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1、2022年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（理）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第I 卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用28铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.第 I 卷选择题（共 60分）一、选 择 题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1
2、.若集合/=*|/一 2x-3 0,B=-r I log,x 0,则 p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2 26.已知双曲线C：三 一 勺=1（。0,60）的左、右焦点分别为G，凡 点M在C的右支ah上，直线6 与C的左支交于点M 若怩N|=b,且蚀里则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=-x B.y=3x C.y=-x D.y=2x7.设/G）是定义在R上且周期为4的奇函数，当0 x 2时，fx,0 x 1 /（x）=，令 g（x）=f（x）+/（x+1）,则函数y=g（x）的最大值为（2-x,l x 2)A.1 B.-1 C.2 D.-2
3、8.己知函数/(x)=2sinT(0O)在 0,1 上单调递增，且/*)”卜 引 恒成立，则。的 值 为()3 1A.2 B.C.1 D.一2 29 .已知抛物线C:/=4x的焦点为F,过点/作直线/交抛物线C于点4,8(/在苫轴上方)，与抛物线准线交于点M.若1 8 M=2 内巧，则直线/的倾斜角为()A.6 0 B.3 0 或 1 5 0 C.3 0 D.6 0 或 1 2 0 1 0 .对于函数/(x)=s i n x +x /,xe 0,乃 ,下列说法正确的是()A.函数/(x)有唯一的极大值点 B.函数/(x)有唯一的极小值点C.函数/(x)有最大值没有最小值 D.函数/(x)有最小
4、值没有最大值1 1 .如图为“杨辉三角”示意图，己知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为S,设4=J 5 1 0 g 2(S,+1)1 ,将数列也 中的整数项依次取出组成新的数列记为 c“,则C2 0 2 3 的 值 为()A.5 0 5 2 B.5 0 5 7 C.5 0 5 8 D.5 0 6 31 2 .十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于1 2 0 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角
5、1 2 0 ；当三角形有一内角大于或等于1 2 0 时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知a,b,c 分别是 N 6 C 三个内角4,B,C 的对边，且(a c)2 =6,-C O S/f-=s i n|C-L 若点P为 4 6 C 的费马点，则 莎 丽+而 正+方 正=()A.-6 B.-4 C.-3 D.-2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共 2 0 分)1 3 .上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则 不 同 的 分 派 种 数 有.(数字作答)1 4 .如图，4 8。内接于椭圆，其中/与椭圆右
6、顶点重合，边 8c过椭圆中心O,若 4 C边 上 中 线 恰 好 过 椭 圆 右 焦 点 F,则该椭圆的离心率为1 5 .九章算术是 算经十书中最重要的一部，全书总结了战国、泰、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就.在 九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖嚅”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如 图，几何体尸一N 8 CZ）为一个阳马，其中尸。J 平面/8 C Q,若 D E J.PA,D F 工P B ,D G 1 P C ,且 P D=N Z）=2 4 8=4,贝 U儿何体E F G A8 CZ）的外接球表面积为X1 6 .已知
7、函数/（力=;7?-1 1 1 +机武工0）的值域为 0,+0 0）,则实数机取值范围为三、解 答 题（本大题共6小题，共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚）1 7.（本题满分1 2 分）已知数列%是各项均为正数的等差数列，S,是其前”项和，且Sn=（/二1手 日2）.（1）求 数 列 的 通 项 公 式；（2）若=（5）%,求 6“取得最大值时的.1 8.（本题满分1 2 分）在 2 0 2 2 年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1 胜 3 平 6负进9 球 失 1 9球的成绩惨败出局.甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次
8、为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1 人进球另一人不进球，进球者得1 分，不进球者得一1 分；两人都进球或都不进球，两人均得。分，设甲每次踢球命中的概率为工，乙每22 1 1次踢球命中的概率为一，甲扑到乙踢出球的概率为一，乙扑到甲踢出球的概率一，且各次3 2 5踢球互不影响，（1）经过一轮踢球，记甲的得分为X,求 X的分布列及数学期望；（2）若经过两轮踢球，用 表 示 经 过 第 2 轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求Pl-19.（本题满分12分）7T如图，四棱锥PZ8C。的底面为直角梯形，N A B C =N B A
9、D =,尸 8_L底面/BCD,2PB=4B=AD=LBC=1,设平面尸/。与平面P 8c的交线为/.（1）证明：/_L平面P48；（2）设。为,上的动点，求尸。与平面0/8 所成角的正弦值的最大值.20.（本题满分12分）已知函数/（x）-aXnx x1+ax.（1）当 a=l 时，求证：f（x）0）,离 心 率 为 其 左 右 焦 点 分 别 为 大，鸟，点A（1,-1）在椭圆内，尸为椭圆上一个动点，且|/岑|+|&|的 最 大 值 为 5.（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 的 上 半 部 分 取 两 点 N（不包含椭圆左右端点），且 砸 =2 可，求四边形F N M的面积.选考题：
10、共 10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.【选修 44：坐标系与参数方程】（10分）一x=2cos0在平面直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为4 ”（夕为参数），y=s m（p（1）在以。为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程；（2）若点48 为曲线C 上的两个点且0 4,0 8,求证：口 弓+方为定值.23.【选修 45：不等式选讲】（10分）己知存在X。e R,使得卜。+3-卜 0-2 川N 4 成立，a,e R.（1）求“+2人的取值范围；（2）求 的 最 小 值.2022年秋期高中
11、三年级期终质量评估数学(理)参考答案一、选择题(本大题共1 2小题，每小题5分，共6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共2 0分)题号1234567891 01 11 2答案ABABBDADDABC1 3.1 5 0 1 4.-1 5.2 0乃 1 6.-oo,3 I e2J三、解答题(本大题共6小题，共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1 7.【解析】(1)当 =1 时，Sx=a=I 1+2),解得：=2或者。二一1,因 为%0,故q =2.方法因为幽山=返口，所 以 巡 盘L&T)3，+2),“2 2 2 2
12、又。0,即可得拉+1.方法二：当=2时，S 2 =2 +%=(%二易得：=3.因为数列 4 是等差数列，故氏=+1 .(2)由 知,+,故%=(+2)|.当7时，心 2；当=7 时，b e =bn；当心7时，4；故数列 ,的 最 大 项 为bs,即=7或81 8【解析】(1)记一轮踢球，甲进球为事件/,乙进球为事件8,A,5相互独立,由题意得:2 I 5 J 5 31 2)3甲的得分X的可能取值为一1,0,1,P(X=T)=尸=咆)=1-讯=_n i尸(x=0)=P(AB)+P(A B =P(A)P(B)+P(A y P =-x-+2P（X=l）=P（/7）=P（Z）P0）=x所以X的分布列为
13、：41 581 541 5=_0 x -5 1 5 1 5 1 5（2）根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种;分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮 得1分；或者甲第1轮 得1分，第2轮得0分；或者甲两轮各得1分，于是：02 =。（矛=0）,尸（X=I）+P（X=I）.P（X=O）+P（X=I）1 9.【解析】（1）证明：因为P 8 J底面Z 8 C Z）,所以08,8 c.7T又底面/B C D为直角梯形，且,所以4 8 1 8 c.因此平面48.因为8 C Z。，平面/M O,所以8 C 平面P N O.又由题平面PZO与平面P8C的交线为，所以/8C,故/，平面P
14、/8.（2）以8为坐标原点，前 的 方 向 为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则8（0,0,0）,C（2,0,0）,J（0,1,0）,P（0,0,l）,由（1）可设Q（a,0,l）,则 丽=（。,0）.设=（x,y,z）是平面0/8的法向量，万&=0or +z=0 /、,可取 二(一 1,0,。)所以c os（,尸=n-PD-a|M|-|P5|V3-V1+设尸。与平面0/8所成角为氏则 sin*x&=3 a+/因此：当Q 0时，可得3V 3TV 3（当且仅当4 =1时等号成立）3又当Qo时，易知不符合题意.所以。与平面0/8所成角的正弦值的最大值为手2 0.【解析】(1)/
15、，(x)=J 2 x+l =-2x2+x+l _XX故f（x）在（0,1）上是单调增加的，在（1,+8）上是单调减少的.所以/。）侬=/=0,即“加0（2）当a=0时，f（-v）=-x2 不存在零点当4H0时，由/（x）=0得!a设 g(x)=2；,，则 g(x)=l nx+x zn、,X (0,+8)X1 -2 I n x-xx3令（x）=l 2 1 nx x,易知（x）在（0,+8）上是单调减少的，且 力（1）=0.故g（x）在（0,1）上是单调增加的，在（1,+。）上是单调减少的.由于g ）-1 +1=l 时，g(x)03)故若函数/（X）有且只有一个零点，则只须，=1或，0a a即当a
16、 e（一”,0）口1 时，函数/（x）有且只有一个零点.2 1.【解析】c 1（1）由题意知：一=,即。=2。，a 2又由椭圆定义可得：|P凰+|尸/卜2。+（尸/卜|尸|）4 2 a +闾=2 a +7（l c）2+l =5,又：/=/+，K a 0.设直线P M的方程为x=my-,联立4x=myx2 y2 得，（3m+4 2-6my-9=0 ,1 4 3 ,6m c.2=7 9乂%=_ /3 +4又 硒=2可，得必二一2%n/c由得，2=王.5得直线PW的方程为X =*N 1,即、每 一2 y+g=0,设写到直线尸”的距离为d,.厝+四2#）则由距离公式得：d=/=-,V 5+4 3又由弦
17、长公式得：|P A f|=J 1 +加2瓦-刃=+加2 .+必?4 yl y23m+4 J I 3m+4 J将机=孚 代 入 上 式 得|尸加 I=y ,设四边形片8 M0的面积为S ,目1 i n l ,1 2 7 2 V 5 975易知 S =P A/-d=x x-2 1 1 2 8 3 8【选做题】2 2.【解析】（1）因为Vx=2 c os y=sin(pY2所以曲线C的直角坐标方程为二+/=1.4因为x 二2 c os。，y=P s i n。，,4所以，曲线。的极坐标方程为：p2=5 3 s i n2 +l（2）由于。故可设2（月招），5 p2,+1队3 s i n2 +l，P 2
18、3 c os 2,+1所 以-7 H-=-7 H rOA2 OB2 0；月(S c os2 +1)+(S s i n20 +Q 5 4即+OA2|05 12为定值?42 3.【解析】(1)由题知：|x+a|-卜-2 6区|(x+a)-(x-2 b)H a+2同=a+2 6,因为存在x（）eR,使得,（）+4-卜0-2耳24,所以只需a +2 b2 4,即a+2 b的取值范围是 4,+“）.（2）方法一：由（1）知a +2 b 2 4,因为a,be 7?+，不妨设/=/+，当 6 2 2 时，t=a+b2 4 ,当0 b ,整理得，5 1 6b+1 6=5（6+,此时的最小值为四；I 5）5 5综上：/+/的最小值为3.5方法二：令/=/+/,不妨设。二 f c os。，b=tsin0 9因为a +2 6 2 4,所以WZ|cos0：2.q 所以：/之 为，即 的 最 小 值 为 屿.5