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1、2022年 高 考 数 学(理)模 拟 卷(全 国 卷)二 轮 拔 高 卷 01(本 卷 满 分 150分，考 试 时 间 120分 钟。)一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 6 0分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.设 集 合=x|x?-4x+320,?/=x|log2x0|=(-oo,l 3,+oo),lJjlog2xllog2xlog22,解 得 0 x V 2,所 以 集 合=21082、41=(0,2,所 以 M TV=(0,1,故 选:B.11-7；2.已 知 i为 虚 数 单 位，则
2、复 数 在 复 平 面 内 对 应 的 点 在()2+1A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限【答 案】D【解 析】ll-7i（H-7i）（2-i）15-25i2+i-（2+i）（2-i）-5-1所 以 复 数/在 复 平 面 内 对 应 的 点 为 C，-5),在 第 四 象 限.故 选：D.3.相 关 变 量 x,N 的 散 点 图 如 图 所 示，现 对 这 两 个 变 量 进 行 线 性 相 关 分 析，方 案 一：根 据 图 中 所 有 数 据,得 到 回 归 直 线 方 程=r+好，相 关 系 数 为 4；方 案 二：剔 除 点(10,21)
3、,根 据 剩 下 的 数 据 得 到 回 归 直 线 方 程 t=做+科，相 关 系 数 为 勺 则()A.04 1 B.0 1C.-l6”0 D.-1 为 40【答 案】D【解 析】由 题 中 散 点 图 可 知 两 变 量 负 相 关，所 以 40,4 0,因 为 剔 除 点（10,21）后，剩 下 的 数 据 线 性 相 关 性 更 强，间 更 接 近 1,所 以-1440）,因 为 等 比 数 列%的 前 3项 和 为 14,而 q=2,显 然,工 1,所 以 14=g3-7q+6=0=q3 q-6q+6=0i-q=q(q+l)(q-1)-6(q-1)=0=(q-1)(/+-6)=0,
4、解 得 4=1，或 9=2,或 q=-3,而 4 0,所 以 q=2,故 选：C-2 T5.如 图，在，ABC中，应 7=3/)，AE=AD,则&;=()【答 案】B4 1 4 7 C.-AB AC D.A8+-AC3 3 9 9【解 析】CE=AE-AC=-AD-AC=-(AB+BD)-AC3 32-2 f 2 f=-(AB+-BC)-AC=-AB+-(AC-AB)-AC4 T 7 f=-A B-A C t：B6.已 知 函 数 y=log(x-4)-1 2(。0且 a w l)的 图 象 过 定 点 p,且 角 夕 的 终 边 经 过 p,则 3。+5 卜()5A.13B.1213C.51
5、3D.1213【答 案】D【解 析】令 x-4=L.x=5,所 以)，=1 2,所 以 2(5,12),(八,八 冗、.八-12 12 _C O S 0 4-=cos(/9+)=-s in 0=一 一 7-.故 选:DI 2 J 2,2 5+144 1337.已 知 A4BC中，AB=2,AC=3,且 AABC的 面 积 为 二，则 N 8 4 C=()2A.150 B.120,C.60或 120 D.30或 150”【答 案】D1 1 3【解 析】S=-A B AC sinZBAC=-x 2 x 3 sinZBAC=-,2 2 2.sinZBAC=-,QBACTT,.,.N8AC=工 或 学
6、，故 选：D2 6 68.抛 物 线 有 如 下 光 学 性 质：平 行 于 抛 物 线 对 称 轴 的 入 射 光 线 经 抛 物 线 反 射 后 必 过 抛 物 线 的 焦 点.已 知 抛 物 线 工 2=4)，的 焦 点 为 F,一 条 平 行 于 y 轴 的 光 线 从 点”(1,2)射 出，经 过 抛 物 线 上 的 点 A反 射 后，再 经 抛 物 线 上 的 另 一 点 B射 出，则 经 点 B反 射 后 的 反 射 光 线 必 过 点()A.(1,2)B.(2,4)C.(3,6)【答 案】D【解 析】把 X=1代 入/=4 y 得 y=；,所 以/(0,1)所 以 直 线 的
7、方 程 为.4 即 y=-在+1,k 1=寸 43 1 r(y=x+1 y=4/、与 抛 物 线 方 程 联 立 4 解 得 _，所 以 3(-4,4),x2-4y x因 为 反 射 光 线 平 行 于 y 轴，根 据 选 项 可 得 D 正 确，D.(-4,8)故 选：D.9.在,A B C中，M 为 边 8 c 上 的 点，S.AM=-A B+y A C,满 足 则 空 心+生 匚（）2 x yA.有 最 小 值 8+2岳 B.有 最 小 值 耳 C.有 最 小 值 12 D.有 最 小 值 16【答 案】DX X【解 析】因 为 M 在 边 8 C 上，且 AM=/4 8+yA C,所
8、以+y=l且 x（）,y,5 y+4 3x4-2 5y 3x 4 2 5y 3x（4 2 V x）.4x 9.4x_ 9 7 S 业 n m 止-1-=1 1 1=1 I F y=4-1 1 4+21 x=16,当 且 仅 当 x y x y x y x y x y）2）y x y x4 r Q y 6 4.即 x=y=9 时 等 号 成 立.y X 7 7故 选：D.1 0.北 京 时 间 2021年 10月 1 6日 0 时 2 3分，搭 载 神 州 十 三 号 载 人 飞 船 的 长 征 二 号 F 遥 十 三 运 载 火 箭，在 酒 泉 卫 星 发 射 中 心 按 照 预 定 时 间
9、精 准 点 火 发 射，约 582秒 后，神 州 十 三 号 载 人 飞 船 与 火 箭 成 功 分 离，进 入 预 定 轨 道，顺 利 将 翟 志 刚、王 亚 平、叶 光 富 3 名 航 天 员 送 入 太 空，发 射 取 得 圆 满 成 功.据 测 算：在 不 考 虑 空 气 阻 力 的 条 件 下，火 箭 的 最 大 速 度 八 单 位：m/s）和 燃 料 的 质 量（单 位：kg）、火 箭 的 质 量（除 燃 料 外）俄（单 位：kg）的 函 数 关 系 是 封=20001n（l+辞）.当 火 箭 的 最 大 速 度 达 到 11.5km/s时，则 燃 料 质 量 与 火 箭 质 量
10、之 比 约 为（）（参 考 数 据：2 314）A.314 B.313 C.312 D.311【答 案】B解 析 由 题 意 将 u=11.5km/s代 入 V=20001nfl+L 可 得 11.5x 1000=20001nfl+V m）V m）Inf 1+=5.75,-.l+=e575=314.V m J mM.一=313.故 选:B.m11.直 线/：，=丘 与 双 曲 线 C:V-y 2=2 交 于 不 同 的 两 点，则 斜 率%的 取 值 范 围 是（）A.（0,1）B.（-0,收）C.（-U）D.-1,1【答 案】C【解 析】由 双 曲 线 C:x?-y2=2与 直 线/：丫=丘
11、 联 立 可（1-左 2卜 2-2=0,因 为 直 线/:y=丘 与 双 曲 线 1-A:2*0C:x2-y2=2交 于 不 同 的 两 点，所 以 可 得 T%1，斜 率 化 的 取 值 范 围 是（-1,1），故 选 C.12.正 四 面 体 A8C。的 棱 长 为 4,E 为 棱 A B 的 中 点，过 E 作 此 正 四 面 体 的 外 接 球 的 截 面，则 该 截 面 面 积 的 取 值 范 围 是（）A.4万,6句 B.4万,12句 C.%,4乃 D.乃,6乃【答 案】AA如 图，将 正 四 面 体 补 为 边 长 是 2&的 正 方 体，则 正 四 面 体 A8C。的 外 接
12、球 为 正 方 体 的 外 接 球，球 心。在 体 对 角 线 的 中 点，且 球 的 半 彳 仝 H=；当 0 E垂 直 于 截 面 时，截 面 面 积 最 小，截 面 圆 的 半 径 为 a=J R 2-OE2=2面 积 为 4万；当 截 面 过 球 心。时，截 向 面 积 最 大，截 面 圆 的 半 径 为 a=/?=而，面 积 为 6万 故 选:A二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。x+y-1 2 01 3.已 知 实 数 x,y 满 足 不 等 式 组,2 x-y+4 2 0,则 z=3 x+4 y-4的 最 大 值 为 4 x+y-4 0【解 析
13、】作 出 实 数 羽 了 满 足 不 等 式 组 1 2 x-y+4 N 0的 可 行 域，如 图（阴 影 部 分），4 x+y-4 03 z 2x-y+4=0/、由 z=3x+4y-4,则 y=i,由 j_4=0解 得 点 B（0,4）,作 出 y=-：x,平 移 直 线，当 直 线 经 过 点 8（0,4）时，截 距 最 大，故 Zmax=3x0+4x4-4=12,即 Z=3x+4y4 的 最 大 值 为 12.故 答 案 为：12.14.有 4 名 男 生 和 2 名 女 生 共 6 人 组 成 两 个 志 愿 者 队 伍 去 两 个 不 同 的 场 馆，要 求 每 队 既 有 男 生
14、又 有 女 生,则 不 同 的 分 配 方 法 有 种.（用 数 字 表 示）【答 案】28【解 析】女 生 的 分 配 方 法 有 2 种，男 生 的 分 配 方 法 有 C：+C：+C：=14,故 不 同 的 分 配 方 法 总 数 为 28.故 答 案 为：2815.已 知 5“是%的 前 项 和，a,=2,a=l-(n2),贝 l%22=-I【答 案】1011【解 析】因 为 4=2,q=1-/一（22）所 以,=号=1十;，生=3=1-2=7%=号=1一（一 1）=2,必=1一 上 一 2 二-%=1 一-=1-(-1)=2,6=1 一-6%-=a,=1-=1-2=-1.2 2%1
15、所 以%为 周 期 为 3 的 周 期 数 列，其 中 4+/+4 3=2+-1=.3因 为 2022=3 x 674,所 以=674x-=1011.故 答 案 为：101116.已 知 函 数/（幻=曲（5+9-0 3 0）在 区 间（0,得）上 有 且 仅 有 4 个 零 点，则”的 取 值 范 围 是【答 案】（4,1）【解 析】令 f(x)=sin(yx+-&=O=0=sin a)x+I 3显 然 有 0 3 W l，设 g(x)=s i n+(J,令 8+尹，因 为 T。,用，所 以,若 号 原 问 题 转 化 为：当 代 仁，军 卜 寸，函 数 y=sin”=0 有 四 个 交 点
16、，因 为 sin=sin皿=且，所 以 有 立。1,而 0。4 1,因 此 更 3 3 2 2 2故 答 案 为：（孝,1）三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1721题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（-）必 考 题：共 60分。17.（12分）大 学 生 是 国 家 的 未 来，代 表 着 国 家 可 持 续 发 展 的 实 力，能 够 促 进 国 家 综 合 实 力 的 提 高.据 统 计，2016年 至 2020年 我 国
17、高 校 毕 业 生 人 数），（单 位：万 人）的 数 据 如 下 表：年 份 2016 2017 2018 2019 2020年 份 代 号 X 16 17 18 19 20高 校 毕 业 生 人 数 M 单 位：万 人）765 795 820 834 874（1）根 据 上 表 数 据，计 算 y 与 x 的 相 关 系 数 厂，并 说 明 y 与 x 的 线 性 相 关 性 的 强 弱.（已 知：0.75引”1,则 认 为 y 与 x 线 性 相 关 性 很 强；0.3引 耳 0.75,则 认 为 y 与 x 线 性 相 关 性 一 般；吊 0.3,则 认 为 与 x 线 性 相 关 性
18、 较 弱）（2）求 y 关 于 x 的 线 性 回 归 方 程，并 预 测 2022年 我 国 高 校 毕 业 生 的 人 数（结 果 取 整 数）.（毛-可（巧-方,5参 考 公 式 和 数 据：旦-F-2（占 一 可 2=1 0,（%一 用 2=6727.44,而 漏，259.4,也 a-%取 y 日 V=i V,名（占-可（-9）。二 上-，a=y-bx.EU-J）2i=I【解 析】（1）由 题 得 5=18,了=817.6.所 以 X(七-五)(K 一 刃=(-2)x(-52.6)+(-1)x(-22.6)+16.4+2*56.4=257./=15-)(一 为 所 以 L/C,卜 2V
19、 i=l V i=l257710 x76727.44257259.40.99因 为 0.99 0.75,所 以），与 X 线 性 相 关 性 很 强.5z(七-元)(%-可 b=.二=*2 5.7.Z a-对 101=1a=y-fex=817.6-25.7x18=355,所 以)，关 于 x 的 线 性 回 归 方 程 是 9=25.7X+355.当 x=22 时，9=25.7x22+355=920.4=920,即 预 测 2022年 我 国 高 校 毕 业 生 的 人 数 约 为 920万.18.(12 分)A B C 的 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c.已 知
20、acos3+cosA=4ccos(%-C).求 tan C；(2)若 a=2,c=4,求.A B C 的 周 长.【解 析】(1)由 正 弦 定 理 及 acosB+bcosA=4ccos(万-C),得 sin 4cos B+cos A sin 3=4sin C(-cos C),即 sin C=sin(A+B)=4sin C(-cos C),由 于 0 C 乃,故 sinCHO,所 以 cosC=-：,所 以 sinC=正，4 4sinC rAi tan C=-=7 1 5.cosC(2)由 余 弦 定 理 得，c=a2+b2-2nZ?cosC,代 入 数 据，得+8-12=0,解 得 b=3
21、(负 根 舍 去)，故 L A B C的 周 长 为 o+b+c=2+3+4=9.19.（12 分）如 图，在 三 棱 柱 ABC A 与 G 中，侧 面 A C C 4 是 矩 形，AC ABf 43=A4,=2,A C=3,ZAAB=120,E,b 分 别 为 棱 A4,8 C 的 中 点，G 为 线 段 C尸 的 中 点.（1）证 明：A G/平 面 AE77;（2）求 二 面 角 A 所 一 3 的 余 弦 值.【解 析】（1）连 接 4石，交 A E 于 点。，连 接。尸，由 题 意，四 边 形 A B B M 为 平 行 四 边 形，所 以 AB=4禺,因 为 E 为 中 点，A
22、E=；AB,.A0E 804,且 相 似 比 为 g 4。=g o 8,又：F,G 为 BC,C F 中 点，.GP=；B F,二。尸 A G,又 O F u 平 面 AEF,A G U 平 面 A EF,A G 平 面 A E F.连 接 AB 因 为 N A A 8=120。，AB=A A=2,所 以 4与 工 人 避，做=2,48=2内，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，则 A（O,1,O）,8（-G,O,O）,E 与 一;,0 则_(也 3 pc_(373 1 _(耳 i 3AE=,0,BE=,0,EF=-V3,l,2 2 2 2 I 2)，设 平 面 A E F
23、 和 平 面 5即 的 法 向 量 分 别 为 m=(xl,y1,z1),n=(x2,y2,z2),则，AE-m=0E F m=06 3 _n X X=02 3=m=(36,3,4),瓜、+y+Z=0BE n=0E F n=0373 1-=o2 2 n“3-3x2+y2+/4=0/1-、/m n 9+27-16 V13;（G a）,所 以 侬 加”丽=却 荻 1 后，因 为 二 面 角 A-F-3 的 平 面 角 为 锐 角，所 以 二 面 角 A-F-8 的 余 弦 值 为 姮 1320.（12分）已 知 定 圆 A:（x+G/+y 2=i 6,圆 心 为 A；动 圆 M 过 点 B（g,0
24、）且 与 圆 A 相 切，圆 心 M 的 坐 标 为（x,y）,且 y（）,它 的 轨 迹 记 为 C（1）求 曲 线 C 的 方 程;（2）过 一 点 N（l,0）作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 与 曲 线 C 分 别 交 于 点 尸 和。，试 问 这 两 条 直 线 能 否 使 得 向 量 尸 4+P 8 与 Q4+Q B 互 相 垂 直？若 存 在，求 出 点 P,Q的 横 坐 标，若 不 存 在，请 说 明 理 由【解 析】（1）由 题 意 知：4 卜 6,0）,半 径 彳=4动 圆 圆 心 为 M（x,y）,y 0,半 径|A B|=2/3 0 点 M 的 轨 迹 是 以 4
25、 8 为 焦 点 的 上 半 椭 圆 设 上 半 椭 圆 的 方 程 为：,+=1(丫 0)且。6 0则 2。=4,2c=2y/3.。=2,c=百，b2=a2-c2=1，曲 线 c 的 方 程 为：y+r=i(y 0)(2)由 题 意 知，直 线 N R N Q斜 率 均 存 在，设 为 k x k,kN Q=k则 心：y=A(x 1),lNQ：j=-1(x-l)K又 PA+P 3=2尸 O，QA+QB=2QO(。为 原 点)若 PA+P B与 QA+QB互 相 垂 直，只 需 OP 1 O Q即 可 _kop.ko _ 泗._ i，化 简 可 得：4+=1 P Q X*P X Q 1 6-4
26、(l-2 r)+r=-A t,即：15/-8 f-1 2=o解 得：f=-|或 f(舍)3+33XP=7L 或.3-V 33由 曲 线 c 方 程 可 得：力=亚/，凡=与 江 与 3.写：=即：m-4 保+均+9=5 令 Xpq=f 4 0 且 Xp+x。=1Xp+X Q=12,解 得：XPXQ=-3 底“k3+底 直 线 NP,N Q能 使 得 向 量 PA+尸 8 与 QA+Q B互 相 垂 直，此 时，3+7336 成!3-V 33X Q=1 T3-7 3 363+s/33621.(12 分)已 知 函 数 x)=(x2+x)+(x2+3x+3)e T(a e R).(1)当。=T 时
27、，求 曲 线 y=/(x)在 点(0,/(0)处 的 切 线 方 程;(2)若 函 数 f(X)有 三 个 极 值 点 X,X2,X3,且 毛%2 0.X X2【解 析】(1)当 a=1 时，/(x)=-；x2-x+(V+3x+3)eT,则 0)=3,r(x)=-(x+l)(xe-+l),所 以 广=-1,则 曲 线 y=f(x)在 点(0,7(0)处 的 切 线 方 程 为：y-3=-x,即 x+y-3=0；由/(x)=/+x)+，+3x+3)0，得 函 数/*)的 定 义 域 为 R,/(x)=q(x+l)-x(x+l)e-*=(x+l)(a-xeT),由 题 意 知，方 程/(x)=0有
28、 3 个 根，则*3=-1,方 程 a-xe-*=0 有 2 个 根、x2,令 g(x)=x e-则 g(x)=(l-x)e-*,当 xe(0,l)时,g(x)0,g(x)单 调 递 增,当 xe(l,+oo)时，g(x)0,g(x)单 调 递 减，横 坐 标 分 别 为 西、X,且。要 证 明 4+；+2用 0,印 证 一+2,即 证+占，Xl X2 内 x2因 为 3=。，$=。，得 3=冬，有 In占-再=lnx,-x,即 V=1.e1 e2 e1 e2 lnxf-lnx2下 面 证 明 _甫 x，即 证设 0 X 0,令/z()=ln 2-+Lx2 u u“（）=L=-o,所 以 函
29、数（）在（0,1）上 单 调 递 减,U U U故=所 以 国（日 必 接 下 来 证 明 X-x2In X-In x2即 证 第 凸 喙 设 令 s=,则 s l,ln5-0,令 A(s)=lns一 生,X2 5+1 5+1M S)=1_ T A=,0，所 以 函 数-5)在(1,物)上 单 调 递 增,S(5+1)S(S 4-1)故&(S)&(1)=0,所 以.一：安 1,In 玉-lnx2 2综 上，得 斥 e 号 即 办 工 2 1 七，所 以 占&气 玉，故 士+，所 以+2$0.人 I 人 2（-）选 考 题：共 10分。请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答
30、。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。22.I选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（10分）f x=2cos0已 知 直 线/的 方 程 为 y=x+4,圆 C 的 参 数 方 程 为 c。“（。为 参 数），以 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 y=2+2sm 为 极 轴，建 立 极 坐 标 系.（1）求 直 线/与 圆 C 的 交 点 的 极 坐 标;（2）若 P 为 圆 C 上 的 动 点，求 P 到 直 线/的 距 离”的 最 大 值.【解 析】（I）直 线/：y=x+4.圆 C：f+（y-2）2=4y=x+4（x=-2 x=0联 立 方 程 组，,
31、仆 2,，解 得.或“x2+（y-2）=4 y=2 y=4对 应 的 极 坐 标 分 别 为（2血,子）卜,9.（II）设 尸（2cos8,2+2sine）.则 d=菱 in+2|=近 缶 os（，+；）+l当 cos（6+?）=l时,取 得 最 大 值 2+夜.23.选 修 4-5：不 等 式 选 讲（10分）已 知 f（x）=|x-2|+|x-3.解 不 等 式 x）2 3；1?(2)记 的 最 小 值 为 加，若。，b 都 是 正 数，且 上+：=帆，证 明：a+2b9.a b2x-5,【解 析】由 题 意 可 得 力=1,5-2苍 x.32 V x 3,由/(x)N 3 可 得 工，22x-5.3x.3 或 5-2x.3工，2解 得 4 或 xW1,即 解 集 为 但 乂.4或 x 4 1 1 2(2)由(1)可 知,/Wm in=l,即 一+7=1a b以,力/1 2、2 6 2 a 12b 2aci+21b=(a+2/?)I F I=5 H-F.5+2d-=9当 且 仅 当 竺=孕，即 a=A=3时，取 等 号.a b