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1、2022-2023学年度第一学期高一年级数学期末考试卷考试时间：12 0 分钟 试卷满分：15 0 分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .测试范围：人教A版 2 0 19 必修第一册。一、单选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.设集合 4 =x|x 4 0,8 =x e Z|x|4 2 ,则9 A）CB（）A.-2,1,0 B.C.1,2 D.0,1,2 2 .已知扇形面积为8,扇形的圆心角为2 阳4,扇形的周长为（）A.80 B.4 7 2 C.8 D.23 .下列说法不正确的是（）A.若“
2、P 且牙，为假，则 至 少 有 一 个 是 假 命 题.B.命题“小凡/7-1 0”的否定是“凡-1 2 0”.C.设4 8是两个集合，则“AB”是“A H B =A”的充分不必要条件.D.当a =。2-+3 且 的 图 象 恒 过 定 点 A ,且点A在角。的终边上，则喉-）（）AA.亚 Dt.2 逐 rV y5 八D 2 一5 5 5 55 .2 0 2 1年 12 月，考古工作者又公布了关于北京建城的一件重要文字证据。这次在琉璃河遗址新发现的铭文，不仅是A国建城最早的文字证据，更是北京建城最早的文字证据.考古学家对现场文物样本进行碳14 年代学检测，检验出碳14 的残留量约为初始量的6
3、9%.已知被测物中碳14 的质量区随时间f （单位：年）的衰变规律满足M =Mu-2（M。表示碳14 原有的质量），据此推测该遗址属于以下哪个时期（参考数据：l o g2 0.6 9-0.5 3 5）（）前 10 4 6 前 7 7 0 前2 0 6 2 2 0 6 18 9 0 7 12 7 9 13 6 8I I I I Illi西周 东周 两汉 唐 元A.西周 B.两汉 C.唐朝 D.元朝6 .二次函数歹=。+2的图象顶点横坐标的取值范围为（-2,-1）,则y =-1的图象大致为（）试卷第1 页，共 5页7 函 数/九|2 s i2n 7LD（0 x 0,帆 b 0 ,贝 Ij a c?
4、B.若。0,贝a bC.若 a b 0,贝 Ij q 2 a 6。6 0,则 0,下列命题正确的是X|一X2()A./(2 0 2 4)=-1 B.人3)=0C.y=/(x)在-9,一6 上是增函数 D.函数在-9,9 上有4 个零点三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3 .募函数/(x)=(加2-3 w-3)x j 在(。，”)上单调递减，则机=.1 4.若2 c o s(5-e)=c o s(兀+9),则2 c o s 2 0 +s i n 2。=.1 5.函数/(x)=N s i n 3 x +。)(N 0,0 0,|。)的部分图象如图所示，若将/(x)图7 T象上
5、的所有点向右平移;个单位得到函数g(x)的图象，则函数g(X)=4-1 6.关于x的方程卜2 _ 1)2 _ 尸-1|+4=0 ,给出下列四个命题:不存在实数%,使得方程恰有2个不同的实根;存在实数3使得方程恰有4 个不同的实根;不存在实数左，使得方程恰有5 个不同的实根；存在实数底 使得方程恰有8 个不同的实根；其 中 正 确 命 题 的 序 号 是.(写出所有正确命题的序号)四、解答题：本题共6 小题，共 70分试卷第3 页，共 5页1 7.(1)计算：4g”+l o g|8-尼后+怆2 5-1 3)-In/J3-3(2)已知/+/_3,求+；的值.a +a a+a-21 8.如图，在平面
6、直角坐标系x Qy 中，角a、/?(ovavc?的终边分别与单位圆交于点力(网,必)、8(%,力)两点，且点A在直线2x-y =0 上，%=吟.(1)求s i n(a +/?)的值；(2)求2 a-/的值._1 9 .已知 x)=(m判断函数/(x)的奇偶性，并加以证明；(2)证明函数/(x)在 0,2)上为单调递减函数.(3)对于/(X),x e(-l,l),求/(1 +m)+/(2机+1)0),冰墩墩的日销量0(x)(套)与时间X的部分数据如表所示:X381 524(套)1 21 31 41 5已知第24 天该商品日销售收入为3 24 0 0 元，现有以下三种函数模型供选择：0(x)=W+
7、6,0(x)=p(x-1 6)2+q ,。(x)=W x+1 +(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入/(x)(1 4 x 4 3 0,xeN+)在哪天达到最低.试卷第4 页，共 5 页21 .已知函数-2c o s 2资 +1,0 c y 0,且1)与对数函数g(x)=l o g,x (a0,且“*1)互为反函数.已知函数/卜)=2,其反函数为g(x).求函数F(x)=g(x)了-2f g(x)+3,x e 2,8 的最小值；对于函数9(x),若定义域内存在实数%,满足9(-%)=-9 宙)，则称s(x)为乜
8、函数”.已知函数人(力=/(”一；“，、”-1，为其定义域上的乜函数,求实数%的取值范围.试卷第5 页，共 5 页参考答案：1.C【分析】先根据集合补集的定义求出a/，再解绝对值不等式得到集合8,最后求（金/）c 8即可.【详解】.集合 4=x|xV0,%4=x|x0,又因为 8=xeZ|x|4 2=-2,-l,0,l,2,所以（6M）CB =1,2 .故选：C.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算，属于基础题.2.A【分析】设扇形的半径为弧长为/,利用扇形的弧长和面积公式，求得r=2五，则可求出扇形的周长.【详
9、解】解：设扇形的半径为厂，弧长为/,已知扇形的圆心角为2 r a d,则/=2r,扇形面积 S=lr=-x 2 r-r=8=r=2五,2 2所以扇形的周长 C=/+2r=4r=4x 2-/2=82 故选：A.3.C【分析】对于A 中，根据复合命题的真假判定方法，可判定为真命题；对于B 中，根据全称命题的否定，可得是正确的；对于C 中，根据充要条件的判定可得应为充要条件，所以不正确；对于D 中，根据基函数的性质，可得是正确的，即可得到答案.【详解】对于A 中，根据复合命题的真假判定方法，可知若 P 且4 为假，则 至 少 有 一个是假命题，故 A 正确；对于B 中，根据全称命题的否定，可得命题T
10、 xeR,W -的否定是*tVxe/?,x2-x-l 0）,）故 B 正确；对于C 中，设4 8 是两个集合，则“工=5”是“工仆8=4”的充要条件，故 C 不正确;对于D 中，根据基函数的性质，可知当。0 时，哥 函 数/在(0,+8)上单调递减是正确的，故 D 正确.故选：C.4.C【分析】求出点A 的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得sin(年-夕)的值.【详解】当2x+4=0,即x=-2 时，y=4,所以/(一2,4),所以c o s*=一9，由诱导公式可得sin(与-6)=-cos6=夸.故选：C.5.A【分析】由题意知MO.2.忐=0.69M，利用指对互化求解，的值.【详解
11、】由题意知A/。.2一两=0.69历0，所以-0.69-0.535,故0.535x57303066,距今时间大约为2021 3066=1045，故推测该遗址属于西周时期.故选：A.6.C【分析】根据二次函数夕=以2 +2 的 图 象 顶 点 横 坐 标 的 取 值 范 围 为 求 得 夕 的 范a围，从而可得1-1 的范围，从而得出函数-1 的单调性，再根据函数所过的定点即可得出答案.【详解】解：因为二次函数y=ox2+2 fe 的图象顶点横坐标的取值范围为(-2,-1),所以B|1e(1,2),所以：0 1-1 1,则函数y=是减函数，又函数y=的图像是由函数y=(g-l j 的图像向下平移
12、一个单位得到的,故函数了 =(2-1 丫-1是减函数且过原点.a故选：c.7.C【分析】先利用三角函数、对数函数的图像和性质，画出函数/(x)的图像，再利用图像数形结合即可发现。、b,。间的关系和范围，最后求得所求范围.【详解】函数/(X)的图像如图所示：0 lg c 2,1 c 1002 a+/?+c )的最小正周期为万，其图象关于直线x =3对称,6所以24=T CW兀 71 w +=e Z,6 2解得(p=?+k7t,kwZw=2因为所以夕=,因此/(x)=s i n(2 x +m),2 6 6将x)=s i n(2 x +)的图象向右平移个单位长度后函数解析式为/(x)=s i n(2
13、 x-J),6 6 6由2 x-F =1 U,k e Z,得+”,k e Z,所以其对称中心为：(二+竺,0),左eZ,故6 1 2 2 1 2 2错；由2 x +=A;r,AZ,解得、=_=+”，即函数/(x)的对称中心为(一方+”,0),左ez；6 1 2 2 1 2 2令-则左=1,故正确;由 /(?)=s i 仔+)=c o s .,故错；(4)由-F 2 kTV K 2.x H W F 2%肛k e Z,-1-k7t x 0,融 0,所以，-50,所以工：,故正确；a n ab a b a bC.因为a 60,所以也,所 以/a 60,所以c-a 0,c-6 0,X =-1,a a
14、b b a bc c-a c-h 匚 u”a b 十会所以0 -，故正确，a b c-a c-b故选：BD.【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法:(1)作差法：作差与0 作比较：(2)作商法：作商与1 作比较(注意正负)；(3)函数单调性法：根据函数单调性比较大小；(4)中间值法：取中间值进行大小比较.1 1.A C D【分析】由商数关系、诱导公式、和差角公式及倍角公式依次化简求值即可求解.,Ti s i n l O。)c o s l O 3 s i n l O【详解】对于 A,c o s 4 0 1 +V3 t an l O =c o s 4 0 I d-=c o s 4 0-7 c o
15、s 1 0 c o s 1 0 0=c o s 4（y）串+=2 s i n 4（r c o s 4（r =包 纹 二s i n（9。1。）=竺 八 人 正 确；c o s 1 0 c o s 1 0 c o s 1 0 c o s 100 c o s 10J_ 1_ 6 _s i n 80-/o s 80 1 2 s i n（80-60 ）=2 s i n 2 0 _ 2B 2 c o s 80-s i n 80 J 2 s i n 80 c o s 801 s i n 1600 s i n（180 -2 0）B错误：LT一 八。/r s c。、.i“八。（r s i n 1 9 0 .一八
16、。6c o s 190,-s i n 190对于 C,s i n 140（v 3 -t a n 190）=s i n l40 心-=s i n l40 -1（c o s 190）c o s 1900=s i n 140=侬+皿）=sm。.2。3 6。1 4。）岁 i n 14。c o s 14。c o s 190c o s 190c o s 190=则迎=回 包=空幽=1，C正确；c o s 190 c o s 1900 c o s 190对于 D,4s i n l8.s i n 54 =4s i n(90-72).90-3 6)=4 s 72 -c(s 3 64c o s 72 c o s
17、3 6 s i n 3 6 _ 2 c o s 72 s i n 72 s i n 144 s i n(180-3 6)=s i n 3 60 土 D 正确s i n 3 6 s i n 3 60 s i n 3 60 s i n 3 6 s i n 3 6故选：A C D.12.A B D【分析】根据函数为偶函数得/(-3)=人3),人工+6)=火0+火3)赋值得到次3)=0可判断B正确；由以上判断可得/a+6)=/(x)+/(3)=/(R),即/(x+6)=/(x),进而得到A正确；根据题意得到函数在 0,3 上为增函数，由周期性得到函数在 6,3 上是增函数，再由对称性得到函数在-9,一
18、6 上是减函数，C错误；通过赋值法以及结合函数的周期性得到函数零点个数为4 个，D正确.【详解】由函数y=/(x)为偶函数可得，4-3)=/(3),因为7(x+6)=/(x)+y(3),令 x=-3 可得3)=7(-3)+3)=(3),所以H3)=0,B 正确；所以人工+6)=兀0+43)=兀0,即负x+6)=Hx),所以加)为周期为6 的函数，又火2)=-1,所以寅2 02 4)=火3 3 7乂 6+2)=/(2)=/(2)=-1,A 正确；由打，x2e 0,3 且 x#X 2 时，有(演)一/0 2)o,可知函数在 0,3 上为增函数，Xl X2由周期性得到函数在 6,3 上是增函数，又x
19、=-6 为对称轴，则函数在 9,一6 上是减函数，C错误；因为 3)=0,所以人-3)=0,次9)=6+3)=0,八-9)=火9)=0,结合函数的周期为6 及函数的增减性可得方程外)=0 在-9,9 上仅有4 个根，D正确.故选：A B D.13.4【分析】根据题意可得小-3 加-3 =1且/-5 加 0,从而可求出，的值.【详解】因为幕函数x)=(加在(0,+8)上单调递减，所以加之 一 3m-3 =1 且 m2 5ni 0，由m 2 一 3 加一3 =1,得防2 _ 3 加_ 4=0,(加+1)(加-4)=0,解得加=-1或7 =4,当加=-1时，不满足 7?-5加0,所以加=-1舍去，当
20、加=4 时，满足m2-5m t a n 0=-_)八._ _ 2cos2 e+2sin9cos6 2+2tan02 c o s*+sin 20=-：-：-=-；-=sin e+cos 0 tan-6+14故答案为：15.s i n(2 x -6【分析】根据函数图象求得A和最小正周期，继而求得。，利用点q,o)带入解析式求得9=5,即得函数解析式，根据三角函数图象的平移变换可得答案.7 7 1 7 1 2,71【详解】由函数/(x)=s i n(0 x +9)图象可知/=1 ,7=4(-)=兀,二。=2 ,12 3 7 1将(1,0)代入函数解析式/(x)=s i n(2 x +9)得s i 吟
21、+火)=0,则 +*=2 阮+兀,.8=兀+；.左 2,由于所以/=三，7 T即/(x)=s i n(2 r+y),将/(X)图象上的所有点向右平移f个单位得到函数g(x)的图象，4则 g(x)=s i n 2(x -今+与=s i n -，),4 3 6故答案为：s i n(2 x-/)16.【分析】将方程左=0,转化为卜2 _ 1)2 _ 卜 2 T卜 也 令 f-m,转化函数了=，2与1y=一左的交点情况，分=o,-左o,_ k=_；,讨论求解.详解方程卜2 _ 1_ 产 _ 1|+左=0,可化为，_ 1)2 _ 卜 2 T=_ 人令则y=-H，y =-k,在同一坐标系中，作出其图象，如
22、图所示:当左=0 时,交点的横坐标为-1,0,1,且7,0,1 在，的值域 T,+8)中,x2-l=-l,x2-l =0,x2-1 =1 ,解得x =O,x =l,x =V,故方程恰有5个不同的实根；当左 0时，图象有两个不同的交点，设交点的横坐标为山，且 1/T，令”/一1,解得X=M；,故方程恰有2个不同的实根;当*=即-%=-；时，图象有两个不同的交点，设交点的横坐标为他，且3（-1，0）,心（0，1）,令 G=2 -1,令i=工2 _ ,解得 X =J 1+q,X =珀 十%，故方程恰有4个不同的实根；当0A!，即-!（）时，图象有四个不同的交点，设交点的横坐标为44山,4，4 4且
23、（-1，。），7,4 （），令 G=丁 T ,z6=x2-1,/7=x2-1,=x2-1,解得 X =土J1+4,X=1 +t6,X =士 J 1 +W/=J 1 +&故方程恰有8个不同的实根；故答案为：1 7.（1）（2）6 52【分析】（1）根据指、对数的运算整理求解；（2）根 据 之 间 的 平 方 关 系 运 算求解.【详解】（1）原 式=2 2够3一1 0 8 2 8 +也个+电2 5-炫8-山2（16）XZ 3?Q 1 1=9 3 +1 g-=6 +1 g 1 0 =6 +1 =；8 2 2 2 2/,（1 .1?,、2（2）因为.+一5 =3则。+。|=ci2+a 2 2 =7,
24、=2=47 ,所以a3+a3+3a+a-2(a +a-,)(a2+a-2-l)+3a+a-2=6 5 噜;7-【解析】（1）列方程组解出A点坐标，可得s i na ,co s a ；利用B点在圆上，可得s i n夕，co s夕；(2)由s i na =2 叵 且 得 出 a的范围，求出c o s(2 a-0,结合2 a 一 夕的范围求值即可.5 2【详解】(1)根据题意可得2 x,-y.=0 TI2 2,因为o a j所以x；+y：=l 22 月所以 s i n a =，co s a =5 5因为 x；+=x；+=1,o 且 0aE，所 以;a?，所以。2。-兀.5 2 2 4 222又 s
25、i n 2 a =2 x-x =一，co s 2 a5 5 5_35g、i/c 0、(3、叵 4 m 6所以 co s(2 a-)=x 十 x 二 M 5 j 1 0 5 1 0 2 所以1 9.(l)x)为奇函数，理由见解析(2)证明见解析 卜 副【分析】(1)由函数的奇偶性定义进行判断，并证明；(2)利用函数单调性定义进行证明；(3)根 据(1)(2)问得到“X)在x e(-l,l)上单调递减，从而列出不等式组，求出结果.【详解】(1)/(x)为奇函数，理由如下：八 外=出-出 定义域为R,且/(-x)=(f(X),所以/(x)为奇函数；(2)任取再,e 0,2),且再、2,则/（王）-/
26、口 2）=因为再 0,5 M+1 0,故/（再）-/（&）0,/（再）/（），故函数/（X）在 0,2）上为单调递减函数；（3）因为/（x）为奇函数，且函数/（x）在 0,2）上为单调递减函数，所以/（x）在x e（-l,l）上单调递减，由/（1 +巾）+/（2 加+1）0 变 形 为+=-1 1 +？12故 一 1 一2 加一1 1,解得：/w -2 m-1所以实数m的 取 值 范 围 是.2 0.（1）模型最合适，理由见解析；（2）第3 天达到最低.【分析】（1）结合表中数据及其增速较慢的特点，分别对指数型、二次函数型、幕函数型三种函数模型进行分析，即可选出最合适的一种函数模型；（2）由表
27、中数据和第2 4天日销售收入，分别求出第（1）问中选择的。（力模型和P（x）中的参数，代入 x）=P（x）Q（x）,化简后使用基本不等式求解.【详解】（1）模型最合适，理由如下：对于模型0（x）=+6,为指数型函数模型，表格中。（x）对应的数据递增的速度较慢，故模型不合适；对于模型0（x）=p（x-1 6 +q,为二次函数模型，其图象关于直线x=1 6 对称，有。=0（2 4）,与表中数据不符，故模型不合适;对于模型。（x）=?4T T+，基函数型增长模型满足表格中。（x）对应数据较慢的递增速度，将表中数据（3,12）,（8,13）代入模型，有。=你/3+1 +=12 12加 +=12 z/q
28、（m=IQ（8）=my/8+1+n=1 3+n=1 3 解得=0（x）=V7+T+io,经验证。（15）=庐 口+10=14,。（24）=百 斤+10=15均满足表中数据，因此，使用模型来描述销售量与时间的关系最合适.（2）.第24天冰墩墩的日销售单价尸（24）=尸（x）=2000+乃|=2000+1（元/套）,.第 24 天的日销售收入为 P（2 4）XO（2 4）=（2 0 0 0 +|X1 5=3 2 40 0（元），.X 8 0 0,/.P（X）=2 O O O +-2 2=）y/X+1由 所 选 模 型，当1 4x430且xeN+时，/（%）=P（x）2（x）=2000+-=J/x+
29、T+10）=20800+20 0 0 y/x+1 H,-Jx +120800+2j2000 77+T-2 2=20800+2x4000=28800（元）当且仅当2000 G=挈，即x=3时，等号成立，在第3天时，该商品的日销售收入/（x）达到最低28800元.21.（1）69-兀，兀,1 ,=2,4-AT C,+Zrn,k w Z_ 6 3 最小值一1;最大值2.【分析】利 用 二倍角公式化简可得 x）=2 s i n,用，再由（）=1可得，再根据正弦函数的单调性可得答案;(2)根据x 的范围和正弦函数值域可得答案.详解)(1)/(x)=b s in air _ 2x 1 +c；必,=航吊 t
30、ax-cosax=2sin,一 六),由卜 知 疝(公 司=；7 C 兀 7 T _._4 7 T 7 t 571 _.则一ry =一 F 2/C T I,k w Z或 一 =-F 2/ai,A：G Z,6 6 6 6 6 6所以G=2+124，AwZ或 =6+12%,AGZ,又0 c o 4,则&=2,所以/(x)=2sin(2x-1),-+2 k n 2 x-E,I-ku,A e Z；6 3(2)由(1)知/(x)=2 s i n 二,x e 0,g,则一V 67 1.2 6 6 6当2xW，即x=0 时，函数 x)有最小值一 1；6 6当2 x-F =g,即x=F 时，函数/(可有最大值
31、2.6 2 J22.(1)答案见解析【分析】(1)利用换元法令P=log2X，p eU，3 ,可得所求为关于0 的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，即可得答案.(2)根据题意，分别讨论在和。，e)上存在实数与，满足题意，根据所给方程，代入计算，结合函数单调性，分析即可得答案.(1)由题意得g(X)=10g2所以尸(x)=g(x)1-2rg(x)+3=(log/)2-2rlog F+3，xe2,8,令p=log2X,pel,3,设A/(p)=p2-2fp+3,pel,3则旭(P)为开口向上，对称轴为P=r 的抛物线，当/4 1 时，(P)在口,3上为单调递增函数，所以(P)的最小值为朋(1)=4-2/；当1，3 时，”(P)在(1/)上单调递减，在G,3)上单调递增，所以“(P)的最小值为；当此 3 时，M(p)在 1,3 上为单调递减函数,所以(0的最小值为M(3)=1 2-6 ；综上，当Y1时,F(x)的最小值为4-2/,当l f ,2同理当在(I,+0 0)存在 ,满足=时，解得?-；,所以实数，的取值范围-1,+8)【点睛】解题的关键是理解新定义，并根据所给定义，代入计算，结合函数单调性及函数存在性思想，进行求解，属难题