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1、2023届辽宁省沈阳市五校协作体高三上学期12月联考数学试题一、单选题1.己知集合 P /,P /,则（）A,a 8 =0,3 B.=C.4 c B=0 D.4 u 8 =R【答案】B【解析】分别求两个集合，再根据定义求NcS和 4 口8。详解由#-4 x-1 5 V 0 得-3 V即“一卜弓臼，由六 得_ x 0,即8=(0,+8),所 以 秘=(0,3 明收)故选：B.a+i2.设“w R,若 复 数 口(其 中 i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于实轴上，则。=()A.0 B.-1 C.1 D.6【答案】Ba+i【分析】利用复数除法运算化简口，根据其对应点在实轴上列方程来求得”的值.a
2、+i(tz+i)(l+i)(tz-l)(a+l)i-=-=-1-【详解】复数（1T）（1 +I）2 在复平面内对应的点位于实轴上，.a+l=0,即 a=-l.2故选：B3.已知sin。5,sin（26-y则（）33A.5B.523 23C.25 D.-25【答案】D【分析】利用三角恒等变换即可解决sinf 20-|=-cos2=2sin2 0-【详解】I 2)2 5.故选：D/=logi 24.设“二年尸，5,c=2-则 a、6、c 的大小关系为()A.a h cB.b a cC.cb aD.acb【答案】D【分析】根据对数函数单调性可得。1,b 0,根据指数函数单调性可得 c l6=log1
3、2 log22 =1,3,。=2如 l c 6故选：D.5.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒2万尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9万，侧面展开图是圆心角为行的扇形，则该屋顶的体积约为（）A.12岳 B.16 兀 C.187r D.18【答案】D【分析】根据底面圆面积可求底面圆半径，从而可求底面圆周长，即可求扇形半径，再根据勾股定理求圆锥的高，最后即可求出圆锥体积.【详解】底面积为9万，即 储=9，所以底面圆的半径厂=3,所以底面圆周长为2万x3=6万，即圆锥侧面展开图的弧长/=6万，又因为侧面展开图是圆心角为行的扇形，R=927t所
4、以扇形半径 3,hR如图所示：则圆锥的高=加二7=疯=6贬,V=-x x32X6V 2=1 8A/2-则圆锥的体积 3故选：DX+-=1 r-6.已知双曲线 团 的渐近线方程为 =，5*,则 =()A.5 B.-5 C.5 D.-25【答案】B【分析】根据双曲线方程的特点确定，”为负，再求出双曲线渐近线方程作答.2/_ 2=_【详解】在双曲线一 中，“2 3ax2,+2x2-3所 以/z(x)=-3x3+ax2+4 x因为/()1、=-/,八 ，所以-3+a-4 =-I-3+a+4 J=-3-a-4所以/，(x)=-#+4 x所以令 ()一 丁+4 x,则 (x)=-x 2+4 =-(x +2
5、)(x-2),令，(x)0,得-2x2,令(x)。，得x 2,所 以/（x）在（-2,2）上单调递增，在（r，-2）,（2，+）上单调递减，所 以,（X）的极大值为，”不，极小值为八-2）=-丁.因为函数g（）有且只有两个零点，所以方程/（x）-4 =l有且只有两个实数根，即方程/（x）=+1和/）=共有两个实数根.又k+l k-,+1 所以 3 或 3 或z,16k-3,16k+1 一3k 解得 3 或 3.故选：A.【点睛】关键点睛：在考查函数的零点的个数判定及应用时，把函数的零点个数的问题转化为两个函数的图象的交点个数，正确作出函数的图象是解答问题的关键.二、多选题9.数列 的首项为1,
6、且0向=2%+1,S”是数列%的前项和，则下列结论正确的是()A.%=7 B.数 列 血+1 是等比数列C.%=2 一 1 D.【答案】AB【分析】根据题意可得“用+1),从而可得数列也，+1 是等比数列，从而可求得数列“的通项，再根据分组求和法即可求出S，即可得出答案.【详解】解：向=2(+1,可得+1=2(%+1),又 4+1 =2.数列%+1 是以2 为首项，2 为公比的等比数列，故 B 正确；则+1 =2”,.4=2 -1,故 c 错误：则%=7,故A正确;2（1 -2）St）=-=2-77-21-2,故D错误.故选：AB.1 0.已知抛物线*=2处（夕0）的焦点为R月,8是抛物线上两
7、动点，且H日的最小值为1,是线 段 的 中 点，尸（2巧）是平面内一定点，则（）A.P=2B.若 网+|明=8,则 加 到x轴距离为3C.若 万=2而，贝网3D.|/P|+M尸I的最小值为4【答案】ABD【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，结合抛物线定义，逐项分析计算即可判断作答.【详解】抛物线=2 0（PO）上的点力到抛物线焦点尸距离的最小值为1,则有万一）解得P=2,A正确；抛物线的方程为l=4 y,焦点厂（0,1）,准线/：N=T,设（王,凹）,8（,必）,.卢+乂+为）对于B,点 2,2,由抛物线的定义知，1 +如|=必+1 +%+1 =8,21121=3有 乂+%=6,所 以
8、到x轴 距 离2,B正确；对于 C 4=（一 占,1 一%）,用=（工2，%-1）,由 万=2 而 得：1=2（%-1）,即 M+2y2=3,又|布=2|而即必+1=2(%+1),则乂-2%=1,解得必=2，%=5,9AB=AF+B F=y+y2+=-于是得2,C 不正确;对于D,抛物线x2=4夕中，当尸2时，了 =1 3,因此点P G J）在抛物线V=4y上方,过点P作尸尸/于尸，交抛物线于点。，连。尸，过/作“力3/于/,连/R AP,P A,如图,显然|/尸|+|/|=|/尸I+MH闺P/闺P P|=|尸。|+|0尸|=|尸。|+|。可，当且仅当点/与0重合时取等号,所以（|初+网）m
9、i n =1小1=4 ,0正确.故选：A B D|6 9X-j-l（0）I 3 J ,则下列结论正确的是（）/(x)=2 c o s21 1.设函数A,若|/（再）-/。2）|=2,|再 一 引 向=则。=17CB.存在“（0 1）,使得/（X）的图象向左平移3个单位长度后得到的图象关于原点对称四 交 C.若/（“）在曲 句上有且仅有4个零点，则。的取值范围为L 1 2 1 2 j71 7TD.T e（/），/0）在上单调递增【答案】B C Dp 2冗冗 =【分析】利用二倍角公式对 X）进行化简，得到/（X）的最小正周期为 2。0,然后利用三角函数的性质对每个选项进行判断即可/（x）=2 c
10、o s2【详解】因为cox-1 =1 c o s 2(a)x-3j I 3),所以/（X）的最小正周期为T一=亮 一=石 对于A,因为1/（再）一/（2）|=2,|再一乩痴=乃,=2 n C D=所以x）的最小正周期7 =2万，所以。，得 2 ,故A错误;y=c o s 2 G x+对于B,图象变换后得到函数 L 1 3（W-=+A ,Z:eZ （o=+k,ke Z若其图象关于原点对称，则3 3 2 ，解得 4 2当上=7时，4 ,故B正确;对于C,当x e O，何时,2 万 _ 2%-,2 汽 0)-3 325-生 e3因为“X）在 0,扪上有且仅有4个零点,所 以 22 4 7万 /平面M
11、N以所Vp 以MNR-匕、M N R=VR un=X xlxlx2=-D,-MNB i 3 2 3,故 D 正确.故选：BCD三、填空题1 3.若 向 量/的 夹 角 为 W洞=2,同=6,则 怩 一%【答案】2币代入求解.【分析】故答案为：2币1 4 .已知函数/（x）=x l nx +?x +l的零点恰好是/的极值点，贝|j，=.【答案】-1【分析】设/是“x）=x l nx +?x +l的零点，也是/G）的极值点，进而建立方程，解方程并检验满足条件即可.【详解】解：根据题意，设%是/（x）=x l nx +%x +l的零点，也是/*）的极值点，因为/（x）=l nx +l +m xo I
12、n XQ+A MX0 4-1 =0所以jl nx +l +加=0 ,解得x 0=l,机=T此时/（x）=x l nx-x +l ,/（x）=l nx,当xe（，l）时，/（x）0,函数/（x）在（）上单调递增，所以，函数 X）在x =l处取得极小值，且/（1）=,满足条件.故答案为：-11 5 .已知函数c 丫-2/。，若存在实数加，使得关于x的方程/（、）=恰有三个不同的实数根，则。的 取 值 范 围 是.【答案】（-2,1）【分析】根据函数/（、）图象与=川的交点即可求解【详解】在直角坐标系中画出必=/-2x-3,%=x-2的图象，当“4-2时，/6）=至多有2个实数根，如 图（1）,当时
13、，/G A”至多有2个实数根，如 图（2）,当-2 a l时，/G）=”恰好有3个实数根，如 图（3）,故。的取值范围为故答案为：-2 a )2+/=1 2【分 析】先根据条件求出 的方程，作 图，分析图中的几何关系，设立参数，写出面积的解析式即可.【详 解】设由题意得化 简 得 的方程为口一1了+/=1,C（L）；j x +y-l =0直 线 的方程可化为G+L G i y+i)=o,由卜-4歹+i =o1 1x=-9y=-解得 2 -2,所以直线/过定点又 DC?=2+1 D,所以点在 圆C的内部;作 直 线C E/,垂 足 为E,二旦。s。2（S =1所以当8 s 2，=1,即。=0 时
14、,2.故答案为：（xT）2-+P2 =1,12 .五、解答题1 7.已知数列S J 的前项和为S”，”e N”,现有如下三个条件分别为：条 件 牝=5；条件。,+%=2；条 件 邑=与；请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答.您选择的条件是 和.(1)求数列“的通项公式；b,=L_(2)设数列也 满 足“,求数列也 的前项和2【答案 M l 产=2-5(WN*)Tn=-(2)-6+9【分析】(1)若选时，由%+/%=2可得数列S，是以公差d =2 的等差数列，再由。5=5 求出4,从而可求出通项公式，或由”=%+(-5)x”可求出通项公式，若时，由4“-%=2可得数列4
15、是 以 公 差 =2的等差数列，再由$2=T%=5求出生,从而可求出通项公式，若选无法确定数列，_!_=l p_（2）由 可 得 外 川（2-5 2 -3）212-5 2 n-3 j）然后利用裂项相消求和法可求得1【详解】（1）选时：解 法1：由可知数列“是以公差1=2的等差数列，又%=5 得%=q+（5-i）x（/,得=-3,故%=-3+2（一1）,即q,=2-5（weN*）解法2：由向-%=2可知数列 4 是以公差d=2的等差数列，又的=5 得/=%+（-5）xd,则%=5+（-5 2,即=2-5（WN*）选时：由%+%=2可知数列“，是以公差4=2的等差数列，由$2=-4可知6+%=-4
16、,即 阴+2=-4得q=-3,故见=-3+2（-1）,即为=2-5（eN*）选这两个条件无法确定数列.k_=_ _ _ _ _ _ _!_=i p-q（2）&”向（2 一5（2 一3）2（2-5 2-3；一 q2 1 3 2 n-3 j_ 1_6 4 一 6T=-所以-671+93 G cos B b1 8.设A/B C的内角/,B,C 的对边分别为a,b,c,已 知 的 面 积 为 2,且 cosC 2a-求 B(2)若 而=2而，求 8历的最小值，并判断此时2 8 c 的形状.T C【答案】5(2)2,是直角三角形c 1 n 九cos B=-B=【分析】(1)利用正弦定理、两角和的正弦可得
17、 2,从而可求 3.(2)根据面积可得=6,根据向量关系结合数量积、基本等式可求 82 I取得最小值2,此时sinC=2 s i n/,从而可求A,故可判断三角形形状.【详解】(1)由条件得：(2C)COSB=6COSC,由正弦定理,得(2 sin A-sin C)cos 5=sin B cos C即 2 sin A cos B=cos 8 sin C+sin B cos C,所以 2 sin/cos B=sin(8+C),因为4+6+C=;r,所以sin(6+C)=s in/,即 2sinZcosB=sin4,cos S=-5因为A 为三角形内角，故SHI4H0,所以 2,因为0 3 (2
18、J 4a2c2+lac)-(4ac+lac)=ac=当且仅当c=2即。=G，c=2 G 时，H 也取得最小值2,此时sinC=2sinZ,C=-A sin又因为 3,所以211 =2sin4 tan =),整理得 3,0A A=-c =-”因为 3,所以 6,所以 2,所以BC 是直角三角形.19.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为5,若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为6,5 ,，其中1n （1）若 3,分别求出该
19、考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围.4【答案】（1）该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀概率为该考生报考乙大学恰好有一门笔41试科目优秀概率为 面；【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式，互斥事件、相互独立事件分别计算报考甲、乙大学恰好有一门笔试科目优秀的概率.（2）分别计算报考甲、乙大学达到优秀科目个数的期望，再列出不等式并求解作答.【详解】（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件A ,则该考生报考乙大学恰好
20、有一门笔试科目优秀为事件B ,1 3 2 5 2 2 5 3 1 41尸(8)=x-x +x x +x x-=则 一 6 53 6 5 3 6 53 9 0.(2)该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为X,依题意,E(X)=3x 1=，则 3该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为y,随机变量丫的可能取值为：o,1,2,3.P(Y=0)=X (1-7 7)=-P(Y=1)=X-(l-A 2)+X (1-7?)+x n =+7 6 5V 7 2 V 7 6 5V 7 6 5V 7 6 5 30_/T Z 5 2 1 3 1 2 八、2+11 _z_.八 1 2 2 n n“7 6 5 6 5 6
21、5 30,1 7 6 5 30 15,随机变量y的分布列:Y0123P-n13+2302+1130nI?z _ _ x _-n.13+2 ,2+11 _ n 17 +30E（y）=0 x-+l x-+2x-+3x =-v 7 2 30 30 15 30,17 +30 0 U因为该考生更希望进入甲大学的面试，则E（y）（X）,即30 ,解 得，?30,八 130 所以的范围为：30.2 0.如 图 1,矩形8C 中，P C =3百，PA,。为尸C 上一点且C D =2O P,现将J/。沿着力力折起，使 得 产D LBD,得到的图形如图2.证明：尸 工，平面出。；（2）求二面角尸-的余弦值.【答案
22、】（1）证明见解析2 7 77【分析】（1）由勾股定理证明以 工PB ,再由尸/LP。结合线面垂直的判定证明即可；（2）由 面 面 垂 直 的 性 质 证 明 尸 平 面 以 点。为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法得出二面 角 尸 的 余 弦 值.【详解】四边形&BC为矩形，PC =30 PA =娓 且C D =2 DP,B D =B C2+C D。=便+&=3 7 2.：P g BD,.尸=痴3=财）+3.A B =3 6,PA =娓,.PB2+PA2=A B2,.-.PA 1 PB.四边形P Z 8 C 为矩形，.：PBCPD=P,尸平面尸so,平面尸BO.尸匕_(2)过户作 PE/
23、。，交 AD于E,.：PD=3,PA=C ,AD.DE=ylPD2-PE2=1由(1)知尸力，平面平面P B。,所以，由尸D,8。匚平面力8 0,.平面，平面尸/。，又 PE J.AD,尸 _1 平面 8。，故以。为原点建立空间直角坐标系如图所示，,0（0,0,0）/（0,3,0）8 0 0,0,0）P ,l,也）平面力8 0 的一个法向量为机=（，）n-AB=0*设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 =（x，z）,则 卜 =03 缶-3 y =0在=0&,-3,0）ZP=（0,-2,V2）j _ 2 y +&z=0令x=l,得丫=也，z=2,.=G&2）/-_ 2 _ 2 币,cos（加-
24、7277.二面角P-/8-。为锐二面角，.二 面角P-/8-。的 余 弦 值 为 r2 5C-H =1（6 Z b 0）J.2 1.已知椭圆。b2 的离心率为2,且点在椭圆上.（1）求椭圆c 的标准方程：（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为4 8,点 是 椭 圆 上 异 于 4 8 的不同两点，直线8 N 的斜率为 0*0）,直线Z 的斜率为弘，求证：直 线 过 定 点，并求出此定点坐标.人【答案】（1）4 3.证明见解析，定点【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可;（2）根据一元二次方程根与系数关系、直线斜率公式进行求解即可.C _ 1【详解】（1）由已知得 一万，所以
25、&a 2）4（+A=i又点12J 在该椭圆上，所 以/4b2 ,所 以/=46=3x2/_-1-1所以梢圆C 的标准方程为4 3.(2)由于8 N 的斜率为左，设直线8 N 的方程为了=/0-2),y=k(x-2)联立方程组I 4 3,整理得(婕+3*-16/x+16/-12=0,1 6/-12 8-6所以4.+3,所以“”-4 公+3,1 2 k/8-6 -12、从而4/+32,即1 4/+3 4公+3),同理可得：由于Z M 的斜率为3%,则 直 线 的 方 程 为 V=3Z:（X+2）,联立方程组，得y=3%(x+2)-1-=14 3一出(36左 2 +3)炉+144公x+144/7 2
26、 =0可得1 761 n。2公+1 卜2+48 公/+48k2 _ 4=0即、/,._ 48-4 _-2 4/+2所以-1 2/+1 ,所以=12公+1 ,12k J-2 4 +2 T2k)从而加即112公+1 1 2 公+”,二 12一+1 I 4k2+3)_ 4k心 +1 M N -2 4/+2 _ 8 二二6=-4/+1当 一 5 时，2k2+-4 r+3,-2k 4k(Sk2-6 所以直线MN为 +3-4卜+11 4k-+3jy=空(x+1)整理得-4 +1、即直线MN过定点P(-LO)当x“=%,即 =5时，直线 N 的方程为尸-1,也过点(T 综上可得，直 线.过 定 点 尸(L)
27、.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键./（x）=e-er-+1 g（x）=+22 2.已知函数.x,x.求函数g（“）的极值;当 x0时,证 明：/G V g（x）-+2【答案】（1）极大值为e，无极小值（2）证明见解析/（、=Lx【分析】（1）首先确定8。）定义域为（，+8）,求导可得8 -x2，根据导数的应用,分x 右（，e）和*（e,+切 时，两种情况讨即可得解;(2)要证 x)2 g(x)即证xe，U-l n x-x-2、()令(x)=xe-l n x-x-2(x 0)求导利用隐零点问题的解决方法求得h(x)mi n*即可.g(x)=+2 (0,+。,g()在(。9 单调递增,xe(e,+o o)t SV)f 0),g|j xev+,-l n x-x-20尽/?(%)=xex+l-l n x-x-2(x0)yh(x)=(x+1卜 川 一 比=(x+1)(e、“一令W)=e 工则*G)在(，+8)上单调递增，夕(J-=e S-10 e 2-100而I M ,故Q(x)在(，+00)上存在唯一零点,且与 10 xe(O，%)时，9(x)0,(x)0,/(x)0,”x)在xe(X o，+则原函数/G)为增函数，/(x)原函数为减函数，同时考查了极值的概念.本题的关键点如下：(1)极值点在何处取得；(2)隐零点问题在求最值中的运用.