 xe-,(),#x)-g(x)2 0恒成立，兀即作cosx2 1 +sin尢对任意的x -50恒成立.2兀当天=一大时，则有0 2 0对任意的fc R恒成立；2,7 1 1 +sinx A
45、-、1 +sinx 兀 ,八当一一 0,则/之二-，令爪x)=r-,其中一 -0,e cos2 x eJ cos2 x且(x)不恒为零，故函数(x)在1 ,()上单调递增，贝=(0)=1,故 也1.综上所述，t.【小问2详解】由/(无)=g(x)可得e*cosx=l+sinx,令9(x)=e cosx-sin x-l,贝V(x)=e(cosx-sinx)-cosx.兀 7 T因xe(2 兀 +，2 无 +一)(G N),则sinx co&x0,3 2所以，”(无)-1 09(2 +5)=-2 0,所以,所以,存在唯一的x（,e（2 兀+g,2 兀 +!）（N ）,使得0（%）=0.xn e (2 n +y,Inn+e N),则 xn+l-2 ne(2 兀 +y,2 mt+)(n e N),所以，(p(xn+i-2K)=e -?c o s(x,+2兀)-s in(x+1-2兀)一 1=e -2K CO S X“+J+s in x,!+l-1 =e 1-2 c o s xn+1-e”*c o s xn+I=(e川-2K _ 9，“)c o s xn+l x”，即 x+l-x 2K.