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1、1-1 分 析 与 解（D 质 点 在 t 至（f+A。时 间 内 沿 曲 线 从。点 运 动 到 尸 点,各 量 关 系 如 图 所 示，其 中 路 程 s=用，位 移 大 小 r|=印，而 r=1 r|r 表 示 质 点 位 矢 大 小 的 变 化 量，三 个 量 的 物 理 含 义 不 同，在 曲 线 运 动 中 大 小 也 不 相 等 在：在 直 线 运 动 中 有 相 等 的 可 能）.但 当-0 时，点 户 无 限 趋 近 糜，则 有 I dr|=d 但 却 不 等 于 d/:故 选（0.Ar AyQ 由 于 r 故 H 丁，即|方 v.t N但 由 于 I dr|=d故 drd7
2、v=v.由 此 可 见，应 选 0.K 分 析 与 解%表 示 质 点 到 坐 标 原 点 的 距 离 随 时 间 的 变 化 率,在 极 坐 标 系 中 叫 径 向 速 率.通 常 用 符 号 俵 示,这 是 速 度 矢 量 在 位 矢 方 向 上 的 一 个 分 量；土 表 示 速 度 矢 量；在 自 然 坐 标 系 中 速 度 大 小 可 用 公 式。=坐 计 算，在 直 角 坐 标 系 中 贝 呵 由 公 式。=求 解.故 选.分 析 与 解 表 示 切 向 加 速 度 a，它 表 示 速 度 大 小 随 时 间 的 变 化 率，是 加 速 度 矢 量 沿 速 度 方 向 的 一 个
3、分 量,视 变 速 度 大 小 的 作 用；了 在 侬 标 系 中 表 旗 向 速 率“如 题-2 所 述”了 在 自 然 坐 标 系 中 标 质 点 的 速 率“而 半 表 示 加 速 度 的 大 小 而 不 是 切 向 加 速 度 a.因 此 只 有 0 式 表 达 是 正 确 的.故 选 D.1 T 分 析 与 解 加 速 度 的 切 向 分 量 a起 改 变 速 度 大 小 的 作 用，而 法 向 分 量 魏 改 变 速 度 方 向 的 作 用.质 点 作 圆 周 运 动 时,由 于 速 度 方 向 不 断 改 变，相 应 法 向 加 速 度 的 方 向 也 在 不 断 改 变，因 而
4、 法 向 加 速 度 是 一 定 改 变 的.至 于 a是 否 改 变，则 要 视 质 点 的 速 率 情 况 而 定.质 点 作 匀 速 率 圆 周 运 动 时，a恒 为 零；质 点 作 匀 变 速 率 圆 周 运 动 时，a为 一 不 为 零 的 恒 量，当 a改 变 时，质 点 则 作 f 的 变 速 率 圆 周 运 动.由 此 可 见，应 选.1-5分 析 与 解 本 题 关 键 是 先 求 得 小 月 腱 度 表 达 式，进 而 判 断 运 动 性 质.为 此 建 立 如 图 所 示 坐 标 系，设 定 滑 轮 距 水 面 高 度 为 t 时 刻 定 滑 轮 距 小 船 的 绳 长
5、为 4则 小 船 的 运 动 方 程 为 x=/，其 中 绳 长/随 时 间 t 而 变 化.小 zdZ 0船 速 度=史=,山，式 中 T 表 示 绳 长/随 时 间 的 变 化 率，其 大 小 即 为%代 入 整 理 后 为 dt 万 方 山 0=:%=，方 向 沿 X轴 负 向.由 速 度 表 达 式，可 判 断 小 船 作 变 加 速 运 动.故 选 0.7/2-A2/COS。1-6分 析 位 移 和 路 程 是 两 个 完 全 不 同 的 概 念.只 有 当 质 点 作 直 线 运 动 且 运 动 方 向 不 改 变 时，位 移 的 大 小 才 会 与 路 程 相 等.质 点 在 t
6、 时 间 内 的 位 移 x的 大 小 可 直 接 由 运 动 方 程 得 到：Ax=x,-x 0,而 在 求 路 程 时，就 必 须 注 意 d r到 质 点 在 运 动 过 程 中 可 能 改 变 运 动 方 向，此 时，位 移 的 大 小 和 路 程 就 不 同 了.为 此，需 根 据 丁=0 来 确 定 其 运 动 方 向 改 变 的 时 刻 以 求 出 g&和 R t 内 的 位 移 大/月、及，则 t 时 间 内 的 路 程 S=阳 K|A X2|，如 图 所 示，至 于 t=4 0 s 时 质 点 速 度 和 加 速 度 可 用 A4-和 不 两 式 计 算.解 质 点 在 4
7、0 的 位 移 的 大 小 Ar=%-5=-32 m 由 丁/4 4-=0 得 知 质 点 的 换 向 时 刻 为 tf=2 s（4 吓 合 题 意）则 A xj=x2-x0=8.0 m,AX2=X4-X2=-40 m所 以,质 点 在 4 0 时 间 间 隔 内 的 路 程 为 s=|Ax,|+|Ax2|=48m 仁 4,0 寸 寸，0=-48 m-s-1d2x d t 1=4.032,ci=-36 m.s1 7分 析 d粒 据 t 速 度 的 定 义 可 知，在 直 线 运 动 中 吁 曲 线 的 斜 率 为 加 速 度 的 大 小 图 中 加 O D 段 斜 率 为 定 值，即 匀 变
8、速 直 线 运 动；而 线 段 反 的 斜 率 为 Q加 速 度 为 零,即 匀 速 直 线 运 动）.加 速 度 为 宜 在 图 上 是 平 行 于*轴 的 直 线，由 T 图 中 求 出 各 段 的 斜 率，即 可 作 出 at图 线.又 由 速 度 的 定 义 可 知，Z 曲 线 的 斜 率 为 速 度 的 大 小.因 此 匀 速 直 线 运 动 所 对 应 的 X T图 应 是 一 直 线，而 匀 变 速 直 线 运 动 所 对 应 的 犬 t 图 为 t的 二 次 曲 线.根 据 各 段 时 间 内 的 运 动 方 程 5 牙,求 出 不 同 时 刻 t的 位 置 可 采 用 描 数
9、 据 点 的 方 法,可 作 出 图.解 将 曲 线 分 为 建 B C O D三 个 过 程，它 对 应 的 加 速 度 值 分 别 为*8=%二 2=201117-2 勺 加 速 直 线 运 动），=0 匀 速 直 线 运 动）lB-lA为 二%=10m-s-2 日 减 速 直 线 运 动）一 fC根 据 上 述 结 果 即 可 作 出 质 点 的 图 图 R.在 匀 变 速 直 线 号 动 中，有 X=X+0 0 t H-1由 此，可 计 算 在 卜 2s和 4 6s时 间 间 隔 内 各 时 刻 的 位 置 分 别 为 Z/s 0 Q5 1 1.5 4 4.5 5 5.5 6x/ni
10、0-7.5-10-7.5 0 40 48.8 55 5&8 60用 描 数 据 点 的 作 图 方 法，由 表 中 数 据 可 作 g 2s和 人 6s时 间 内 的 x r 图.在 2 4s时 间 内，质 点 是 作 o=20m-sT的 匀 速 直 线 运 动，其 x-f图 是 斜 率 4 2 小 勺 一 段 直 线 图.1-8分 析 质 点 的 轨 迹 方 程 为 y=f 国,可 由 运 动 方 程 的 两 个 分 量 式 x。和 了。中 消 去 t即 可 得 到.对 于 K K A K A s来 说,物 理 含 义 不 同，可 根 据 其 定 义 计 算.其 中 对 舶 求 解 用 到
11、积 分 方 法，先 在 轨 迹 上 任 取 一 段 微 元 d则 ds=J（k）2+（d，最 后 用 s=J ds积 分 求 s.解（D 由 xQ和 了。中 消 去 t 后 得 质 点 轨 迹 方 程 为,y=2；f这 是 一 个 抛 物 线 方 程，轨 迹 如 图 所 示.阐 I 7 国 将 t=Os和 t=2s分 别 代 入 运 动 方 程,可 得 相 应 位 矢 分 别 为“=2 j,r2=4 i-2 J图 0 中 的 R Q 两 点，即 为 t=0s和 t=2s时 质 点 所 在 位 置.由 位 移 表 达 式，得=4 _ 勺=(X2_工 0+(%_%)，=4i 2j其 中 位 移 大
12、 小|Ar|=何+)2=5.66 m而 径 向 增 量=1=卜|一 卜 0|=4 X；+y；-&+=2.47 m*如 图 所 示，所 求 A s即 为 图 中 K 段 长 度，先 在 其 间 任 意 处 取 加 微 元 d则 ds=J(dx)2+(由，)2,由 轨 道 方 程 可 得 dy=xdx，代 入 d则 2s内 路 程 为(b)题 1-8 图1-9分 析 由 运 动 方 程 的 分 量 式 可 分 别 求 出 速 度、加 速 度 的 分 量，再 由 运 动 合 成 算 出 速 度 和 加 速 度 的 大 小 和 方 向.解 0）速 度 的 分 量 式 为 drv=-10+60r,dt氏
13、=虫=15-40.dr当 t=0 时,v,x=-10 m s t,向,=15 m S T,则 初 速 度 大 小 为 lt2+vQ2=18.0 m-s-1设 若 x轴 的 夹 角 为 a,则 tan a=%32a=123 410 加 速 度 的 分 量 式 为 a=出=60 m-s-2”drdVv qL=-40 m s 2dt,ay则 加 速 度 的 大 小 为 设 a与 x轴 的 夹 角 为 产，则 J a：+a；=72.1 m-s2a=a 2tan=，/=T 3 41 或 326 19)ax 31-1 0 分 析 在 升 降 机 与 螺 丝 之 间 有 相 对 运 动 的 情 况 下，一
14、种 处 理 方 法 是 取 地 面 为 参 考 系，分 别 讨 论 升 降 机 竖 直 向 上 的 匀 加 速 度 运 动 和 初 速 不 为 零 的 螺 丝 的 自 由 落 体 运 动，列 出 这 两 种 运 动 在 同 一 坐 标 系 中 的 运 动 方 程 为=y。和 另。，并 考 虑 它 们 相 遇，即 位 矢 相 同 这 一 条 件,问 题 即 可 解；另 一 种 方 法 是 取 升 降 机 或 螺 丝）为 参 考 系,这 时,螺 丝 或 升 降 机）相 对 它 作 匀 加 速 运 动，但 是，此 加 速 度 应 该 是 相 对 加 速 度.升 降 机 厢 的 高 度 就 是 螺 丝
15、 豉 升 降 机）运 动 的 路 程.解 1 0）以 地 面 为 参 考 系,取 如 图 所 示 的 坐 标 系，升 降 机 与 螺 丝 的 运 动 方 程 分 别 为 1 2,1 2y-vot+at y2=+当 螺 丝 落 至 底 面 时，有 A，即 v1 2,1ot+-a r h+vot-gt 0.705 s0 螺 丝 相 对 升 降 机 外 固 定 柱 子 下 降 的 距 离 为 1,d=h-y2=-vot+gr=0.716 m解 2 0 以 升 降 机 为 参 考 系，此 时，螺 丝 相 对 它 的 加 速 度 大 小 1=g+4螺 丝 落 至 底 面 时，有 1,O=h-(g+a)t
16、20.705 s0 由 于 升 降 机 在 1时 间 内 上 升 的 高 度 为1=%+卜/则 4=6=0.716 m1-11分 析 该 题 属 于 运 动 学 的 第 一 类 问 题，即 已 知 运 动 方 程 r=r。求 质 点 运 动 的 一 切 信 息 如 位 置 矢 量、位 移、速 度、加 速 度).在 确 定 运 动 方 程 时，若 取 以 点 Q 3 为 原 点 的 O x y 坐 标 系，并 采 用 参 数 方 程=文。和 了=/。来 表 示 圆 周 运 动 是 比 较 方 便 的.然 后，运 用 坐 标 变 换*=刈+女 和 了=川+夕，将 所 得 参 数 方 程 转 换 至
17、 由 坐 标 系 中，即 得 3 坐 标 系 中 质 点 P在 任 意 时 刻 的 位 矢.采 用 对 运 动 方 程 求 导 的 方 法 可 得 速 度 和 加 速 度.题 1-1 1图 解(D如 图 B 所 示，在 02 7 1文 y 坐 标 系 中，因。=不,则 质 点 P 的 参 数 方 程 为,0.2兀 x-Rsin t,y,-RDc os2兀 t坐 标 变 换 后，在 的 坐 标 系 中 有,0.2兀 x-x-Asin t,Ty=y+y0=+R则 质 点 P 的 位 矢 方 程 为 2 7 t(2 兀、r=/?sin ft+-R c o s t+R j-3sin(0.nt)i+31
18、-cos(0.5s时 的 速 度 和 加 速 度 分 别 为 dr 2n 2兀.八 2兀.2兀.小._ 1、.v-=R cos ti+R sin tj-(O.JTT m-s)jd2r At 2T F.Tn.Su 2 T 夕 兀.2 _2.a=-y=-/?()sin ft+/?()-cos/=(-0.03无 m-s-)zM 2 分 析 4 求 杆 H&地 面 上 耘 速 度 流;小，必 须 建 立 影 长 与 时 间 的 函 数 关 系，即 影 子 端 点 的 位 矢 方 程.根 据 几 何 关 系，影 长 可 通 过 太 阳 光 线 对 地 转 动 的 角 速 度 求 得.由 于 运 动 的
19、相 对 性，太 阳 光 线 对 地 转 动 的 角 速 度 也 就 是 地 球 自 转 的 角 速 度.这 样，影 子 端 点 的 位 矢 方 程 和 速 度 均 可 求 得.解 设 太 阳 睦 对 地 转 动 的 角 速 度 为 3,从 正 午 时 分 开 始 计 时，则 杆 的 影 长 为 户 况 自 下 午 2：00时,杆 顶 在 地 面 上 影 子 的 速 度 大 小 为 生=上=1.94x10-3 m.s-idf cos cot当 杆 长 等 于 影 长 时，即 S=%则 1 S 兀 c/八,八 t=arctan=3 x 60 x 60 sc o h 4G即 为 下 午 3：00时.
20、1-13分 析 本 题 属 于 运 动 学 第 二 类 问 题，即 已 知 加 速 度 求 速 度 和 运 动 方 程，必 须 在 给 定 条 件 下 用 积 分 方 法 解 do决.由 a=丁 和 0=丁 可 得 do=df和 dx=0d/.如 的 a(。或 r=(力,则 可 两 边 直 接 积 分.如 果 a或 不 是 时 间 t 的 显 函 数，则 应 经 过 诸 如 分 离 变 量 或 变 量 代 换 等 数 学 操 作 后 再 做 积 分.解 由 分 析 知，应 有 dv=drv=4 r-r+v0dx=vdtx 2t2-f,+vt+将 f=3s时，户 9 m x 2 m s t代 入
21、 Q)。得 KF=-1 m s：AF=0.75 m 于 是 可 得 质 点 运 动 方 程 为 x=2t2 J+0.75121-14 W 本 题 亦 属 于 运 动 学 第 二 类 问 题,与 上 题 不 同 之 处 在 于 加 速 度 是 速 度 的 函 数，因 此，需 将 式 切=dr _a(0 dt分 离 变 量 为 一=dr后 再 两 边 积 分.解 选 取 石 子 下 落 方 向 为 y 轴 正 向，下 落 起 点 为 坐 标 原 点.(D由 题 意 知 用 分 离 变 量 法 把 式 改 写 为 dv,-=山 0A-Bv将 式。两 边 积 分 并 考 虑 初 始 条 件，有=由 得
22、 石 子 速 度。(1-e-&)儿 A-Bv Jo BA由 此 可 知 当，S 8 时,为 一 常 量，通 常 称 为 极 限 速 度 或 收 尾 速 度 B。再 由。=孚=g(1-6-)并 考 虑 初 始 条 件 有 dt B dy=嚼(1 一 加 过 得 石 子 运 动 方 程,=如 2(e*-1)1-15分 析 与 上 两 题 不 同 处 在 于 质 点 作 平 面 曲 线 运 动，根 据 叠 加 原 理，求 解 时 需 根 据 力 哂 度 的 两 个 分 量 a 和 a分 别 积 分，从 而 得 到 运 动 方 程 追 勺 两 个 分 量 式 x Q 和 y 0.由 于 本 题 中 质
23、 点 加 速 度 为 恒 矢 量，故 两 次 积 分 后 所 得 运 动方 程 为 固 定 形 式，即 X=X。+/+7 a f 和 y=%+/+:4 产，两 个 分 运 动 均 为 匀 变 速 直 线 运 动.读 者 不 妨 2 2自 己 验 证 一 下.解 由 加 速 度 定 义 式,根 据 初 始 条 件 力=胡 寸 s=Q积 分 可 得 dv=J adr=(6 I+4j)dr v=6ti+4/又 由 o=及 初 始 条 件 片 o时，F QO m/；积 分 可 得 drj dr=；0山=(6+4)df r-(10+3r2)i+2r2j由 上 述 结 果 可 得 质 点 运 动 方 程
24、的 分 量 式，即 x=104-ii y=It消 去 参 数，可 得 运 动 的 轨 迹 方 程 3y=2%-20 m这 是 一 个 直 线 方 程.直 辘 率=半=tan a=三 0=33 41.轨 迹 如 图 所 示.题 1-15图 i 分 析 蝌 加 蝴 肺 均 加 麒 的 物 理 含 义 不 同 向 吩 别 表 示 为。哼 和，吟.在 匀 速 率 圆 周 运 动 中，它 们 的 大 小 分 别 为%一 v2,万 I=A号 I，式 中 g 讨 可 由 图 计 的 几 何 关 胡 到 项 可 由 转 皿 角 度 o 求 出.由 计 算 结 果 能 清 楚 地 看 到 两 者 之 间 的 关
25、 系，即 瞬 时 加 速 度 是 平 均 加 速 度 在 1 0时 的 极 限 值.解 由 图。可 看 到 v=”一 H,故 o=Jo：+说-204COS A。=2(1-cos A0)而 A Ats=Rk=O-V V所 以 粤=嬴 将。=90,30,10,r 分 别 代 入 七 匕 得，v2 V2 V2 V24 P 0.9003,a.0.9886 a,0.9987,a.1.000R 2 R R 4 Rv以 上 结 果 表 明，当 0时，匀 速 率 圆 周 运 动 的 平 均 加 速 度 趋 近 于 一 极 限 值，该 值 即 为 法 向 加 速 度 高.RdI 161T7分 析 根 据 运 动
26、 方 程 可 直 接 写 出 其 分 量 式 x=x。和 y=yQ,从 中 消 去 参 数 手 即 得 质 点 的 轨 迹 方 程.平 均 速 度 是 反 映 质 点 在 一 段 时 间 内 位 置 的 变 化 率，即 万=丁，它 与 时 间 间 隔 t的 大 小 有 关，当 s o 时，平 均 速 度 t的 极 限 即 瞬 时 速 度。=半.切 向 和 法 向 加 速 度 是 指 在 自 然 坐 标 下 的 分 矢 量 a 和 a,前 者 只 反 映 质 点 在 切 线 方 向 速 dtdz7度 大 小 的 变 化 率，即=丁 e，后 者 只 反 映 质 点 速 度 方 向 的 变 化，它
27、可 由 总 加 速 度 a和 a 得 到.在 求 得 fi时 刻 质 点 atv2的 速 度 和 法 向 加 速 度 的 大 小 后，可 由 公 式%=一 求.P解（D 由 参 数 方 程 x=2 0&y=19.0-2 Or消 去 t得 质 点 的 轨 迹 方 程：y=19.0-0.504 在 a=L 00s到 金=2 0s时 间 内 的 平 均 速 度 v=-=-=2.0i-6.Qj t t2 40 质 点 在 任 意 时 刻 的 速 度 和 加 速 度 分 别 为 0）=vxi+vyj=*+=2.0z-4.0/（/）=脏 i+需 j=-4.0 m-s2j则 tl=L 00s时 的 速 度
28、7 0 I t=ls=2 07-4 Oj切 向 和 法 向 力 I速 度 分 别 为=e,=（；+忧）e,=3.58 m.s4，%=击 之 一 a；e“=1.79 m-s-21 dr dz v f=1.Os质 点 的 速 度 大 小 为 T I V1+v,-4.47 m-s-则=一=11.17 m1 T 8分 析 物 品 空 投 后 作 平 抛 动.忽 fit空 气 阻 力 的 条 件 下，由 运 动 独 立 性 原 理 知，物 品 在 空 中 沿 水 平 方 向 作 匀 速 直 线 运 动，在 竖 直 方 向 作 自 由 落 体 运 动.到 达 地 面 目 标 时,两 方 向 上 运 动 时
29、 间 是 相 同 的.因 此，分 别 列 出 其 运 动 方 程,运 用 时 间 相 等 的 条 件，即 可 求 解.止 匕 外，平 抛 物 体 在 运 动 过 程 中 只 存 在 竖 直 向 下 的 重 力 加 速 度.为 求 特 定 时 刻 tl寸 物 体 的 切 向 加 速 度 和 法 向 加 速 度,只 需 求 出 该 时 刻 它 们 与 重 力 加 速 度 之 间 的 夹 角。邺.由 图 可 知，在 特 定 日 惚 物 体 的 切 向 加 速 度 和 水 平 线 之 间 的 夹 角 a，可 由 此 时 刻 的 两 速 度 分 量、就 出，这 样，也 就 可 将 重 力 加 速 度 g
30、 的 切 向 和 法 向 分 量 求 得.解（D 取 如 图 所 示 的 坐 标,物 品 下 落 时 在 水 平 和 竖 直 方 向 的 运 动 方 程 分 别 为 x=vt,y=1/2 g i飞 机 水 平 飞 行 速 度 k 10 0 m 3，飞 机 离 地 面 的 高 度 产 1000 由 上 述 两 式 可 得 目 标 在 飞 机 正 下 方 前 的 距 离 0 视 线 和 水 平 线 的 夹 角 为 6=arctan2=12.5X0 在 任 意 时 刻 物 品 的 速 度 与 水 平 轴 的 夹 角 为%gta=arctan=arctan 七 取 自 然 坐 标，物 品 在 抛 出
31、2s时,重 力 加 速 度 的 切 向 分 量 与 法 向 分 量 分 别 为 a,=gsin a=gsin（arctan 里）=1.88 m-s-2an=geos a=gcosarctan j=9.62 m-s-21-1 9分 析 这 是 一 个 斜 上 抛 运 动，看 似 简 单，但 针 对 题 目 所 问，如 不 能 灵 活 运 用 叠 加 施 里，建 立 一 个 恰 当 的 坐 标 系，将 运 动 分 解 的 话,求 解 起 来 并 不 容 易.现 建 立 如 图 所 示 坐 标 系，则 炮 弹 在 x和 y 两 个 方 向 的 分 运 动 均 为 匀 减 速 直 线 运 动，其 初
32、速 度 分 别 为 M C O村 和“s i侬，其 加 速 度 分 别 为 与 i i a和 geo做.在 止 挫 标 系 中 炮 弹 落 地 时，应 有 y=Q则 x=O P.如 欲 使 炮 弹 垂 直 击 中 坡 面，则 应 满 足 K=Q直 接 列 出 有 关 运 动 方 程 和 速 度 方 程，即 可 求 解.由 于 本 题 中 加 速 度 g 为 恒 矢 量.故 第 一 问 也 可 由 运 动 方 程 的 矢 量 式 计 算，即 r=卬+岸 产，做 出 炮 弹 落 地 时 的 矢 量 图 如 图 B 所 示，由 图 中 所 示 几 何 关 系 也 可 求 得 而 即 图 中 的 r矢
33、 量）.解 1 由 分 析 知，炮 弹 在 图 0 所 示 坐 标 系 中 两 个 分 运 动 方 程 为 1 2x=q/cos/?-grsin a 1,y=vorsin J 3-g fc o sa 0令 了=0求 得 时 间 r后 再 代 入 式 0）得 c n 2o；sin 4,“.2o；sin 4.OP-x-(cos a cos p-s i n a sinp)=-r!-c o s(a+p)gcos-a geos a解 2 做 出 炮 弹 的 运 动 矢 量 图，如 图。所 示，并 利 用 正 弦 定 理，有 从 中 消 去 t 后 也 可 得 到 同 样 结 果.0 由 分 析 知,如
34、感 单 垂 直 击 中 坡 面 应 满 足 y=0和 K=Q则 vx-00cos B-gtsin a=0 0由 Q 两 式 消 去 后 得“1tan=-2sin a由 此 可 知.只 要 角 a 揶 满 足 上 式，炮 弹 就 能 垂 直 击 中 坡 面，而 与 M的 大 小 无 关.讨 论 如 将 炮 弹 的 运 动 按 水 平 和 竖 直 两 个 方 向 分 解，求 解 本 题 将 会 上 限 困 难，有 兴 趣 读 者 不 妨 自 己 体 验 一 下.1-20分 析 选 定 伞 边 缘。处 的 雨 滴 为 研 究 对 象,当 伞 以 角 速 度。旋 转 时，雨 滴 将 以 速 度 r沿
35、切 线 方 向 飞 出，并 作 平 抛 运 动.建 立 如 图 所 示 坐 标 系，列 出 雨 滴 的 运 动 方 程 并 考 虑 图 中 所 示 几 何 关 系，即 可 求 证.由 此 可 以 想 像 如 果 让 水 从 个 雌 的 有 很 多 小 孔 的 喷 头 中 飞 出，从 不 同 小 孔 中 飞 出 的 水 滴 将 会 落 在 半 径 不 同 的 圆 周 上，为 保 证 均 匀 喷 洒 对 喷 头 上 小 孑 L fi勺 分 布oO(a)(b)题 1-2()图 解（D 如 图 所 示 坐 标 系 中，雨 滴 落 地 的 运 动 方 程 为 x=vt=RiotQ)1 2,y=2g t=
36、h0由 式 Q）。可 得 2 2R2co2hx=-由 图 你 所 示 几 何 关 系 得 雨 滴 落 地 处 圆 周 的 半 径 为&+R 2=R0 常 用 草 坪 喷 水 器 采 用 如 图。所 示 的 球 面 喷 头。=4 5）其 上 有 大 量 小 孔.喷 头 旋 转 时,水 滴 以 初 速 度 M从 各 个 小 孔 中 喷 出，并 作 斜 上 抛 运 动,通 常 喷 头 表 面 基 本 上 与 草 坪 处 在 同 一 水 平 面 上.则 以 P 角 喷 射 的 水 柱 身 陷 为 邓-2g为 使 喷 头 周 围 的 草 坪 能 被 均 匀 喷 洒，喷 头 上 的 数 不 但 很 多,而
37、 且 还 不 育 的 匀 分 布，这 是 喷 头 设 计 中 的 一 个 关 键 问 题.1-1 分 析 被 踢 出 后 的 足 球，在 空 中 作 斜 抛 运 动，其 轨 迹 方 程 可 由 质 点 在 竖 直 平 面 内 的 运 动 方 程 得 到.由 于 水 平 距 离 x 已 知，球 门 高 度 又 限 定 了 在 了 方 向 的 范 围，故 只 需 将 x y 值 代 入 即 可 求 出.解 取 图 示 坐 标 系 3 由 运 动 方 程 1、x=vtcos3,y=yrsin 0 g厂 消 去 t 得 轨 迹 方 程 y=x tan。(l+tan2)X22v以 x=25.0 卬 丫=
38、20.0 m s-及 3 44 户 0代 入 后 河 解 得 71 If 0 1 69.92 27.92 2 18 89如 何 理 解 上 述 角 度 的 范 围？在 初 速 一 定 的 条 件 下，球 击 中 球 门 底 线 或 E 求 门 上 缘 都 将 对 应 有 两 个 不 同 的 投 射 倾 角 如 图 所 示）.如 果 以。7L I f 或 夕 1 8 8 9 踢 出 足 球 渚|胳 因 射 程 不 足 而 不 能 直 接 射 入 球 门；由 于 球 门 高 度 的 限 制 源 角 也 并 非 能 取 71.1 1 与 18 8 9 之 间 的 任 何 值.当 倾 角 取 值 为
39、27.92 0 6 9.9 2 时，踢 出 的 足 球将 越 过 门 缘 而 离 去，这 时 球 切 能 射 入 球 门.因 此 可 取 的 角 度 范 围 只 能 是 解 中 的 结 果.1 9 2分 析 在 自 然 坐 标 中，s表 示 圆 周 上 从 某 一 点 开 始 的 曲 线 坐 标.由 给 定 的 运 动 方 程 s=s 4 对 时 间 求 一 阶、二 阶 导 数，即 是 沿 曲 线 运 动 的 速 度 v和 加 速 度 的 切 向 分 量 a,而 加 速 度 的 法 向 分 量 为 后 跖 4 这 样，总 加 速 度 为 a=a e+a a 至 于 质 点 在 t时 间 内 通
40、 过 的 路 程，即 为 曲 线 坐 标 的 改 变 量/因 圆 周 长 为 五 R质 点 所 转 过 的 圈 数 自 然 可 求 得.解（D 质 点 作 圆 周 运 动 的 速 率 为 其 加 速 度 的 切 向 分 量 和 法 向 分 量 分 别 为 v2(v0-b t)2 R R故 加 速 度 的 大 小 为 0=际=（匠 喑 叵 其 方 向 与 切 线 之 间 的 夹 角 为 八 3-从）20=arctan=a rc ta n-a,Rb0 要 使 a=4由 6)4=b可 得 R 从 仁 0开 始 至！J 仁 时，质 点 经 过 的 路 程 为 因 此 质 点 运 行 的 圈 数 为 2
41、itR 4nbR1-3 分 析 首 先 应 该 确 定 角 速 度 的 函 数 关 系 3=狂.依 据 角 量 与 线 量 的 关 系 由 特 定 时 刻 的 速 度 值 可 得 相 应 的 角 速 度，从 而 求 出 式 中 的 比 例 系 数 43=3 0 确 定 后，注 意 到 运 动 的 角 量 描 述 与 线 量 描 述 的 相 应 关 系，由 运 动 学 中 两 类 问 题 求 解 的 方 法 微 分 法 和 积 分 法），即 可 得 至 懈 定 时 刻 的 角 加 速 度、切 向 力 健 度 和 角 位 移.解 因。R=K由 题 意 3 8,得 比 例 系 数 k=鼻=二=2 r
42、ad s-3 所 以 co=（f）=2 rr Rt则=Q 5 s 时 的 角 速 度、角 加 速 度 和 切 向 加 速 度 分 别 为 co-2t2-0.5 rad-s-1 a-4t-2.0 rad-s_2 a,=a/?=1.0 m-s-2dr 总 加 速 度 an+=aRet+co2Refl a=+(2R)2=1 o m s-2在 2 0 s内 该 点 所 转 过 的 角 度/,2 f2 0 29 一%=J codt=J 2厂 df=t=5.33 rad1 3 分 析 掌 握 角 量 与 线 量、角 位 移 方 程 与 位 矢 方 程 的 对 应 关 系，应 用 运 动 学 求 解 的 方
43、 法 即 可 得 到.解（P 由 于。=2+4-a，则 角 速 度 G 二 d丁 O=12*7.在 亡=2 s 时，法 向 加 速 度 和 切 向 加 速 度 的 数 值 分 别 为=rar=2.30 m-s-20 当 4=./2=/a；+时，有 3a；=a：，即 此 时 刻 的 角 位 置 为 8=2+4J=3.15 rad 要 使%=4,则 有 3（2 4）2=/（1 2/）4 f=Q 55s1 7 5分 析 这 是 一 个 相 对 运 动 的 问 题.设 雨 滴 为 研 究 对 象，地 面 为 静 止 参 考 系 S,火 车 为 动 参 考 系 S.为 S 相 对 S 的 速 度，设 为
44、 雨 滴 相 对 S的 速 度，利 用 相 对 运 动 速 度 的 关 系 艮 呵 解 解 以 地 面 为 参 考 系,火 车 相 对 地 面 运 动 的 速 度 为“，雨 滴 相 对 地 面 竖 直 下 落 的 速 度 为,，旅 客 看 至 麻 滴 下 落 的 速 度 为 相 对 速 度，它。段 间 的 关 系 为 v2=%+0 如 图 所 示），于 是 可 得 题 1-2 5 图 1-6分 析 这 也 是 一 个 相 对 运 动 的 问 题.可 视 雨 点 为 研 究 对 象，地 面 为 静 参 考 系 S,汽 车 为 动 参 考 系 S.如 图 0 所 示，要 使 物 体 不 被 淋 湿
45、，在 车 上 观 察 雨 点 下 落 的 方 向 Rlffi点 相 对 于 汽 车 的 运 动 速 度 v 的 方 向）应 满 足 a arctany.再 由 相 对 速 度 的 矢 量 关 系 工=%-%，即 可 求 出 所 需 车 速 w-题 1-2 6图 解 由=4-乃 图 也，有 v,-o,sin 3a-arctan-=-6cos 夕 h 加/士、4/巧 一 小 sinO、/、（IcosG 八、而 要 使 a 2 arctan,则.=-vt v2-+sin。h 02cos 0 h y h）1-7分 析 船 达 对 岸 所 需 时 间 是 由 船 相 对 于 岸 的 速 度 腴 定 的.
46、由 于 水 流 速 度 的 存 在，归 船 在 静 水 中 划 行 的 速 度 v 之 间 有 片 u+/如 图 所 示）.若 要 使 船 到 达 正 对 岸，则 必 须 使 沿 正 对 岸 方 向；在 划 速 一 定 的 条 件 下，若 要 用 最 短 时 间 过 河，则 必 须 使 v有 极 大 值.题 1-27图 解 由 片+/可 知 la=arcsin=，则 船 到 达 正 对 岸 所 需 时 间 为 V/=-=1.05x10，v vcosa0 由 于 0=c o s a，在 划 速 V 一 定 的 条 件 下，只 有 当 a=0时，P最 大 即 片 在），此 时，船 过 河 时 间
47、i=d外，船 到 达 距 正 对 岸 为/的 下 游 处，且 有 l=ut=u=5.0 xW2 mvf1-8 分 析 该 问 题 涉 及 到 运 动 的 相 对 性.如 何 将 已 知 质 点 相 对 于 观 察 者。的 运 动 转 施 厢 对 于 观 察 者 0 的 运 动 中 去，其 实 质 就 是 进 行 坐 标 变 换，将 系。中 一 动 点 6 3 变 换 至 系 0 中 的 点 C v,y）.由 于 观 察 者 0 相 对 于 观 察 者 O作 匀 速 运 动，因 此,该 坐 标 变 换 是 线 性 的.解 取 和 o x，分 别 为 观 察 者,口 观 察 者 O 所 在 的 坐
48、 标 系，且 使 a 和 o x 两 轴 平 行.在 t=o时，两 坐 标 原 点 重 合.由 坐 标 变 换 得 x=x v t=v t v t=Q y=y=1/2 g l加 速 度 a a=?=gd/-由 此 可 见,动 点 相 对 于 系 O 是 在 了 方 向 作 匀 变 速 直 线 运 动.动 点 在 两 坐 标 系 中 加 速 度 相 同，这 也 正 是 伽 利 略 变 换 的 必 然 结 果.题 2-1图 2 T 分 析 与 解 当 物 体 离 开 斜 面 瞬 间，斜 面 对 物 体 的 支 持 力 消 失 为 零，物 体 在 绳 子 拉 力 万 其 方 向 仍 可 认 为 平
49、行 于 斜 面）和 重 力 作 用 下 产 生 平 行 水 平 面 向 左 的 加 速 度 4如 图 6所 示，由 其 可 解 得 合 外 力 为 啊 ot 6，故 选 D.求 解 的 关 键 是 正 确 分 析 物 体 刚 离 开 斜 面 瞬 间 的 物 体 受 力 情 况 和 状 态 特 征.2-分 析 与 解 与 滑 动 摩 擦 力 不 同 的 是，静 摩 擦 力 可 在 零 与 最 大 廊 搬 围 内 取 值.当 硝 加 时,静 摩 擦 力 可 取 的 最 大 值 成 正 比 增 加，但 具 体 大 小 则 取 决 于 被 作 用 物 体 的 运 动 状 态.由 题 意 知，物 体 一
50、 直 保 持 静 止 状 态,故 静 摩 擦 力 与 重 力 大 小 相 等，方 向 相 反，并 保 持 不 变，故 选 做.2 分 析 与 解 由 题 第 n,汽 车 应 在 水 平 面 内 作 匀 速 率 圆 周 运 动，为 保 证 汽 车 转 弯 时 不 侧 向 打 滑,所 需 向 心 力 只 能 由 路 面 与 轮 胎 间 的 静 摩 擦 力 提 供，能 够 提 供 的 最 大 向 心 力 应 为 M K 由 此 可 算 得 汽 车 转 弯 的 最 大 速 率 应 为 fR g 因 此 只 要 汽 车 转 弯 时 的 实 际 速 率 不 大 于 此 值，均 能 保 证 K M向 打 滑