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1、2022-2023学年内蒙古自治区鄂尔多斯市高一上学期期末数学试题一、单选题L 设 集 合 公 124 ,二冲X+吁0 若 ZC 八 1,则下(A.，一 3 B.网 C.D.，5【答案】C【详解】.集合=.2 4,=X|X2-4X+7 =0,/|3 =1x =l 是方程 x 2-4x +w =的解，即 1-4+机=.机=38=x?-4x +/n =0=|x2-4x +3 =0=1,3 故选C/(I)2.已知/（X）的定义域为卜2,2,则函数g（x）=J 2x=+7 1，则g/（x）X的定义域为A.(4 3B.(-L+8)(,0)o(0,3)(一,3)C.2 D.2【答案】A厂2 4 1 4 2
2、 x 0,则一5,即定义域为I 2 故选人.3.设函数f（x）=x +l o g2X-m,则“函数/（X）在D I 上存在零点”是机e（l，6）的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由函数基本初等函数的单调判断函数/口）的单调性，由函数/G）在I 2 ）上存在零点，则0；即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可;【详解】解：函数/（的二+“8?0 7在区间（，+）上单调递增，|_L 4 I f|=-w 0,解得 m 6,故“函数/G）在 于1上存在零点”是60，6）”的必要不分条件.故选：B.【点睛】本题考查函
3、数的零点及充分条件、必要条件的判断，属于基础题.C=log2（l+I4.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：1 人它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽力、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功S_ S_率N 的大小，其中后叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽力，而将信噪比后从1000提升至2 0 0 0,则C 大约增加了（）A.10%B.30%C.50%D.100%【答案】A【分析】根据香农公式，分别写出信噪比为1000和 2000时的传递速率为C=lg2（l+100）和C=log2(l+2 0 0 0),两者相比，再根据对数运算即可估计得答案.s 详
4、解当 N“时，C=fFlog2(l+1000)当彳=2000 时,C=l71og2(1+2000)%log2(1+2000)-%log+1000)_ log2 2001 _ 11 +log?1000 _ 1 。2则 lo g2(l+1000)-log21001-log21000-3 g1 -1 1-=lgl04 lg2lgl03=-lg2H o.1又 43,根据选项分析，3S所以信噪比N 从 1000提升至2 0 0 0,则C 大约增加了 10%.故选：A.【点睛】本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.3 33 5_ 6=log c=-5.设 ,：2,则 、权,的大小关系是（）A.
5、abc B.a cb c.b a c 9 bca【答案】C3【分析】根据嘉函数y=的单调性，可得0 a c,根据对数函数的单调性可得b0.3A3 3【详解】因为函数7 rn、0 一 一y=x 在，+8）上为增函数，且 5 2,6=logi 彳 log11 =0又因为 C 5所以6ac.故选：C6.设函数/G n 0+凶）一 77百，则使/（X）/3一 1）成立的x 的取值范围是c.累 D.EMM【答案】A【详解】试题分析：一定义域为火，漏.函数 小）为偶函/l.t H ln ll-F x l-r数，当工0时，.1+函数单调递增，根据偶函数性质可知：得 x）/（2 x-l）成立，小靖 熟（如雷，
6、.X的范围为（5 ）故答案为A【解析】抽象函数的不等式.【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记.根据函数的表达式可知函数户W为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在 大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把/（x）/（2 x-l）可转化为卜 丁、解绝对值不等式即可.7.已知函数/（x T）G e R）是偶函数，且函数/（尤）的图象关于点。）成中心对称，当x e T，l时,/Q）=x T,则八 2017）=（）A.-2 B.-I C.0 D.2【答案】C【分析】利用函数/（x-l）（x R）的奇偶性和函数
7、/G）的对称性，推出“X）的周期为8,再根据周期可求出结果.【详解】因为函数/（x 7）（x e R）是偶函数，所以TT）=/（XT）,因为函数/G）的图象关于点 ）成中心对称，所以/（2-x）+f（x）=0,所以/（2-x）=-/（x）,将 x 换为 x+3,得/（一 -1）=-/（+3）,又/(-x-l)=/(x-l),所以/(x T)=-7 (x +3),将 x 换为 x +4,得/(x +3)=-/(x +7),所以/(x-D =/(x +7),将x 换为x +1,得/(x)=x+8),所以/(x)是周期函数，且周期为8,所以“2 0 1 7)=/(2 5 2 x 8 +l)=/(l)
8、=1 7 =0故选：C|l o g,x|,0 x 41 3 3/（X）=8.函数若a，6,c,d 互不相同,且/(4)=/(6)=/(c)=/(d),则任4 的取值范围是（）A（3 2,3 4）B.（3 2,3 町 c,（3 2,3 5）D（3 2,3 6）【答案】C【分析】不妨设 6c，作出函数/（X）的图象，根据图象可得0 1 6 4,4 c 5,7Vd8,利用/（Q）=/S）推出而=1,利用/=/（）推出c +d =1 2,再根据二次函数知识推出3 2 3 5,从而可得结果.【详解】不妨设 6 c d,作出函数/（X）的图象，如图：由图可知，0 a l 6 4,4 c 5 ,7 “8,因
9、为/(。)=/3),所以U o g 2 a l=1 唾 2 ，所以-l o g 2 a =l o g?所以 l o g?a +l o g?6 =。,所以1 呜（助=0,所以必=1y=心+卫因为二次函数 3 3的对称轴为一 8 rX =-7 =62 x-3因为/(c)=/(d),所以c +d =2 x 6 =1 2,所以 cd=c(l2-c)=-c2+12c-(c-6)2+36,因为4 c 5,所以32cd2*。，的否定是“、办1,x2 2。,的否定是“心”42*”，故A项正确；对于B 项，命题“若 +=0,则。=0 且6=0”的否定是“若/+=0,则“#0 或6 父0”，故 B项错误：对于C
10、项，命题“若。6=0,则。=0 或6=0”的否命题是“若=0,则 月.丑 ，故 c 项错误;对于D 项，由PA1 是假命题，可知命题与命题“不能同时为真；由夕丫自是真命题，可知命题P 与命题“不能同时为假，所以命题p、一真一假，故 D 项正确.故选：AD.1 0,已知定义在R 上的函数v=/（x）满 足 条 件 卜 且函数J为奇函数,下列有关命题的说法正确的是（）A./为周期函数C./（X）为 R 上的单调函数B./为 R 上的偶函数D.公）的图象关于点I T。）对称【答案】ABD【分析】由周期性的定义可判断A,由奇偶性的定义可判断B,由偶函数的单调性的特点可判断C,由奇函数的对称性结合图像平
11、移可判断D+=-/（%）【详解】对于A：.函 数 V 2）/(x +3)=/(x)=/(x+3)/（）是周期为3的函数，故A 正确;对于B：I,又/（X）的周期为3,0+讣/卜司令x+卜,则/（3/（-）./（）是偶函数，即/（X）是偶函数，故 B 正确；对于C：由 B 知/（X）是偶函数,/（x）在S）和（6+）上的单调性相反，/（x）在R上不单调，故C错误；y=f x对于D：.函数 I r为奇函数，“一小4）的图象关于点（0,0）对称，一，卜的函数图象是由，=/（）的图象向右平移个单位得到的，3的函数图象关于点14 J对称，故D正确.故选：A BDI I.设。0,b 0,a+b+a b 2
12、 4,贝i j（）A.”+6有最大值1 8 B.6有最小值8C.帅 有最大值 6 D.仍有最小值1 6【答案】BCb=L【分析】当。=1 9,4时，可判断AD不正确；利用基本不等式求最值可判断B C正确.6=a+b=1 9+1 8【详解】对于A,当 1 9,4时，满足a +6+M=24,此时 4,故A不正确；,24-ab-对于 B,因为力a +b+ab=249 所以 +a,a+b=a+-=。+1 +-2 +2=8所以 1+a a+V a+,当且仅当a=b =4时，等号成立，故a +b有最小值8,故B正确；对于C,因为ab 24=a+b N 2 而,当且仅当。=b时，等号成立，所以（V+6）（V
13、 K_ 4）K 0,因为 a 0 力 0,所以 0 V4,所以 0 a 6 6,所以而有最大值1 6,此时”=b =4,故C正确；f t =ab 6对于D,当。=1 9,4时，满足a +b +M=24,此时 4,故D不正确.故选：BC1 2.已知函数，=/（）和）=8（工）在卜22上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中正确的是()A.函 数/g（、）的零点有且仅有6个 B.函数g/（x）的零点有且仅有3个C.函 数/（X）的零点有且仅有5个 D.函数g g（）的零点有且仅有4个【答案】A C D【分析】设内层函数为，先根据外层函数图象得到外层函数的零点个数以及零点的范围，再结合内层函数图象得
14、到交点的个数即可得解.【详解】对于A,令g（x）=,，则/g（x）=r）,由/=,结 合y=/（幻的图象可知，方程）二有且仅有三个不等的实根，设为4、2和4,不妨设4 2 ，3,则_2 4 _,2=,当2 4 -1时,方 程g（x）=4有2个不等实根，当 2=时，方程g（x）=2有2个不等实根，当1 3 2时，方程g（x）=4有2个不等实根，综上所述：函 数/以（切的零点有且仅有6个，故A正确；对于 B,令人x）=t,则 g/（x）=g ）,由g =,结合y =g（x）的图象可知，方程g（）=有且仅有2个不等的实根，设为 和芍，不妨设则-2/T,0 1,当-2 乙-1时，方程/（x）=4有且仅
15、有1个实根，当%1时，方程/）=4有且仅有3个不等的实根，综上所述：函数g 1/（x）的零点有且仅有4个，故B不正确；对于 C,令x）=r,则由/=,结 合y =/（幻 的图象可知，方程/）二 有且仅有三个不等实根，设为、4和八，不妨设G U,则-2 4-1,%=,l 3 2,当-2 4 -1 时，方程/（x）=4有且仅有1 个实根，当 2=时，方程x）=2有且仅有3个不等实根，当1 3 2 时，方程/。）=4 有且仅有1 个不等实根，综上所述：函 数/（X）的零点有且仅有5 个，故 C 正确；对于 D,令g（x）=，贝 i j g g（x）=g ）,由g（f）=,结合V =g（x）的图象可知
16、，方程g ）=有且仅有2 个不等的实根，设为4 和4,不妨设则-2 右-1 ,0 f2 1 ；当-2 乙 -1 时，方程g（x）=4有且仅有2 个不等的实根，当 2 0 且 a*】）的最小值为1,则/G4）与7）的 大 小 关 系 是.【答案【分析】根据题意和指数函数的图象与性质可知：函 数 关 于 直 线 尸 一 1对称，进而求解.【详解】因为函数/G A (。且 的 最 小 值 为 1,所以。1,由指数函数的图象与性质可得：函数的图象(、户/1关于直线产-1对称，且(-8,-1)上单调递减，在(T，+8)上单调递增，因为-4 距离对称轴的距离比I 大，所以/(-4)/(1)故答案为：y=l
17、ogi(2x2-3x+l)15.函 数 5 的 递 减 区 间 为.【答案】(L+oo)19X 得，2 或x l,由复合函数单调性可知，函数y=log)(2x2-3x+l)2 的单调递减区间为(L+00).【解析】对数函数性质、复合函数单调性.1 6.已知函数V=/(x)/=g(x)分别是定义在 T 3 上的偶函数和奇函数，且它们在9 3 上的图象这20如图所示，则不等式名 卜)在卜3,3 上的解集是.【答案】(T-2U(-1,0)U(1,2 f(X)0【分析】不等式g(x)的解集，与 f(x)名依)2 0 且 g(x)#0 的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f(x)是偶函数，g(
18、x)是奇函数，得到f(x)-g(x)是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可.f(x)0【详解】将不等式g(x)转化为f(x)隹 出 且 g(x)*0,如图所示：满足不等式的解集为：(1,2-y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数；.f(x)-g(x)是奇函数,故在y轴左侧，满足不等式的解集为（-3,-2 U（_ i,o）Z 0故不等式g（x）在-3,3上的解集是（_3,一2 “-1，。川（1,2【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.四、解答题17.（1）已 知 一
19、扇 形 的 圆 心 角 是 所 在 圆 的 半 径 是 凡 若 =6 0。，R =1 0 c m,求扇形的弧长与该弧所在的弓形面积;（2）若角6的终边与函数 =-2 1x 1的图象重合，求s in。、c o s 8和t a n d.丝兀一2 5 百 s in，=_*【答案】（1）扇形的弧长为3,该弧所在的弓形面积为3；（2）5 ,c o s 0=s in 0=-c o s 0=t a n 6?=25 ,t a n 6 =-2或 5 ,5 ,-1;【分析】（1）利用弧长公式求出弧长，扇形面积公式求出扇形面积，用扇形面积减去三角形面积得弓形面积；J-2 x,x 0（2）由y =-2|x|12 x,
20、x /3/D =R s in 巴=10 x=5则 6 2 6 2SA M=OL 5痒 10=2 5 g所以 2 2丝兀-25后该弧所在的弓形面积为3J-2x,x0（2）因为函数y=-2|x|l2x,x0,若角。的终边落在射线N=-2x（x 2 0）上，在角8的终边上取一点尸（1，-2）,则r=OP=V U 4 =亚,=cos8=；=g tan?=-2则 J5 5,J5 5,1 .若角e的终边落在射线v=2Mx ）上，在角e的终边上取一点P（T，-2）,则厂=OP|=VT+4=石,si-n eQ-_f12=2 亚a 1 x/5 2cos 0=j=-tan 8=2则 V5 5,J5 5,-11 8
21、.已知幕函数了=）的图象经过点（2,4）,对于偶函数y=g（x）（xeR）,当x 2 0时，g（x）=f（x）-2 x.（1）求函数y=x）的解析式；（2）求当x 0时，函数y=g a）的解析式，并在给定坐标系下，画出函数y=g（x）的图象4产3 2 1 1V-4-3-2-1 1 2 3 4-1（3）写出函数、=旭（刈的单调递减区间【答案】（1）f M =x（2）当x0 时，g（x）=x2+2x,图像如下图所示：(3)(-,-2,-1,0,1,2.【分析】(1)设出事函数的解析式，把点代入即可求出函数解析式；(2)利用偶函数的性质可以直接写出当x.,.当 xN0 时 g(x)=，_2x设x0,
22、.y=g(x)是R上的偶函数g(x)=g(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.即当x o,k,“是常数)的图象，且(1,8),8(7,1).(1)写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2。咯)时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：0 0,为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？(3)若 按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h,该病人每毫升血液中含药量为多少g?(精确到山小)8/,(0 /1)片8日件,(卬【答案】J(2)上 午1 1：0 0服药 4.7 g【分析】（1）根据函数图象求解函数解析式；（2）根据题意
23、列出不等式，求解出答案；（3）分别求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果.【详解】（1）当 q ,a Qt匕a是常数），得ka=8k(i-1解得6a=2k=8亚8/,（0/1）7 =1）故一t8啦x|变=2（2）设第一次服药后最迟过f小时服第二次药，贝一,解得：，=5,即第一次服药后5 后服第二次药，也即上午11：00服药；（3）第二次服药3人 后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为:每毫升血液中含第二次服药后剩余量为:2/+4 a 4.7 g所以此时两次服药剩余的量为2故该病人每毫升血液中的含药量为47 g2 0.已知函数/（x）=+lgX（。0且aw l）的图象
24、经过点（4）和（卜1）.（1）求函数/G）的解析式；令g（x）=2/（x+l）-/（x）,求gG）的最小值及取最小值时x的值.答 案 /（%）=-1+1。82%（2）gG）的最小值为3,且且取最小值时x的值为1.l=b+l0gl,4【分析】（1）由1-1=+噬 求 出.力，可得X）的解析式:./A g（x）=-l +l o g j （x+l）+2 I 化 间 将 x ），再根据基本不等式和对数函数的单调性可求出结果.=6+l o g“4 卜=2【详解】（1）依 题 意 可 得=6+解得1=T,所以/（X）=-l +1 0 g 2 X（2）由（1）知，/=-l +l o g2x所以g（x）=2（
25、-1 +唾式+1）_（_ 1 +l o g?x）=-1+log?-1 +l o g?x +：）+2 （、0）x H-F 2 2.X-+2 =4因为x ,所以x x,当且仅当x =l 时，等号成立，又2 1,所以g（x）m,=T +4 =3,此时x =所以g（x）的最小值为3,且g（x）取最小值时x的值为1.2 1.已知函数/0去+1。即（9+1）,（人幻是偶函数（1）求”的值;“/（x）-（；x+30（2）若 I ）对于任意x 恒成立，求6的取值范围；.,一）,+1-V（3）若 函 数 +2”3-。,*8,是否存在实数,使得心）的最小值为。?若存在,求出加的值，若不存在，请说明理由.k=_ L
26、【答案】2 ；（2）6 4 0；（3）存在，w =-V 2【解析】由/（-x）=/G）,化简可得-x =2 去，对任意xeH恒成立，从而可得力 =一：/（X）-R x+b0/、（2 ）对任意的X6R成立，即1 嗝（9+1 卜 x b,求出1 嗝（9+）、即可得结果；（3）化简得（x）=9 +2m3+2,令，=3 e l,2 夜 y =e+2m.t+2 止。,2 亚利用二次函数的单调性，分别求出最小值，令其为零，解方程即可的结果.【详解】函 数/0履+1。氏（9、1）,（人 外 是偶函数则满足/（x）y（r）所以丘+唾 9（9V+1）=-Ax +l o g,（9-x+1）9V+1 (1 +9。2
27、kx=l o g9-=l o g9-7 4；=l o g9 9 r=-xnn9 9V+1 6 9 9A(9A+1)9即,Jk所 以 殊=-1解得 2/(x)=-x +l o g 9，+l)/(x)-；x+力 0(2)由 可知，2 0 U)对于任意x 恒成立代入可得1 O g 9 O,+l)-j 所以 +1 4对于任意x 恒成立9+1 (.1 g (x)=l o g9(9+l)-x =l o g,(9V+1)-l o g,9 g，9*-84+F)1 +1 l o g/1 +7 7 7 0因为 9 所以由对数的图像与性质可得 19)所以6 4 0 (x)=9吟+2 加3+1 x e 0,l o g
28、98 且/(+-乎+血&+1)代入化简可得(X)=9+2m 3+2令t =3 ,因为所以“口，2&则 =r+2 加/+2 =(/+加)2 +2-/,z w 1,2 8 当T HK I,即加2-1 时，P(f)在 L2 向上为增函数，=_ 3所以P(,L=P()=2 川+3 =0,解得”一 一 5不合题意，舍去 当 1 -加 2&,即-2 上 小 -1 时，M )在口，一 上为减函数，C)在 一 2 五 上为增函数,所以P L=P（F）=2-/=0,解得机=五，所 以 机=-&当 2 /2 0,都 有 匕 成 立，则称,(X)是。上的有界函数，其 中/称为函数/(“)的上界己知函数G A 弓)+
29、勺)0)当。=i,求函数/a)在(一8，)上的值域，并判断函数/G)在(，)上是否为有界函数，请说明理由；Q)若函数/(X)在 ，+8)上是以3为上界的有界函数，求实数。的取值范围.【答案】(1)值域为(3,+oo)；不是有界函数，详见解析(2)【详解】当a=l时，f(x)=l+眇H因为f(x)在(一8,0)上递减,所以f(x)f(O)=3,即f(x)在(一8,0)的值域为(3,+oo),故不存在常数M0,使|f(x)|W M成立，所以函数f(x)在(-00,0)上不是有界函数.(2)由题意知,|f(x)区3在 0,+oo)上恒成立.-3 f(x)0,p(t 1)-p(t2)=牲 0,所以 h(t)在 1,+oo)上递减，p(t)在 1,+oo)上递增，h(t)在 1,+8)上的最大值为h(D=-5,P在 1,+8)上的最小值为p(l)=l,所以实数a的取值范围为-5,1.