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1、中考总复习：四边形综合复习一巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1 .下列说法中，正确的是（）.A.等腰梯形的对角线互相垂直 B.菱形的对角线相等C.矩形的对角线互相垂直 D.正方形的对角线互相垂直且相等2.如图，在口4 8 c Z）中，花13。于 ,4 =班=&，=。,且。是一元二次方程*2+*-2=0的根，则口A S CD 的周长为（）.A.4+0 B.4+2 0 C.8+2 0 D.2+723 .如 图（1）,把一个长为加、宽为厚的长方形（掰 以）沿虚线剪开，拼接成图（2）,成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）.m5B.m-n（1）4.下列四个命题：
2、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形.其中真命题共有（）.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个5 .（201 5 蓬溪县校级模拟）下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面（镶嵌）的一组是（）A.正三角形和正方形B.正方形和正六边形C.正三角形和正六边形 D.正五边形和正十边形6 .如图，梯 形/版 中，AD/BC,DCVBC,将梯形沿对角线切折叠，点/恰好落在加边上的点/处，若N H BC=15,则/切 的 度 数 为（).A.1 5 B.20二、填空题
3、7.若将4 根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角是 度.8 .矩形内有一点尸到各边的距离分别为1、3、5、7,则该矩形的最大面积为 平方单位.9 .如图，平行四边形AB C D的对角线相交于点0,且 A B H A D,过 0 作 0 EL B D交 B C 于点E.若4 C D E 的周长 为 1 0,则平行四边形AB C D的周长为.1 0.如图，点。（0.0）,项0）是正方形0 8 4。的两个顶点，以它的对角线因为一边作正方 形 因 4 0，以正方形0 4 4 G的 对 角 线 为 一 边 作 正 方 形 0 4 4 G，以正
4、方形0 4 4 G的对角线。4 为一边作正方形OF，依次进行下去，则点片的坐标是.1 1 .如图，若A A B C 的边AB=3,AC=2,I、H、I I I 分别表示以AB、AC、B C 为边的正方形，则图中三个阴影 部 分 面 积 之 和 的 最 大 值 为.1 2.（201 4秋隆化县校级期中）如图，以等腰直角三角形AB C 的斜边AB 为边作等边 AB D,连接DC,以D C 当边作等边4DC E,B、E 在 C、D 的同侧，若 AB=则 B E的长为.三、解答题1 3 .如图，过正方形力版的顶点作3 8/C A，且 作 愈=RC，又CF“AE.1 4.(201 4春武侯区期末)如图，
5、已知平行四边形AB C D,过 A 点作AML B C 于 M,交 B D于 E,过 C点作C N_ L AD 于 N,交 B D 于 F,连接 AF、C E.(1)求证：四边形A E CF 为平行四边形；(2)当 A E CF 为菱形，M点为B C的中点时，求N C B D 的度数.15.(2 0 12 重庆)已知：如图，在菱形A B CD 中，F为边B C 的中点，D F 与对角线A C交于点M,过 M作M E J _ CD 于点 E,Z 1=Z 2.(1)若 C E=L 求 B C的长；(2)求证：A M=D F+M E.DC16（2 0 11营口）已知正方形A B CD,点 P是对角线
6、A C 所在直线上的动点，点 E在 D C边所在直线上，且随着点P的运动而运动，P E=P D 总成立.（1）如 图（1）,当点P 在对角线A C上时，请你通过测量、观察，猜想P E 与 P B 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如 图（2）,当点P 运动到C A 的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如 图（3）,当 点 P运动到C A 的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时P E 与 P B 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）【答案与解析】选择题1.【答案】D.2 .【答案】B.【解析】解方程
7、x?+x-2=0 得:XF-2,x z=LV A E=E B=E C=a,a 是一元二次方程 x2+x-2=0 的一个根,a 二 1,即 A E=B E=CE=1,V A E B C,Z.Z A E B=90 ,.由勾股定理得：A B=4+1 2 =6,.四边形A B CD 是平行四边形，Z.A B=CD=V 2 ,A D=B C=1+1=2,平行四边形A B CD 的周长是2 （2+0）=4+2 血，故选B.3.【答案】A.4.【答案】B.【解析】一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也
8、可以是普通的四边形(例如筝形，如图所示),故该命题错误；因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形,故该命题正确；正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，故选B.5.【答案】B.【解析】A、正三角形的每个内角是60,正方形的每个内角是90,3X60+2X90=360,故能铺满，不合题意；B、正方形和正六边形内角分别为9 0、120,显然不能构成3 6 0 的周角，故不能铺满，符合题意；C、正三角形和正六边形内角分别为6 0、120,2X60+2X120=360,故能铺满，不合题意;D、正五边形和正十边形内角分别
9、为1 0 8、144,2X108+1X144=360。，故能铺满，不合题i*y.屈、.故选：B.6.【答案】D.【解析】.梯形ABCD中，AD/7BC,DC1BC,A ZC=90,V Z A*BC=15,；.NDA B=NA，BC+ZC=150+90=105,由折叠的性质可得：ZA=ZD AZ B=105,ZABD=ZA,BD,/A _ /AVAD/7BC,.*.ZABC=18O0-ZA=75，：,Z AZ BD=-=30.2二.填空题7.【答案】30.8.【答案】64.9.【答案】20.【解析】：四边形ABCD是平行四边形，.OBuOD,AB=CD,AD=BC,V O E B D,，BE=D
10、E,V ACDE 的周长为 1 0,即 CD+DE+EC=10,平行四边形 ABCD 的周长为：AB+BC+CD+AD=2(BC+CD)=2(BE+EC+CD)=2(DE+EC+CD)=2X10=20.故答案为：20.10.【答案】(-&0).11.【答案】9.【解析】把CF H 绕点C 顺时针旋转90 ,使 C F 与 B C重合，H旋转到H 的位置，根据旋转的性质和正方形的性质有A、C、H 在一直线上，且 B C为A B I I 的中线，得至ij SAO产SA-=S 加，同理：SA B D G=SA A I=SZ S A B C 所以 S 阴 影 部 分 面 积 XA B XA CXs i
11、 n N B A C,即当 A B _ L A C 时，2SAMK最大值为：-X 2 X 3=3,即可得到三个阴影部分的面积之和的最大值.212.【答案】1.【解析】：A BC等腰直角三角形AC=B C,A BD是等边三角形B D=AD A D C 空 B D CZ B C D=（36 0 -9 0）+2=135 又：Z C B D=6 0-45=15 Z C D B=18 0-135 -15 =30,Z B D E=6 0-30=30C D=ED,Z C D B=Z B D E,B D=B D B C D 合 B EDB E=C B=V2x s in 45=lB E=1.三.综合题13.【解
12、析】提示：易证菱形AEFC,Z AEB=Z AC F,做 C G_ L AC,B GAC,即得等腰 R t Z C B G,等腰 R t Z X C B G 中 C G =二，故N C FG=302Z AC F=30,Z FC B=15 乙 BCF=、&EB214.【解析】证明 四边形AB C D 是平行四边形（已知）,.B C/7 AD （平行四边形的对边相互平行）；X V A M B C （己知），A AMAD；VC N AD （已知），AMC N,；.AEC F；又由平行得N AD E=/C B D,又 AD=B C （平行四边形的对边相等），在4 A D E 和a C B F 中，ND
13、AE=ZBCF=90 AD=CB,NADE=NFBC.AD E AC B F（AS A）,.,.AE=C F（全等三角形的对应边相等），.四边形AEC F为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）;（2）如图，连接AC 交 B F于点0,当 AEC F为菱形时，则 AC 与 EF互相垂直平分，B 0=0D （平行四边形的对角线相互平分），.AC 与 B D 互相垂直平分，/.AB C D 是 菱 形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形）,.-.AB=B C （菱形的邻边相等）；V M 是 B C 的中点，AM B C （已知），.AB=AC （全等三角形的对应边相等），.,.AB C
14、 为等边三角形，Z AB C=6 0,Z C B D=30.15.【解析】（1）四边形AB C D 是菱形，；.AB C D,.Z 1=Z AC D,VZ 1=Z 2,.Z AC D=Z 2,；.MC=MD,VMEC D,，C D=2C E,VC E=1,；.C D=2,.B C=C D=2；（2）证明：如图，,F为边B C 的中点，.BF=CF=1B C,2；.C F=C E,在菱形AB C D 中,AC 平分N B C D,，Z AC B=Z AC D,在a C E M 和C FM中，C E=C F,C M=C M.,.C EM AC FM（S AS）,.ME=MF,延长AB 交 D F于
15、点G,VAB C D,.Z G=Z 2,VZ 1=Z 2,.-.Z 1=Z G,.AM=MG,在a C D F 和a B G F 中，/G=N 2；Z B FG=Z C FD （对顶角相等）,B F=C F.,.C D F AB GF（AAS）,；.GF=D F,由图形可知，GM=GF+MF,.AM=D F+ME.16.【解析】（1）解：P E=P B,P EL P B.（2）解：（1）中的结论成立.四边形AB C D 是正方形，AC 为对角线,；.C D=C B,Z AC D=Z AC B,又 P C=P C,.,.P D C AP B C,；.P D=P B,VP E=P D,；.P E=
16、P B,：由，得a P D C 丝P B C,AZ P D C-Z P B C.（7 分）又；PE=PD，NPDE二NPED.A ZPDE+ZPDC=ZPEC+ZPBC=180,A ZEPB=360-(ZPEC+ZPBC+ZDCB)=90,APEPB.(3)解：如图所示：结论：PE守B,PEJ_PB.中考总复习：四边形综合复习一巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图，在A/的中，4 3 =4（7=4，P是3 C上异于3、C的一点，则尸 8 尸。的值是（）.A.16 B.20 C.25 D.302.如 图 1,在矩形M W P。中，动点火从点改出发，沿 曾 f M方向运动至点M处停止.设
17、点 R运动的路程为x,助 尿 的面积为了，如果尸关于x的函数图象如图2 所示，则当x =9时，点火应运 动 到（）.4 N 处 B.P处 C.。处 D.M处3.（2012孝感）如图，在菱形AB C D 中，Z A=6 0,E、F 分别是AB,AD 的中点，D E、B F相交于点G,连接B D,C G.有下列结论：/B GD=120；B G+D G=C G；B D F/z C GB；S 砸其中正确的4结 论 有（）.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三
18、部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下去，最后得到了 3 4 个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）.A.2004 B.2005 C.2006 D.20075 .如图所示，已知菱形以比，点 C 在 x 轴上，直线尸x 经过点儿菱形以外的面积是O.若反比例函数的图象经过点8,则此反比例函数表达式为（）.A.y=一XB.y立C.厂正1X2x6.（2015河南一模）如图，正方形ABCD的边长为1,将长为1的线段QR的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，按 A fB fC D fA 的方向滑动到A停止，同时点R从点B出发，按B-C-D-A
19、-B 的方向滑动到B停止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形面积为C.n4二、填空题7.如图，将两张长为8,宽为2 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8,那么菱形周长的最大值是第 7题第 8 题8.如图，在等腰梯 形 必 D 中，AD/BC,B C=4AD=4-j2,/B=45.直角三角板含45角的顶点在 边 上 移 动，一直角边始终经过点工，斜边与8交于点 尸.若 为 等 腰 三 角形，则C尸的长等于.9.（2012锦州）如图，正方形ABBzC”A2B2B3C2,A3B3BG,，A B B+1C,按如图所示放置，使点儿、A2.
20、小、A、A”在射线OA上，点 Q、B2、B3、B.B”在射线0B上.若 NA0B=45,OBFI,图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作Si,S2,S3,，S,则 S产 -1 0.(2 0 1 2 深圳)如图，R tZ S AB C 中，Z C=9 0 ,以斜边AB 为边向外作正方形AB DE,且正方形对角线交于点0,连接0 C,已知AC=5,0 C=6 加,则另一直角边B C 的长为.H.(2 0 1 2 天津)如图，已知正方形AB C D的边长为1,以顶点A、B为圆心，1 为半径的两弧交于点E,以顶点C、D 为圆心，1 为半径的两弧交于点F,则 E F 的长为.1 2 .(2 0 1 5
21、武汉模拟)如图，直角梯形AB C D中，Z A=9 0 ,Z B=1 2 0 ,AD=,AB=6.在底边AB 上取点 E,在射线DC 上取点F,使得NDE F=1 2 0 .若射线E F 经过点C,则 A E 的长是.三、解答题1 3 .如图，在边长为4 c m的正方形AB C D中，点 E,F,G,H 分别按A今B,B O C,C=D,D 3A 的方向同时出发，以 lc m/s的速度匀速运动.在运动过程中，设四边形E F GH的面积为S (c m?),运动时间为t(s).(1)试证明四边形E F GH是正方形；(2)写出S关于t 的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小，最小值是多少？(3)
22、是否存在某一时刻t,使四边形E F GH的面积与正方形AB C D的面积比是5：8?若存在，求 出 t的值；若不存在，请说明理由.1 4.如图，在矩形AB C D中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x,现将纸片还原，使点D与P重合，得折痕E F (点E、F为折痕与矩形边的交点，再将纸片还原。(1)当x=0时，折痕E F的长为；当点与E与A重合时，折痕E F的长为；(2)请求出使四边形E P F D为菱形的x的取值范围，并求出x=2时菱形的边长：(3)令E F?为y,当点E在AD,点F在B C上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断E AP与4 P B F是否相似；若
23、相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。1 5.(2 0 1 4春青山区期中)如图，在平行四边形A B C D中，AB=6,N B A D的平分线与B C的延长线交于点E、与D C交于点F,且点F为边D C的中点，N A D C的平分线交A B于点M,交A E于点N,连接DE(1)求证：B C=C E；(2)若D M=2,求D E的长.1 6 .已知 A B C,以/C为边在A A B C外作等腰/X AC D,其中A(=AR(1)如 图1,若ND4 c=2 NAB C,AC=BC,四 边 形 是 平 行 四 边 形，则(2)如图2,若N4 B C =3 0。，AC。是等边三角形，力庐3,叱4
24、.求劭的长；(3)如图 3,若 NAB C 为锐角，作 于，B D2=4 A H2+B C2,Z Z M C =2 Z AB C是否成立？若不成立，说明你的理由，若成立，并证明你的结论.D【答案与解析】一.选择题1 .【答案】A.2 .【答案】C.3 .【答案】C.【解析】由菱形的性质可得a A BD、B D C 是等边三角形，Z D G B=Z G BE+Z G E B=3 0 +9 0 =1 2 0 ,故正确；.N D C G=/BC G=3(r,D E _ L A B,二可得D G=C G (3 0 角所对直角边等于斜边一半)、BG=l c G,故2 2可得出BG+D G=C G,即也正
25、确；首先可得对应边B G W F D,因为BG=D G,D G F D,故可得A B D E 不全等 C G B,即错误；S 血=ABDE=2AB(BE)=A B近 A B=B?,即正确.综上可得正确，共 3个.2 2 2 2 44.【答案】B.根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加3 60 .于是，剪过k次后，可得(k+1)个多边形，这些多边形的内角和为(k +l)X 3 60 .因为这(k+1)个多边形中有3 4个六十二边形，它们的内角和为3 4X(62-2)X 1 8 0 =3 4X 60 X 1 8 0 ,其余多边形有(k +1)3 4=k 3
26、 3(个)，而这些多边形的内角和不少于(k-3 3)X 1 8 0 .所以(k+l)X 3 60 3 4X 60 X 1 8 0 +(k-3 3)X 1 8 0 ,解得 k 2 0 0 5.当我们按如下方式剪2 0 0 5刀时，可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1 个三角形，得 到 1个三角形和1 个五边形：再在五边形上剪下1 个三角形，得到2个三角形和1 个六边形如此下去，剪了 58 刀后，得到58 个三角形和1 个六十二边形.再取3 3 个三角形，在每个三角形上剪一刀,又可得到3 3 个三角形和3 3 个四边形，对这3 3 个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58 刀，便3 4个六十
27、二边形和3 3 X 5 8 个三角形.于是共剪了 58+3 3+3 3 X 58=2 0 0 5(刀).5.【答案】C.【解析】提示：可得A(l,l),B(l+V 2,l).6.【答案】D【解析】根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为0.5,点 M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以 0.5为半径的四个扇形，.点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形A BC D 的面积减去4 个扇形的面积.2.正方形A BC D 的面积为1 X 1=1,4 个扇形的面积为4 x9.0一 5;三.点M所经过的路线围成的图形的面积为1 -三二44-兀故选：D.二.填空题7 .【答案】1 7.【解析】提示：当两
28、张矩形纸条的对角线重合时，矩形纸条的一条对角线也是菱形的对角线，菱形的对角线有最大值，那么菱形的边长也有最大值。菱形的边长就成为不重叠的两个全等直角三角形的斜边，此时重叠部分的菱形有最大值.设菱形边长为x,根据勾股定理，x2=22+(8-x)2,解得：X=4.2 5,所以，周长为4X 4.2 5=1 7.8 .【答案】-.2.472-3.29 .【答案】2 2 n B.【解析】根据正方形性质和等腰直角三角形性质得出OB!=A 1 B1=1,求 出 A C=A 2 G=1,A2c 2=A 3 c 2=2,A 3=A C=4,根据三角形的面积公式求出 SI=L X 2 X 2,S2=-X 2IX
29、2,S3=-X 22X 22,推出 S.=L X2n1X 2 1,求出即可.1 0 .【答案】7.【解析】如图2所示,C N B图2过点。作 O M L C A,交 C A 的延长线于点M；过点。作 O N L BC 于点N.易证OM A g/ON B,A OM=ON,M A=N B.AO 点在N A C B 的平分线上，.0 C M 为等腰直角三角形.：0 C=6 我，.C M=6.M A=C M-A C=6-5=1,；.BC=C N+N B=6+1=7.1 1 .【答案】V 3-1-【解析】解：连接A E,BE,D F,C F.：以顶点A、B 为圆心，1 为半径的两弧交于点E,A B=1,
30、，A B=A E=BE,.A E B是等边三角形，.边A B上的高线为：近，2同理：C D 边上的高线为：爽，2延长E F 交 A B于 N,并反向延长E F 交 D C 于则E、F、M,N共线,V A E=BE,.点E在 A B 的垂直平分线上，同理：点 F 在 D C 的垂直平分线上，:四边形 A BC D 是正方形，A BD C,.M N 1 A B,M N D C,设 F到 A B到距离为x,E到 D C 的距离为x ,E F=y,由题意可知:x=x,则 x+y+x=LV x+y=2 i S,.-.x=l -近，A E F=1-2 x=-1.2 212.【答案】2 或 5._【解析】过
31、点B 作 BH_ L D C,延长A B至点M,过点C作 C M J _ A B于 M,则 BH=A D=M F=V Z A BC=120 ,A BC D,A Z BC H=60 ,Z.C H=BM=_=1,tan600设 A E=x,则 BE=6-x,在 R t A E F M 中 E F=(EB+B H)2+MF2=7(7-X)2+3,V A B/7C D,/.Z E F D=Z BE C,V Z D E F=Z B=120 ,/.E D F A BC E,即E D F s BF E,.DF EF,而 辛；.E F 2=D F BE,即(7-x)2+3=7(6-x),解得x=2或 5.13
32、 .【解析】（1）.点E,F,G,H 在四条边上的运动速度相同，.A E=BF=C G=D H,在正方形 A BC D 中，Z A=Z B=Z C=Z D=90 ,且 A B=BC=C D=D A,；.E B=F C=GD=HA,，A E H A BF E A C GF A D HG（S A S）,.E H=F E=GF=HG（全等三角形的对应边相等），Z A E I 1=Z BF E （全等三角形的对应角相等），.四边形E F GH是菱形.（四条边相等的四边形是菱形），又；N BE F+N BF E=90 ,.,.Z BE F+Z A E H=90 ,/.Z F E H=180 -（Z BE
33、 F+Z A E H）=90 ,.四边形E F C H为正方形.（有一个角是直角的菱形是正方形）.G(2).运动时间为t (s),运动速度为l c m/s,.A E=t c m,A H=(4-t)c m,由(1)知四边形E F GH为正方形，.S=E H2=A E2+A H2=t2+(4-t)2即 S=2t2-8t+16=2(t-2)2+8,当 t=2秒时，S有最小值，最小值是8c mM(3)存在某一时刻t,使四边形E F GH的面积与正方形A BC D 的面积比是5：8.V S=-S 正 方 彩 M I 8，8.*.2(t-2)+8=X 16 t i=l,t 2=3；8当 t=l 或 3时，
34、四边形E F GH的面积与正方形A BC D 的面积的比是5：8.14.【解析】(1).纸片折叠，使点D与点P 重合，得折痕E F,当 A P=x=O 时，点 D与点P重合，即为A,D重合，B,C重合,当点E与点A重合时，:点 D与点P重合是已知条件，.,.Z D E F=Z F E P=45 ,.Z D F E=45,即：E D=D F=1,利用勾股定理得出E F=折痕E F 的 长 为；(2)要使四边形E P F D 为菱形，；.D E=E P=F P=D F,只有点E与点A重合时，E F 最 长 为 夜，此时x=l,当 E F 最短时，即 E F=BC,此时x=3,探索出1WXW3当 x
35、=2时，如图，连接D E、P F.O E F 是折痕,，D E=P E,设 P E=m,则 A E=2-m;在 4A D E 中，Z D A E=90 ,.A D2+A E2=D E2,即 12+(2-m)=m2解得m=2,此时菱形E P F D 的边长为之.4 4(3)过 E 作 E HJ _ BC；V Z 0 E D+Z D 0 E=90 ,Z F E 0+Z E 0 D=90 ,.,.Z O D E=Z F E O,.,.E F I I A D P A,.FH AP -=-,EH ADF H=3 x；那么 E F=A B=C D=3；A PR/.y=E F2=E H2+F H2=9+9x
36、2；当 F与点C重合时，如图，连接P F；P F=D F=3,.P B=732-12=272,.，.0 W x W 3-2血.15【解析】(1)证明：四边形A B C D 是平行四边形,A D=BC,ADII BC,Z D A F=Z F E C,Z A D F=Z E C F,.点F为边DC的中点，D F=C F,在4 A D F 和4 E C F 中，ZDAF=ZFECBC=C E.(2)解：如图，连接F M,A A/R,D M 平分 N A D F,A F 平分 N D A B,A B II D C,A D II BC,Z D A F=N BA F=D F N,Z A D M=N F D
37、 M=N A M D,A D=D F=A M,四边形AMFD是菱形，A F D M,DN=MN=1DM=1,2又.；D F=F C,D C=A B=6,A M=3,AN=7AM2-MN2=2,A F=2 A N=4 M，A F=E F,N E=A E -A N=6 ,DE=VNE2+DN2=-1 6.【解析】(1)45；(2)如 图2,以1为 顶 点 加 为 边 在 人 钻。外作NS4E=60,并 在/上 取/1氏/氏 连结/和CE/AC。是等边三角形，庐AC,ND4c=60 .V ZBAE=&0,:.ZDAC+ZBAC=ZBAE+ZBAC.即 ZEACZBAD.：.A E 4cg AfiAZ
38、).EC=BD.V ZB4E=60,止A B 3 八48是等边三角形，ZEB4=60,EB-3,ZASC=3O,二 ZBC=90.V ZBC=90,EB-3,除4,：.EC=5,：.BD=5.(3)NDAC=2NABC成立.以下证明：图2如 图3,这点、B悴B E A H,并 在 座 上 取 法2月 ，连 结4,E C.并取储的中点片，连 结4爪 :AH 1 B C 于 H,ZAWC=90.BE/AH,：.ZEBC=9O.V ZEBC=90,B卬2AH,:.EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2.:BD2=4AH2+BC2,：.EOBD.4为 鹿 的 中 点，B及2AH,：.BK=AH,：B
39、K AH,四边形4砌/为平行四边形.又丁 NEBC=90。,四边形力曲/为矩形.ZAKB=90.44是 座 的垂直平分线.：.AB=AE.:AB=AE,EOBD,A(=ADf：.A A Z a4D,图3:.ZEAC=ZBAD.:.EAC-ZEAD =ZBAD-EAD.即 NAB=NZMCV ZEBC=90,NABC 为锐角，ZABC=90-ZBA./庐仍:.ZEBA=ZBEA.：.ZE4B=180-2ZEB4.:.ZEAB=2ZABC.：.ND4C=2 ZABC.中考总复习：四边形综合复习一知识讲解(基础)责编：常春芳【考纲要求】1.探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.2
40、.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.3 .探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件.5.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.6.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.【知识网络】【考点梳理】考点一、四边形的相关概念1 .多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2 .多边形的性质：(1
41、)多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于(n-2)1 8 0 ；(2)推论：多边形的外角和是3 6 0。；(3)对角线条数公式：n 边形的对角线有 皿 二 2 条；2(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3 .四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.4 .四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是3 6 0 ；(2)推论：四边形的外角和是3 6 0 .考点二、特殊的四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质四个内角为9 0 对角线相等正方形T对角线互相耳芬1 I 四条边相等|T对 边 相 等 IT对角相等平形一-I 对角
42、线互相重亘T对角线平分各内角2.平行四边形及特殊的平行四边形的判定【要点诠释】面积公式：S 菱 形=a b=c h(a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长，h 为 c 边上的高).2S平行四边形=a h(a 为平行四边形的边，h 为 a上 的 高).考点三、梯形1 .梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2 .直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3 .等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4 .等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(
43、2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.5 .等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义);(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6 .梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式：S=-(a+b)h(a,b 是梯形的上、下底，h 是梯形的高).2考点四、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙,不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2 .平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多
44、边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n 种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：n 个正多边形中的一个内角的和的倍数是3 6 0。；n 个正多边形的边长相等，或其中一个或n 个正多边形的边长是另一个或n 个正多边形的边长的整数倍.【典型例题】类型一、多边形及其镶嵌f l.一个同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1 1 2 5 ,当发现错了之后，重新检查，发现少了一个内角.少了的这个内角是 度，他求的是 边形的内角和.【思路点拨】一个多边形的内角和能被1 8 0 0 整除，本题内角和1 1 2 5 除 以 1 8 0 后有余数，则少的内角应
45、和这个余数互补.【答案】1 3 5；九.【解析】设这个多边形边数为n,少算的内角度数为X,由题意得：(n-2)-1 8 0 0 =1 1 2 5。+x 0 ,/.nJ-：,曾 为整数，0 x 1 8 0 ,.符合条件的x只有1 3 5 ,解得n=9.180【总结升华】多边形根据内角或外角求边数，或是根据边数求内角或对角线条数等题是重点，只需要记住各公式或之间的联系，并准确计算.举一反三：【变式】(2 0 1 5 眉山)一个多边形的外角和是内角和的2,这个多边形的边数为()5A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C.【解析】一个多边形的外角和是内角和的2,且外角和为3 6 0。，5.这个多边形的
46、内角和为9 0 0 ,即(n-2)1 8 0 =9 0 0 ,解得：n=7,则这个多边形的边数是7,故选C.C 2.(2 0 1 5 蓬溪县校级模拟)下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面(镶嵌)的一组是()A.正三角形和正方形B.正方形和正六边形C.正三角形和正六边形 D.正五边形和正十边形【思路点拨】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为3 6 0 .若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满.【答案】B.【解析】A、正三角形的每个内角是6 0 ,正方形的每个内角是9 0 ,3 X 6 0 0 +2 X 9 0 =3 6 0 ,故能铺满，不合题意；B、正方
47、形和正六边形内角分别为9 0、1 2 0 ,显然不能构成3 6 0 的周角，故不能铺满，符合题意；C、正三角形和正六边形内角分别为6 0、1 2 0 ,2 X 6 0 +2 X 1 2 0 =3 6 0。，故能铺满，不合题意；D、正五边形和正十边形内角分别为1 0 8、1 4 4 ,2 X 1 0 8 0 +1 X 1 4 4 =3 6 0 ,故能铺满，不合题意.故选：B.【总结升华】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.类型二、特殊的四边形【高清课堂：四 边 形 综 合 复 习 例 1】3.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中
48、点，AF 与 DE 相交于点G,CE 与 BF 相交于点H.(1)判断四边形E H F G 的形状；(2)在什么情况下，四边形E H F G 为菱形？【思路点拨】(1)通过证明两组对边分别平行，可得四边形E H F G 是平行四边形；(2)当平行四边形ABCD是矩形时，通过证明有一组邻边相等，可得平行四边形E H F G 是菱形；【答案与解析】(1).四边形ABCD是平行四边形，AE CF,AB=CD,；E是 A B 中 点,F是 C D 中点，AE=CF,四边形AE CF 是平行四边形，.,.AF/7 CE.同理可得DE BF,二四边形F G E H 是平行四边形；(2)当平行四边形ABCD
49、是矩形时，平行四边形E H F G 是菱形.四边形ABCD是矩形/.Z ABC=Z DCB=9 0 ,E 是 A B 中点，F是 C D 中点，.*.BE=CF,在E BC与4 F C B 中，BE=CF：ZABC=ZDCB,BC=BC/.E BC AF CB,，CE=BF,Z E CB=Z F BC,BH=CH,E H=F H,平行四边形E H F G 是菱形.【总结升华】本题属于综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定和正方形的判定，注意找准条件，有一定的难度.举一反三：【变式】已知：如图所示，四边形ABCD中，Z C=9 0 ,Z ABD=Z CBD,AB=CB,P 是 B D
50、上一点，PEBC,P F 1 C D,垂足分别为E、F,求证：PA=E F.FC【答案】连结P C.因为PE J _ BC,PF DC,AFC所以/PE C=/PF C=N E CF=9 0 ,所以四边形PE CF 是矩形，所以PC=E F.在a ABP 和 ACBP 中，AB=CB,Z ABP=Z CBP,BP=BP,所以a ABP之Z CBP,所以 AP=CP.所以AP=E F.Wr 4.（2 0 1 2 威海）（1）如图，QV BCD的对角线AC,B D 交于点0,直线E F 过 点 0,分别交AD,BC于点E,F.求 证:AE=CF.（2）如图，将。ABCD（纸片）沿过对角线交点0的直