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1、10.1平 面 向 量 的 线 性 运 算 及 基 本 定 理（精 讲）思 维 导 图 定 义 向 量:的 大 小 叫 做 向 量:的 长 度（或 称 模）-既 有 大 小 又 有 方 向 的 量 叫 做 向 量 一 黑 体 的 单 个 小 写 字 母 a,b,c,来 表 示 向 量 表 示 工-二-Q 以 4 为 起 点、6 为 终 点 的 向 最 记 作 N 6零 向 量 o 长 度 为 o 的 向 量，其 方 向 是 任 意 的 单 位 向 露 二 长 度 等 于 1个 单 位 长 度 的 向 量 相 反 向 量 长 度 相 等 且 方 向 相 反 的 向 量 方 向 相 同 或 相 反
2、 的 非 零 向 量，又 叫 共 线 向 量，平 行 向 量 规 定：o 与 任 一 向 量 平 行 或 共 线 相 等 向 量 长 度 相 等 且 方 向 相 同 的 向 量-A；I=WI；I；当 A 0 时，A；的 方 向 与；的 方 向 相 同：期.i的 方 向 与 a 的 方 向 相 反；当 X=0 时，x a=0N 3 a)=4),；(x+/4)a=x a+a;x(a 4-b)=J lJ+x b线 性 运 算 G 平 面 向 量 的 线 性 运 算 及 基 本 定 理 共 线 向 量 定 理 定 理 内 容 向 量 a（a H 0）与 6 共 线，当 且 仅 当 有 唯-个 实 数
3、3 使 得-；/日=；=久 扁 日 工 0）是 判 斯 两 个 向 量 关 线 的 主 关 依 据.注 意 待 定 系 数 汰 和 方 程 思 想 的 运 用.者 两 向 量 共 线 且 有 公 关 点 时，才 能 得 出 三 点 头 战，印.4,B,C三 点 共 战 0 7 秀，7 亡 其 战.若；与 己 不 共 线 J U；JHZ=/4=0.解 题 思 路=2 通+/4 8（九 为 实 数），若 T，B,C 三 点 共 线,，则 2+=1.-t0-如 果”，可 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量，那 么 对 于 这 一 平 面 内 1 0G j 基 底 Q的 任 意 向
4、 量；，有 且 只 有 一 对 实 题 1.使 二=ie1+x 2 e2平 面 向 量 基 本 定 理 不 共 线 的 向 量 5 叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所 有 向 量 的 一 组 基 底.考 法 一 基 本 概 念 的 辨 析 111-一【例 1】（2021嚏 国 高 三 专 题 练 习）设/为 单 位 向 量，下 列 命 题 中:若 a 为 平 面 内 的 某 个 向 量，则“=|。|4；LUI LU 若 与 死 平 行，则 若。与 小 平 行 且|=1,则。=%,假 命 题 的 个 数 是（）A.0 B.1C.2 D.3【答 案】1）LQ1【解 析】向 量 是 既 有 大
5、小 乂 有 方 向 的 量，a 与|a|%的 模 相 同，但 方 向 不 一 定 相 同，故 是 假 命 题；若 与 UI1平 行，则 a 与 的 方 向 有 两 种 情 况：一 是 同 向，二 是 反 向，反 向 时”=-|”|4,故 也 是 假 命 题.综 上 所 述，假 命 题 的 个 数 是 3.故 选：D【一 隅 三 反】1（2021 全 国 高 三 专 题 练 习（理）判 断 下 列 四 个 命 题：若 a/b，则 a=b;若|a|=|b|,贝 la=b;若 1。目。1，则 a 若 a=b,则 其 中 正 确 的 个 数 是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】A【解 析】因
6、 向 量 共 线，其 模 不 一 定 相 等，方 向 也 不 一 定 相 同，即 若“/，则 a=b是 假 命 题，不 正 确；因 模 相 等 的 向 量，方 向 不 一 定 相 同，即 若 1“1=1W，则。=心 是 假 命 题，不 正 确;因 模 相 等 的 向 量，方 向 不 一 定 相 同 也 不 一 定 相 反，即 若 1。1=1切，则 3/B是 假 命 题，不 正 确；由 相 等 向 量 的 定 义 可 知：若“=万，则|。|=|切 是 真 命 题，正 确，所 以，正 确 命 题 的 个 数 是 1.故 选：A2.（2021 全 国）下 列 命 题 中，正 确 的 个 数 是（）若
7、 两 个 向 量 相 等，则 它 们 的 起 点 和 终 点 分 别 重 合；若 I方=引，则；/或 二=一 六 若 篇=6（4为 实 数），则 儿 必 为 零；已 知 我，为 实 数，若=/,则；与 了 共 线.A.0 B.1C.2 D.3【答 案】A【解 析】错 误，如 在。被 力 中，筋=宓，但 是 这 两 个 向 量 的 起 点 和 终 点 分 别 不 重 合：错 误，模 相 等 的 两 个 向 量，方 向 关 系 不 确 定；错 误，若 乂=6（为 实 数），则 1=0 或=6：错 误，当=0 时，=但;与 不 一 定 共 线.故 选：A3.（2021 全 国 高 三 月 考（文）对
8、 实 数。、4 和 向 量 a,，C,正 确 的 是（）A.pa-bj=pa-pb B.a-b-c-a-b-cC.若 忖 匕=|a,贝!|“=D.若 pa=qa（p,q R）,则=9【答 案】A【解 析】对 于 A：由 数 乘 卜 句 量 的 性 质 可 知：p（a-b）=pa-pb,故 A 正 确：对 于 B：小 小 4表 示 与 3平 行 的 某 个 向 量，”伍，）表 示 与 4平 行 的 某 个 向 量，显 然 不 一 定 相 等，故 B错 误;对 于 C：当”=0或=0时，忖 7=杯“，显 然 成 立，但 a=b不 成 立，故 C 错 误；对 于 D：当 4=。时，pa=qa成 立,
9、但=9不 一 定 成 立.，故 D错 误；故 选：A.考 法 二 线 性 运 算【例 2】(1)(2021 江 西 上 高 二 中(文)如 图，向 量 a-b=()C.-3ei+e2B-e+3e2D+(2)(2021 三 亚 华 侨 学 校 高 三 月 考)示)，设 A8=a,AD=b 则：/等 于 已 知 平 行 四 边 形 A 8 C Q,点 E,产 分 别 是 4 8,8 c 的 中 点(如 图 所)D.-a+b2C.；伍-“)【答 案】(1)D(2)A【解 析】(1)由 图 可 得，。=4+462力=20+62所 以 4-匕=一 4+362故 选：1)(2)连 结 A C,则 A C为
10、 ABC的 中 位 线，.EF=-A C=-a+-h t2 2 2故 选：A【一 隅 三 反】1.(2021 新 疆 高 三(文)如 图，则”一 6=()C.3q 2e)【答 案】AB.2q+3%D.3q+2e,【解 析】由 图 知：a=3q+/,h=e1+4e2,则 a-6=2q-36.故 选：A2.(2021 陕 西 宝 鸡(文)如 图，向 量()A.q 3e2 B.q+3e,C.3q+/D q+3e2【答 案】D【解 析】如 下 图 所 小，a b=A O B O=AO-vOB=AB=e+3e2.T-T-T故 选:D.3.（2021 全 国 高 三 月 考（理）已 知 平 面 上 四 点
11、 A,B,C,D,则 以 下 说 法 正 确 的 是（）A.A B-B C=AC B.AB+AC=BCC.AB+BC+CD+DA=BD D.AB+DC=AC+DB【答 案】I）【解 析】A 8+3C=A C，故 选 项 A错 误：A C-A B=B C 故 选 项 B错 误；UUU ULK1 UUU UL1U 1AB+BC+CD+DA=O 故 选 项 C 错 误；因 为 A B-A C=O 8-O C=C 8，故 AB+DC=AC+B，故 选 项 D正 确.故 选：D.4.（2021 全 国 高 一 课 时 练 习）化 简 筋+无 _应 _同 第=（）A.人 B-FD C.。D.pA【答 案】
12、D【用 华 酊】A+FE-AE-FD-AF=AD-AE+FE-FD-AF=ED+DE-A F-A F F A故 选：D.5.（2021 全 国）在 平 行 四 边 形 A8CO中，A8+CA+B D等 于（）A.BA B.DA C.DC D.BC【答 案】A【解 析】画 出 图 形，如 图 所 示:D-AB+CA+BD(AB+BD)+CA=AD+CA=CA+AD=CD=BA.故 选：A.考 法 三 共 线 问 题【例 3】(1)(2021 全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 向 量 a,方 且 AB=a+24BC=-5a+6,CD=7a-28,则 一 定 共 线 的 三 点 是()A.A,
13、B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D(2)(2021 上 海 外 国 语 大 学 附 属 大 境 中 学 高 三 月 考)向 量,访 不 共 线，点 只 Q、S 共 线，已 知 PQ=2a+kb,QR=a+b,RS=2a-3b,则 衣 的 值 为()3 4A.1 B.-3 C.-D.5 3【答 案】(1)A【解 析】(1)由 4B=a+26,BC=-5a+6 CD=7a-26,可 得 8O=BC+CD=2a+4/?=2(a+20)=2AB,所 以 A,8,共 线，所 以 A 正 确；因 为 A8=a+2方 和 5。=-5a+66 显 然 4,8,C-.点 不 共 线，所 以
14、B 错 误；iilBC=-5a+6b，CD=1 a-2b，显 然 B,C,。三 点 不 共 线，所 以 C 错 误；又 由 AC=AB+8C=-4“+8b=-4(a-2b),CD=Ja-2b 显 然 A C。三 点 不 共 线，所 以 D 错 误.故 选：A.(2)因 为 QS=QR+RS=a+2 a-3b=3a-26,乂 因 为 点 儿 Q、S 共 线，所 以 PQ=/IQS（/IH O）,所 有 2a+kb=A(3a-2b),因 此 2a+kb=3Aa-2Ab，故 2=32k f 解 得 33故 选：D.【一 隅 三 反】L（2。21 全 国（文）在 A3C中，心 2皿 尸 为 切 上 一
15、 点，若=*+则 实 数 2 的 值 故 选 D.为(A.g)B.23c T4D-1【答 案】D【解 析】由 题 知 B,P,三 点 共 线，所 以 AP=A3+2/lA,4所 以 如 卜,2=-82.（2021 全 国 高 三（理）在 ABC中,2A=3C)是 BE上 的 点，若 A)=xA8+AC,则 实 数 x的 值 为（）1-D.943-a4【解 析】U-UAE=3EC A AC=-AE,AD=xAB+-A Cf3,AD=xAB+-x-A E=xAB+-A Ef3 3 98 i,:B,D,K三 点 共 线，：.x+-=,x=.y y故 选：D.3.（2021天 水 市 第 一 中 学
16、高 三 月 考（理）已 知 两 个 非 零 向 量：j 互 相 垂 直，若 向 量 湛=力+5/；=2：+得 共 线，则 实 数 儿 的 值 为（）A.5 B.3C.-D.22【答 案】C【解 析】因 为：，了 是 非 零 向 量，旦 互 相 垂 直，所 以 2=4：+5=6，因 为 共 线,所 以 当 且 仅 当 有 唯 一 一 个 实 数 M，使：=必 即 4+/=（匕+5可，f-t 1 f2 4/=0 5所 以（2-4）a=（5-2”，又 因 为 办 不 共 线，所 以 15 _；=0=2=.故 选：口 考 法 四 基 本 定 理【例 4】（1）（2021 全 国 高 三 专 题 练 习
17、）如 图 所 示，矩 形 A8C3的 对 角 线 相 交 于 点。，E 为 A O 的 中 点,D E=AAB+p A D,则 2+等 于().A.B.；C.1 D.12 2（2）（2021 全 国 高 三 专 题 练 习（理）已 知 等 边 三 角 形/比 的 边 长 为 4,。为 三 角 形 内 一 点，且 OA+O8+2OC=0，则 AQ8 的 面 积 是（）A.B.随 C.速 D.2 G3 3【答 案】（1）A（2）D【解 析】（1）由 平 面 向 量 基 本 定 理，D E=DA+AE=DA+A C=-A D+A B+AD）1 3=-A B AD,4 41 3 1所 以=即 2+=_
18、；,4 4 2故 选：A.（2）根 据 题 意，设 四 的 中 点 为，ABC是 等 边 三 角 形，则 CD _L A3,4夕 的 中 点 为。，则。4+08=200，又 由。4+OB+2OC=0，则 OC=-O。，贝 IJ0是 5 的 中 点，又 由 43c的 边 长 为 4,贝 4)=2,CD=2 0 则 0。=6,则 5 切=*4乂 百=2K,故 选:D.【一 隅 三 反】1.(2021 江 西 省)如 图，在 ABC中，D,E,F 分 别 是 AB,AC,BC 的 中 点，贝 U()故 选:BA.AF=-3AD-BE B.AF=C.AF=3AD-BE D.AF=【答 案】D 解 析
19、4尸=；(AB+AC)=g(2A。+2AE)=AD+AE故 选：D.2.(2021 天 水 市 第 一 中 学 高 三 月 考(理)如 图 所 示 AC=b 则 C E=()AB D-CA 1-1 7 n 1 2 A 1A.-a b B.a b C.-a-6 3 6 3 3：【答 案】B【解 析】因 为 C2=3C,AD=2AE所 以 CE=g(CA+CO)=_g/?+；xgcB=_g/7+L(A8_一 34O+3 AD+BE=4。+(2 AO+BE)=3AD+BE.，在，ABC中，CB=3CD，AD=2AE 若 A8=。，1 r n 1 5,-b D.一。b3 6 6 AC)=-a-b,6
20、33.（2021 湖 北）在 5 8 c 中，C=9 0,点。在 A3 上，A D=3 D B,C B|=4,C B C D=（）A.8 B.10 C.12 D.16.【答 案】C【解 析】在 A B C,因 为 A=33，3 3 1 3所 以 C 0=C4+A=C4+AB=C4+（AC+C 8）=CA+C8,4 4 4 4所 以 C B C Q=C B（；C4+（CB）=；CACB+C 8 2=O+1C B 1=12.故 选：C.4.（2021 上 海 黄 浦 卢 湾 高 级 中 学 高 三 月 考）已 知。是 三 角 形 A 8 C内 部 的 一 点,则 Q4C的 面 积 与。4 8的 面
21、 积 之 比 是（）A.3 B.22 3C.2 D.1【答 案】B【解 析】如 下 图 所 示，D、E 分 别 是 B C、A C中 点，由 OA+2OB+3OC=0OA+2QB+3 0 c=0,得 0 4+0。=-2（0 8+0。）即。=_20,所 以 OE=2OD,设 s A O C St,S B O C=S2,s则 S COE=S AOE=芳 f、$邑 COD J BOD 一 万，S S2-1由 三 角 形 相 似 比 可 得=-，解 得 E+S2=S A O I I2L+-+S 32 十 2 十 Q A0Hq因 为 S 仔：打 加=2：1,所 以 幻$2=2:1,即 S所 以 S+k=
22、S 408，2 2所 以 B=S AO8，即，3。的 面 积 与 4 O A B 的 面 积 之 比 是 w故 选：B.5.（2021 四 川 射 洪 高 三（文）已 知 G,。是 不 共 线 向 量，设。4=2a+b，OB=a+2b UUUl 1 1O D=a-3b，若。钻 的 面 积 为 3,则 0 8 的 面 积 为（）A.8 B.6 C.5 D.4【答 案】AUUU 1 I U U U l I I【解 析】OA=2a+b OB=a+2b，O C=3a-hUUUi 1 10 C=3a-b，如 图，在 平 行 四 边 形 中,mr uim、3 zr rOA+OBj=a+b1 IUUUl|U
23、 IU|UUD|1UUD1设 NOE4=6,则 SvoA8=2S，ou=2x5XpEHAqsine=3,即 卜 in=3同 理，在 平 行 四 边 形 OCNO中,mu 1 mill 1/iiuii Ulm、r r min 1 iiuui 1 zuu uunx,r rFC=-D C=-(OC-ODj=a+b,OF=-O N=-(OC+ODj=2(a-b3 iiiiiu uuu uuu uuu uum uuu可 得 OE=5 尸 C,OF=4AE O E H F C O F/A E：所 以。F 与 F C 的 夹 角 为。或 其 补 角，1|1几 即|uiin|min 1 2 iu u ni|Uuni|仇 叫 Q则 SV O C D=2 S V O B=2 乂*0 尸 H 尸。枷，=4,牛 1 0 石 枷 6=到 4用 0石 回 夕=；乂 3=8，0 8 的 面 积 为 8.故 选：A.