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1、 矩阵是数学学习与研究中最最常用的工具和手段，矩阵是数学学习与研究中最最常用的工具和手段，利用它可以丢掉那些可忽略的部分，从而抓住问题的利用它可以丢掉那些可忽略的部分，从而抓住问题的本质，简化问题的复杂程度，并通过对矩阵的研究，本质，简化问题的复杂程度，并通过对矩阵的研究，完成对问题的全面解决。比如：线性方程组就可用矩完成对问题的全面解决。比如：线性方程组就可用矩阵来解决。阵来解决。概述概述 矩阵已广泛应用于自然科学的各个分支及经济分矩阵已广泛应用于自然科学的各个分支及经济分析、经济管理等许多领域析、经济管理等许多领域.在这一章里，我们将介在这一章里，我们将介绍矩阵的运算，方阵的行列式，可逆矩
2、阵，矩阵的初绍矩阵的运算，方阵的行列式，可逆矩阵，矩阵的初等变换等关于矩阵的基本理论等变换等关于矩阵的基本理论.这些内容是学习后这些内容是学习后面各章的基础面各章的基础.2.1 矩阵的概念矩阵的概念引例引例线性方程组线性方程组未知量的系数未知量的系数可排可排成一个矩形阵列：成一个矩形阵列：加常数项加常数项有无解，由有无解，由未知量系数未知量系数和常数项决和常数项决定。定。对对方程组有无解的研究可转为对上述矩形阵列的研究。方程组有无解的研究可转为对上述矩形阵列的研究。例例例例 P.49四种产品，四个季度的产值也可用四种产品，四个季度的产值也可用一个矩形阵列（或矩形表）来描述：一个矩形阵列（或矩形
3、表）来描述：季季 度度 产产 值值从该从该矩形表上可以看出产值的变化规律。矩形表上可以看出产值的变化规律。矩阵的定义矩阵的定义定义定义2.1 由由 个数排成的个数排成的 m 行行 n 列列数表（阵列）数表（阵列）称为一个称为一个 m 行行 n 列矩阵列矩阵，习惯上称习惯上称 为该矩阵的为该矩阵的“大小大小”或或型型。P.50其中其中 表示第表示第 i 行第行第 j 列处的元素。列处的元素。简称为简称为 矩阵，矩阵，矩阵的记法矩阵的记法(1)A，B，C，.(2)，.(3)，例：例：(圆括号圆括号和和方括号方括号是矩阵的标志性符号是矩阵的标志性符号)所有元素都为零的矩阵称为所有元素都为零的矩阵称为
4、零矩阵零矩阵，记为，记为O.例如例如特别：特别：P.51 行（列）阵：行（列）阵：当当m=n时，称矩阵为时，称矩阵为n阶矩阵阶矩阵或或n阶方阵阶方阵。例如例如是三阶矩阵是三阶矩阵一一 阶（阶（m=n=1)矩阵就是一个矩阵就是一个数数。定义定义2.2矩阵相等矩阵相等另外：另外：非负矩阵：非负矩阵：A 的负矩阵：的负矩阵：行列式与矩阵的不同之处：行列式与矩阵的不同之处：行列式行列式矩阵矩阵 行列式是一个数量行列式是一个数量 矩阵是一张矩形表矩阵是一张矩形表 行数与列数相等行数与列数相等 行数与列数可以不相等行数与列数可以不相等 不同阶的行列式值不同阶的行列式值可能可能相等相等 不同大小的矩阵不同大
5、小的矩阵不可能不可能相等相等例如：例如：数的数的运算运算加法加法减法减法乘法乘法除法除法矩阵的运算矩阵的运算加法加法减法减法 数数乘乘矩阵矩阵 矩阵乘矩阵矩阵乘矩阵无无定义了定义了逆矩阵逆矩阵在在学习矩阵的运算及性质时，要注意与学习矩阵的运算及性质时，要注意与数数的运的运算及性质对比，算及性质对比，哪些同，哪些不同。哪些同，哪些不同。定义定义2.3 设矩阵设矩阵与与是两个是两个 矩阵，将它们的对应元相加，得到一个新的矩阵，将它们的对应元相加，得到一个新的 矩阵：矩阵：则称矩阵则称矩阵C为矩阵为矩阵A与与B之和之和，记作，记作C=A+B.问：两个矩阵的大小不同可否相加？问：两个矩阵的大小不同可否
6、相加？不能！不能！（一）一）1.矩阵的加法矩阵的加法由负矩阵可定义矩阵由负矩阵可定义矩阵减法减法(P.53)：设设A、B为同型矩阵，则为同型矩阵，则A与与B的差的差，即矩阵减法：，即矩阵减法：2.矩阵的数乘矩阵的数乘 定义定义2.4 设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，k 是一个常数，则称矩阵是一个常数，则称矩阵为矩阵为矩阵A与数与数 k 的乘积的乘积(矩阵的矩阵的数乘数乘)，记为，记为 kA.这与行列式的性质不同这与行列式的性质不同!P.52线性运算的八大性质（线性运算的八大性质（运算律运算律）（）（P.52）设设A、B、C、O为同型矩阵，为同型矩阵，k，l 为数，则有为数，则有加法加法数乘数乘
7、与与“数数”相应的运算律相同。相应的运算律相同。例例 有有4 4名学生，名学生，3 3门课门课平时成绩平时成绩期末成绩期末成绩期中成绩期中成绩总成绩中总成绩中,分别占分别占10%、20%和和70%D=0.1C+0.2B+0.7A0.1+0.2+0.7总成绩矩阵总成绩矩阵例例 (P.53例例4)已知已知解解（二）矩阵的乘法二）矩阵的乘法引例引例工厂工厂产量产量产品产品甲甲 乙乙 丙丙产品产品甲甲 乙乙 丙丙价格价格 单位利润单位利润工厂工厂总收入总收入 总利润总利润总收入产量总收入产量x价格价格总利润产量总利润产量x单位利润单位利润P.54ABC定义定义2.5 P.56定义定义A,B之积之积其中
8、，其中，称称A 左乘左乘 B，或或 B 右乘右乘 A即即要点要点：左行乘右列，左行乘右列，“长度长度”相相等等;积矩阵大小积矩阵大小为：左首右为：左首右尾。尾。例例（P56例7)AB BA交换律不成立！交换律不成立！必须注意乘的顺序！必须注意乘的顺序！练习练习解解一个数一个数例例（P58例10)两个矩阵两个矩阵A、B，矩阵可交换定义矩阵可交换定义P.58则称则称 A 与与B 可交换可交换；例例（P57例9)例例（P59例12)AC=BCA=B 或或 C=O消去律不成立！消去律不成立！例：例：线性方程组的矩阵表示线性方程组的矩阵表示令令则方程组可改写为：则方程组可改写为：P.59例例13解解矩阵
9、方程矩阵方程例例（P.60）解解由由题设，有题设，有得得方程组：方程组：以后还有更简便的方法以后还有更简便的方法 逆矩阵法！逆矩阵法！矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质P.60证明略证明略（三）矩阵的转置三）矩阵的转置定义定义2.6转置转置例例P.61数数性质性质(P.61)证明证明4o：(i)推广：推广：容易验证左右两边矩阵的大小相等。容易验证左右两边矩阵的大小相等。现证左右两边矩阵的元素对应相等。现证左右两边矩阵的元素对应相等。可能无意义可能无意义注意：注意：定义：定义：设设A是是n阶阶方阵方阵，k为正整数，为正整数，性质：性质：但是，一般地但是，一般地（四）方阵的幂（四）方阵的幂与数的与数的方
10、幂同方幂同与数的与数的方幂不同方幂不同P.62A的的k次幂次幂n阶单位矩阵阶单位矩阵定义定义例例 设设解法一：解法一：思路：找规律，再用归纳法证明。思路：找规律，再用归纳法证明。假设假设 成立，则成立，则由数学归纳法：由数学归纳法：解法二解法二以以后讲后讲练习练习1.设设A,B为为n阶方阵，讨论在什么条件下有阶方阵，讨论在什么条件下有解解可见：可见：只有只有当当A,B可以交换时可以交换时，上述结果才成立，上述结果才成立，即，即，二项式公式二项式公式和和因式分解公式因式分解公式 对于矩阵不一定成立！对于矩阵不一定成立！即一般：即一般：但当但当 AB=BA 或或 A=I 或或 B=I 时时 公式成
11、立。公式成立。练习练习解解巧巧办法！办法！P.63例例注意：长方形矩阵不能取行列式！注意：长方形矩阵不能取行列式！五、方阵的行列式五、方阵的行列式性质：性质：设设A,B为为 n阶阶方阵方阵，则，则(对二阶的验证见对二阶的验证见P64)证证：由性质：由性质3，有，有注意：注意：如：如：例例 P.64(加加)设设A为三阶矩阵，且为三阶矩阵，且|A|=-2,则则一般有一般有：矩阵乘法与数的乘法不同的地方：矩阵乘法与数的乘法不同的地方：1.AB与与BA可能都无意义，或其中一个有意义；可能都无意义，或其中一个有意义；2.AB与与BA都有意义，一般都有意义，一般3.推不出推不出 4.AC=BCA=B 或或
12、 C=O推不出推不出5.n阶方阵阶方阵A、B，一般一般6.一般情况下，二项式公式对矩阵不成立。一般情况下，二项式公式对矩阵不成立。思考题：思考题：5、6在什么条件下成立？在什么条件下成立？几种特殊矩阵几种特殊矩阵例如：例如：可能无意义可能无意义注意：注意：现证明结合律。现证明结合律。分析：利用矩阵相等的定义：分析：利用矩阵相等的定义：1.型号相同，型号相同，2.对应对应元素相等元素相等证明：设三个矩阵分别为：证明：设三个矩阵分别为：则则 ，分别为分别为 ，型，从而型，从而(AB)C与与A(BC)都是都是 型。型。矩阵矩阵AB的的 ik 元元 ，同理可得：同理可得：A(BC)的的 ij 元为元为
13、所以二者对应元相等，故结合律成立。所以二者对应元相等，故结合律成立。从而从而(AB)C的的 ij 元为元为例例 求求解解 原式原式=例例 求解关于求解关于X 矩阵方程：矩阵方程：解：解：X的大小为何的大小为何？练习练习设设求：求：(1)A-2B(2)|2A|A|A|(3)设 A-2X=2B,求X思考：思考：？设设解：解：练习练习例例解解 矩阵是数学学习与研究中最最常用的工具和手段，矩阵是数学学习与研究中最最常用的工具和手段，利用它可以丢掉那些可忽略的部分，从而抓住问题的利用它可以丢掉那些可忽略的部分，从而抓住问题的本质，简化问题的复杂程度，并通过对矩阵的研究，本质，简化问题的复杂程度，并通过对
14、矩阵的研究，完成对问题的全面解决。比如：线性方程组就可用矩完成对问题的全面解决。比如：线性方程组就可用矩阵来解决。矩阵在控制理论、经济管理、线性规划等阵来解决。矩阵在控制理论、经济管理、线性规划等领域中也有广泛应用。领域中也有广泛应用。事实上，矩阵最初就是为解决线性方程组而产生事实上，矩阵最初就是为解决线性方程组而产生的，因此，矩阵的许多运算和性质来源于线性方程的，因此，矩阵的许多运算和性质来源于线性方程组，学习时可对照线性方程组来理解。组，学习时可对照线性方程组来理解。概述：矩阵的重要性概述：矩阵的重要性例如：例如：可得可得练习练习A,B为为n阶方阵，则下列结论成立的是阶方阵，则下列结论成立的是()（3）(4)由|AB|=|A|B|练习练习解解（14题（题（4）例例甲、乙两个厂的四种产品，四个季度的产甲、乙两个厂的四种产品，四个季度的产值分别如矩阵值分别如矩阵A、B，季季 度度 产产 值值则总和则总和（一）一）1.矩阵的加法矩阵的加法P.（53）