2022年高考全国乙卷数学（理）真题试卷(含详解).pdf

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1、绝 密 启 用 前 2022年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学(理 科)注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 和 座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上.2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 它 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 上 无 效.3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交

2、回.一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.设 全 集 0=123,4,5,集 合 M 满 足 电 M=L 3,则()A.2 G M B.C.D.5 e M2.已 知 z=l-2i,且 z+a2+/?=0,其 中 m 为 实 数，贝 U()A.a=l,b=-2 B.a=-l,b=2 C,a=l,b=2 D,a=-l,b=-23.已 知 向 量 满 足|=1,|加=6,|21=3,则()A.-2 B.-1 C.1 D.24.嫦 娥 二 号 卫 星 在 完 成 探 月

3、任 务 后，继 续 进 行 深 空 探 测，成 为 我 国 第 一 颗 环 绕 太 阳 飞 行 的 人 造 行 星，为 研 究 嫦 娥 二 号 绕 日 周 期 与 地 球 绕 日 周 期 的 比 值，用 到 数 列 也“：4=1+2，.=丁+,a1 a24=1 j,+-p，依 此 类 推，其 中%wN*(A:=l,2.).则()%H-A.b、b$B.b3 bs C.b6 b2 D.b4/?75.设 F 为 抛 物 线 C：V=4 x 的 焦 点，点 A 在 C 上，点 8(3,0),AF=BF,则 阈=()A.2 B.2A/2 C.3 D.3726.执 行 下 边 程 序 框 图，输 出 的=

4、（A.3 B.4 C.5 D.67.在 正 方 体 A B C O-A 旦 G R 中，E,F 分 别 为 AB,3C 中 点，则（）A.平 面 耳 平 面 8 0。B.平 面 平 面 4 8。C.平 面 4 E F/平 面 A A C D.平 面 g E F/平 面 A C 08.已 知 等 比 数 列%,的 前 3项 和 为 168,%-%=4 2,则 4=（）A.14 B.12 C.6 D.39.已 知 球。的 半 径 为 1,四 棱 锥 的 顶 点 为 0,底 面 的 四 个 顶 点 均 在 球。的 球 面 上，则 当 该 四 棱 锥 的 体 积 最 大 时，其 高 为（）A.-B.|

5、C.D.32 3 210.某 棋 手 与 甲、乙、丙 三 位 棋 手 各 比 赛 一 盘，各 盘 比 赛 结 果 相 互 独 立.已 知 该 棋 手 与 甲、乙、丙 比 赛 获 胜 的 概 率 分 别 为 巧，2，3,且 P 3 P 2 P l 0.记 该 棋 手 连 胜 两 盘 的 概 率 为 P，则（）A.p与 该 棋 手 和 甲、乙、丙 的 比 赛 次 序 无 关 B.该 棋 手 在 第 二 盘 与 甲 比 赛，0 最 大 C.该 棋 手 在 第 二 盘 与 乙 比 赛，P 最 大 D.该 棋 手 在 第 二 盘 与 丙 比 赛，P 最 大 11.双 曲 线 C 的 两 个 焦 点 为，

6、居，以 C 的 实 轴 为 直 径 的 圆 记 为。，过 匕 作。的 切 线 与 C 交 于 M,N 两 点，且 C O SN N K=3,则 C 的 离 心 率 为（）A.叱 B.L C.叵 D.叵 5 2 2 2 212.已 知 函 数/(x),g(x)的 定 义 域 均 为 R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若 y=g(x)的 图 22像 关 于 直 线 x=2对 称，g=4,则 Z/(%)=()k=A.-21 B.-22 c.-23 D.-24二、填 空 题：本 题 共 4小 题，每 小 题 5分，共 20分.13.从 甲、乙 等 5 名 同 学 中 随 机

7、 选 3名 参 加 社 区 服 务 工 作，则 甲、乙 都 入 选 的 概 率 为.14.过 四 点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中 的 三 点 的 一 个 圆 的 方 程 为.15.记 函 数/(x)=cos(&x+0)(0O,O 0 且。1)的 极 小 值 点 和 极 大 值 点.若 xtx2,则 a 的 取 值 范 围 是.三、解 答 题：共 0分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 1721题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答.(-)必 考

8、 题：共 60分.17.记.ABC 的 内 角 A 8,C 的 对 边 分 别 为 a,d c,已 知 sinCsin(A-B)=sin5sin(C-A).(1)证 明：2a2=b2+c2i25(2)若 a=5,cos A,求 ABC 的 周 长.3118.如 图，四 面 体 A 3 C D 中，A D 1 CD,A D=CD,ZADB=Z B D C,E 为 A C 的 中 点.(1)证 明：平 面 8ED_L平 面 4 C Q；(2)设 AB=3。=2,NACB=60,点 F 在 R D 上，当 AEC的 面 积 最 小 时，求 与 平 面 曲 所 成 的 角 的 正 弦 值.19.某 地

9、 经 过 多 年 的 环 境 治 理，已 将 荒 山 改 造 成 了 绿 水 青 山.为 估 计 一 林 区 某 种 树 木 的 总 材 积 量，随 机 选取 了 10棵 这 种 树 木，测 量 每 棵 树 的 根 部 横 截 面 积（单 位：n?）和 材 积 量（单 位：n?），得 到 如 下 数 据:样 本 号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1()总 和 根 部 横 截 面 积 玉 0.04 0.06 0.040 080.08 0.05 0.05 0.07 0.070 06 06材 积 量 为 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.4

10、2 0.40 3.910 10 10并 计 算 得：=0。38,Z 弁=L6158,%xj=0.2474.i=l i=l i=l（1）估 计 该 林 区 这 种 树 木 平 均 一 棵 的 根 部 横 截 面 积 与 平 均 一 棵 的 材 积 量；（2）求 该 林 区 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积 与 材 积 量 的 样 本 相 关 系 数（精 确 到 0.01）；（3）现 测 量 了 该 林 区 所 有 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积，并 得 到 所 有 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积 总 和 为 186m2.已 知 树 木 的 材 积 量 与 其 根

11、 部 横 截 面 积 近 似 成 正 比.利 用 以 上 数 据 给 出 该 林 区 这 种 树 木 的 总 材 积 量 的 估 计 值.一 团（乂 一 歹）_附：相 关 系 数 二 下 皇-：-V1.896 1.377.应 玉-君 吃（X-y fV i=l i=l20.已 知 椭 圆 E 的 中 心 为 坐 标 原 点，对 称 轴 为 x轴、y轴，且 过 两 点.（1）求 E 的 方 程；（2）设 过 点 尸（1,-2）的 直 线 交 E 于，N 两 点，过 例 且 平 行 于 x轴 的 直 线 与 线 段 AB交 于 点 T,点”满 足 而 二 京.证 明：直 线 N 过 定 点 21.已

12、 知 函 数/（%）=山（1+0+公 上 一”（1）当 a=l时，求 曲 线 y=/（x）在 点（0,/（0）处 的 切 线 方 程；（2）若/（x）在 区 间（一 1,0）,（0,+8）各 恰 有 一 个 零 点，求.的 取 值 范 围.（二）选 考 题，共 10分.请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答.如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程)Y-COS 2t,，(，为 参 数)，以 坐 标 原 点 为 极 点，X轴 正 y-2sin/半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，已 知 直 线/的 极 坐

13、 标 方 程 为 夕 sin(6+()+加=0.(1)写 出/的 直 角 坐 标 方 程；(2)若/与 C 有 公 共 点，求 m 的 取 值 范 围.选 修 4-5：不 等 式 选 讲 3 3 323.已 知 m 4 c都 是 正 数，且/+病+/=1，证 明：(1)abc；9a b(2)-+-+-b+c a+c a1+b 2labc绝 密 启 用 前 2022年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学(理 科)注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 和 座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上.2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小

14、 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 它 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 上 无 效.3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.设 全 集=123,4,5,集 合 M满 足 用 M=1，3,则()A.2 G M B.

15、C.D.5史【答 案】A【解 析】【分 析】先 写 出 集 合 M,然 后 逐 项 验 证 即 可【详 解】由 题 知=2,4,5,对 比 选 项 知，A 正 确,B C D 错 误 故 选:A2.已 知 z=l-2i,且 z+应+。=0,其 中 为 实 数，则()A.a=l,b=-2 B.a=-l,b=2 C.a=l,b=2 D,a=-l,b=-2【答 案】A【解 析】【分 析】先 算 出 二 再 代 入 计 算，实 部 与 虚 部 都 为 零 解 方 程 组 即 可【详 解】亍=1+2iz+az+b=I 2i+(1+2i)+/?=(1+Q+Z?)+(2a 2)i 由 z+C T L+/?=

16、0,得 1+02。-2 二 0即 叫 故 选:A3.已 知 向 量 满 足|=1,|=百,|一 21|=3,则 7 5=()A.-2【答 案】CB.-1 C.1 D.2【解 析】【分 析】根 据 给 定 模 长，利 用 向 量 的 数 量 积 运 算 求 解 即 可.【详 解】解：.他 一 2石|2=|初 2一 4万.5+4瓦，又=1,|=a-2|=3,9=1一 4无 5+4x3=13 4万 4，a-b-I故 选：C.4.嫦 娥 二 号 卫 星 在 完 成 探 月 任 务 后，继 续 进 行 深 空 探 测，成 为 我 国 第 一 颗 环 绕 太 阳 飞 行 的 人 造 行 星，为 研 究 嫦

17、 娥 二 号 绕 日 周 期 与 地 球 绕 日 周 期 的 比 值，用 到 数 列 a：4=1+或，2=+丁+，1 a2a=1+-,+-，依 此 类 推，其 中&eN*(4=1,2,).则()a?H-3A./?!b5 B.&4 c.b6b2 D.4-所 以 囚-,(X x H-H-a 1同 理%“工 1，可 得 乙 又 因 为%+1%+一%1 1%+-%+-1 a,H a2-；-,-%+工 4故 仇 2,以 此 类 推，可 得 仇 4 佐 白，U 瓦,故 A 错 误;瓦,故 B 错 误；1 112 2+-，得 仿 4，故 C 错 误；%+-61 1!+-j!+-一%+-a2+-，得&白，故

18、D 正 确.a3+a6+a4%方 法 二：(特 值 法)不 妨 设 4=1,则 匚 3 匚 5 u 8 1 3 21 u 3 4 八 551=2 M=彳,b3=-,b4=-,b5=,b6=,b7=,b8=,b4 为 故 D 正 确.5.设 尸 为 抛 物 线 C:y 2=4 x 的 焦 点，点 A 在 C 上，点 8(3,0),若|凹|=忸 耳，则|A=()A.2 B.272 C.3 D.3亚【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 抛 物 线 上 的 点 到 焦 点 和 准 线 的 距 离 相 等，从 而 求 得 点 A 的 横 坐 标，进 而 求 得 点 A 坐 标，即 可 得 到 答 案.

19、【详 解】由 题 意 得，网 1,0),则|A目=忸 同=2,即 点 A 到 准 线 x=l的 距 离 为 2,所 以 点 A 的 横 坐 标 为 1+2=1,不 妨 设 点 A 在 x 轴 上 方，代 入 得，A(l,2),所 以|A5|=J(3-炉+(0 2)2=2 立.故 选:B6.执 行 下 边 的 程 序 框 图，输 出 的=()【答 案】BB.4 C.5 D.6【解 析】【分 析】根 据 框 图 循 环 计 算 即 可.【详 解】执 行 第 一 次 循 环，Z?=b+2a=l+2=3,a=h-a=3-=2,n=n+=2,执 行 第 二 次 循 环，）=。+2。=3+4=7,a=h

20、a=7 2=5,n=n+=3,修 2=0.0125执 行 第 三 次 循 环，人=Z?+2a=7+10=17,h2 172 1a=b a=17 5=12,=+1=4,-2；2-0.01,止 匕 时 输 出=4.a-122 144故 选：B7.在 正 方 体 ABCC-AgGR 中，E,F 分 别 为 的 中 点，则()A.平 面 耳 后 尸，平 面 80。B.平 面 4 E E L 平 面 48。C.平 面 用 EF/平 面 A AC D.平 面 平 面 AG。【答 案】A【解 析】【分 析】证 明 所，平 面 8。，即 可 判 断 A；如 图，以 点。为 原 点，建 立 空 间 直 角 坐

21、标 系，设 A B=2,分 别 求 出 平 面 与 E f,AtBD,A C Q的 法 向 量，根 据 法 向 量 的 位 置 关 系，即 可 判 断 BCD.【详 解】解：在 正 方 体 A B C C-A 4G Q中，A C 1 8。且 DD 平 面 A B C D，又 u 平 面 A B C D,所 以 E F J.D R,因 为 鼠 尸 分 别 为 A 3,3。的 中 点，所 以 E R|A C,所 以 E F L B D，又 B o n 皿=。，所 以 EE_L平 面,又 E R u平 面 片 瑁 所 以 平 面 片 EF_L平 面 B。，故 A正 确；选 项 BCD解 法 一：如

22、图，以 点。为 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 AB=2，则 4（2,2,2）,矶 2,1,0）,下。,2,0）,3（2,2,0）,A（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,C,(O,2,2),则 彷=(-1,1,0),函=(0,1,2),丽=(2,2,0)，M=(2,0,2),M=(0,0,2),AC=(-2,2,0),=(-2,2,0),设 平 面 与 E R的 法 向 量 为 质=（%,y,z j,则 有，m-E F-x,+x=0m-EB1-%+2Z=0可 取 证=（2,2,T）,同 理 可 得 平 面 A B D的 法 向 量 为 1=（1,一 1,一 1）

23、,平 面 4 A C 的 法 向 量 为 后=（1,1,0）,平 面 4 G。的 法 向 量 为 第=（1,1,一 1）,则 加/=2 2+1=1。0,所 以 平 面 与 E F 与 平 面 A/。不 垂 直，故 B 错 误;LH因 为 tn与 n2不 平 行，所 以 平 面 g E F 与 平 面 A,A C 不 平 行，故 C错 误;因 为 说 与 成 不 平 行，所 以 平 面 用 尸 与 平 面 4 G。不 平 行，故 D 错 误,解：对 于 选 项 B,如 图 所 示，设 4 5 n 4 E=M,EFCBD=N,则 M N 为 平 面 用 后 尸 与 平 面 A f。的 交 线，在

24、B M N 内，作 于 点 P,在 AE M N内，作 G P L M N,交 E N 于 点 G,连 结 8 G,则 Z B P G或 其 补 角 为 平 面 B.EF与 平 面 AtB D 所 成 二 面 角 的 平 面 角，由 勾 股 定 理 可 知:EBP B2+P N2=B N2，P G2+P N2=G N2，底 面 正 方 形 ABC。中，为 中 点，则 所，BD，由 勾 股 定 理 可 得 NB2+NG2=BG2，从 而 有：NB2+NG2=(PB2+PN2)+(PG2+PN2)=BG2,据 此 可 得 PB2+PG2声 BG2，即/B P G丰 90s,据 此 可 得 平 面

25、B1EF 平 面 AtBD不 成 立，选 项 B错 误;对 于 选 项 C,取 A片 的 中 点 H,则 A”|4 E,由 于 A H与 平 面 R A C相 交，故 平 面 片 所 平 面 4 AC不 成 立，选 项 C错 误;对 于 选 项 D,取 的 中 点 很 明 显 四 边 形 A A FM为 平 行 四 边 形，则 AXM BtF,由 于 4 M 与 平 面 AG。相 交，故 平 面 瓦”平 面 AG。不 成 立，选 项 D错 误;8.已 知 等 比 数 列%的 前 3项 和 为 168,a2-a5=4 2,则 4=()A.14 B.1 2 C.6 D.3【答 案】D【解 析】【分

26、 析】设 等 比 数 列“的 公 比 为/4 工 0,易 得 根 据 题 意 求 出 首 项 与 公 比，再 根 据 等 比 数 列 的 通 项 即 可 得 解.【详 解】解：设 等 比 数 列%的 公 比 为 夕 国 工 0,若 q=l,则 4-%=0,与 题 意 矛 盾，所 以,4（1一 4，a.-96c,a,+a-,+a.=-=168则-3 l-q，解 得 1，a2-a5=a4 71c 夕=彳 q-aiq=42 1 2所 以。6=|。=3.故 选：D.9.已 知 球。的 半 径 为 1,四 棱 锥 的 顶 点 为 0,底 面 的 四 个 顶 点 均 在 球。的 球 面 上，则 当 该 四

27、 棱 锥 的 体 积 最 大 时，其 高 为（）A.-B.y C.立 D.32 3 2【答 案】C【解 析】【分 析】方 法 一：先 证 明 当 四 棱 锥 的 顶 点。到 底 面 ABCD所 在 小 圆 距 离 一 定 时，底 面 A8CD面 积 最 大 值 为 2,，进 而 得 到 四 棱 链 体 积 表 达 式，再 利 用 均 值 定 理 去 求 四 棱 锥 体 积 的 最 大 值，从 而 得 到 当 该 四 棱 锥 的 体 积 最 大 时 其 高 的 值.详 解】方 法 一:【最 优 解】基 本 不 等 式 设 该 四 棱 锥 底 面 为 四 边 形 A B C D,四 边 形 A B

28、 C D 所 在 小 圆 半 径 为 r,设 四 边 形 ABC。对 角 线 夹 角 为 a,则 SAB8=g.ACBDsina 4 八 2r=2产（当 且 仅 当 四 边 形 4 8 8 为 正 方 形 时 等 号 成 立）即 当 四 棱 锥 的 顶 点。到 底 面 ABC。所 在 小 圆 距 离 一 定 时，底 面 4BCO面 积 最 大 值 为 犷 又 设 四 棱 锥 的 高 为 人，则 产+川=,Vo ABCD=2户=也 J./.2 电（r2+r2+2h2y=亚 当 且 仅 当 产=2九 2即 g 日 时 等 内 8 3 3 3 3 J 27 3号 成 立.故 选：C 方 法 二:统

29、一 变 量+基 本 不 等 式 由 题 意 可 知，当 四 棱 锥 为 正 四 棱 锥 时，其 体 枳 最 大，设 底 面 边 长 为“，底 面 所 在 圆 的 半 径 为，则r=a，所 以 该 四 棱 锥 的 高=2 V 24 la2 a2 a2 4-A I-(1-)W-3N 4 4 2 3/,2,a a,cr+1-4 4 23(当 且 仅 当 即,4/=一 时，等 号 成 立)3所 以 该 四 棱 锥 的 体 积 最 大 时，其 高=故 选：C.方 法 三:利 用 导 数 求 最 值 由 题 意 可 知，当 四 棱 锥 为 正 四 棱 锥 时，其 体 积 最 大，设 底 面 边 长 为。，

30、底 面 所 在 圆 的 半 径 为 r,则 r=a,所 以 该 四 棱 锥 的 高=、仁/，令/=f(0 f 2),丫=产 _,设 2 V 2 3 V 2 3 V 2P 3产/)=/一,，则 广。)=2/,0 Z 0,单 调 递 增，1/2,.f(r)P 2 P I 0.记 该 棋 手 连 胜 两 盘 的 概 率 为 P，则()A.p与 该 棋 手 和 甲、乙、丙 的 比 赛 次 序 无 关 B.该 棋 手 在 第 二 盘 与 甲 比 赛，P最 大 C.该 棋 手 在 第 二 盘 与 乙 比 赛，P最 大 D.该 棋 手 在 第 二 盘 与 丙 比 赛，P最 大【答 案】D【解 析】【分 析】

31、该 棋 手 连 胜 两 盘，则 第 二 盘 为 必 胜 盘.分 别 求 得 该 棋 手 在 第 二 盘 与 甲 比 赛 且 连 胜 两 盘 的 概 率 P甲；该 棋 手 在 第 二 盘 与 乙 比 赛 且 连 胜 两 盘 的 概 率 P乙；该 棋 手 在 第 二 盘 与 丙 比 赛 且 连 胜 两 盘 的 概 率。丙.并 对 三 者 进 行 比 较 即 可 解 决【详 解】该 棋 手 连 胜 两 盘，则 第 二 盘 为 必 胜 盘，记 该 棋 手 在 第 二 盘 与 甲 比 赛，比 赛 顺 序 为 乙 甲 丙 及 丙 甲 乙 的 概 率 均 为 3,则 此 时 连 胜 两 盘 的 概 率 为

32、P 甲 则 Pv=:（1-Pa）PiP3+P2Pl（1-P3）+g（l-P，p 2+P3Pl（1-P。=P（P?+P j-2 p p m；记 该 棋 手 在 第 二 盘 与 乙 比 赛，且 连 胜 两 盘 的 概 率 为 P乙，则 P乙=（1 一 P1）P2P3+P1 P 2”一。3）=。2他+。3）-2Plp2P3记 该 棋 手 在 第 二 盘 与 丙 比 赛，且 连 胜 两 盘 的 概 率 为 P西 则 P丙=（1 一 Pl）P3P2+PlP3（l 一。2）=PAP+0 2）-2PlP2 P3则 Ap-=/?1（A+A）-21 ft ft-A（）+A）-2I 772 A=（Pl-A）P3

33、0。乙-。丙=。2（4+）-2 4 p2P3 一 3（月+，2）-2Plp2P3=（一）“。即 P甲 P乙（P丙，则 该 棋 手 在 第 二 盘 与 丙 比 赛，最 大.选 项 D 判 断 正 确；选 项 B C 判 断 错 误；与 该 棋 手 与 甲、乙、丙 的 比 赛 次 序 有 关.选 项 A 判 断 错 误.故 选：D11.双 曲 线 C 的 两 个 焦 点 为 6,入，以 C 的 实 轴 为 直 径 的 圆 记 为。，过 耳 作。的 切 线 与 C 交 于 M,N 两 3点，且 cosN N g=g,则 C 的 离 心 率 为（）A.B C.巫 D.叵 2 2 2 2【答 案】AC【

34、解 析】【分 析】依 题 意 不 妨 设 双 曲 线 焦 点 在 x 轴，设 过 匕 作 圆。的 切 线 切 点 为 G,利 用 正 弦 定 理 结 合 三 角 变 换、双 曲 线 的 定 义 得 到=3。或 a=,即 可 得 解，注 意 就 在 双 支 上 还 是 在 单 支 上 分 类 讨 论.【详 解】方 法 一（几 何 法，双 曲 线 定 义 的 应 用）情 况 一 M、N在 双 曲 线 的 同 一 支，依 题 意 不 妨 设 双 曲 线 焦 点 在 x轴，设 过 士 作 圆。的 切 线 切 点 为 B,3所 以 OB，N,因 为 c o s N N E=g 0,所 以 N 在 双 曲

35、 线 的 左 支，|OB|=tz,出 B|=b,设 由 即 c o s a n,则 s in a=1,3 5|NA|=-a,|N F2|=-|N Is|-|N|=2tz a-f a+j=2,2b=a,r.e=选 A2情 况 二 在 双 曲 线 的 右 支,3若 M、N在 双 曲 线 的 两 支，因 为 c o s N 6 N E=g 0,所 以 N所 以|OB|=a,|。耳|=，I 耳 B|=b,设 NF、NF2=a,由 c o s/耳 N g=B，即 cosa=g,则 sin a 二 一，3 人|=士 4肮 可=3 4 四 用 一|冲|=2。+2/7 2 4=24,所 以 2/?=3 4,即

36、 巳=二,2 2 2 2 a 2所 以 双 曲 线 的 离 心 率 e=a选 C方 法 二(答 案 回 代 法)A选 项 e=2特 值 双 曲 线 2I,.-.耳(-6,0),月(右,0)，过 H且 与 圆 相 切 的 一 条 直 线 为 y=2(x+石)，:两 交 点 都 在 左 支，二,.-.|N|=5,|N|=1,|=275,3则 cosNNK=-,/2 2C选 项 e=岑 特 值 双 曲 线?一/=1,.耳(-V13,0),F,(V13,0),过 H且 与 圆 相 切 的 一 条 直 线 为 y=(x+J i?),两 交 点 在 左 右 两 支，N在 右 支，.N(如，梦).|用|=5

37、,3耳|=9,忖 q=2 旧，3则 cos/N g=-,解 法 三：依 题 意 不 妨 设 双 曲 线 焦 点 在 冗 轴，设 过 作 圆。的 切 线 切 点 为 G,若 M,N分 别 在 左 右 支，3因 为 OG，N F1,且 cosN-N工=g 0,所 以 N 在 双 曲 线 的 右 支，又|凶=跖|O|=c,|G|=Z?,N F,|N|2C设 N N E=a,5 F、N=/3,6 N鸟 中，有，=.,示=二 1sin p sin(a+)sin a故 1 阿-加 用 一 2 c 即 _3_sin(a+)一 s in/sin a sin(a+)-sin/?sin asin a cos p

38、4-cos a s x n p-sin/?sin a3 6 1 b 4而 cosa=，sinyff=,cosj3=,故 s in a=一,5 c c 5b 3代 入 整 理 得 到 处=3。，即 一=一，a 2h其 中 夕 为 钝 角，故 cosQ=一,CNF2-NF 2CII J-sin/?-sin(a+)sina即-=-sin-sin(7 cos/?-cos a sin(3 sin a代 入 cosa=,sin/?=,sina=,整 理 得 到：-=5 c 5 4b+2a 4故 选：A C.12.已 知 函 数/(%),g(x)的 定 义 域 均 为 R,且/(九)+g(2 x)=5,g(

39、x)/(x-4)=7.若 丁=8。)的 图 22像 关 于 直 线 x=2对 称，g=4,则 Z/(k)=()*=|A.-21 B.-22 C.-23 D.-24【答 案】D【解 析】分 析 根 据 对 称 性 和 已 知 条 件 得 到/(幻+f(x-2)=-2,从 而 得 到/(3)+/(5)+.+/(21)=-10,/(4)+/(6)+.+/(22)=-1 0,然 后 根 据 条 件 得 到 f(2)的 值,再 由 题 意 得 到 g(3)=6从 而 得 到/(1)的 值 即 可 求 解.【详 解】因 为 y=g(x)的 图 像 关 于 直 线 x=2对 称，所 以 g(2 x)=g(x

40、+2),因 为 g(x)/(x 4)=7,所 以 g(x+2)/(x 2)=7,即 g(x+2)=7+/(x 2),因 为/(x)+g(2-x)=5,所 以/(x)+g(x+2)=5,代 入 得/W+7+/(x 2)=5,即 f(x)+f(x-2)=-2,所 以“3)+/(5)+.+/(21)=(_2)X5=_10,/(4)+/(6)+.+/(22)=(-2)x5=-10.因 为/(x)+g(2 x)=5,所 以/(0)+g(2)=5,即/(O)=l,所 以/=2 0)=3.因 为 g(x)/(x 4)=7,所 以 g(x+4)-/(x)=7,又 因 为/(x)+g(2 x)=5,联 立 得，

41、g(2 x)+g(尤+4)=12,所 以 y=g(x)的 图 像 关 于 点(3,6)中 心 对 称，因 为 函 数 g(x)的 定 义 域 为 R,所 以 g(3)=6因 为/(x)+g(x+2)=5,所 以/(l)=5 _ g(3)=_ l.所 以/(左)=/(1)+2)+3)+/(5)+.+21)+4)+6)+.+/(22)=-1 3 10-10=24*=i故 选：D【点 睛】含 有 对 称 轴 或 对 称 中 心 问 题 往 往 条 件 比 较 隐 蔽，考 生 需 要 根 据 已 知 条 件 进 行 恰 当 的 转 化，然 后 得 到 所 需 的 一 些 数 值 或 关 系 式 从 而

42、 解 题.二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分.1 3.从 甲、乙 等 5 名 同 学 中 随 机 选 3名 参 加 社 区 服 务 工 作，则 甲、乙 都 入 选 的 概 率 为.3【答 案】#0.310【解 析】【分 析】根 据 古 典 概 型 计 算 即 可【详 解】解 法 一：设 这 5 名 同 学 分 别 为 甲，乙，1,2,3,从 5 名 同 学 中 随 机 选 3 名，有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,（乙，1,3）,（乙,2,3）,（1,2,3）,共 10 种

43、选 法；3其 中，甲、乙 都 入 选 的 选 法 有 3种，故 所 求 概 率 尸=二.103故 答 案 为：.解 法 二：从 5 名 同 学 中 随 机 选 3 名 的 方 法 数 为 C；=103甲、乙 都 入 选 的 方 法 数 为 C；=3,所 以 甲、乙 都 入 选 的 概 率。=一 3103故 答 案 为：-101 4.过 四 点（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中 的 三 点 的 一 个 圆 的 方 程 为 答 案(x _ 2/+(y _ 3)2=3 或(x _ 2+(y _ l)2=5 或 或+(y T 16925【解 析】【分 析】法 一：设 圆 的 方 程 为

44、 V+V+6+或+尸=0,根 据 所 选 点 的 坐 标，得 到 方 程 组，解 得 即 可;【详 解】法 一:圆 的 一 般 方 程 依 题 意 设 圆 的 方 程 为 犬+V+Dx+Ey+F=0,F=Q(1)若 过(0,0),(4,0),(-1,1),则 16+4。+尸=01+1 Z)+E+F=0F=0,解 得)=-4,E=6所 以 圆 的 方 程 为 x2+y2 4x 6y=0,即(x 2+(y 3)2=1 3；F=0 F=0(2)若 过(0,0),(4,0),(4,2),则=03 14=-l+l-+E+F=0,解 得 16+4+4 D+2 E+F=01 3所 以 圆 的 方 程 为 Y

45、+)/一 彳 x y=0,即+j；3 3 I 3)I 3)9l+l-D+E+F=0(4)若 过(-1)，(4,0),(4,2),则+2 E+F=0)25 16r-5解 得，。=一 _,所 以 圆 的 方 程 E=2故 答 案 为：(x 2)2+(y _ 3)2=13 或(x _ 2/+(y _ l)2=5 或 j x 9 二 竺 或 法 二:【最 优 解】圆 标 准 方 程(三 点 中 的 两 条 中 垂 线 的 交 点 为 圆 心)设 点 4(0,0),8(4,0),C(-l,l),D(4,2)(1)若 圆 过 A、B、C 三 点,圆 心 在 直 线 x=2,设 圆 心 坐 标 为(2,a)

46、,则 4+笳=9+(-1)=a=3,/=+/=J H，所 以 圆 的 方 程 为(x-2)2+(y 3/=13；(2)若 圆 过 A、B、D 三 点,设 圆 心 坐 标 为(2,a),则 4+a?=4+(a 2)2=l/=j4+=逐，所 以 圆 的 方 程 为(冗 一 2)2+(y 1=5；(3)若 圆 过 A、C,。三 点，则 线 段 A C 的 中 垂 线 方 程 为 y=x+l,线 段 的 中 垂 线 方 程 为 y=-2%+5,联 立 得 x=(=r=,所 以 圆 的 方 程 为(x_g)2+(y(4)若 圆 过 8、C,。三 点，则 线 段 B O 的 中 垂 线 方 程 为 了=1

47、，线 段 8 c 中 垂 线 方 程 为 y=5 x-7,联 Q i Q立 得 x=|,y=lnr=，所 以 圆 的 方 程 为(x-$+(y-l)2 16925故 答 案 为：(x 2)2+(y_3)2=3 或(x_2)?+(y_l)2=5 或、2=生 或 98x 52I+(y T-126?9f 4I 37+一 I 3、27【整 体 点 评】法 一；利 用 圆 过 三 个 点，设 圆 的 一 般 方 程，解 三 元 一 次 方 程 组，思 想 简 单，运 算 稍 繁;法 二；利 用 圆 的 儿 何 性 质，先 求 出 圆 心 再 求 半 径，运 算 稍 简 洁，是 该 题 的 最 优 解.1

48、5.记 函 数/(%)=8 5 3%+9)(刃 0,0 夕 兀)的 最 小 正 周 期 为 7,若/(7)=日，%为/(x)的 零 点，则 0 的 最 小 值 为【答 案】3【解 析】【分 析】首 先 表 示 出 T，根 据/(T)=乎 求 出 9,再 根 据=方 为 函 数 的 零 点，即 可 求 出。的 取 值，从 而 得 解;【详 解】解：因 为/(x)=cos(ax+0),(00,00 兀)9 JT所 以 最 小 正 周 期 7=了，因 为/(T)=2兀 cos co-(p=cos(2K+)=cos(p-,兀 又 0 9 0,所 以 当 左=0时 0n“n=3；故 答 案 为：316.

49、已 知 x=%和 x=X 2分 别 是 函 数/(x)=2/e x 2(a 0且 a H l)的 极 小 值 点 和 极 大 值 点.若 为 即 函 数 y=Ina 优 与 函 数 y=e x的 图 象 有 两 个 不 同 的 交 点，因 为 方,当 分 别 是 函 数/(x)=2 a-e x2的 极 小 值 点 和 极 大 值 点，所 以 函 数/(X)在(-,%)和(,+)上 递 减，在(%,%)上 递 增，所 以 当 时(T,石)(孙+00),r(x)0,即 丁=6%图 象 在 y=ln a 下 方 a,图 象 显 然 不 符 合 题 意，所 以 0 a l.令 g(x)-ln a-av

50、,则 g(x)=In2 aa*,0 a 1,设 过 原 点 且 与 函 数 y=g(x)的 图 象 相 切 的 直 线 的 切 点 为(M，lnG)，则 切 线 的 斜 率 为 g(xo)=ln2 a*,故 切 线 方 程 为=ln2 aa(x-X o),01 J则 有-ln a-a=一 玉)h r a-a M,解 得 一，则 切 线 的 斜 率 为 Y 嬴 _ a 标，因 为 函 数 y=In a 罐 与 函 数 y=ex 的 图 象 有 两 个 不 同 的 交 点,所 以 elrave，解 得 a e,又 所 以 e e综 上 所 述，。的 取 值 范 围 为(1,1.le)方 法 二:【