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1、2022-2023学年安徽省宣城市高一上学期期末数学试题一、单选题1 .已知集合=T，1 ,集合8 =/2,则 集 合 人 8=()A.1 B.O,c.T，l D.L 0 J 2【答案】D【分析】直接利用并集的定义运算.【详解】集 合=，=L 2 ,则集合-8 =-1,0,1,2 故选：D2 .已知扇形的半径为2,圆心角为4 5,则扇形的弧长是()兀7 1A.4 5 B.4 C.2 D.9 0【答案】C【分析】由弧长公式求解即可.殳1X2=-【详解】因为圆心角的弧度数为I,所以扇形的弧长是彳*-2,故选：C3 .已知函数，。+1)=蚓，则 9)=()A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C
2、【分析】取x =3 结合对数和指数的运算求解即可.【详解】取x =3 得出,0+1)=9)=叱=1故选：C4 .设。则函数y二卜叵一。)的图象的大致形状是()什xxA.B.【答案】B【分析】确定分段函数的解析式，与x轴的交点坐标为(a,(),(0,0),及对称性即可得到结论.【详解】函数丫=冈(x L l a)=1一 。一 吟、0,当x K),函数y=x (x D a)的图象为开口向上的抛物线的一部分，与x轴的交点坐标为(0,0),(a,0)当x 6”成立的一个必要不充分条件是()A.a?B.abC.ab+2 D.ab-2【答案】D【分析】欲求。6成立的必要而不充分的条件，即选择一个。6能推出
3、的选项，但不能推出。6,对选项逐一分析即可【详解】4 =1 6 =-2不 能 推 出/，故选项A不 是 的 必 要 条 件，不满足题意；A不正确；a =l b =-2不 能 推 出”网，故选项B不 是 方 的 必 要 条 件，不满足题意；B不正确；。=1 6 =-1不能推出”6 +2,故选项C不是。6的必要条件，不满足题意；C不正确；能推出但3-2不能推出a b,。6-2是a b的一个必要不充分条件，满足题意，D选项正确.故 选：D.In x e ,八-F 1 =06.方 程x x 的根所在的区间是()(参考数据l n 2 a 0.6 9,l n 3 =1.1 0)A.0,2)B.Q，e)C,
4、(D.(必【答案】BInv e,-+1 =0【分析】由x X-可得x+lnx-e=,利用零点存在定理可得出结论.Inx e.八-F 1 =0【详解】对 于 方 程x X,有x 0,可得x+lnx-e=0,令/（x）=x+ln x-e,其中x0,因为函数夕=-6、y=lnx在（。,+8）上为增函数，故函数/（x）在（，+8）上为增函数,因为/（l）=l-e 0/（2）=2+ln2-e0由零点存在定理可知，函数（X）的零点在区间0，e）内.故选：B.x)=7.已知（2 a-l）x+3a,xl 是定义在R上的减函数，则0的取值范围是（）【答案】D【分析】分段函数为减函数需满足三个条件，一是上支为减函
5、数，二是下支为减函数，三是下支的最大值小于或等于上支的下界，列不等式组即可解得./（x）=Q l）x+3a，xl【详解】要使函数 lbg“x，x*l 在R上为减函数，2a-l0 log J 需满足 ,解得5 2.故选：D._ 718.已知函数/（x）=2Ksinx+aco&x图象的一条对称轴为*_彳，/（演）+/2）=0,且函数/（x）在区间G，&）上具有单调性，则上+引的最小值是（）上土5乃24A.6 B.3 C.6 D.3【答案】B【分析】根据辅助角公式得出 x）=2瓜 欣+4cosx=/m/s in（x+0）,即可根据对称轴列式得兀X +一6/（x）=4sin出。的值，即可得出,根据已知
6、得出a /a）与（/（马）关于对称中心对称,x +x2=2k兀 ,k e Z即可列式得出 3 ,即可得出答案.-_ a 退 详解/（x）=2百s i n r +c o s x =J 1 2+/s in（x +6）其中二=6_ 71函数/（X）图象的一条对称轴为*一3,/（工=2 V 3 s in -+a c o s =J 1 2+a则 3 3,解得：a=2,A tan 3 生则&2+a-=4,3,即 6 ,故 小 卜+焉,：/（再）+/（、2）=0,且函数/（X）在区间（X”匕）上具有单调性，a）与a J（%）关于对称中心对称，冗 冗%+I-x2-=kn,k e Z X.+x,=1k7t,k
7、e Z2，解得 3,n lxi+x2 L=|-f kf则=o时，I 3|3,故选：B.二、多选题9.下列函数中，既是偶函数，又在（兀 二 兀）上单调递增的是（）A /（x）=c o&x B./G）=YC.x）=3 D./（）=%【答案】A D【分析】根据基本初等函数的单调性、奇偶性检验各选项即可判断.【详解】函数/）=8眈是偶函数，在（孤2兀）上单调递增，A选项正确;函数/（x）=d是奇函数，B选项错误；函数/,（x）=3，非奇非偶，c选项错误；函数/0）=也国是偶函数，在（兀，2兀）上单调递增，口选项正确；故选：AD.1 0.已知a，6，c e R,则下列结论正确的是()1 /-1 -A.若
8、a Z?0,则。bB.若 分 儿 2,贝|ja 0,6 0,2+3ci=2+4b 则 a b1 1a-。0,则 b a【答案】AC【分析】对 A,直接作差比较即可证明，对 B,首先得/,再根据不等式性质即可判断，对C,首先放缩得2+3。2+3 6,构造函数X)=2，+3X即可判断c,对D,举反例即可.1 1 =-b-a-详解对 A,a b ab,a b 0 f-ab 0,b-a 历2,贝|/0,贝 ija b,故 B 错误，对 C,若 2+3a=2+46=2 +36+b,若 a 0,6 ,则 2+3”2”+36,函数x)=2、+3x,根据增函数加增函数为增函数的结论得/(x)在 R 上单调递增
9、，则a 6,故 C 正确，个,i d d 1=2 H 1=5-b,H 1=,1 d1=3-C l H 1 6L +1对 D,若 a=2,b=l,则 b 2 2,a 2 2,则 b a,故 D 错误，故选：AC.2 !I I.已知a=3,b=186,c=log43,d=lo g 5 4,则下列大小关系正确的是()A.ab B.ad C.cd D.b 1,所以a b l；3 4510g4 3=log4243，3=log4 64 log4243 log4 256=4，351og434，4510g54=logs 1024 4=log5625 log51024 log53125=5 4 51og54 5
10、 1 ,b d c所以 5.故选：ABC1,x 0sgn(x)=0,x=01 2.已知符号函数 I-1,X 0,则下列说法正确的是()A.函数N=sgn(x)的图象关于y轴对称B.对任意xwR，sgn(e)=lC.对任意的xeR，k|=rsgn(-x)D.函数V=xsgn(TmO的值域为 y -l或0 4 y 判断B；讨论x 三种情况，确定y=-xsgn(-x)的解析式，从而判断c；由-ku-的范围得出其值域.【详解】对于A,若=$8门。)的图象关于夕轴对称，则=$8 )为偶函数，应该满足sgn(-l)=sgn(l),但sgn(-l)=-l,sgn=1,即 sgn(-l)w sgn(l),故人
11、错误;对于B,因为e*0,所以对任意xeR，sg n(e)=l,故B正确；对于 C,当 x0 时，sgn(-x)=l；当 x=0 时，sgn(-x)=0；-x,x0-xsgn(-x)=0时，s g n(-x)=,即 x,x0,故 C 正确；对于 D,当x e(0l)时，-lnx0,y=xsgn(-Inx)=x (0,l)；当x=l 时，-lnx=0,y=xsgn(-lnr)=0；当xe(l，+0)时，-Inr 0,N=xsgn(-lnx)=-xe(-8,-1),即函数y=xsgn(-lnx)的值域为 y _ i或04y?0,2 0,x+1故答案为：Vx0,2vx+l14.已知函数/（）=（一
12、2加-2卜3是黑函数，且在（0,+0 上单调递增，贝 1 实数m=【答案】-1或 3【分析】由题意利用幕函数的定义和性质，求得，的值.【详解】函数（J?机2尸*3是累函数，且在（，+00）上单调递增，nr 一 2加 一 2=1 ,解得机=3 或m=-l.故答案为：T 或 34p/r 八 cosa=-15.已知角。的终边经过点HR,且 5,则实数x=._8【答 案 户【分析】由三角函数的定义得出x 4 8cosa=-=x=-【详解】由三角函数的定义可得 2+22 5,贝 V。，整理得9/=6 4,解得 3._8故答案为：316./（X）是定义在R 上的奇函数，当时，、）=+厂 3。+5,若/（x
13、）-a +2 2 0 对一切x 2 0 成立，则实数。的取值范围是.-,2【答案】L 2g（x）=4x+（x【分析】由奇偶性得出x N 的解析式，当=时，得出。4 2,当x 时，令 x求出其最小值，得出实数。的取值范围.【详解】V=/（x）为定义在R 上的奇函数，/（0）=0.当x=0 时，/（）-4 +2 2 0 对切丫=0 成立，得出a 2.x 0,-x tz-2x 对一切x 0 成立，4x H N-2。+3即 X 对一切x 0 成立，g(x)=4x+-(x 0)(|041 t-00令 X,由对勾函数的单调性知：在I 2 J上单调递减，在(2 1上单调递增，即 g(x L=g(|=4,故
14、4 2 0 +3,2-；综上,故答案为:L 2四、解答题17.(1)计算：3限4+27：lg5+lg20；小 J 兀，八)、2sina+cosatan +a =3-(2)若 12)，求 cosa-sina 的值._【答案】(1)9；(2)4【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果；tan 修+a =3 2sina+cosa首先对(2)化简求出tana,再 将 c o s a-s in a 利用齐次式分子分母同时除以c o s e,将tan a的值代入即可求得.【详解】(1)原式=4+3%+阴 00=4+3+2=9；,所以1tana=318已知集合/=例 1 值(x+l)41,8=1 x2
15、-(a +l)2x+2a(a2+l)0 若 a=2,求；（2）若 4 c 8=0,求实数”的取值范围.答案 3-IX5 al a=l 或422【分析】（1）由对数的运算性质及对数函数的性质计算出集合A,再将。=2代入集合8 中，解出集合 B,再由并集的定义即可求得/口8.（2）由（1）求得集合A,再对集合5 化简，由题意知4 c 8=0,则对集合8 中的。分类讨论即可求得满足条件的实数。的取值范围.【详解】（1）若。=2,则 8=H*-9 x +200=x4x5,=乂_ 1 44,贝 /=x-x5 B=1|（1一 2）一（2+）0卜 x a2+1 j当 6=0 时，2a=a2+f 即。=l,c
16、 5 =0,符合题意；当5 4 0 时，即a w l,若4 c B =0,则2 2 4 或/+1 一1，即 心 2综上，实数。的取值范围为H=1或022/(x)=V3cos|2 x-1 9.已知函数.I 3J-sin2x兀 5兀求函数/（x）在L 1 6 上的单调递增区间;若/周 W,求中丸值.Ji n【答案】（1）7兀 5兀和 回 彳7(2)9/（x）=sinf 2x+j x e【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为 I 3九 由 16 6 可求得2x+-3 的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数，兀 5兀/（X）在.6 上的单调递增区间;(2)由已知可得出3c o s,利用诱
17、导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值.兀c o s 2x +-s i n 2x -s i n 2x =c o s 2x +-s i n 2x =s i n(2x +生/(x)=【详解】(1)解：由题意得 22223XG因为令兀 5 兀6，所以0 2x +-2x +y G 0,2兀 3 2,解 得 6 x 12,3 兀，八 兀，八 2x +一 2兀3令 27 兀/,5 兀%,解 得“6 ,所以函数/(x)在兀 5 7 1Z 6 上的单调递增区间为一7 兀 5 7 in,6(2)解：由(1)兀兀%五 和 一f知23c .2 C 兀 1,2,7=2s i n +-1=1 =13)9 92 0.宣城市
18、旅游资源丰富，知名景区众多，如宣州区的敬亭山风景区、绩溪县的龙川景区、旌德县的江村景区、宁国市的青龙湾景区、广德市的太极洞景区、郎溪县的观天下景区、泾县的查济景区等等.近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优化，旅游业将迎来复苏.某旅游开发公司计划2 0 2 3 年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本3 0 0 万元，若该项目在2 0 2 32 5,0 x W 5x2+2 0 x-1 0 0,5 2 0年有游客X 万人，则 需 另 投 入 成 本 3 万元，且 I X ,该游玩项目的每张门票售价为1 0 0 元.为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业
19、更好发展，每年给该游玩项目财政补贴l x 万元.(1)求 2 0 2 3 年该项目的利润/(X)(万元)关于人数x (万人)的函数关系式(利润=收入-成本)；(2)当 2 0 2 3 年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？6 0 x-3 2 5,0 x 5匹(x)=b/+40 x _ 2 0 0,5 x 2 0【答案】1X(2)游客人数为3 0 万时利润最大，最大利润为2 0 5 万元【分析】（1）根据利润等于总收入减去总成本，分段写出其解析式即可；（2）分段求出利润最大值及对应的人数，最后比较得出利润最大值即可.【详解】（1）该项目的门票收入为5。工万元，财政补贴收入1
20、0 x 万元，共6 0 万元收入,6 0 x -3 0 0-2 5,0 x 5w(x)=eox-3 0 0 -(x2+2 0 x -1 0 0)5 2 0则利润 I x J(x)=,化简得6 0 x-3 2 5,0 x5-X2+40X-200,5X 2 0 x（2）当 x 4 5 时，此时“（X）单调递增,%=%(5)=-2 5当5 2 0 时，x ,当且仅当 x ,即x =3 0 时等号成立,阳 女 =%（3 0）=-3 0 -黑 +2 6 5 =2 0 5综上，游客人数为3 0 万时利润最大，最大利润为2 0 5 万元.2 1.如图，矩形/S C O 中，/8 =6,8 C =2,点 ,N
21、 分别在线段“仇8 （含端点）上，尸为4。的中点，P M L P N ,Z A P M=aDA求角二的取值范围；(2)求出 NN的周长/关于角a的函数解析式，3),并求的周长/的最小值及此时a 的值.【答案】L兀716 i“、1 +sina+cosa（2）sinacosa”；当兀 兀_ 71“一 时，APMN的周长/取得最小值为2五+2【分析】(1)由图形可知当点位于点8 时，角a 取最大值，当点N 位于点C 时，角a 取最小值,求解即可.(2)结合图形中的直角三角形，利用三角函数和勾股定理，把 的 三 条 边 用 角 a 表示，可求出/(a),再利用换元法，通过函数单调性求最小值.【详解】(
22、1)由题意，当点加 位于点8 时，角a 取最大值，此时tana=J i,c 兀 兀0 a 2cosasma,因为 l_6 3，所以sm a 0,c o sa 0,所以1 cosasina,所以/（a）=111-+-+-sina cosa sinacosa1 +sina+cosa-,a Gsinacosa兀 兀6 a et-x/2 s inft z +i e 3,6令，=s ina+c os a,因为 l_ 6 3 ，所以 I 4 J 1 2t2-s inac os a=-又由 2 ,83 J-号，血可得 2且g(f)在L 2 上单调递减,r-g(0mm=-7 r-；=2 +2 f =&s in
23、(a+q =&z =-当f=j 2 时，2-1 ,此时 D 有三个不同的实数解，求实数人的取值范围.【答案】/(x)=x 2-2 x +lIk k k=-14或 2 j【分析】(1)取”求出/()令 尸。得出/(“)；令 =1 优-斗(1),由了=(、)的图象以及题设条件确定当。4 2 2 或。4 2 必=2 或 4 1),则G)的图象如下,则由 码 2|+2 左=0,得 人 邯+2 +2%+1 =0（*）,记方程（*）的根为卬牝当。422或。42冉=2或 4 2冉=。时,原方程有三个不同的实数解，令 g（/）=广-（3%+2）/+2k+1g（0）=2%+10贝 3（2）=1一必-k=-k=解得 4或 4或g（0）=2 4+1 0 g（2）=l-4 A r =0八 3k+2.0-0八 3k+20-k-I所以实数上的取值范围为1 4或 2 J.