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1、第7章 非线性方程组的求解第7 章 17.1 概述一.非线性有限元方程组的特点 用有限元法进行结构非线性分析，最终的控制方程是一组非线性代数方程：在线弹性结构分析中，为常量。但在非线性结构分析中，它随着节点位移的变化而变化。第7 章 2二.非线性有限元方程组常用的求解方法 增量法l 始点刚度法；l 中点刚度法；l 平均刚度法 迭代法l 切线刚度法Newton Raphson 法；l 割线刚度法直接迭代法；l 等刚度法 Modified Newton Raphson 法。混合法l 增量法迭代法第7 章 37.2 增量法一.增量法求解的基本思路 将荷载分成多个增量后逐级施加；在每级荷载增量内，结构
2、的刚度 取为常值；求每级荷载增量引起的位移增量；累加各级荷载的位移增量，就可以求出任一荷载作用下的总位移。第7 章 4增量法示意精确解增量解第7 章 5第7 章 6 增量法的实质是用分段线性的折线去代替非线性曲线。增量法的特点是：不存在迭代收敛问题、计算误差在计算过程中会累积、不能确定所得解与精确解的误差大小。第7 章 7 根据每级荷载增量求位移增量时所采用的刚度矩阵的不同，增量法又可以分为：l 始点刚度法l 平均刚度法l 中点刚度法 第7 章 8二.始点刚度法 始点刚度法是在计算第 i 级荷载增量引起的位移增量时，采用第 i-1 级荷载增量末的刚度值来求解，即：第7 章 9精确解始点刚度法示
3、意第7 章 10三.中点刚度法 中点刚度法是在计算第i 级荷载增量引起的位移增量时，先求出引起 的位移增量，将其累加至位移总量后，计算此位移状态下的刚度矩阵，再计算此级荷载增量下的位移增量，即有：第7 章 11精确解中点刚度法示意第7 章 12四.平均刚度法 平均刚度法在计算第i 级荷载增量引起的位移增量时，先利用 求得初步位移量，将其累加至位移总量后，计算此位移状态下的刚度矩阵，再利用平均刚度 求此级荷载增量下的位移增量，即有：第7 章 13平均刚度法示意精确解第7 章 147.3 迭代法一.迭代法求解的基本思路 根据作用于结构上的荷载，作一系列迭代计算；在每次迭代中，结构刚度取为某一数值；
4、迭代后计算总荷载的不平衡力，并把它作为下一次迭代的荷载，以计算出附加的位移增量；如此重复进行，直到计算结果达到预定精度即终止迭代过程。第7 章 15二.迭代法的种类 割线刚度法（直接迭代法）；切线刚度法Newton Raphson 法；等刚度迭代法Modified Newton Raphson 法。第7 章 161.割线刚度法 割线刚度法（直接迭代法）是在迭代过程中采用割线刚度求出总荷载引起的总位移，再根据总位移调整割线刚度的一种迭代法。第7 章 17割线刚度迭代法示意K0K1K2第7 章 18第7 章 192.切线刚度法-Newton-Raphson 法 切线刚度法是在迭代过程中采用变化的切
5、线刚度求出总荷载引起的总位移，再根据总位移调整切线刚度的一种迭代法。第7 章 20切线刚度迭代法示意第7 章 21第7 章 223.切线刚度法-Modified Newton-Raphson 法 等刚度迭代法 等刚度迭代法是在迭代过程中采用不变的切线刚度进行迭代的一种迭代法。第7 章 23等刚度迭代法示意第7 章 244.增量迭代混合法 增量迭代混合法是将增量法和迭代法联合起来，将施加的荷载分成多级，同时在每级荷载的加载过程中又进行迭代计算。第7 章 25增量迭代法示意第7 章 26六.收敛标准 在迭代计算中，为终止迭代过程，必须确定一个收敛标准。在实际应用中，可以从结构的不平衡力向量和位移增
6、量向量两方面来判断迭代计算的敛散性。数的大小可以用其绝对值来衡量，而对于一个结构，无论其节点力还是节点位移都是向量，其大小一般用该向量的范数来表示。第7 章 27 向量范数的定义第7 章 28 收敛标准第7 章 297.4 考虑结构负刚度的一些算法一.结构负刚度的表现 结构的荷载位移曲线进入下降段；荷载减小的同时位移增加；结构刚度矩阵非正定；结构软化。第7 章 30负刚度段正刚度段第7 章 31二.考虑结构负刚度的算法 逐步搜索法；增加虚拟弹簧法；位移控制法；强制迭代法；硬化刚度法；弧长法。第7 章 321.逐步搜索法 对于只要求极值点时适用。计算步骤：l 施加一荷载增量P，计算发散时，退回到
7、上一级荷载并改用较小步长如：P/2、P/4、P/8 等再进行计算，直至收敛。第7 章 332.增加虚拟弹簧法 在适当地方增加虚拟的、有较大刚度的线弹性弹簧，使施加弹簧后的结构反应不出现下降段，则结构的实际反应等于带弹簧虚拟结构的反应减去线弹性弹簧的相应反应。第7 章 34qq实际梁反应弹簧反应带弹簧梁反应第7 章 353.位移控制法 分析过程中控制位移增量而不是荷载增量，即由给定的位移求相应的荷载，从而避免控制荷载时的一值多解。将刚度矩阵重新排列，使得要作为控制加载的位移排到最后一项，同时将原刚度矩阵分块，将有限元方程重新改写而获得新的迭代方程。第7 章 36第7 章 37第7 章 38第7 章 393.位移控制法 分析过程中控制位移增量而不是荷载增量，即由给定的位移求相应的荷载，从而避免控制荷载时的一值多解。将刚度矩阵重新排列，使得要作为控制加载的位移排到最后一项，同时将原刚度矩阵分块，将有限元方程重新改写而获得新的迭代方程。第7 章 404.其他方法 强制迭代法用三角分解法分解刚度矩阵并判断结构刚度矩阵对角元中是否已出现负元素，若是，则施加负的荷载增量继续迭代计算。弧长法在荷载增量法中，是控制荷载因子的步长；在位移增量法中，是控制位移增量的步长；而在弧长法中则同时控制荷载因子和位移增量的步长。第7 章 41