2022-2023学年人教A版选择性必修第三册超几何分布讲义.pdf

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1、7.4.2 超 几 何 分 布 新 课 程 标 准 新 学 法 解 读 1.理 解 超 几 何 分 布 及 其 推 导 过 程.2.理 解 超 几 何 分 布 与 二 项 分 布 的 区 别 与 联 系.3.掌 握 超 几 何 分 布 的 实 际 应 用.1.能 运 用 超 几 何 分 布 解 决 一 些 实 际 问 题.2.借 助 超 几 何 分 布 解 题，提 高 数 学 运 算 的 素 养.课 前 篇 咱 主 学 习 固 基 础 笔 记 教 材 知 识 点 超 几 何 分 布 一 般 地，假 设 一 批 产 品 共 有 N件，其 中 有 M 件 次 品.从 N 件 产 品 中 随 机 抽

2、 取 件(不 放 回)，用 X表 示 抽 取 的 件 产 品 中 的 次 品 数,则 X 的 分 布 列 为 尸(X=Z)=,k=m,，r.其 中 n,N,A/N*,MWN,n W N,，=max0,n-N-M,r=min，M.如 果 随 机 变 量 X 的 分 布 列 具 有 上 式 的 形 式，那 么 称 随 机 变 量 X服 从 超 几 何 分 布.记 作 X.特 别 地，如 果 X M,A0且+M N W O,则 X能 取 所 有 不 大 于 r 的 自 然 数，此 时 X 的 分 布 列 如 下 表 所 示.H(n,M,N)X 0 1k rPC 为 C 依 号 C N e g%C N

3、 C%亦 Mc为 答 案:c%重 点 理 解 1.超 几 何 分 布 与 二 项 分 布 的 区 别 与 联 系 超 几 何 分 布 二 项 分 布 区 别 超 几 何 分 布 是 不 放 回 抽 样，取 出 一 个 则 总 体 中 就 少 一 个，因 此 二 项 分 布 是 有 放 回 抽 样，每 次 抽 取 时 的 总 体 没 有 改 变，因 此 每2.对 超 几 何 分 布 的 三 点 说 明(1)超 几 何 分 布 的 模 型 是 不 放 回 抽 样.(2)超 几 何 分 布 中 的 参 数 是 八，M,N.(3)超 几 何 分 布 可 解 决 产 品 中 的 正 品 和 次 品、盒

4、中 的 白 球 和 黑 球、同 学 中 的 男 和 女 等 问 题，往 往 由 差 异 明 显 的 两 部 分 组 成.每 次 取 到 某 物 的 概 率 是 不 同 的 次 抽 到 某 事 物 的 概 率 都 是 相 同 的，可 以 看 成 是 独 立 重 复 试 验 联 系 二 项 分 布 和 超 几 何 分 布 都 可 以 描 述 随 机 抽 取 的 件 产 品 中 次 品 数 的 分 布 规 律，并 且 二 者 的 均 值 相 同 对 于 不 放 回 抽 样，当 远 远 小 于 N 时，每 抽 取 一 次 后，对 N 的 影 响 很 小，此 时，超 几 何 分 布 可 以 用 二 项

5、分 布 近 似 3.P(X=k)=的 推 导 C%从 N件 产 品 中 任 取 n 件 产 品 的 样 本 点 有 CV个；事 件 X=A 表 示“在 含 有 M件 次 品 的 N件 产 品 中，任 取 件，其 中 恰 有 2件 次 品”，则 必 有(一 女)件 正 品，因 此 事 件 X=Q中 含 有 CXC为 4 个 样 本 点，由 古 典 概 型 概 率 计 算 公 式 可 知 P(X=Q=竿 氏.自 我 排 查 1.(2021天 津 实 验 中 学 滨 海 学 校 高 二 期 中)在 15个 村 庄 中 有 7 个 村 庄 交 通 不 方 便，现 从 中 任 意 选 10个 村 庄，用

6、 X表 示 这 10个 村 庄 中 交 通 不 方 便 的 村 庄 数，则 下 列 概 率 中 等 于 需 的 是()A.P(X=2)B.P(XW2)C.P(X=4)D.P(XW4)答 案：C 解 析：X服 从 超 几 何 分 布，P(X=k)=cig故 后=4.故 选 C.2.（2021北 京 海 淀 区 北 理 工 附 中 高 二 月 考）从 一 批 含 有 13件 正 品、2 件 次 品 的 产 品 中，不 放 回 地 任 取 3 件，则 取 出 产 品 中 无 次 品 的 概 率 为（）22A 岳 C。35c 12B35 34D35答 案：A 解 析：依 题 意 可 知，产 品 总 数

7、 为 13+2=15件，由 超 几 何 分 布 概 率 计 算 公 式 得 取 出 产 品 中 无 次 品 的 概 率 为 武=13X12X11 12X11 22,上 15X 14X13 15X143.（2021河 北 石 家 庄 正 中 实 验 中 学 高 二 月 考）有 10件 产 品，其 中 3 件 是 次 品，从 中 任 取 两 件，若 X 表 示 取 得 次 品 的 个 数，则 尸（X2）等 于（）A ZA 5c-15BAB1514D15答 案：D 解 析：由 题 意 可 知，X 服 从 超 几 何 分 布，尸（X2）=尸（X=1）+尸（X=0）=器c+品 e=得 14故 选 D-4

8、.（2021江 苏 无 锡 立 人 高 中 高 二 期 中）若 一 个 随 机 变 量 的 分 布 列 为 P(4=r)=CN，其 中 十=0,1,2,/,Z=minn,M,则 称 中 服 从 超 几 何 分 布，记 为 4”（，M,N）,并 将 P（A r）=C 片 也 记 为 H(r；n,M,N),则(1；3,2,1 0)=.7答 案：1 5 解 析：根 据 题 意，r=l,=3,M=2,N=10,c i d 7(1;3,2,10)=P C=l)=-g=F课 堂 篇 重 点 难 点 要 突 破 研 习 1 超 几 何 分 布 概 率 公 式 的 应 用 典 例 1 袋 中 有 4 个 红

9、球，3 个 黑 球，这 些 球 除 颜 色 外 完 全 相 同，从 袋 中 随 机 抽 取 球，设 取 到 一 个 红 球 得 2 分，取 到 一 个 黑 球 得 1分，从 袋 中 任 取 4 个 球.(1)求 得 分 X 的 分 布 列；(2)求 得 分 大 于 6 分 的 概 率.求 出 每 个 X对 应 的 概 率 写 出 分 布 列 写 出 X的 可 能 取 值 思 路 点 拨:解：(1)从 袋 中 任 取 4 个 球 的 情 况 为：1 红 3 黑，2 红 2 黑，3 红 1黑，4 红，共 四 种 情 况，得 分 分 别 为 5 分，6 分，7 分，8 分，故 X的 可 能 取 值

10、为 5,6,7,8.故 得 分 X 的 分 布 列 为 ccl 4 C M 18P(X5)c 广-3 5 P(X-6)-G-3 5 clc 12 Ct 1p(x7)a-3 5 P(Xo)C 厂 35 X 5 6 7 8P4 18 12 135 35 35 35(2)根 据 随 机 变 量 的 分 布 列 可 以 得 到 大 于 6 分 的 概 率 为 P(X6)=12 1 13P(X=7)+P(X=8)=35+35=35-巧 归 纳 求 超 几 何 分 布 的 分 布 列 的 步 骤验 证 随 机 变 量:服 从 超 儿 何 分 布，并 确 定 参 数 M n.M的 值 J 4 L 根 据 超

11、 几 何 分 布 的 概 率 计 算 公 式 计 算 随 四 声 机 变 量 取 每 二 个 值 时 的 概 率 _|第 自 步 H 用 表 格 的 形 式 列 出 分 布 列|练 习 1 在 一 次 购 物 抽 奖 活 动 中，假 设 i o 张 奖 券 中 有 一 等 奖 奖 券 1张，可 获 价 值 5 0元 的 奖 品，有 二 等 奖 奖 券 3 张，每 张 可 获 价 值 10元 的 奖 品，其 余 6 张 没 有 奖 品.(1)顾 客 甲 从 10张 奖 券 中 任 意 抽 取 1张，求 中 奖 次 数 X的 分 布 列.(2)顾 客 乙 从 10张 奖 券 中 任 意 抽 取 2

12、 张，求 顾 客 乙 中 奖 的 概 率；设 顾 客 乙 获 得 的 奖 品 总 价 值 为 y 元，求 y 的 分 布 列.解：(1)抽 奖 一 次，只 有 中 奖 和 不 中 奖 两 种 情 况，故 x 的 取 值 只 有 0 和 1两 种 情 况.a 4 2P(X=D=瓦=正=亍 2 3则 P(X=0)=1 P(X=1)=15=5,因 此 中 奖 次 数 X 的 分 布 列 为(2)顾 客 乙 中 奖 可 分 为 互 斥 的 两 类 事 件：所 抽 取 的 2 张 奖 券 中 有 1张 中 奖 或 2 张 都 中 奖.故 所 求 概 率 p=O C H O C?=30=2S=45=3 由

13、 题 意 可 知，丫 的 所 有 可 能 取 值 为 0,10,20,50,60,且 a c _ i 5 _ C=453p（y=io）=c n _ 1 8 _ 2Go-45-5,p(y=2 0)=p(y=5 0)=p(y=6 0)=q c g _ 3 _ 1C?0-4 5-1 5,C i a _ 6 _ 2存-=痣=正，c g _ 3 _ iC?0 4 5 1 5-因 此 随 机 变 量 y 的 分 布 列 为 课 后 篇 基 础 达 标 延 伸 阅 读 Y 0 10 20 50 60P1 2 1 2 13 5 15 15 151.(2021江 苏 东 台 创 新 高 级 中 学 高 二 月

14、考)某 小 组 有 5 名 男 生、3名 女 生，从 中 任 选 3 名 同 学 参 加 活 动，若 X表 示 选 出 女 生 的 人 数，则 P(X 22)=()1 c 15A.亍 B.777 56C.|D.1答 案：C 解 析：当 X=2时，P(X=2)=CgCS 15561当 X=3时，P(X=3)=为 15 1 2则 P(X 22)=P(X=2)+P(X=3)=*+*=.故 选 C.2.现 有 电 子 元 件 5 0个，其 中 一 级 品 4 5个，二 级 品 5 个，从 中 任 取 3 个，出 现 二 级 品 的 概 率 为()B.c恪 C-1 CgoD.cj+cg+cgQ Cg+C

15、gCh答 案：C 解 析：出 现 二 级 品 的 情 况 较 多，可 以 考 虑 不 出 现 二 级 品 的 概 率 为 色，则 出 现 二 级 品 的 概 率 为 1 一 会.故 选 C.3.(2021江 苏 海 头 高 级 中 学 高 二 月 考)设 随 机 变 量 X(3,2,15),贝 I P(X=1)=.答 案:H12 解 析：由 于 X符 合 超 几 何 分 布，所 以 尸&=1)=供 Ci-C?=3 药 124.(2021 湖 南 长 沙 高 考 模 拟 题)端 午 节 吃 粽 子 是 我 国 的 传 统 习 俗.设 一 盘 中 装 有 6 个 粽 子，其 中 肉 粽 1个，蛋

16、黄 粽 2 个，豆 沙 粽 3个，这 三 种 粽 子 的 外 观 完 全 相 同，从 中 任 意 选 取 2 个.(1)用 4表 示 取 到 的 豆 沙 粽 的 个 数，求 的 分 布 列；(2)求 选 取 的 2 个 中 至 少 有 1个 豆 沙 粽 的 概 率.解:由 题 意 可 知 4=0,1,2,P（）=P()=点 一 5尸 匕=2)=&=亍 所 以 4 的 分 布 列 为 e0 1 2p53515(2)选 取 的 2 个 中 至 少 有 1 个 豆 沙 粽 的 对 立 事 件 是 一 个 都 没 有,1 4则 选 取 的 2 个 中 至 少 有 1个 豆 沙 粽 的 概 率 尸=1一

17、；=三 课 后 自 读 方 案 误 区 警 示 混 淆 超 几 何 分 布 与 二 项 分 布 致 错 示 例 为 了 解 今 年 某 校 高 三 毕 业 班 报 考 飞 行 员 学 生 的 体 重 情 况,将 所 得 的 数 据 整 理 后，画 出 了 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示.已 知 图 中 从 左 到 右 的 前 三 组 的 频 率 之 比 为 1：2：3,其 中 第 二 组 的 频 数 为 12.求 该 校 报 考 飞 行 员 的 总 人 数；(2)以 这 所 学 校 的 样 本 数 据 来 估 计 全 省 的 总 体 数 据，若 从 全 省 报 考 飞 行 员 的

18、同 学 中(人 数 很 多)任 选 三 人，设 X 表 示 体 重 超 过 6 0 公 斤 的 学 生 人 数，求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.错 解 由 题 知，体 重 在 6 0公 斤 以 下 的 有 1 8人，在 6 0公 斤 以 上 的 有 3 0人，总 人 数 为 48.随 机 变 量 X 服 从 超 几 何 分 布，X 所 有 可 能 的 取 值 为 0,1,2,3.则 P(X=0)=C?8-qo_ lO15C?8-4 324,P(X=1)=C l8G 0_ 3 915a8-8 648P(X=2)=CKCh)C?82 2958 648P(X=3)=G 8 c oa851

19、1 0 8 r则 E(X)=0X指 T,x3915 2295 _ 5 1 _=9729i 8 648十/8 648十 1 1 0 8 1 8 648.错 因 分 析(1)对 随 机 变 量 的 含 义 不 清 楚，不 能 区 分 超 几 何 分 布 与 二 项 分 布.(2)对 于 何 时 可 以 用 样 本 的 频 率 代 替 总 体 的 概 率 不 清 楚.正 解(1)设 报 考 飞 行 员 的 人 数 为 n,前 三 小 组 的 频 率 分 别 为 pi,2,3,2=2 1,则 由 条 件 可 得：p3=3pi,、pi+p2+p3+(0.037+0.013)X5=l,解 得，pi=0.1

20、25,“2=0.25,。3=0.375.12又 因 为“2=0.25=,故=48.r n(2)由(1)可 得，一 个 报 考 学 生 体 重 超 过 60公 斤 的 概 率 为 p=p3+(0.037+0.013)X5=1，O故 x 服 从 二 项 分 布，P(X=Q=C或 g因 此 随 机 变 量 x 的 分 布 列 为 X 0 1 2 3P27 135 225 125512 512 512 512则 比=0 X 市+1 X m+2 X m+3*杀=五 或 E(X)=np=方 法 总 结(1)超 几 何 分 布 的 本 质 是“不 放 回 抽 样”，是 一 种 古 典 概 型，而 二 项 分

21、 布 的 随 机 实 验 是“独 立 重 复 实 验”，强 调 每 次 实 验 的 结 果 发 生 的 概 率 相 同，可 认 为 是“有 放 回 抽 样”.本 题 中，“若 从 全 省 报 考 飞 行 员 的 同 学 中(人 数 很 多)任 选 三 人”，特 别 强 调 人 数 很 多，意 味 着 实 验 可 以 看 做 是“有 放 回 抽 样”，所 以 是 一 个 二 项 分 布.(2)本 题 明 确 要 求“以 这 所 学 校 的 样 本 数 据 来 估 计 全 省 的 总 体 数 据”，其 意 思 是：用 频 率 来 代 替 概 率，也 是 说，全 省 每 个 学 生 的 体 重 超 过 60公 斤 的 概 率 为 9.O