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1、2023年上海市徐汇区中考一模数学试卷学校：.姓名:.班级:考号:一、单选题1.在RtZXABC中，ZC=90,AB=5f AC=4.下列四个选项,正 确 的 是（）A.3tan B=44B.cotB=-3C.sinB=-5D.4cos B=一52.下 列 命 题 中 假 命 题 是（）A.任意两个等腰直角三角形都相似B.任 意 两 个 含36。内角的等腰三角形相似C.任意两个等边三角形都相似D.任 意 两 个 直 角 边 之 比 为1:2的直角三角形相似)AF 5CE 2EF 3D.BC 34.二 次 函 数 广 加+法+4 4片0）的图像如图所示，点尸在x轴的正半轴上，且OP=1,下 列
2、选 项 中 正 确 的 是（）5.C.a+b+c0D.h P 3）,如果A 8的长度为8咖，那么”的长度是1 1 .如图，已知G为A A B C的重心，过点6作8（：的平行线交边A B和A C于点。、E设GB =a、G C =b 用xa+y b （、V为实数）的形式表示向量。E=.1 2.小 明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）.已知小明的眼睛离地面的距试卷第2页，共6页离AB为1.6米，凉 亭 的 高 度 为6.6米，小明到凉亭的距离80为1 2米，凉亭与观景台底 部 的 距 离。尸为4 2米，小杰身高为1.
3、8米.那么观景台的高度为 米.1 3 .已知点A（3,加）、8（2,）在抛物线2 x+4上，则，（填，、“=”或三、解答题1 4.小 球 沿 着 坡 度 为i =的坡面滚动了 13m,则在这期间小球滚动的水平距离是_ m.四、填空题1 5 .计 留，Sos60-sin 60=cot 3 0 0-t an 4 5 0 -1 6 .如 图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则si n NB A C的1 7 .如 图，点E是 矩 形A 8 C O纸 片 边C。上一点，如果沿着AE折叠矩形纸片，恰好使3点。落 在 边8C上 的 点F处，已 知8尸=6 cm,t an NB A F
4、=:，那 么 折 痕4E的长是1 8 .规 定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”.例 如，如图所示，在 ABC中，ZC=90,C4=CB,CD是斜边A8上的高，其中；ACD是等腰三角形,且 BCO和,4 3 c 相似，所 以 A3C是“和谐三角形”，直线CD为，A8C的“和谐分割线”.请依据规定求解问题：已 知。即 是“和谐三角形，ZD=4 2,当直线E G 是 D E F的“和谐分割线”时，N 尸的度数是(写出所有符合条件的情
5、况)五、解答题19.如图，在：ABC中，己知NC=90。,sin 4=得.点。为边AC上一点,Z B D C =45,A D =7,求 8 的长.20.如图，点E 在平行四边形ABCD的边BC的延长线上，且 CE=2BC,AE与8 交于点 F.l&AB=a,AD=b.(1)用向量a、6 表示向量。E；(2)求作：向量E F分别在向量EC、EO方向上的分向量.(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量)21.已知二次函数y=3V+6X+9.用配方法把二次函数y=-3x2+6x+9 化为y=a(x+a)?+火的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点的坐标；(2)如果
6、将该函数图像向右平移2 个单位，所得的新函数的图像与x 轴交于点A 8(点A试卷第4 页，共 6 页在点8左侧)，与 轴交于点C,顶点为),求四边形D 4 C 8 的面积.2 2.如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底 座 的 高 为 5 c m,宽M N 为1 0 c m,点A 是MN的中点，连杆8 C、8 的长度分别为1 8.5 c m 和1 5 c m ,Z C B A=1 5 0 ,且连杆B C、8 与4 8 始终在同一平面内.(1)求点C到水平桌面的距离；(2)产品说明书提示，若点。与A 的水平距离超过A N的长度，则该支架会倾倒.现将N O C 8 调节为8 0。，此时支
7、架会倾倒吗？(参考数据：t a n 2 0 x 0.3 6,c o t 2 0 a 2.7 5,s i n 2 0 0.3 4,c o s 2 0 x 0.9 4 )2 3 .如图，已知是等边三角形，D、E 分别是边B C、A C上的点，且B C C E B D D C.在 的 延 长 线 上 取 点尸，使得。尸=A,联结C F.求证：Z A D E =6 0。；(2)求证：CF/AB.2 4 .已知在平面直角坐标系x Q y 中，抛物线y =+6x+3经过点A(-1,0)、8(4,0)与 y轴相交于点C.y1-AO I-x(1)求抛物线的表达式；(2)点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，过
8、点 尸 作 直 线 轴，垂足为点。，直线 与 直 线8 c相交于点.当CP=CE时，求点尸的坐标；联结A C,过点尸作直线A C的平行线，交x轴于点/，当=时，求点P的坐标.2 5.如 图1,已知菱形A B C O,点E在边8 c上，Z B F E =ZABC,4 E交对角线3 0于点F.图I图2图3(2)如图2,联结CF.当A C E F为直角三角形时，求Z A B C的大小；如图3,联结当OE_LFC时，求cos/ABD的值.试卷第6页，共6页参考答案：1.C【分析】先利用勾股定理求出8C=3,再根据三角函数的定义求解即可.【详解】解：在中，ZC=90,AB=5,AC=4,*BC=yjAB
9、2-A C2=3tan八如=c o t八空=i n八生，e 8 =变BC 3AC 4AB 5AB35故选C.【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，熟知对应的三角函数的定义是解题的关键.2.B【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案.【详解】解:A.任意两个等腰直角三角形中三组对应角均相等,符合相似三角形的判定条件，故相似，都相似B.任意两个含36。内角的等腰三角形中没有确定顶角或底角，故不一定相似C.等边三个角都相等，故两三角形相似；D.任意两个直角边之比为1:2的直角三角形，符合相似三角形判定的条件，故相似故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两
10、角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.3.C【分析】根据比例的性质与平行线分线段成比例，列出比例式，逐项判断即可【详解】法|AD 3/.-=-,AF 5故 A 选项正确，不符合题意;An 3且 而=5AD BC 3DF-C E 2答案第1页，共 21页故 B选项正确，不符合题意；B C 3-=C E 2B C 3=一B E 5故 D选项正确，不符合题意；根据已知条件不能求出空的值，故 C选项不正确，E F
11、故选C.【点睛】本题考查了比例的性质与平行线分线段成比例，掌握比例的性质与平行线分线段成比例是解题的关键.4.D【分析】根据开口方向，即可判断A；根据与y 轴的交点，即可判断B；把x=l 代入，即可判断C；根据对称轴的位置，即可判断D.【详解】解：A、.函数图象开口向下，故 A 不正确，不符合题意；B、；函数图象与)，轴交于正半轴，.，(),故 B不正确，不符合题意；C、把 x=l 代入得 y=a+6 +c,；O P =1,.当 x=l 时，y 0,：.a+b+c 0,故 C 不正确，不符合题意；D、；函数对称轴在y 轴左侧，a 0,：.b/5-4 ）cm【分析】利用黄金分割的定义计算出AP.
12、【详解】P 为 AB的黄金分割点（APPB）,AP=*，8=8=4石-4（tro）答案第4 页，共 21页故答案为：(4 不-4)c m.【点睛】此题考查黄金分割的定义，黄金分割物体的较大部分等于与整体的更二L22 21 1.a+h3 3【分析】由于G是三角形A B C 的重心，根据平行线分线段成比例定理与三角形重心的性质,可得到A G:A M =2:3,再根据平面向量加减运算可求得答案.【详解】解：连接AG并延长交3 c 于点-D E/B CA G A D D E加一 瓦一正 ,点G是的重心，A G _2A M 3D E 2*B C 3:.D E =-B C3B C =G C-G B =b-
13、a D E =-(h-a)2 2/.D E =a+-b3 32 2故填：+3 3【点睛】本题考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定义，熟练运用平面向量加减运算是解答本题的关键.3 2 2 31 2.2 2.3#2 2#一1 0 1 0【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答.【详解】解：过点人作AWLEF于点交C。于点N,答案第5页，共 2 1 页由题意得，A N =V 2,C N =667.6=5,MN =42,C N E M ,:.ACN s A E M,.C N _ A N 5 二 12“E M-12+42 EM=225,V AB=MF=1
14、.6,22.5+1.6-1.8=22.3（米）.故答案为：22.3.【点睛】本题考查相似三角形的应用，构造直角三角形是解题关键.13.随x 的增大而增大，即可得到答案.【详解】解：,点A（3,加）、8（-2,“）在抛物线=-/-2*+4 上，对称轴为直线x=-g =T,2a抛物线开口向下，.当x 随x 的增大而增大，.-3 -2,m n ,故答案为：=E F =x c m,贝 i j C =（8-x）c m ,由勾股定理得到*=4?+（8 -解方程求出 E =5 c m,则A E =万工5 =5 石c m .【详解】解：由折叠的性质可知A ）=A F,D E =EF,.四边形A B C。是矩形
15、，A CD=AB,Z B=Z C=Z D=90 ,A D =BC,3 ,在 R t A B/7 中，BF=6 c m,t a n Z BAF=,4BFAB=-=8 c m ,t a n ZB A FJ AF=d AB?+BF?=1 0 c m，A D =A F =B C =Ocm,/.CF=4 c m,设 O E =E F =x c m,则 C E =（8-x）c m,在R t/X C E 尸中，由勾股定理得：E F2=CF2+CE2,.-.X2=42+（8-X）2,解得x =5,/.D E=5 c m,A E=V A D2+D E2=5 7 5 c m，故答案为：5亚.【点睛】本题主要考查了
16、矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，解直角三角形，正确求出AD,OE的长是解题的关键.1 8.5 4 、%6 、?3 2。、?2 7 答案第8页，共 2 1 页【分析】分类讨论，EG Fs DEF,ADEG是等腰三角形，EG=EF；,.DEGs DFE,GE尸是等腰三角形，GE=G F：aDGFs D E F,。斯 是 等腰三角形，FE=F G-.FEG s FDG,EG是等腰三角形，DE=DG；根据等腰三角形的性质，相似三角形的性质即可求解.【详解】解：_EF是“和谐三角形，ZD=42,EG 是 印 的“和谐分割线”，根据题意，如图所示，EG Fs DEF,)G是等腰三角形，EG=E F,：
17、.ZD=ZDEG=ZGEF=42,，在OEG 中，ADGE=180-Z-/D EG =180-42-42=96,/NDGE是 厂的外角，ZF=ZDGE-NGEF=96-42=54；如图所示，DEG DFE,GEF是等腰三角形，GE=GF,：.E G =4F =4FEG,设=则 NDEG=NF=NFEG=a,ZEGF=800-2a,/E G F 是4D E G 的外角，A Z E G F Z D+Z D E G,即 180-2a=42+a,解得，a=46,A ZF=46；如图所示，D G FsDEF,DE尸是等腰三角形，FE=FG,答案第9 页，共 21页DiA FE=FG,4F =4GED,/
18、FEG =/F G E,设/尸=x,贝 IJZF=NGE)=X,NFEG=NFGE=4(180 x),2,/ZE G F 是AD EG 的外角，:.NEGF=N G E D+N D,即(180-x)=x+42,解得x=32,2NF=32；如图所示，,FEG s FDG,ADEG是等腰三角形，DE=DG,：.ZD=Z.GEF=42,NDEG=ZDGE=-(l 80-42)=69,2/OGE是 一 EFG的外角，ZDGE=Z F+NGEF,即 69=Z F+42,，NR=69 42=27；综上所述，所 是“和谐三角形，ZD=42。，当直线EG 是一。的“和谐分割线”时，NF的度数是 54。、46。
19、、32。、27。，故答案为：54。、46。、32、27.【点睛】本题主要考查等腰三角形，相似三角形的综合，掌握等腰三角形的性质，相似三角形的性质是解题的关键.19.5答案第10页，共 21页【分析】解直角三角形A B C,表示出A 8 AC的长，再根据R t4 C D是等腰直角三角形，求得CO即可.BC 5【详解】解：在RtZVIBC中，？C 90?,sinA=,AB 13设 5 c =5NAB=13LJ AC=ylAB2-B C2=(13il)2-(5)2=2k,在 RtABCD 中，ZC=90,ZBDC=45,:.NCBD=ZBDC=45。,：.BC=CD=5k.:.AD=A C-C D
20、=lk ,:4)=7,；7=7-k=1,CD=5k=5【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练进行解直角三角形是解题的关键.20.(l)a +2b(2)见解析【分析】(1)根据平行四边形的性质AD 8 E月.AD=BC.AB 0 c且A8=Q,根据三角形法则得出DE=DC+CE=a+2bi(2)作R04),EN=F M，根据平行四边形法则，得 出 向 量 为 向 量EF分别在向量EC、EO方向上的分向量，即可求解.【详解】(1)解：YABC7),AD 8E 且 A=8C.AB OC且 AB=C,/CE=2BC,：.CE2AD,二 CE=2AD=2b，*-DC=AB=a，DE=DC+CE=
21、a+2bi(2)解：如图所示，g F M AD,EN=FM,根据平行四边形法则，答案第11页，共21页向量EM,EN为向量EF分别在向量EC、E 方向上的分向量【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性运算是解题的关键.21.(l)y=-3(x-l)2+1 2,开口方向向下，对称轴为直线x=l,顶点的坐标为。,12)54【分析】(D 根据二次函数的图象与性质解答即可；(2)根据二次函数图象平移规律“上加下减”求得新抛物线的解析式，求出A、B、C、。坐标即可求解.【详解】(1)解：y=-3x2+6x+9=-3(x2-2x)+9=-3(x2-2 x+l)+12=-3
22、(x-l)2+12该二次函数的顶点式为y=-3 f +6x+9=-3(x-1 J+1 2,函数图像的开口方向向下，对称轴为直线x=l,顶点的坐标为(112)；(2)解：平移后的新抛物线的解析式为y=-3(尤-3)2+1 2,得到顶点。(3,12),当 y=()时，由 3(x 3)+12=0 得：*=1,=5,即点 4(1,0)、3(5,0),即 AB=4,当x=0 时，由y=T 5即点 C(0,-15),四边形D4C8的面积=S 4和+SM C=g 仓 必 12+g 仓 必 15=24+30=54【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的交点问题，
23、熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键.22.(1)点C 与水平桌面的距离为3 7 6 +2()cm(2)支架不会倾倒答案第12页，共 21页【分析】（1）过点C作CELM N于E,过点B作B尸L C E于F,由题意得，AB=EF=5cm,NCBF=6 0,解 RtZSB尸C 求出 CF=,贝U4a c 3 7 6 +20CE=CF+EF=-cm:4（2）过点C作CG8尸，过点作DACG于H,DH与BF交于点K.先解RtZCDH求出CH=FK=14Acm,再解在RtABFC求出8尸=9.25cm,即可得到8K=4.85cm,由此即可得到答案.【详解】（1）解：过点C作CEJ_M/V于E,过点
24、8作BF_LCE于尸.由题意可得，AB=EF=5cm,ZCBF=6O,在 RtZXBFC 中，ZBFC=90,ZCBF=60,BC=18.5cm,A sin ZCBF=sin 600=,即 2 37,BC 2 y z 37 6CF=-cm4.匕 口 r r376+20 CE=Cr+EF=-cm,4此时点C与水平桌面的距离为3 7&+20cm.（2）解：过点C作CG8 F,过点作。“八CG于，DH与BF交于点、K.由题意可知，在 RtzC。“中，ZCDH=90,ZDCH=20,CH=FK,CD=15cm,cosZDCH=,即 0.94=CD 15CH=FK=4.cm,RtABFC ZBFC=90
25、,ZCfiF=60,8 c =18.5cm,答案第13页，共21页A c o s Z C BF=BF,即1上=BF，BC 2 1 8.5.*BF=9.2 5 c m，：.BK=KF-BF=CH-BF=4.85cm,:B K =4.8 5 0,再根据正切的定义，得出2I 4 4 J_3 2 9tanZC4B=tanZfiFP,进而得出一1 +4%解出即可得出点尸的坐标.4-x【详解】（1）解：抛物线 =泼+曲+3经过点A（-1,O）、5（4,0）0=a-b+3 可得：4 ,0=16 +4b+3解得 =：3,8=；9，4 4y%2 H x+3；4 4（2）解：如图，过点C作C”垂直于P O,垂足为
26、点H,:CP=CE,C H t P E,J P H =HE,V C(O,3),3(4,0),：.0 C =3,03=4,：C H A.P D,P D 工 OB,答案第16页，共21页:.CH OB,：.ZHCE=ZCBO,/.tan Z.HCE=tan Z.CBO,.EH PC 3 丽一而一设C/7=4 Z,则 PH=EH=3k,:.PD=HD+HP=OC+HP=3+3k,.点 P 坐标为（段,3+3%）,又 ,点P 在抛物线旷=一 +；工+3 上,4 43+3 4=-3-x（4Z）9+oj（4 攵）+3,解得：k=%k=G（舍去），1 1 9.4Z=4x=2,3+32=3+3x=,2 2 2
27、如图,/PF/AC,：.NCAB=NPFB,又；NBPF=NCBA,：.PFBs BAC,V A B=4-（-l）=5,B c A o d+O B。=-9 +16=5,答案第17页，共 21页：.A B =B C =5,.PF =P B,又:P D t O B,：.F D =B D =-FB,27 O ,点。在抛物线y =-二炉+x+3 上,4 4设 P，一 炉+；工 +3）,x 0.:/C A B =/B F P,，t a n Z GW =t a n Z BFP,PDTD第=3A O3 2 9 2P1N X H x +3即 4 4=3,4-x解得：1=3,x=4（舍去），3 9 3 9A-x
28、2+-x+3 =-x 32+-x 3+3=3,4 4 4 4P（3,3）.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、三线合一的性质、平行线的判定与性质、正切的定义、坐标与图形、解一元二次方程、两点之间的距离、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线.25.见解析 6 0 或45；或上14【分析】（1）由菱形的性质和平角的性质得Z A B C+/B 4 D =1 80。，Z B F E +Z A F B =8 0 ,已知N A B C =N 3 F E,等量代换得N AFB=N&4 O,公 共 角 乙 郎 =8 4,即可得证；（2）设N A B
29、 D =a,由菱形的性质 N A 5 C =NC5）+Z A 8 O =2a ,由（1）_ A B F A B D,根据相似三角形的性质得/M 6 =/R 4 F =a,故N A E C =N84b+NAf i C=3t z ,根据菱形的性 质 易 得 尸&C B 尸，再由全等三角形的性质得4 C F =Nf i 4F=a,再分情况讨论当 CEF为直角三角形时，/A B C 的大小：联结A C,交 B D 于点、0,记 OE 分别交C R A C 于点G、H,由菱形的性质得A C 2 3。，答案第1 8页，共 21 页根据直角三角形的性质得N8C0+N。3c=90。，由。WZDC+ZFC=90
30、,根据相似三角形的性质和菱形的性质得ZFCE=NE4B=N O 8C,由等角的余角相等得ZDEC=ZB C O,由等角对等边及平行线分线段成比例可得四边形AECD为等腰梯形，易得NFEC=NBAD,EF=EC,由OE_LFC,可得。C=O尸=3 C,设设=DC=DF=BC=,则 比 =8尸+ED=x+l,由相似三角形的性质解得8尸，由菱形的性质求得8。，即可求解.【详解】(1)证明：四边形ABCD是菱形，ZABC+ZSAD=180,又 NBFE+ZAFB=180。且 ZABC=NBFE,ZAFB=ZBAD.又 ZABF=NDBA,(2)解：设ZA3E=c,四边形ABC是菱形，AB=AD,8。平
31、分/A B C.A ZADB=ZABD=a,NCBD=ZABD=a,ZABC=ZCBD+ZABD=la ,ABF.-.ABD,Z.ADB=NBAF=a,ZAEC=ZBAF+ZABC=3a,BA=BC,ZCBD=ZABD,BF=BF,：.ABF均 CBF,NBCF=/BAF=a,在 ACE尸中，?BCF a,ZAEC=?)a,故 NEFC=180。一 4c,CEF是直角三角形，有以下三种可能的情形：一、ZBCF=a=9 0,此时NA8C=2a=180。，不符合题意，应舍去；二、ZAEC=3a=9 0,此时 ZABC=2。=60。；三、ZEFC=180-4=9 0 ,此时4a=90,ZAfiC=2
32、=45；综上所述，当CEF为直角三角形时，求NABC的大小为60。或45。.答案第19页，共21页联结A C,交BD于点0,记 OE分别交CR AC于点G、H.图3四边形ABC。是菱形，.AC1BD,ZBOC=90,/BCO+NOBC=90。,DE1CF,ZEGC=90,NDEC+NFCE=9伊,AABFS-ABD，ZADB=/FAB=NOBC,NFCE=NFAB=NOBC,./DEC=/BCO,.HE=HC.AD/BC,.HE HCDECDE=AC,四边形AECO为等腰梯形.A ZFEC=ZECD.又 4BAD=/ECD,./FEC=/BAD.又 ZCFE=ZECFt/.EF=EC.又 DE A.FC,.DC=DF=BC,答案第20页，共 21页设=DC=DF=BC=1,贝=8/+F D =x+l,一 ABFS ABD，.BF _ AB x 1.-=-，即:=-AB BD 1 x+解得BF=避二1,2BO=OD=-BD=-X2 2，8 S4 如旦呈1AB 4【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.答案第21 页，共 21 页