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1、2022-2023学年四川省仁寿校南校区高一上学期期末考试数学试题一、单选题1.sin240 的 值 是（）A.；B.-C.B D,-西2 2 2 2【答案】D【分析】根据诱导公式sin（7t+a）=-sin a 即可求得结果.【详解】由题意可知,sin240=sin（180+60）,利用诱导公式sin（7t+a尸-s in a 可得sin（180+60）=-sin 60=一与即 sin 240=2故选：D2.已知集合知=乂、=幺 产 土 45,%2,尸=闻=勺 詈 90,%2卜.则集合用，P 之间的关系 为（）A.M=P B.M P C.P M D.M c P =0【答案】B【分析】化简集合
2、，根据集合的关系即得.【详解】因为=-4 5，/ez1 =k x=（2&1）-45 w Z,尸二卜口J：。90,k e Z 卜 x|x=（k245/eZ,所以M P.故选：B.3.设角6的终边经过点（，-：），那么2sin夕+cos6等 于（）22A.B.C.1 D.15 5【答案】D【分析】利用任意角的三角函数的定义可求出sinRcos。的值，从而可求得答案【详解】解：因为角。的终边经过点4 3所以sin =-w，cos =二，所以 2sinO+cos9=2 x-1)+W =-l,故选：D4.若月一(。+1)+0 的解集是(5,2),则a+b 等 于()A.-14 B.-6 C.6 D.14
3、【答案】A【分析】由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数八b,即可得a+6.【详解】./-(4+1)+6 b,/0,则cAc B.若 ab,贝 lj/乂22C.若 a b c2,贝 lj ab D.若 ab,则!【答案】C【分析】根据不等式性质逐一判断选项，即得结果.【详解】若 曲 也 c bc,所以A 错误;若 ab,c=0则 a/=历2,所以B 错误；若则Q o Q b,所以C 正确;若。=1 4=-1 满足 泌，但 工 :，所以D 错误：a b故选：C【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.6.已知/(口=占，则函数f(x)的解析式是()YXA./(x)=J(
4、x-1)B./(x)=j (xw-1 且xwO)c.=D./(x)=l +x【答案】B【分析】根据换元法求解析式即可.【详解】解：由题知x x O 且X H-1,令r =1，则x =l (r x O 且x t八,1 r +i C x-1 且，w o),t：.=(x w-l 且XHO).x+1故选：B.7.己知函数/(x)=：*0,、,g(x)=/(x)-a.若g(x)存在2个零点，则“的 取 值 范 围 是()I n x,x 0A.(-1,0)B.-1,0)C.(0,1)D.(0,1【答案】D【分析】利用数形结合的方法，作出函数/(x)的图象，由y=f(x)与直线y =有两个交点，可得。的取值
5、范围.【详解】依题意，函数y=/(x)的图象与直线y=a 有两个交点，作出函数图象如下图所示，由图可知，要使函数y=f(x)的图象与直线y =a 有两个交点，则故选：D8 .已知g(x)为定义在R 上的奇函数，且对任意实数出b,有 如 士 百 (),a-b则实数加的取值范围是()A.(3,+o o)B.(YO,3)C.(l,+=o)D.(-c o )【答案】D【分析】由 四 二 皿 0a-b变形为g（m）g（2-m）,根据单调性就可以求出.【详解】对任意实数 b,有g（“）-g（0,则g（m）g（2-,），所以m 2-m,2m 2,得加 6b”的充分不必要条件B.“个 0”是“x+y0”的必要
6、不充分条件C.命题“H xeR,/+1 =。”的否定是“玄区，C+1H 0”D.D.已知”,b,c e R,方程a r2+/?x+c=0有一个根为1 的充要条件是a+%+c=0【答案】AD【分析】A.由不等式的性质求解判断；B,由不等式的性质求解判断；C.由含有一个量词的命题的否定的定义求解判断；D.将 1 代入方程求解判断.【详解】A.由a。?hc2，得/()(),则0,a-b 0,即 aA,故充分；由 a b,得 a-b 0,l j l l J c2(a-&)0,故不必要；故正确；B.由-0,得x 0,y 0 或x 0,y 0 或x+y 0,但 外 0.2 -9 B.lo g0 3 2 l
7、o g0 33 C.lo g,3 2 lo g,2 2 D.O.20 3 0.9,所以0.2“0.2 0 3,所以该选项错误；B.因为对数函数y =lo g0.3X 在定义域内单调递减，2lo go.3 3,所以该选项正确；1。2 la 2c.lo g1 32 =-,lo g1 22 =,因为lg2 0,lgl.2 0,Ig2 30,又lgl.3lg2 2,;.lo g 32 lo g1 2 2,lgl-3 lgl.2所以该选项正确；D.由暴函数y =在(0,+8)上单调递增得0.2 a3 0.303,由指数函数y =03 单调递减得O.30 3 0.302,所以0.2 3 O,(x-I)(x
8、 +l)O,-lx l,所以/(x)的定义域是(-1,1),_x)=l g g =I g(E j=_ l g*=_ x),所以/(x)+/(-x)=O,所以 A 选项正确._B 选项，/(O)=lgl=O j g J =lg!=l g g 07T 57r2kit+x 0c ,兀 一 ，一，J兀2 Z兀 H K x W 2 4兀 H-2 2 力u(keZ)2_ 攵.兀H 7T X 2_ 攵T 兀H-D-7t6 6_ f 7 T _.37T/.2lai+x(),b 0,若|/(a)|=|/S)|,则+*的 最 小 值 是.【答案】8【分析】先通过已知条件与对数函数性质得出a,b关系ab=l,再通过
9、已知得出a+b 0,化简士+3+?得到。+人+J,再通过基本不等式求解即可得出答案.crb air a+b a+b【详解】Q/(x)=l g x,若|/(a)|=|/S)|,ba即次?=1 ,a01 b 0,:.a+h01 1 6ah 1 1 1 6+7 4-=+-ab ab a+b a b a+b当且仅当。+匕=当时取等号，a+b1 1 16ab 日 ，上 口 c，+-77-的取小值是 8.crb ab a+ba+b 1 6-+-ab a+b=a+b+-S,a+b故答案为：8四、解答题1 7.已知p：函数_/U)=(a-/n)x在R上单调递减，q：关于x的方程x?-Z o t+H -1 =0
10、的两根都大 于1.(1)当机=5时，p是真命题，求a的取值范围；(2)若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求?的取值范围.【答案】(1)(5,6)；(2)m2.【分析】(1)由?=5,得到人x)=(-5)x,再根据指数函数的单调性求解；(2)先根据命题为真，化简命题p,q,然后根据p为真命题是q为真命题的充分不必要条件求解.【详解】(1)因为机=5,所以./(x)=(a-5)x因为P是真命题，所以 0 a-5l,解得5a 6.故。的取值范围是(5,6)(2)若p是真命题，则0 a-7 1,解得a 2.因为。为真命题是q为真命题的充分不必要条件，所以m2.1 8.已知函数/(x)=7；+l
11、(a 0)为奇函数,且方程x)=2有且仅有一个实根.(1)求函数/)的解析式；(2)设函数g(x)=ln f(e)求证：函数y=g(x)为偶函数.【答案】(1)/(x)=U;(2)证明见解析.【分析】(1)由函数/(X)为奇函数可得值，再由方程/(X)=2有唯一实根即可得解；利用的结论求出g(x)的解析式并求出其定义域，再由奇偶函数定义讨论即得.【详解】(1)因 函 数 =.+二+1为奇函数,则/(x)=x),ax即 XX+=_(T)2*X)+1,化简得2fax=0,得匕=0,ax a-x)f(x=L,且方程x)=2有且仅有一个实根，得 二t l =2,即/2办+1 =0,axax所以(一U)
12、2-4x4=0,得/=1,而 a 0,解得 a=l,即有=x+1 ,所以函数/(x)的 解 析 式 为 了(同=一；由(1)知 g(x)=In f(ex)=l n(=l)=皿炉+e),g(x)的定义域为 R,e则 g(r)=ln(e-*+e*)=g(x),所以函数y=g(x)为偶函数.1 9.已知函数f(x)=log“(x-l)+2(a 0,且 1),过点(3,3).(1)求实数。的值；(2)解关于x的不等式/(2-3)/(12-2川).【答案】(1)2(2)x|2rk)g25【解析】(1)将点(3,3)代入函数计算得到答案.(2)根据函数的单调性和定义域得到12-3 1 ,并在其定义域内单调
13、递增，/./(2-3)/(12-2t+l),/.l 2*-312-2,不 等 式 的 解 集 为 0,0 e加-3 恒成立，求实数机的取值范围.57r 7 T【答案】-法+及 m万+乃(Ae Z)(-4)【分析】(1)利用最小值和零点可求得 x)的解析式，令 春+2&万42x+g/+2 版(4 ),解不等式即可求得单调递增区间；r r(2)利用正弦型函数值域的求法可求得了(x)在 0,-上的最小值，由加-3/(力讪可求得机的取值范围.【详解】fx)n=-A =-2,.A=2；x=?为 的 一 个 零 点，+e =解得：.“:舰 一 苛(Z e Z),又0 夕?”=?,.,./(x)=2 s i
14、n(2 x+?)；令一 +2%万42 x+g 4、+2 万(e Z),解得：-+x -+(A:e Z),5 r r j r/(X)的单调递增区间为-甘+&肛丘+丘(kwz).(2)当天 0，Y 时,+5,苧 s in 1 加一3 恒成立，.机 一 3 4 而=1,解得：m4；即实数”的取值范围为(F，4).2 1.兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州(途经站点如图所示).这条“客货共用 铁路是开发沿线资源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通往内陆铁路货运的重要方式，将进一步促进山海协作，同时也将结束多个山区县不通客货铁路的历史.目前，江西兴国至清流段已于20 21年 9月底开通运营
15、，清流至泉州段也具备了开通运营条件，即将全线通车.预期该路线通车后，列车的发车时间间隔，(单位：分钟)满足2 4 V2 0.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔r相关，当1()/20 时列车为满载状态，载客量为7 20 人；当2W f 1 0 时，载客量会减少，减少的人数与(1 2-f)的平方成正比，且发车时间间隔为3 分钟时的载客量为39 6 人.记列车载客量为P ).兴泉铁路线路图：江 西 4,注宁都县 福 建兴:县，、石城县 明溪县三明市”兴 泉 铁 路、大田县德化县永春 县.安溪县政 瞥 市泉州市(1)求p(f)的表达式;(2)若该线路每分钟的净收益为。1)=型 乎 丝-6 0 (
16、元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.【答案】(l)P Q)=,-4/2+9 6 r +1 44,2 r 1 07 20,1 0 r 20(2)时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为8 4元【分析】当1 0孕 2 0时,M，)=7 2 0,当2 f 1 0时，可设p(f)=7 20 -1 2 1)2,由题可求出3即可得到答案.7 21 3 2-8/-,2 r 1 0(2)由(1)知：e(0=i n Q n ,结合基本不等式和函数单调性即可求出的净收益咽-6 0,1 0 4/20.t最大值.【详解】(1)由题知，当1 0 4r 2 0时，p(f)=7 20当2
17、 4 yo时，可设p(f)=7 20-Z(12T)2,又发车时间间隔为3分钟时的载客量为39 6人，以3)=7 20-(12-3)2=3 9 6,解得=4.此时 p(r)=7 20-4x(12-4=-4/+9 6 7 +144,2 4 r 10，pQ)=-4/2+9 6 r+144,2/I O7 20/04 f 4 20132-8 1,2 Z 10（2）由（1）知:。=，108 0一 6 0,10 W 20V 2 r 1 0 U ,。4132-2,8 小 一=8 4,当且仅当，=3等号成立,2 W 0 时，。1rax =03)=8 4,当 1 0 V Y 2 0 上,Q Q）单调递减，则 0（
18、%=Q（10）=48,综上，时间间隔为3 分钟时，每分钟的净收益最大为8 4元.2 2.已知函数，（力=/+3次一4（4/?）.若/（x）在上的最大值和最小值分别记为M（a）,m（a）,求 M（a）一,（a）；（2）设b eR,若V（x）+4 4 3 对x e 1 恒成立，求3a+人的取值范围.6,-1【答案】（l）M（4）-?（a）=1（2）+/?-I.【分析】（1）讨论分别求得/的最值,进而确定M一加.（2）将问题转化为-3-姗 X）3-6 在 x-1 恒成立，根据（1）的结论，讨论参数a 分别求3a+b的取值范围，最后取并.【详解】f(x)x2+3x-ax2-3x+3a,xax2+3x-
19、3a,x.a当a.1 时，/(x)=x2 3x+3a在 x 1,1 单调递减,则(a)=/(-l)=4+3a,z(a)=/(1)=2+3 a,此时M(a)a(。)=6 ；当 T 时，/(1)=%2+3%_ 34在工6 -1,1 单调递增，则 M(a)=/(1)=4 一 3，m(a)=/(-l)=-2-3t z,此时 M(a)-/%(a)=6 ；当一 l v a l 时,/（X）。x2-3x+3t z,-l xax2+3x-3a,c)ic 1此时在 单调递减，在 单 调 递 增,则皿 4)=/()=/,M(q)=m ax /(-l),/(l)=m ax 4+3a,4-3 =4+|34,此时 M(a)-m(a)=4+13a|-a2,6,a-1综上，M (a)-m(a)=4+13。|-。l(2)原问题等价于 3-掇 F(x)3-b,由(1)知：4+32，Z?+3 3a+b,1当a.l 时，则。，八，即,人 J 此时3+b=l；-2+3a.-h-3 3a+b.-i 4 3,h +3 f z?-3d,1当4,1时，则)即L J 此时h 3a=l,此时3a+a,7；-2 一 3。一。一 3 1 Z?-3。.一 1当一 1 7 和3。一|34一 L,1,故 7 v 3a+b,l,综上，3a+Z?,1.