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1、2022-2023学年北京市怀柔区高二上学期期末检测数学试题一、单选题1.若直线的倾斜角为60。，则直线的斜率为（）73_V3A.B.Y C.3 D.3【答案】A【详解】因为直线的倾斜角为6 0,所以直线的斜率/=12160=百，故选A.2,若直线2x+V-l=与直线x-沙=垂直，则?=（）A.-2 B.2 C.2 D.2【答案】C【分析】利用两直线垂直，斜率相乘为-1，列出方程求解即可.【详解】直线2 x+y-i=与直线 一叩=垂直，/.-2x =-1（/H0）m：.m=2故选：c3.己知抛物线C：/=4 y,则焦点坐标为（）A.（16，）B.I%）C.D,（。）【答案】D【分析】根据抛物线
2、的方程直接求出焦点即可.【详解】由抛物线C*2=4y可得其焦点在j轴上，其焦点坐标为（0，。.故选:D.4.若 点（123）,点以4,-1,0）,且 =2而,则 点C的坐标为（）A.（3，）B.Q i,?）【答案】A【分析】设c（x，y，z）,根 据 就=2区列方程组即可求解.详解设C（x，%z）,则 就=（x-l,y _2,z _3）,而=（4 _x,_l-y,_z）x-l=2（4-x）x=3y-2 =2（-l-y）y =0因 为 就=2无，所以z -3 =2 （-z）解得z=1故点C的坐标为*，J）.故选:A.5 .若圆：/+/=/与圆2：（x _ 2）-+y2=9相内切，贝什为（）A.1
3、 B.2 C.5 D.1 或5【答案】D【分析】根究两圆内切满足的圆心距和半径差的关系即可求解.【详解】圆9：/+=，的圆心和半径为（0,0），圆2：（-2）-+/=9的圆心和半径为 2（2,0）,1=3,由两圆内切,所以|。0 2|=|&-|=2 =|3-4”1 或.5,故选：D6.将单位圆V+y2=l上所有点的横坐标变为原来的3倍，再将纵坐标变为原来的2倍，得到的曲线方程为（）9 x2+4 y2=1 R 6 +4 一 1“D.7C.9 4 D.4【答案】C卜，=3 x【分析】由题意可知：单位圆/+/=经过伸缩变换1了=2-将其整理代入圆的方程即可求解.fxr=3x【详解】设得到曲线上任意一
4、点（X3），由题意可知：单位圆V+/=l经过伸缩变换】V =2y,整xX=一3、上 2 2理可得：I 2 ,又（x j）在单位圆k+y=1上，（工）2+4）2=+亡=1所 以3 2 ,整理变形可得：9 4 ,所以单位圆x+V=l上所有点的横坐标变为原来的3 倍，再将纵坐标变为原来的2 倍，得到的曲线方程为9 4,故选：C.C:/-工=1 0 0）7.已知双曲线 b2 的离心率是2,则其渐近线的方程为（）A x 6y=0 B G x y=0C X 3 y =0 D 3 x y =0【答案】B【分析】根据双曲线的离心率求出6 的值，进而可得答案.2C:x2-=l（fe0）1 /777T【详解】由双
5、曲线 力/可得 1,C=A/1+力，；e=j =叵=2n b fa 1,y=-x=士也x所以双曲线的渐近线方程为 1 ,即 G x y =O,故选：B8.在长方体中，AB=6,BC=6,A A=1,则直线 G 与 平 面 网 q c 内直线所成的角中最小角为（）A.30 B.45 C.60 D.90【答案】B【分析】设/是平面8片G C 内任一直线，7 是/的一个方向向量.当/8 C 或/与8 c 重合时，/及。/即等于线线角，在 R tA/q G 中，求出即可；当/与8 c 不平行且不重合时.设0=Z,Bc=h,BB、=则中力 可以作为空间向量的一个基底.则A C -a +b+c 根据平面向
6、量基本定理以及共线向量可得到/的一个方向向量%=m +c.设线线cos0=|cos/jc；,l=/=2 f+1=0z4m2+4 加 +11 2/+6 ,整理可得(-4)m 2 _ 4 加+6/一 1 =0该方程有解,即=(-*4(-4)(6 1)7 4 4(2 ()，0 Z i T解得 V?J 4 O jcos(为 用 卜 =也2,即 戈 也 +1)2,即1 /2 2,0 cos 0/2 1 即 ZBlClA 45”综上所述，直线,G 与平面8 8 C C 内直线所成的角中最小角为45.故选：B.AC-=29.在平面内，A、8 是两个不同的定点，C 是动点，若BC,则点C 的 轨 迹 为()A
7、.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】A【分析】建系设出A、8、C 的坐标，利用已知条件，转化求解C 的轨迹方程，推出结果即可.【详解】在平面内，A,B是两个定点，C 是动点，以刘方向为x 正方向，线 段 的 中 点 为 原 点,建立平面直角坐标系，设1却=2，则4 一 ,0),例a,0),设点C 的坐标为(x j),所以 4c=(+j),BC=(x-a,y)就=_/或 为=5+1故答案为：2力.2三、填空题13.过点（-12）且与直线/：x+y+=0平行的直线方程为【答案】x+y-l=0【分析】根据平行直线系设直线方程为x+y+c=0,（c x l）,代入（T，2）即可求解 详解设与
8、与直线/：x+V+l=0平行的直线方程为x+V+c=0,（c*l）,将点（-L2）代入得c=T,所以所求方程为+歹一1 =,故答案为：x+y-l=014.在（2 x 7）的展开式中，x的系数为.【答案】10【分析】写出 x T）展开式的通项为&i=（T）*2令5 f =1,解出r代入即可得到结果.详解Q x-l）展开式的通项为。+产C（2x）x（-l）=（-1）x25 -Cx5 1 r=o1,2,3,4,5令5一厂=1,可得r=4.所以，x的系数为（T）Q 2 f C；=10故答案为：10.15.数学中有许多美丽的曲线，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中,揭示了规律性，
9、是一种科学的真实美.如曲线C2+V=|X|+3,（如图所示），给出下列三个结论曲线C关于直线y =x对称；曲线c上任意一点到原点的距离都小于近；曲线c围成的图形的面积是2+兀.其中，正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【分析】根据点的对称性可判断，由曲线方程知曲线关于原点，X,y轴对称，当X N O,丫+心 丫 c化时，可 得/+必 一 -尸 ,可 得【2）V 2）2,所以可得曲线为（2 2）为圆心，F为半径的半圆，由此可作出曲线c的图象，从而通过运算可判断命题的真假.【详解】设点G）在曲线C上，则x2+y2=N +3,（X/）关于直线y =x对称的点将H（y，x）代入曲线C中得V+x 2
10、=3 +|x ,因此“（K X）在曲线C上，故正确，曲线c：/+V=|x|+l*可 知曲线C关于原点，x,y轴对称，当x W 0,”0时，可得x 2+y-x-y =0,L_1Y+L_1Y 1 c fin可得（2）-2）2）所以可得曲线为（2 2 j为圆心，2为半径的半圆，曲线上任意点到原点的距离的最大值为 1 2 2 ，曲线C上任意一点到原点的距离都小于或等于血 ,故命题错误；根据对称性可知曲线C围成的图形的面积为4个半圆的面积加上边长为应的正方形的面积，即V2 x V2+4 x X7tx|=2+7：2 I 2 J ,故命题正确；故答案为：四、解答题1 6.在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在
11、直线y=-2x上，且与直线x+y-l=相切于点P（2,7）求圆 的方程；若定点（3，）,点8在圆上，求1,邳的最小值【答案】（1）（1 7+3+2）.=2（2）正【分析】（1）利 用 待 定 系 数 法 设 得 圆 再 根 据 题 意 得 到 关 于“涉的方程，进而求得，由此得到圆屈的方程；（2）利用定点到圆上动点的最小距离的求法求解即可.【详解】（1）设圆”为（x-y+（y-b Y=,则历（a，6）,半径为厂，因为圆心“（”力）在直线V=-2x上，所以6=一2,因为直线X +V T=与圆M相切于点P（2，T）,所以直线x+N-l=与直线PM垂直，b+1 _ -2a+1 _ 所以”=1,即”2
12、 一，则a-2 ,解得。=1,则6=-2,所以r=1尸 机=&1-2）2+（-2+1）2=啦,故圆 M 为（XT）2+&+2）2 =2（2）因为（3 7 7+（0+2）2 2,所以点G O在圆M外，因为 14M=，（3力+（0+2）2=2&,所 以 网 鹏=I皿-=八,即 朋 的 最 小 值 为4 1.1 7.已知抛物线C：V=2Px（P 0）的焦点为F（1,0）（1）求夕的值；（2）过点厂的直线/与抛物线C交于A,8两个不同点，若月8的中点为“G一2）,求 的 面 积.【答案】（1）2；（2）2&.P=1【分析】（l）解2，即可得出答案；（2）点差法求出直线43的斜率，得到直线/的方程，根据
13、抛物线的定义求出回=8,根据点到直线的距离公式求出点。到直线/的距离“，即可求出面积.=1,【详解】（1）由己知可得，2，所以。=2（2）由（1）知，抛物线的方程为好=人.设（X”必），8（孙 力）,则 有9=4再，0（直线与抛物线有两个交点，满足.所以，直线/方程为x+）T =.又飞+乙=6,根据抛物线的定义可知|力川=玉+&+P=8d _ _ /2点。到直线/的距离 炉 了 2,11/nS=-xABd=-x S x =2/2所以AO/8 的面积 2 1 1 2 21 8.如图，在长方体中，48=3,4）=/4=2,点 后 在 上，且N=l（1）求直线8G与4 c所成角的大小；（2）求B 3
14、与平面4EC所成角的正弦值.答案 9 0。也6【分析】（1）以。为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出4 0,8 G =（-2,0,2）,利用空间向量的数量积求解直线4c与8G所成角的余弦值即可.（2）求出平面E C的法向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角【详解】（1）以。为原点，4 O C,Z）A的方向分别为X轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则 4 (2,0,2),C(0,3,0),5(2,3,0),(0,3,2),5(2,1,0)所以 4 c =(-2,3,-2),8 G =(-2,0,2)cos 4 C lG =ACBC
15、,4-4|布|照 一 限 加=0.所以所以4c_ L 8G,故直线4c与2 G所成角为9 0 .(2)因 为 反=(-2,2,0)平=(o,l,-2),m-AE=0,(y-2z=0,设平面4E C的法向量为而=(x,y,z),贝 玩-EC =0,即-2x +2y =0.令y =2,则X =2,z =l,于是而=(2,2，1),设8G与 平 面 所 成 角 为s i n夕=卜0$Bq,而 卜则|-4+Q+2|_V2匹 悯-2/2x 3 67 2所以8a与平面4E C所成角的正弦值为工1 9.如图，四棱锥尸一488中，平面P 4 D，平面/8C O,底面/8 C Z）为直角梯形,PALADAB=3
16、,CD=AD=2,PA=2也 求证：C O/平面 48：（2）求平面PAB与平面PCD所成角的大小.【答案】（1）证明见解析7 1%【分析】（1）由题意可得/8/C O,然后根据线面平行的判定定理即可得到结果；（2）以点A为坐标原点，分别以“民4 0,H P 为x 轴，了轴，z 轴建立空间直角坐标系，结合法向量即可求得二面角的大小.【详解】（1）因为在四棱锥P-4 8 c o 中，皿共乙4 ,所以4 8 C ,因 为 平 面 P/8,COcZ平面尸所以C。/平面尸因为平面产 力。,平 面4 BCD,且 平 面 平 面 4 8 C O =A D ,又因为尸/_LN。，所以/,平面”8 C。,以点
17、A为坐标原点，分别以4 8,4 0,为*轴，F轴，z 轴建立空间直角坐标系”则/（0,0,0）,尸 0,2 6）8（3,0,0）,（0,2,0）,C（2,2,0）设平面P C D的法向量为 =（x，z）n-CD =0 j-2x =0 （X=Q由i i P D =Q汨-2任=0,解得1=&，令z =l,贝”所以又因为4 5 J.平面P AB,平面P A B的一个法向量胴=（/，）设平面P A B与平面P C D所成角为e,_ m-n 百c o s 6 =c o s =则1 1 H-H 2c o s =0 =显然二面角为锐角，所以 2,即 6n所以平面4 8与平面P C。所成角为片.xyz2 0.
18、已 知 椭 圆,+不 一 隈”（）的左、右焦点分别为耳，5，且阳周 二，且4 =2 b 求椭圆C的方程;（2）过点6的直线/与椭圆C交于A ,8两个不同的点，求证：x 轴上存在定点户,使得直线 与直线总的斜率之和为零.Y +Y =1【答案】（1）8 4（2）证明见解析.【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆C的方程；（2）对直线/的斜率是否存在，进行分类讨论:当直线/的斜率存在时，设直线乙、=0+2）.设x轴上存在定点P 6 0）,利用“设而不求法，表示出%+%=0,求出P（TZ）；再由对称性判断出直线/的斜率不存在时符合题意.2c=4（c=2 a2=b2+c2 d=8%2 yi【详解】由题意可
19、得：la=b,解得：,所以椭圆C的方程为后.I（2）设”（须，必），8（，%）当直线/的斜率存在时，设为3则直线/：、=无0+2）.8 4联 立 y（x+2）,消去y可得：（1 +2*V+8 FX+8_8=08公8/一8所 以%+X,=-xixi=-72 1 +2-2 1+2/2k=必-0 k=%一设X轴上存在定点尸6 ）,则%-t因为 xt x2-tkpA+kpB=所以乂 山 一 开 乃 。二0（x,-/）（x2-0所以 X x（x：-。+了2（演-。=0,艮 13 A（演 +2）x（X?-。+左（W+2）（X 1 -f）=0整理得：24+（2 _/）（占+七）-4/=0,8左22x所以蝴-
20、81 +2+I（2-/）-1-+-2-口-r-4/=0所以 16-1 6-1 6+8比2-4r-8 4二=0,解得：t=-4即尸卬）.当直线/的斜率不存在时，由对称性可知：A,8关于x轴对称，由P G4，。），可知直线尸/与直线心关于x轴对称，所以直线尸”与直线心 的斜率之和为零.符合题意.综上所述：X轴上存在定点（T ）,使得直线尸/与直线尸8的斜率之和为零.2 1.如图，四棱锥S-/8C。的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的近倍，P为侧棱SO上的点.（I）求证：A C LSD x（口）若S D 平面P A C,求二面角P-AC-D的大小；（in）在（n）的条件下，侧棱SC上是否存在一
21、点E,使得面 P Z C 若存在，求 SE；E C 的值；若不存在，试说明理由.【答案】（I）见 解 析（n）30；（in）2:1.【分析】（I）连 B D,设 A C交于BD于 O,由题意知SOJL平面A B C D.以O 为坐标原点，0 8,C,S 分别为*轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O-xyz,设底面边长为a,求出高S O,从而得到点S 与点C 和 D 的坐标，求 出 向 量 反 与 而，计算它们的数量积，从而证明出OCLSD,则 AC1SD；（H）根据题意先求出平面PAC的一个法向量方和平面DAC的一个法向量砺，设eg g 历 五 百所求二面角为0,则 MDS?，从而求出二面角
22、的大小；（n i）在棱SC上存在一点E使 BE|平面P A C,根 据（II）知 痂 是 平 面 PAC的一个法向量，设 量=匝 求 出 而，根据丽丽=0 可求出t 的值，从而即当SE：EC=2：1时，BE-D S,而 BE不在平面PAC内，故BE|平面 PAC【详解】证明：连 B D,设 AC交 BD于 0,由题意SO 1A C.在正方形ABCD中，AC1BD,所以AC1平面S B D,得 AC1SD（II）设正方形边长a,则 必=&.6O D =a又 2,所以4SDO=60。.连 O P,由（I）知 ACJL平面S B D,所以AC1OP,K A C 1O D.所以NPOD是二面角P AC-D 的平面角.由 SD_L平面 P A C,知 SD_LOP,所以4POD=30。,即二面角P-A C-D 的大小为30S(III)在 棱 SC上存在一点E,使 BEII平面PAC.V2PD=a由(I I)可得 4,故可在SP上取一点N,使 P N=P D.过 N 作 PC的平行线与SC的交点即为E.连 B N,在ABDN中知BNIIPO.又由于NEIIPC,故平面BENII平面P A C,得 BE|平面PAC.由于 SN：NP=2：1,故 SE：EC=2：1【解析】1.直线与平面垂直的判定；2.二面角求解：3.线面平行的判定