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1、牡丹江市重点中学2022-2023学年高三上学期第五次月考数学试卷考试时间：120分钟 分值：150分一、单 选 题(共8题)1、已知集合/=*卜2-8-20 ,5=x|l x 3,则4 c8=()A.x|-1 c x 3 B.x|-l x l C.x l x 2 D.x 2x 32、已知（3-4i）z =l +i,其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、已知向量5,B满足同=1,问=2,且 忸+可=3,则1与B的夹角为（）71 71 5万 2万A.-B.C.D.6 3 6 34、一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的
2、名次.学生甲说：丁第一：学生乙说：我不是第一;学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第 二.若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是（）A.甲 B.乙5、在 A8C中，角4 B,C的对边分别为a,b,A.f o,-l B,f o,I 3 I 3C.丙 D.T 2 h c o s C 2 a-c,则8的取值范围是()8、已知奇函数/（x）的定义域为R,且/（1+x）=/（l-x）.若当x e（O,l 时/（x）=l o g2（2x +3）,则C.2D.3多选题（共4题，部分对2分、全对5分、有错误选项0分）9、下列关于向量a,b,。的运算，一定成立的有（）A.(。+6)c=a cbc B.(crb)C=a
3、(Zrc)C.a-ba-b D.a-b0,b 0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是()A1 1 r-r 1 1 1 1A.0 B.V cih 2 C.I 21 D.-W ab 4a b 矿+b 8j r11、将函数/(x)=sin 2 x的图象向左平移一个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，则()A.函数g(x)的图象关于直线x=A对称 B.函数g(x)的图象关于点(看,0)对称C.函数g(x)在区间高上单调递增D.函数g(x)在区间(0,磊 上有两个零点12、如图，已知正方体/8CD一4的棱长为1,则下列四个命题正确的是()7TA.直线6C与 平 面 所 成 的 角 等 于 一4TTC
4、.两条异面直线D C和8 G所成的角为一4J7B.点C到平面/18G。的距离为2D.三棱柱44。1的外接球半径为且2二、填 空 题(共4题)13、写出一个最小正周期为2的奇函数/(x)=14、已知tana=2,贝ijcos+2.15、已知正方体棱长为2,以正方体的一个顶点为球心，以2显 为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得 的 所 有 的 弧 长 之 和 为.16、已知各项均为正数的等比数列 4 ,若2%+%一2a2-=8,则2网+%的 最 小 值 为.三、解答题17、(10 分)已知向量玩=(2cosx,-l),n=/3 sinx,2cos2 x R.设函数/(工)=而万+1 (1)求函
5、数/(x)的最小正周期；(2)若 a e ,且/(a)=2,求 cos2a 的值.3 12 v 7 518、（12分）己知各项均不相等的等差数列 ,的前4 项和为10,且外，“2,如是等比数列 2 的前3 项.求an,b*（2）设q,=b“+求 c“的 前 项 和.19、（12分）已知在 N 8 C 中，角 4,B,C的对边分别为a,b,c,N=8+3 C.（1）求 s i n C 的取值范围；（2）若 c=6 b,求s i n C 的值.20、（12分）已知数列 q 是公比为2 的等比数列，其前项和为.7（1）在S 1+S 3=2 S 2+2,3=5,。2%二4%，这三个条件中任选一个，补充
6、到上述题干中.求数列%的通项公式，并判断此时数列 是否满足条件P.对任意?，N*,即小均为数列%中的项,并说明理由.（2）设 数 列 也 满足“=T，n e N,求数列也 的前项和7；.注：在 第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21、（12分）如图，在四棱锥尸一/B C D 中，平 面 尸 平 面ABCD,A D/B C ,A B=B C=P A =1,AD=2,Z P A D Z D A B=9 0 ,点 E 在棱 PC上，设C E =X C P.（1 ）求证：C D U E；（2）记二面角。的平面角为仇且|c o s e|=平，求实数，的值.22、（12 分）己知函
7、数/（x）=A x-x l n x,上 右R.（1）当人=2 时，求 函 数 的 单 调 区 间：（2）当 0烂 1时，f Qx）。恒成立，求发的取值范围;、9*4 丁 1nl I n 2 I n/?（3）设“C N*,求证+-.2 3 M+1 4答案1.C 因为 A =x-x2,B=x 1 v x 3 ,则 A CB=x 1 x2.1+i(1+i)(3+4i)-1 +7i 1 7,17、2.B因为(3-4 i)z=l+i,所以z=1斫 函=卞 =-西+而i,则复数z对应的点Z k-而却位于第二象限.3.D 因为|+=邪,所以|4+6|2=(4+6)2=2+24力+6 2=5+2。仿=3,则力
8、=1.设 a 与 b 的夹角为。，则 c o s 0=a-b 1 27r丽=2又因为夕引0,兀，所以。=可.4.C显然丙、丁有一个错误.若丙预测正确，则与甲预测正确矛盾，故丙错误.5.A 解法 1 由正弦定理知 2b c o s C2a-c 可化为 2s i n 8 c o s C 2s i n 力-s i n C,即 2s i n 8 c o s C 2s i n(+C)-s i n C,即s i n C(2c o s氏1)K).又C为三角形内角，故s i n O O,所以c o s 8豆又因为3(0,初 所 以 姓(闯.+Q2+-.C2解法2由余弦定理得C O S C=2ab，故2bcos
9、 C 1,/?=2-1 2 1,1 c b.解后反思如果两个量不能直接比较大小，那么需要寻找中间量进行间接比较.sinm /1/I X7.D令危)=成不，由题意可知兀0的定义域为卜8 句U Q，+叼，令人劝=0,则 尸 碎w z),即函数.危)有无数个零1n点，则排除选项A,B;2 x 0 J(x)0,排除C.解后反思利用性质识别函数图象是辨图中的主要方法，主要考查函数定义域、值域、函数的奇偶性、函数局部的单调性等.当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断,还可能同特殊点法结合起来使用.8.B因为/(1 +x)y 1 -x),所以函数於)的图象的一条对称轴为x=1 .又因为函数人x)为奇函数，所
10、以函数/(x)是周期函数，且周期 7=4,则/(2)UH 2)=y(-2)=-/(2)=-l o g24=-2.9.A C D向量的数量积满足分配律，故A正确;(力)七是与c共线的向量,t r(Z r c)是与a共线的向量,a,c不一定共线，故B错误;力=|叶16 1c o s 勺|叶|句,故C正确;由向量减法的三角形法则知D正确.1 110,C D 由a 0力 0,且+b=4,得4=。+/2回,当且仅当a=h=2时取等号，因为心0力 0,所以2封福而“,故A,B错误;对于C 选项，市=北+设+6)=四+b)4(2+2 )=1,当且仅当a=b=2时取等号，故 C 正确;对于D1 1_ 1 1选
11、项尸2 +庐=(。+力)2-2讪=16-2。也16-2*4=5,当且仅当a=b=2时取等号，故 D 正确.n n n n kn n11.ACD 由题可得 g(x)=sinrX+3，令 2x+3=2+lat,k&Z 得 x=+EW Z,当 =0 时 x=,故 A 正确.令n n kn n kn n 2 i t n n2x+5=kn,kWZ得 x=+2,%Z，令 不+2=%得左=4Z,故 B 错误.令工+2履W2x+W，+2E,攵 Z 得 5717r 5TI n fn n n n kn运於五当k=0吐运区运，故 C 正确.令g(x)=sinCX+5=0 得 2x+5=E Z 得 x=%+2Z，当n
12、 57rk=时 x=4当k=2时 x=3 故 D 正确.解后反思本题考查三角函数的图象变换及正弦型函数的图象及性质的应用.在解决相关问题时要注意整体思想的应用.12,A B D 连接CB,交 B C、于点O,在正方体中易证得C8|J_平面则N C 8G 即为直线BC与平面n y 24 B C D所成的角,它等于4 故 A 选项正确;CO 即为点C 到平面A BC.D,的距离，它等于了，故 B 选项正确;因为n4 B D C,所 以/4 8 G 即为异面直线D i C和 5 G 所成的角，它等于彳，故 C 选项错误;三棱柱/小。I-5 S G 外接L 叵球即为原正方体的外接球,直径为原正方体的体
13、对角线的长平，其半径为彳，故 D 选项正确.13.sin T I X由最小正周期为2,可考虑三角函数中的正弦型函数y(x)=Zsin cox(/#0),满足/(-x)=-sin wx=-jx),是奇函数；2 7 r根据最小正周期7=石=2,可得3=兀故函数可以是/(x)=/sin 口(/和)中任一个，可取/(x)=sin T L Y.4/TT 2sinacosa 2tana 44.S COS 2j=sin 2cc=sim%+cos2a=a72%+1=_5.解后反思 对于含sin a,cos a 的齐次式的处理,转化为tan a 比较好，它省去不必要的讨论,体现整体思想的解题优势.15.3兀 如
14、图，不妨以顶点。为球心,因为正方体的面对角线长为2隹,因此该球面只会与正方体的前、右、上三1个侧面有交线，这其中的每个侧面与球面产生的交线,都是以正方体的棱长2 为半径的圆的4圆弧,如上底面的交C1线就是以Di为圆心，棱长2 为半径的久”其弧长为心2兀 X2=w因为球面与三个侧面相交，所以弧长之和为371.易错警示不过球心的平面与球面的交线都是圆弧，这里的三段弧都是a 圆弧,而非整个圆.1 6 .5 4 设 2。2+。1=加(m 0),公比为(4 0),则 2 4 4+4 3=(2。2+4 1),2=加,2,所以由 2 4+。3-2 2-4 1=8,得/?_ 加=8,即8+m(8+m)3(8+
15、m)3(8+m)3(S+m)2(m-16)q2=m，因此 2。8+劭=(2。2+。1 必6=加 6=/m3=m2.令 火?)=m2(加 0)/(加)=m3，易得当2=6 时,火m i n=/O 6)=5 4.解后反思恰当地换元，能起到减元的作用，使复杂问题简单化.1 7 .规范解答 解:分析:根据向量的数量积公式求出本）,并利用三角函数公式将函数转化为外）=Z s i n（c u x+e）的形式.因为加=（2 c o s x,-l）,7 7=（V s i n x,2 c o s2x）,所以外）=优 +1 =2 J s i n x c o s x-2 c o s2x+1分析:遇到高次式，应用二倍
16、角公式的变形公式进行降次.=V s i n 2 x-c o s 2x分析:利用辅助角公式a s i n +A c o s 所/标+匕由伍+少）,其中c o s 一幅十析s i n=2 s i n Q x -%）.（4 分）2nT=2=兀（5 分）8n 4（2）解 法 1由危）与，得 s i n l _ 6）=5n分析:确定角2 a V 的取值范围，以便求它的其他三角函数值.n 7n T t n方司，得比2 a-*兀，r r r I（2 a）l l-s i n2（2 a-）11-（2 j所以 C O S 1 6）=_、l I 6）=_q 5J=_ 5 （7 分）从而c o s 2a分析:应用凑角
17、思想得2 a J2。3+看K 2 a.。+胃=COSLk 6）6J（2a.（2 a-J）.J=C O S 6 1 c o s 6-s i n l 6/s i n 63 2 4 1 -4-3 0=-5 XT_5 X2=1 0.（0 分）解法2由次a）=果得s i n Q a -6）=5.n 7nl n n丞司，得比2 a-社兀n n 4 n令/=2。-%,5&加,则 s i n Z=另且 2。=什%,所以 c o s -sin2t=-2 5=$（8 分）所以 c o s 2 a=c o s k 6；=c o s/c o s%-si n r si n%3#4 1 -4-3 /3=-5 XT-5 X
18、2=1 0.（1 0 分）解后反思根据已知的三角函数值求相关角的三角函数值时，一般应用整体思想，采用凑角的方法来加以处理.一般情况下，不将条件中的角应用两角和与差的三角函数公式展开，通过解方程组的思想来求解，因为这种求解方式的运算量太大！1 8 1 8.规范解答 解:（1）分析:对于等差数列、等比数列的问题,求解的基本策略是基本量法，即转化为数列的首项与公差（公比）来加以解决.设数列%的 公 差 为 和.4 x（4 -1）由题意知。1+。2+的+。4=4。1+2 d=4 a 1+6 d=1 0 （2 分）2又 因 为 成 等 比 数 列，所以0 2=Q&4,即（。1+外=4（4 l+3 6 0
19、,得 小=4&又因为存0,所以（4分）由I导所以a=n.“仇=1=1 力2=。2=2,q=比=2,所以 bn=2n-.（6 分）（2）分析嗷列 的通项是由等比数列 2叫 的通项与分式型数列 而 而 的通项的和所构成的，所以求 c“的前项和可用分组求和法，即分别求等比数列 2叫的和及分式型数列 而 百 的和，而对于分式型数列的和的求解，则采用裂项相消法.因为 c=2,-|+n（n +1）=2,-1+（n -布），（9 分）所以 S=2 0+21+.+2,-|+l1 -2+2-3 +-+n 布J=T +1 J T H=2 -布，1所以数列 c,J的 前 项 和S,=2 -E.（1 2分）1 9.规
20、范解答 解:由/=8+3 C 及/+8+C=T T,得 2 8+4。=兀,7 Tn所以 8=5-2 C,所以 Z=5+C.（2 分）分析:欲求si n C的取值范围,需要先求出角C的取值范围.0 4 7 T,0 B 7 T,由 。阳得 0 v g+C VT T,0 -2 C 7T,0 C 7 T,得 0 v C _L/C.(4 分)X A C(PA=A 4C,PA-PAC,所以 CO_L平面 PA C.又力 u 平面PNC,所以CDLA E.(6 分)(2)分析:注意到PZ_L平 面 以 及 所 研 究 的 对 象 为 空 间 角，因 止 匕，采用空间向量的方法比较容易操作解:因为P/工平面/
21、8 C 2 8 Z L 4。,故以 同，而,而 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系儿孙z.因为 A B=BC=PA=1 4D=2,所以 J(0,0,0)(0,0,1),C(1,1,0)0(0,2,0),贝 丽=(-1,1,0),而=(0,2,0).分析:点在线段上，在向量中通常应用向量共线定理来加以表示，这样，在设点的坐标时,可以减少未知量的个因为点E在棱P C上，且 CE=2CP,所以无=工 而.设 E(x,y),则(x-1,y-/)=-1 1,1),故 E(1U,1U2),所以荏=(1 -2,1-2,2).由知,CO_L平面P/C,所以平面A C E的一个法向量为n=CD=(-1,1
22、,0).设平面AE D的法向量为加=(X,yi/i),(m A E=0,f(l-4)%i+(1-冷为+%=0,由=0,得1 2yl=0.令 zi=l 1,所以平面AE D的一个法向量为,w=(-z,0,l-A).(9分)I rn n I I A _ I 网因此|cos e|=|cosv“|=h啊 网|=1 展+(1-#21 =5,2化简得3万-82+4=0,解得丸=或2=2.2因为E在棱P C上，所以2 0,1,所以2=5.yio 2所以当|cosJ|=飞-时，实数2 的值为凡(12分)解后反思研究立体几何问题通常有两种解决方案:一是应用传统的逻辑推理的方法来加以处理,一般地，此种方法用于证明
23、空间中的线线、线面、面面的平行或垂直关系;二是通过建立空间直角坐标系，应用空间向量知识来解决问题，此种方法一般用于解决空间中的角度、长度等的度量问题.2 2.规 范 解 答(1)解:当左=2 时0,得 Oxe;由八)e.因此函数/(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+8).(2分)(2)分析:注意到“当O X 1时於)必恒成立”等价于“当O X 1时段)m ax女，因此，问题转化为求函数/(X)在0%时，因为0 O l n x,因此，(x)N O恒成立，即./(X)在(0,1 上单调递增，所以/(x)g(l)=%恒 成 立.(4分)当k 0小)单调递增;当*口步|,1)时/(
24、劝0痴)单调递减,于是外*)刁(l)=k，与大x)女恒成立相矛盾.综上#的取值范围为 1,+8).(7分)解法 2/(x)=A x-xl n x,故/(x)=A l-l n x.分析:注意到后/，从而“当O X 1时J(x)9恒成立”等价于“心 月 ”,进而有/(X)m a x=/(l),因此，存在Xo G(O,l),当xd(xo,l 时段)单调递增，由此来进行求解.因为当O X 1时危)%=今)恒成立，所以存在必G (0,1),当X e (xo,1 时,/)单调递增,即有八X)NO在X W (xo,1 上恒成立，故Q l+l n x在xe(x(),l 上恒成立.当 xG(xo,l 时,1+l
25、 n 烂 1,所以 G L(4 分)分 析:由 上 述 可 知,是 当0 x 时，因为0 烂1,所以-l O l n x,因止廿(x)2 0恒成立，即/(x)在(0,1 上单调递增，所以加)3(1)=左恒成立.当 k 0 x)单调递增;当x (川,1)时x)0%)单调递减,于是上必)(1)=俏与Jx)k恒成立相矛盾.综上#的取值范围为1,+8).(7分)Ini ln2 Inn n(n-1)(3)分析:注意到所证不等式“+亍+1 0丁 的左边是项的和，因此，将右边也转化为一个数列前的n(n-1)n-1 Inn n-1项的和，这样可以采用逐项比较的方法来证明该不等式.由可得册=亍.进而只需证明E=
26、(N*)成立，也即2 1 n nn2-l成立.证明:由(2)知，当0 x l时/-xl n烂1.1 1 2令 x=m(N*),则，+n 2 n A 7 1,EP 2 1 n nn2-1,Inn n-1因 此 布M l-.(1 0分)Ini ln2 Inn 0 1 n-1 n(n-1)J3|f 2 +T+.+T l 2+2+.+2-=4；(1 2 分)解 后 反 思1.研究函数的恒成立问题时，通常会有两类方法，一是直接转化为求含有参数的函数的最值问题，应用此种方法需要对参数进行分类讨论，其中确定分类讨论的标准是关键.常规的有以下两个角度:一是导函数在所给的区间内是否有零点;二是导函数在所给的区间内的零点的大小关系.二是采用分离参数的方法，将问题转化为不含参数的函数的最值问题.采用此方法时，若函数在所给的区间内的最值恰在区间端点处取得，但在端点处函数又不连续，则此方法不能适用.本题分离参数后就是此情形.因为当0 X l时/弘恒成立等价于-xlnxQ不了=心),由于在(0,1)上单调递增，但x=l时例X)无意义，故本题不能应用分离参数求解.此外，研究函数的恒成立问题时，我们可以先采用特殊化的方法来缩小变量的范围，然后来进行求解,这样可以减少讨论的过程.2.证明有关数列和的不等式时，我们常可以通过将不等式的一边的和转化为通项的方式，这样可以将左、右两边进行逐项比较，从而找到解题的途径.