函数的值域11种求解方法.pdf-淘文阁

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1、函数的值域由函数的定义知，自变量X 在对应法则/下取值的集合叫做函数的值域.1 .(1)值域必须是用集合或区间的形式表示！(2)集合.y|y =f(x)的含义即函数y =/(x)的值域.(3)函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.求函数值域的本质是求函f(x)数在给定区间上的单调性.2 .求值域、最值的方法(1)观察法；(2)配方法(对称轴法)；(3)换元的方法：代数换元法，三角换元法；(4)平方开方法；(5)分离常数法(分子常数化)；(6)图象法(数形结合法)；(7)单调性法；(8)基本(均值)不等式法；(9)

2、有界性法(反解法)；(1 0)判别式法；(1 1)导数法.-观察法观察法：对一些简单函数，可通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本初等函数的值域，求出函数的值域或最值.【例1】求下列函数的值域：(1)y =2 x +l,x e l,2,3,4,5 ；(2)y =4 +l；(3)y 一.2x+l【解析】(1)因为)，=2 x +l,且x e 1,2,3,4,5 ,所以 y w 3,5,7,9,1 1 ,所以函数的值域为 3,5,7,9,1 1 ;(2)由6 20 n +121,即所求函数y =&+l的值域为 l,+o o);(3)由x2o得2Y+121,所以0/_ +9 4 9 ,所以所求

3、函数的值域为 0,3.(3)(酉己方法)函数 y =5 J 7 +6 X-%2=5 J-(x-3)2+1 6 ,因为函数 y =j 7 +6 x-d =34+1 6 的值域为 0,4 ,所以函数y =5-,7 +6x-f的值域为 1,5 .(4)(配方法)y =x-24+3=(4-l)2+2*2 ,由于五-1 的取值范围是-1,+8),.(4-1)2 的取值范围是 0,田)，.(6-1)2 +2的取值范围是 2,*),即函数y =x-26+3 的值域为.(5)f(x)=og3x,x e l,9 ,y =/(x2)+/2(x),/.1 M2 9,啜J r 9 ,.掇J r 3,0领 j

4、o g j x 1,y=/(x2)+/2(x)=2 1 o g3x +l o g 3 x=(l o g3 x+1)2-1,A 0(l o g3x +l)2-1 3.故函数 y =/(*2)+/2(刀)的值域为 0,3.r5 、re -,+o o),当初时，g 在|;1,+8)上是增函数，当f =g时，g Q)加“=g(g)=等一2-5 加=2 ,解得/=当加时，当/=加时，=g tn)=m2-2-2/n2=-2 ,解得 z =0(舍去)；综上可知m=2 .4(7)(换元法+配方法)f=si n xe -l,l ,则 y =2/一3/+1 =2(/-)2-，所以当 f 时,4 8 4为

5、=1；当/=一1 时，ym a x=2xl2-3 xl +l =0;所以函数 y =2si r2x-3 si n x+1 的值域为一！,0.88(8)(换元法+配方法)y=2c o s2x+si n2 x-4 c o sx=2(2c o s2 x-1)+(1-c o s2 x)-4 c o sx=3 c o s2 x-4 c o sx-1 ,-4?令 r=COSX G-1,1,则 y =3r-4 r-l,r G-1,1,函数的对称轴t=-=,所以函数 y的最小值为2x3 327 2 7 2 V m i n =y I，=3 x(q)24 x；_ =_彳，,的最大值为=

6、y I,=3 x(_ 1了 _ 4 x(1)_ =6.所以当 c o sx=彳时,7 3 3 3 377y取得最小值一 ;当8 s x =-1时，y取得最大值6;所以函数y=2c o s2x+si n2 x-4 c o s 的值域为-,6.(9)法一:y=f(x)=si n 2x+/2 si n(x+)=2si n xc o sx+si n x+c o sx,r=si n x+c o sx=/2si n(x+-)G-/2,/2,4 4则 2si n xc o sx=(si n x+c o s无了一1=产一1,令鼠，)=产+，一 1,因为 g(t)=r+t-的对称轴二一,一血,亚,2利用

7、二次函数知识，可得gO)1nM =g(-；)=-,gQ)皿 x=g(3)=血+1,显然，/(X)的值域与g的值域相同，所以/,(X)的值域为4法二：因为 si n2x=-c o s(2x+)=-c o s2(x4-)=2si n2(x+-)-1 9 t =si n(x4-)e-1,1,则 si n2x=2r-I,2 4 4 4则 y =si n 2x+血 si n(x+?)=2r+-l,re -1,1 ,g(r)=2r+y/2t-1=2(z +)2,re -1,1,g)m i n=g(-j)=-，gQ)m a x=g 6 =+l，所以 V 的值域为一丁 3 +口 (10)法一：函数/(A O

8、 y i-V x x Z+G +b)的图象关于直线x=_ 2 对称，JL/(-l)=/(l)=O,.,/(-5)=/(-3)=0,/(x)=(l-x2)(x+3)(x+5)=(1+x)(l-x)(x+3)(x+5)=-x+l)(x-l)(x+3)(x+5),将函数/(x)的图象向右平移2 个单位(函数/(x-2)的图象关于轴对称，而左右平移不改变函数的最值)，整理可得 g(x)=/(x-2)=_(x-2+l)(x-2-l)(x-2+3)(x-2+5)=-(x2-l)(x2-9),t =x20,则y =-(r-l)(f-9)=16-(r-5)2(r0),当 r=5 时，yl l wx=16

9、,也即 g(x)和.f(x)的最大值，即当 =-2 指时，即/(初皿二法二：函数/(x)=(1-x?)，+o r+Z?)的图象关于直线 x=-2 对称，且/(一 1)=1)=0,二 /(一5)=/(-3)=0,/(x)=(l-x2)(x2+8 x+15)=-(x2+4 x+3)(x2+4 x-5),令，=V +4 x-5=(x+-9-9 ,则函数/(x)转化为 y =-fQ+8)=-Q+4)2+16,故当，=-4 时，/(x)取得最大值1 6.故答案为：16.法三：函数/(x)=(l-x2)(x2+o r+。)的图象关于直线x=-2 对称，；./(1)=/(-3)=0 且/=/(-5

10、)=0,即 1-(-3)2 (-3)2+0.(-3)+/?=0 且 1-(-5)2 (-5)2+a.(-5)+6 =0，解之得，一，因此，8 =15/(x)=(1-x2)(x2+8 x+15)-x4-8 x3-14 x2+8A:+15,求导数，得广(x)=-4 丁 24 d -28 x+8 ,令/，(x)=0,=-2-7 5 ,9=-2,=-2+百，3当 xe(_o o,_2_石)时，/z(x)0;当 xe(-2-6,-2)时，/(x)0;当 x e(-2+6,+o o)时，f(x)0;二/(幻在区间(-00,-2-石)、(-2,-2+占)上是增函数，在区间(-2-6,-2)、(-2+

11、后,+o o)上是减函数.又/(-2-V5)=/(-2+7 5)=16,./(X)的最大值为 16.故答案为：16.三换元法换元法：运用换元法解题时要注意确定新元的取值范围和整体置换的策略.使用换元法时，一般来说，需求两次值域，一次在换元时求新元的取值范围，一次在换元后求新函数值域.换元法可降低求解的难度.换元的方法：代数换元法，三角换元法.通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用.适用类型：无理函数、三角函数(用三角代换)等.1.(1)单根式y =o r+6 型(常考，务必掌握

12、)丫=一次函数4，一次函数形如y =o r+6 土Z j c x+d模型,可以通过换元转化为二次函数y =/n d+小+双相 30)的类型来处理.这种类型的特点就是根号下的式子和根号外式子相似，这样换元构造一个二次函数.【例 3】求下列函数的值域：(1)y =x +J x-l ；(2)y =2x +4，l-x ；(3)y=x+2y/x-+2；(4)y=x-sj-2x(x +o o,故函数的值域为 1,+8)；(注：此题可直接利用函数单调性直接求函数的值域，但要注意其定义域！)(2)令 5/T =f.0),则 x =l-，+可化为 g(f)=-2*+4 f+2=-2(f-l)2+4,4,函数

13、y=2x+4 y/l-x 的值域为(-8,4 :(3)设 V jT =r(f.O),x=t2+,则 y =/+2r+3 =(f+l)2+2(L.O),t.O,+(r+l)2+2.,3,，该函数的值域为 3,);(注：此题可直接利用函数单调性直接求函数的值域，但要注意其定义域！)_ 1 _*2 1 产产 1(4)令 t=J l-2x,则 x =-,因为 x4-4,所以 1 2 3,而、=-/=-f+在/w 3,+o o)上是单2 2 2 2调递减的，所以y 4-7,故函数的值域为(T O,-7 J.(注：此题可直接利用函数单调性直接求函数的值域！)【例 4】函数/(x)=2x-l +J x-2

14、的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】设五=，Z0,则刀=产+2,则函数/(x)=2x-l +JT 等价于、=2 a+3,r 0,因为y =2/+/+3 在 0,+8)上是增函数，ym in=2 x 02+0 +3 =3.所以函数f(x)=2x-l +的最小值4是3,故选A.(注：此题可直接利用函数单调性直接求函数的值域！)【例5】已知函数y=2 x-3-而石的值域为(-0 0,马，则实数。的值为_.2_ 2_ a-t2 _ _ t2-t+a-3【解析】法：由题意可得a-4 x N()可得,令&F=则“一 2)一 2 24所以当f=T时取得最大值，但由于故当r=

15、,即*=刊时，=刊一3=?，解得a=1 3.故答案为13.4 2 2法二(函数单调性法)：函数y=2 x-3-J a-4 x的定义域为,函数y=2多_3-夜 _4:在(,/上单调递增，当x=时，v=-3=-,解得a=1 3.故答案为13.4 2 2(2)单根式y=qx+4 土4%$+3+。2型(三角换元法)方法：将y=4元+=土ky j/x2+%x+C2模型转化成y=ax+土友Jcn，模型，再利用三角换元法求值域.【例 6】求下列函数的值域：(1)y=x+V1-x2；(2)y=x+yj2-x2；(3)y=x+2+l (x+l)2;(4)y=2x+J4x2-8x+3.【解析】(1)由y

16、=T+J-2,知得一微k 1 ,4姐-J 1 ,令工=0 1 1 6,设。-工，刍，2 2/=c o sO,所以，原函数化为 y=sin6+cose=V5sin(e+C),+-,4 2 2 4 4 4得sin(0+)的值域是-走 ,则函数y=/2sin(0 +)的值域是|-1,应,故函数的值域是-1,夜：4 2 4(2)由 y=x+，2-卜 ,知2 无2.0,得一&领k V2,令工=Jcos，,夕w0,乃,则 y=0 c o s e +0 s in 6 =2sin(e+K),e e O,R,又三效B+2,所以一层如n(8+C)2,所以函数的4 4 4 4 4值域为(-拉,2.(3)因 1 一

17、(%+1)2 2 0,即(x+l)2 4 l,故令 x+l=cosa,cr G 0,7r,所以 y=cosa+l+Jl-co s2 a=cosa+sinez+l=V2sin(a+)+1,因为 OWa4万，得一包 Wsin(a+工)W1 ,即 0 V2sin(a+)4-1 1+V2,4 2 4 4故所求函数的值域为0,1+V2.(4)法一(三角换元法)：函数可化为 y=2x+j4x2_8x+3=2x+J(2 x-2)2-1，由(2x 2)2 之 1,知12工一2|2 1,可设 2x-2=(一至巴，且 cwO),sin a 2 2、i，八 ,乃口工 1 c/1?1 +cosa 3 1 八的八

18、 a,万 s 、当 0 aW 一时，y=-+2+J -1 =-+2=-+2,即 0 W,y G3,+O O)；2 sin a v sin a sin a .a 2 4tan 2当-工4 a 0时，y=-+2+1 1 =1(；0 8 0；+2=ta n-+2,?p-2 x ,因此上 9 4,.y-0 x z(-3)(，+1)0 ,解得 1 4 y 2 或y 3,所以函数4 y -8 2 2y-4 2(y-2)y =2x +J 4 d-8x +3 的值域为 1,2)3,-K O).属于难题.2.(1)双根式/(x)=J b-x +lx-a 勿且a 0 ;其次/(x)是函数/(x)

19、=lb-x与f2(x)=/x-a的和；最后f2x=b-a +2yJ(b-x)(x-a)=b-a +2yJ-x2+b)x-a b,可见函数 f x)满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是对/(x)平方、开方得：/(%)=b-a +2y1-x2 4-(+b)x-a b(xG ,/?),这里函数g(x)=2y-x2+(a +b)x-a h(x G a,/?),对 g(x)根号下面的二次函数采用配方法”，即可求得g(x)的值域为 0 方-0,于是/(x)的值域为小工，J2 s-a).见【“四平方开方法”】法二此题可以考虑三角换元，利用平方和为常数，由

20、于 G/)2+G/7K)2=b-a,故令!b-x=4 b-a cosa ,J x-a =!b-a sin a(0 a -y),f(x)=J 2 s -a)sin(a+)-%J 2 s -a)法三：因为则设x =a+S-a)sin 2a(0 jb-a sin a =J 2(b-a)sin(a+),因为 a +,所以4 4 4 4yjb-a W J 2 s a)sin(a+)4 J 2 s a),于是 f(x)的值域为!b-a ,12(b-a).【例 7】(1)已知函数y =+的最大值为M,最小值为贝哈的值为()【例 60 】A.14B-iD.2(2)已知函数于(x)=/x 22

21、x+3=4 +2j 4-(x+l)2.而 0 w 0,得 2 4y4 2 啦.即 M=2 贬,m =2,P p =,故选 C.M 2法二(换元法)：令 V 1-x =2c o s a ,Jx +3=2s i n a (0 W a K 马，则 y =2/2s i n(a +)，所以 A/=2夜,m =2.2 46即匕=也，故选C.M 2(2)法一：由题意，函数的定义域是4,5,又严()=1 +2J(x-4)(5-x)=1 +9x-22=1 +2 c-(x-、尸.而 ,所以l /2(%)0,得 f(x)4&.故填1,0.法二：令 Jx-4=s in。,则 J t =cos6,但需要特别注意参数

22、6 有范围限制，因为J7Ze0,l,庐7 w 0,l,所以sin。与cos，的值域都是0,1,因此。的取值范围只能在第一象限，故0 4 6 4 生，故2原函数转化为 f(x)=sine+cose=3 s in(e+),e+工工,.,所以 f(x)e 1,y/2,故填1,0.4 4 4 4(3)法一：对函数变形可得于(x)=!x-4 +d 5-x ,令 J x-4=sin，,则,5-X =cos6(60,),故原2函数转化为.f(x)=sin8+6cose=2sin(e+马，6 +-e -,1 ,所以/(x)e l,2 J,故填1,2.3 3 3 6法二：由1 4 一 0,解得 44xK5,

23、则设 A;=4+sin2(0cr ),从而15-3x 2 0 2y=f(x)=sin +V3 cos a =2sin(a+),因为 4。+石4 包，所以 I sin(a+)0,a =c)型(单调性法)0),则/(幻具有单调性，直接利用单调性求值域；0,a =c),则分子有理化后分母具有单调性，先求分母的值域，再求整个函数的值域；【例 8】求下列函数的值域：(1)y=Jx+Z+x/T：T；(2)/(x)=/r:5-V 24-3x；(3)已知一I W x W l,求 y=的一 +J l-d 的值域.(4)y=/77T-A/7T.(5)【三根式】求函数/。)=(/7+/+2)(/17+1)的值

24、域.(6)求函数 y=V m +V T +2-x 2 的值域.【解析】(1)函数的定义域为口，+8).又=/百工+7 是增函数，故值域为百，+8).(2)由题意可得卜一 5一 0,解得姗 8,函数f(x)=G -j2 4-3 x 在5,8上单调递增,故当x=524-3x.O时，函数取得最小值/(5)=-3,当x=8时，函数取得最大值/(8)=6，函数f(x)=？-/2 4-3 x 的值域为-3,6.7(3)因为x wj i j,令r=/0,1 ,则、=/7+，7,注意到函数=/二7+4 7在0,1上单调递减，所以y=内二7+JJ=7 e 2夜,4 ,因此y=内=？+Ji二7的

25、值域为2后,4.(4)函数的定义域为1,+8).由y=/7*1一 J E=2 是减函数,故值域为(0,&.+1 +JX 1(5)法一(三角换元法)：(Vl+x)2+(V1-x)2=2,设 J l+x=0 s in a ,11一x=0 c o s a ,(0 1h),2则-x2=Jl+xJl-x =2sin a cos a,则 y=/(x)=(Jl+x+J l-x +2)(Jl-V+1)=(5/2 sin a+cos a+2)(2sinacos+1)=/2(sin a+cos a)+2(2sin a cos a+1),令 sin a+cos Q=，(啜J 拒),则2sinacosa=/-l,故丫

26、=诉+2)产=后+2产,.啜i)血，.y=(+2)产=立/+2*在工上单调递增，当，=1时，y取最小值2+及 J =夜时，y取最大值8;.二2+应领5 8;.原函数的值域为2+a,8 .法二(代数换元)：/。)的定义域为设j m+V i=，则2+2 j i f =/：一掇/1：.藤i d 1 ,畸必-f 1 ；/.2羽产 4；/.0领1 2,且 J1 一 X2+1=g/,设 y=/(幻；.y=g/Q +2)=gf3+；y，=m*+2/,令y=0得，=T或0;，y=g r+*在应,2上单调递增；/.1 =血时，y取最小值2+及，1=2时，y取最大值8;2+厨6 8;.原

27、函数的值域为2+0,8 .(6)法一(三角换元法)：(Jx+1)-+M -卜)2 =2,.,.设 Jx +1=0 sin a,11一 x=0 c o s a ,(喷山马，2则 J-x2=/x+y/-x=2 sin tz cos a,则 y=J x+1 +Jl-x +2J-x2=&sin a+0 c o s a +4sinacosa.“一 =V2(sin tz+cos a)+4 sin a cos a,令 sin a+cos a=(1效中 v 2),则 sinacos=-,2故 y=0f +2/-2 =2(r+立一2,掇中应，V 2 W +)2-4：4 4 4 4故函数y=Jx+1 +

28、J l-x +2 l-x2的值域为夜,4.法二(代数换元)：函数的定义域为-I，设7m，则2+2 j n=/；一掇/i；.噫巾一丁1，噫姐-x?1;/.2M2 4;&却)2,y=t+t2-2 =(t+-)2;淄麴 +夕-4,故函数y=J7TT+的值域为夜,4.(3)双根式产厨而%士后诟记型(详见六数形结合法)3.y=型8【例9】求下列函数的值域:3(1)y=2 ；(2)y=g)i (3)y=g产工+5；(4)/(x)=2A?+4 r+5+4；(5)f(x)=2 g|2A-4|+4(6)已知函数/(x)=/*+6(a,b是常数，且。1)在区间 0,2 上有最大

29、值5,最小值2,求实数a,b的值.3 1 1【解析】(1)要使函数y=2,川有意义，只需4x+lw 0,即xw L,所以，函数的定义域为幻尢工一；4 4a设y=2,“/0,则y 0,由函数y=2,得y*2 0=l,所以函数的值域为 y|y 0且y w 1 ;4x+l(2)|x-l|.O,.j=()|r-|e(0,.设 r=|x-l|,当 x.l 时，函数 f=|xl|单调递增，此时函数单调递减，当x l时，函数f=|x-1|单调递减，此时函数y=(；y*T单调递增，即函数的单调递减区间为化内)，函数的递增区间为(-8,1)；(3)设“幻=炉+2 x+5=(x+l)2 +4.4,则f(x)的单

30、调递减区间为(一8,-1 ,递增区间为一1,+8),函数y=g y为减函数，故函数y=(g)/+2*+5的单调递增区间为(-递减区间为 T,+8),0 1得y=2 是关于的增函数，.2(0,2，因此，原函数的值域为(0,2.4 4(6),6是常数，且a l,./(X)=2E2+/7=-(i r+人在区间 0,2 上的最大值是1)=+人，最小值是f(0)=2)=l+b,函数f(x)=a 2*+仇”，人是常数，且a l)在区间 0,2 上有最大值5,最小值 2,解得 a=4,b=.1 +=24.=/(优)型【例1 0】求下列函数的值域:9(1)y=4-6 x 2r+7(xe

31、0,2)；(2)f(x)=4-3 x 2 川+3(嗯4)；(3)设 a 0,a w l,若函数=产+2优-1在区间-1,1上的最大值是1 4,求“的值.【解析】(1)令 f=2*,ZG1,4J,则：y=r2-6r+7=(f-3)2-2,当 r=3 即：x=log23B+,%而=-2,当 f=l 即：x=0 时，y 1mx=2-(2)碱 4,.掇必 1 6,:./(x)=4-3 x 2 m+3=(2)2-6 x 2+3=(2-3)2-6,.当 2,=3 时，/(x)=4x-3x2xtl+3(0giJc 4)取最小值一 6,当 2*=16 时,f(x)=4-3 x2加+3(啜 k 4)取最大值 1

32、63.(3)令 r=贝 I y=/+2 f-l 其对称轴为，=一1 ;若 a l,则 f=a w p,a ,当 t=a 时，aKw=/+2。-1 =14 解得。=3 或。=一5(舍去)，若 O v a v l,X G-1,1J,则/=优。2,a当/=时，yinax=()2+2x-1 =1 4,解得4=,或 =(舍去)，综上可得=3 或1=.a a a 3 5 3四平方开方法1.适合采用“平方开方法”的函数特征设是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：(1)/(X)的值总是非负，即对于任意的/(x)NO 恒成立；(2)/(x)具有两个函数

33、加和的形式，即/(x)=/(x)+f2(x)(xe D)；(3)f(x)的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式,即/2(x)=/；(%)+(x)2=c+g(x)(XO,C为常数)，其中，新函数g(X)(X。)的值域比较容易求得.2.“平方开方法”的运算步骤：若函数具备了上述的三个特征，则可以将/(X)先平方、再开方，从而得到/(X)=&+g*)(xcO,c为常数).然后，利用 g(x)的值域便可轻易地求出了(X)的值域.例如 g(X)M，贝!1显然/(X)e&+,Jc+心 .【例11】求下列函数的值域：(1)f (x)=!b-x+yx-a(尤，勿且

34、a)；(2)f (x)=yjh-kx+yjkx-a(工耳，/且a v。,A0)；(3)/(x)=|sin|4-|cosx|(xe/?)；(4)/(x)=|sinx4-cosx|4-|sinx-cosx|(xeR).【解析】(1)首先当/时，/(x)0:其次/*)是函数/(工)二一，与，(x)=的和;最后=1-4 +2j(h-x)(%-4)=6-+2-x2+(4+份%一 ,可见函数/(x)满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是对/(x)平方、开方得：/(a)=Jb a+2d-X1+(a+b)x-ab(x e 6r,/?),这里函数g(x)=2J-d +(a+一 ab(,6 ),对 g

35、(x)根号下面的二次函数采用配方法”，即可求得g(x)的值域为 0,6-于是/的值域为工，J 2s-a).10(2)显然，该题就是(1)的推广，且此题的/(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对f(x)平方、开方得了(幻=yjh-a-h 2yl-k2x2+k(a+b)x-ah(x e 这里，g(x)=2 J-V x2+k(a+b)x-abk k(x e -,-).对g(x)根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得g(x)的值域为 0,3-0,于是f(x)的k k值域也仍为为工,j2 S-a)l.(3)参照(1)的验证步骤，显然，此题的/(x)也满足了采用“平方开方法”

37、 z】、i be,be,(ax+b)+a-a-将线性分式函数转化为反比例型函数的形式求其值域，即 =竺土 =-=-+一生，再结ax+b ax+b a ax+b合X的取值范围确定一心的取值范围，从而确定函数的值域.一般情况下，函数的值域为y R|y 二 .ax+b a分式型函数值域重点强调：1 次与 2 次是相对的，指的是在同类情况下的比较下产生的概念，如M是属于1 次2 型.1.婴型：y=-(”二0,既约分式)型1 次硝 x)+b方法：先求出分母的值域，通过取倒数就可得的值域.见下方【弓 I 例】.2.经齐次分式型：如)+g o,既约分式)型1 次 af(x)+h【弓 I 例】求

38、函数、=一在 2,4 上的值域.X 1【解析】函数y=一的图象是由函数y=的图象向右平移1 个单位得到的，如x-1 X右图所示，由函数y=一的图象可知，函数y=一在 2,4 上单调递减，所以当x-1 x-1x=4 时，ymin=-:当x=2 时，ynm=1:所以所求函数y=一在 2,4 上的值域3x-1为弓，1 1 1那么如何求函数了=上在 2,4 上的值域？X 1采用分离常数法：因为y =匚=狂二吐!=1+!_,函数）=上的渐近线为x=l,分离完常数为反比x-1 x-l x-1 x-1Y 1 1例函数，所以函数丫=一定单调，由引例知函数y =在 2,4 J上的值域为x-

39、x-1 3那么又如何求函数丫=六在-1,+0 0）上的值域?采用分离常数法：因为y=（X _ D+l=+-L,函数y=上的渐近线为x =l,分离完常数为反比X-1 X 1 X 1 x 1例函数，所以函数y 一定单调，故函数y =在-l,+oo）上的值域为（TO-I（1,H X）.x-1 x-1 2【例12 求下列函数的值域：(1)y=(2)y =x-32x3 x-4 2 x +13元一 4(4)y =-7；(5)y-1+J C22 +12r-l(6)y=s in x2-s in x：y=(7)若函数y =T在(a,6 +4)S 1=0 7 2 ,+x2 1 +x2 1 +X22即一

40、1 =1-2,即(l+y)d =l-y ,当y =-l时，0 =2不成立，1+x2则yw-1,则*2=上吆，由V =上2.0得一 1 0,y =2I+2=i +=i +_j_ Ze(0,4 0 0),由图象可.2x-1 2x-2A-1 t-2X+1知，值域为(-oo,-i)i a,+oo)：注：y=为奇函数.2 1法二(有界性法反解法)：y =4 l；得(y i)2，=y+i,当y =l时，0 =2不成立，则y w l,则2，=上望 0,2 1 y 1由 2*=)2 (J 得 y 1 ,即函数的值域是(Y O,-1)(1,+0 0).y-1(6)法一(分离常数法)j,=-S m =

41、-S m2+2=-1+-,J Ls in x e-l,l,2-s in x e l,3,2 s in x s in x -2 2-s in x?7 1-G-,2,得函数f(x)的值域为一一1;2 -s in x 3 3法二(有界性法反解法)：由题意，可得s in x =,所以|且|4 1,即4 y 2 4 y 2+2丫+1=-1 4y,y+1 y+1 3所以原函数的值域是；(7)函数 y =l +2L =i _ 1 ,又 6 2,.2 +20,，函数 y 在(a,6 +4)(b -2)上是减函x +2 x +2 x+2数，y 0),+(l+s in x)2 2-c

42、 os x2-c os x则 1+s in x =2 m-mc os x ,即s in九+mc os x =2 m-l,亦即 J m2+ls in（x +）=2加一 1,得 s in*+p）二誓 L,由1誓 ”1 ,解得OK m工3，J-+1 yjnr+l 3/（=-J=单调递增，所以/（X）的值域为-淄,-孚故选。【评注】本例属于难题 /(%)=2X=1-2 +1 2*+1，所以/*）一：=3晶小)+9|-12 +113当 x 0（同号）为对勾函数；a h 0 时为对勾函数，如图所示,在(-C O,)和+8）上单调递增，值域为（T O,-2 /_ 2 ,+8）.当4 为 0时，转化为

43、对勾函数即可，或将图象关于x 轴对称亦可.A 当必 )；x+2 x+4 x +2 尤 +4 x*-3 x-l 1 0，钝)；x)=第；(9)f(x)=*.1 4(1 0)(2 0 0 9 全国卷I 理 1 6)若军贝I 函数y =t an 2 x t an 3 x 的最大值为一(1 1)(2 0 1 4 江苏,9)已知函数/(x)=e*+e T,其中e 是自然对数的底数.证明：f(x)是 H上的偶函数；若关于x的不等式可1(%),+m-在(0,+o o)上恒成立，求实数m的取值范围;已知正数a 满足：存在飞口,伊)，使得/(与)2.L|-|-|=2,/J/(x)-11 2,即 f(x)4-1

44、或 f(x)23 ,所以函数 f (x)=匚皿的值x x V x x域为(-0 0,-1 3,4-0 0)；_t-2(可)+5(1)+2(2)法一(换元法)：=2x +l e 3,4 0 0),贝 =-,所以 y =-2tr2-2r +l 5 1 r2 3=-_-2=2.2.=+丁 3,+8),因为函数y =+在 3,+8)上单调递增，所以函数/(%)的值域为 3,+0 0)；法二(配凑法)：/(x)=-2-=l(2x +l)+-,因为所以 2 x+l e 3,-),所以2x +l 2 23 3/(x),r t n=5 +5 =3,故函数/(x)的值域为 3,+0 0);

45、【注】法一和法二本质相同.(3)法一：因为f+2 x+30恒成立，所以函数/(x)的定义域为R,令 x+l =f,则x =f-l,g(f)=一一，t+2 当 t =0时，/一 =0；t+2 当 t w O 时，,令机=r +2,则m V-2&或机 2 2 夜，所以一交 4工 4也，且，工0;产+2一 2 f 4 m 4 mt综上，函数y(x)的值域为-也，也 .【注】取倒数 =三土生土2 求解就回归到题(1)亦可.4 4 /(x)x +1法二(判别式法)：因为f+2 x+30恒成立，所以函数/*)的定义域为R,则 y=,+1_等价于x2+2x +315/2+(2,_ 1)

46、工+3,_ =0在/?上有解.当 y =0时，解得x =-l;当丁工0时，则 =(2y-l)2-4 y(3 y l)N 0,解得一W)，工工且 y/0.4 4综上所述，函数f(x)的值域为一注,注.4 4Y 1 4(4 )y =z-=-,当XGl,+o o)时，根据对勾函数的性质可得 x +G4,+O O),X +2 X+4 X+4+2 XX于是x +-+2G6,+O O),故 y e(0,即函数 y =-.-,x el,+o o)的值域为x6x +2x +4 令 x +l =F 2,5 ,则所以泮匕=&二十，根据对勾函数的性质可得,+学,所以/(x)喂,a，即/(x

47、)=；二4,X 6 1,4 的值域为点，争;(6)/(x)=当x N 4 B 寸,x ,单调递增，于是有1_ L 3 之3,故/(x)w(0,3 ,即x x 4 3Yf(x)=-.,XG4,+O O)的值域为x-3 x-l(7)2*+1v =-22A+2r+21当x 0时，2*+1之2,根据对勾函数的性质可得22、+1 +-G3,-H),2r+l2于是有 21+1+-1G2,+O O),2工+1即函数的值域为(8)令 1=4 +*2 2 2,则/=r-4,得 g )=J-=7，因为函数丫=2 1-1 在2,+0 0)2(r -4)+1 2r -7 2/_ Z t上单

48、调递增，所以y e g,+o o),故函数/(x)的值域为(0,2.(9)函数/(x)的定义域为xw(-8,1,令 Jl-x =f N O ,则x =l-产，原函数转化为丁=二？，-1-r 当 r =0时，y=0;当 1N 0 时，y =-);因为，+1 2 2,所以 y =一、,();r+-1 222、+1+-12V+1t t综上，y e -p O ,故函数f(x)的值域为-;,0 .jr jr(10)令 t a n%=7,%,4 2八 3 2 t a n4 x 2t4 2 2 2 c u c/.y=t a n 2x t a n x=-r =-7=-=：-=-8 ,古攵填：-8 .l-t

49、 a n x 1 一厂 1 1 z 1 1x 2 1 1r4 ry-2；-4 416(11).x)=/+e T,:.f(-x)=e-x+e =f(x),即函数：f(x)是 R 上的偶函数;若关于x的不等式时(x),在(0,中 )上恒成立，即皿e*+e-*-l),x 0 ,1 -px-tex+6-一 0 ,即叫，-:-=-4.(0,+o o)上恒成立，i t t=ex f(t 1),则 ,-在。,+o o)ex+e x-1 e-/+i /2-t+1上恒成立,1r-1(r-l)2+a-l)+l-当且仅当，=2时等号成立，.办,.+1 3 3r-1令 g(x)=ex+e

50、 x-(一x3+3x),则 gf(x)=ex-e x+3a(x2-1),当x l,g(x)0,即函数g(x)在1,+o o)上单调递增，故此时g(x)的最小值以l)=e+-2a,e由于存在玉)w L”)，使得/(玉)-(?+-),e 2 ez,一 I z?一 1hx=x-e-)lnx-,则(x)=l-,由(x)=l-=0,解得x =e-l ,X X当O v x v e l时，/(x)6-1时，/(x)0,此时函数单调递增，.h(x)在(0,+0 0)上的最小值为(e-1),注意到1(1)=h(e)=0,?.当 x w(l,e l)(O,e 1)时，/z(e-l)h(x)h()=0 ,当 x w

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