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1、2021年广东省河源市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（3 分）下列实数中，最大的数是（）A.n B.V2 C.|-2|D.32.（3 分）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年 5 月 2 3 日，31个 省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（）A.0.510858X 109 B.51.0858X 107C.5.10858X 104 D.5.10858X 1083.（3 分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和
2、为7 的概率是（）4.(3 分)已知 9m=3,27=4,JU lJ 32m+3n=()A.1 B.6 C.7 D.125.(3 分)若 I一班|+V9a2 12ab+4b2=0,则 必=()7.（3 分）如图，AB是O O 的直径，点 C 为圆上一点，AC=3,/A B C 的平分线交AC于点D,CD=,则O。的直径为（）A.V3B.2V3C.1D.28.（3 分）设 6-V1U的整数部分为a,小数部分为b,则（2+V10）6 的 值 是（）A.6 B.2V10 C.12 D.9/109.（3 分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公
3、式如出一辙，即三角形的三边长分别为a,6,。,记?=生 磬，则其面积S=J p（p 一 a）（p-b）（p-c）.这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若0=5,c=4,则此三角形面积的最大值为（）A.V5 B.4 C.2V5 D.510.（3 分）设。为坐标原点，点 4、B 为抛物线=/上的两个动点，且 O A J_O8.连接点A、B,过。作 OCLAB于点C,则点C 到），轴距离的最大值（）1 V2 V3A.-B.C.D.12 2 2二、填空题：本大题7 小题，每小题4 分，共 28分.11.（4 分）二元一次方程组gy7的解为（2%+y=2-12.（4 分）把 抛 物 线 丫=#+1 向左平
4、移1 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为.13.（4 分）如图，等腰直角三角形ABC中，/A=90,B C=4.分别以点8、点 C 为圆心，线段8 c 长的一半为半径作圆弧，交 AB、B C、AC于点。、E、F,则图中阴影部分的面积为.B E C14.（4 分）若一 元二次方程7+队+0=0（Z?,c 为常数）的两根xi，X2满足-3 x i -1,1 也=5,AB=2,sinA=过点。作 垂足为 E,贝 ij sin/BCE=.1 7.（4分）在 A B C中，乙4 B C=9 0,A B=2,8 c=3.点。为平面上一个动点，ZA D B=4 5 ,则线段C。长度
5、的最小值为.三、解 答 题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分.（2 x-4 3（%-2）1 8.（6分）解不等式组 x-74%一Z-1 9.（6分）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样的方法，从该年级全体6 0 0名学生中抽取2 0名，其竞赛成绩如图：（2）若规定成绩大于或等于9 0分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数.2 0.（6分）如图，在Rt Z A 8C中，Z A=9 0 ,作BC的垂直平分线交AC于 点。，延长A C 至点 E,使 C E=A B.（1）若A E=1,求A B。的周长；（2）若 4。=却。，求 t a n/A B C 的值.四、
6、解 答 题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。2 1.（8分）在平面直角坐标系X。中，一次函数y=A x+b （后 0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两 点,且与反比例函数y=g 图象的一个交点为尸(1,m).(I)求 m 的值；(2)若 B 4=2 4 8,求女的值.2 2.(8 分)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜1 0 元，某商家用80 0 0 元购进的猪肉粽和用6 0 0 0 元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价5 0 元时，每天可售出1 0 0 盒；每盒售价提高1
7、 元时，每天少售出2盒.(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；(2)设猪肉粽每盒售价x元(5 0 Wx W6 5),y 表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位：元)，求 y关于x的函数解析式并求最大利润.2 3.(8分)如 图，边长为1 的正方形A B C O 中，点 E为 的 中 点.连 接 B E,将A ABE沿B E 折叠得到B F 交 AC于点G,求 CG的长.五、解 答 题(三)：本大题共2 小题，每小题10分，共 20分。2 4.(1 0 分)如 图，在四边形 A B C O 中，A B/C D,A B C D,N 4 B C=9 0 ,点 E、尸分别在线段 B C、上，且 E F C
8、),A B=A F,C D=D F.(1)求证：C FLFB-,(2)求证：以AO为直径的圆与8 c相切；(3)若 E F=2,ZD FE=nG ,求 A O E 的面积.B2 5.（1 0 分）已知二次函数y=o r 2+/）x+c 的图象过点（-1,0）,且对任意实数x,都 有 4 x-8x+6.（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为4,与 y轴交点为C；点 M 是（1）中二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点M使得以A、C、M.N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.2021年广东省河源市中考数学
9、试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（3分）下列实数中，最大的数是（）A.T T B.V2 C.|-2|D.3【分析】C选项，-2的绝对值是2,所以这4个数都是正数，B选项，V 2 2,即可得到最大的的数是n.【解答】解：|-2|-2,V2 4,/.V2 2,.,.V2 2 3 n,二最大的数是i r，故 选:A.2.（3分）据国家卫生健康委员会发布，截至2 0 2 1 年 5月 2 3 日，3 1 个 省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗5 1 0 8 5.8 万剂次，将“5 1
10、0 8 5.8 万”用科学记数法表示为（）A.0.5 1 0 8 5 8 X 1 09 B.5 1.0 8 5 8 X 1 07C.5.1 0 8 5 8 X 1 04 D.5.1 0 8 5 8 X1 08【分析】科学记数法的表示形式为。义1 0 的形式，其中为 整 数.确 定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.【解答】解：5 1 0 8 5.8 万=5 1 0 8 5 8 0 0 0=5.1 0 8 5 8 X1（）8,故选：D.3.（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（）1 1 1 1A.B.-C.-D.一
11、12 6 3 2【分析】画树状图，共有3 6 种等可能的结果数，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，再由概率公式求解即可.【解答】解：画树状图为：开始缶缶缶4和 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 56789 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 101112共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子向上的点数之和为7 的结果有6 种,二 两枚骰子向上的点数之和为7 的 概 率 畸故选：B.4.（3 分）已知 9=3,2 7 =4,贝！|32+3=（）A.1 B.6 C.7 D.12【分析】分别根据塞的乘方运算法则以及同底数募的乘法法则解答即可.
12、【解答】解：,.-9m=32m=3,27=33n=4,.32m+3n _ 32mX33n=3X 4=12.故选：D.5.（3 分）若|“一 遍|+V9a2 12ab+4b2=0,则 出 尸（）L 9 厂A.V3 B.-C.4V3 D.92【分析】根据非负数的性质列方程求出、人的值，然后代入代数式进行计算即可得解.【解答】解：由题意得，a-V3=0,9a2-12曲 4b2=0,解得8=与三所以，ab=V3 x【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图的特征解答即可.【解答】解：由正方体的四个侧面和底面的特征可知，可以拼成正方体是下列三个图形:：.AD=2DTf故这些图形是正方体展开图的个数为3 个
13、.故选：C.7.（3 分）如图，是 的 直 径，点C 为圆上一点，AC=3,D,C D=,则。的直径为（）A.V3 B.2V3 C.1【分析】如图，过点。作DTLAB于T.证明DT=DC=1,30,可得结论.【解答】解：如图，过点。作于T.是直径，A ZACB=90,：.DC.LBCfDC.LBC,DT_LBA,：.DC=DT=l,VAC=3,：.AD=AC-CD=2fZABC的平分线交AC于点D.2推出AO=2Z）T,推出/A=N4=30,A8=益%=鲁=2 2故选：B.8.(3分)设6倾的整数部分为a,小数部分为6则(2a+VIU)b的 值 是()A.6 B.2屈 C.12 D.9V10【
14、分析】根据算术平方根得到3 VVTU 4,所 以2 V 6-a U 3,于是可得到。=2,b=4-V 10,然后把a与。的值代入(2a+JIU)中计算即可.【解答】解：X/I U。，/.26-V103,；6-VTU的整数部分为a,小数部分为b,6!=2,h6 V10 2=4 V10,(2a+V10)b=(2X2+V10)X(4-V10)=(4+V10)(4-V10)=6,故选：A.9.(3分)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a也c，记P=生等三，则其面积S=Jp(p-a)(p-b)(p-c).这个公
15、式也被称为海伦-秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值为()A.V5 B.4 C.2V5 D.5【分析】根 据 公 式 算 出 的 值，代入公式即可求出解.【解答】解：p=5,c=4,.-_ a+b+4.5=-2-，*。+人=6,。=6-b,；.S=y/p(p-a)(p-fe)(p-c)=,5(5 a)(5-b)(5-4)=J5(5 a)(5-b)=75ab 25=J5b（6-力）-25=V-562+30b-25=V-5(fe-3)2+20,当匕=3 时，S有最大值 为 同=2V1故选：C.10.(3 分)设。为坐标原点，点A、B 为抛物线y=，上的两个动点，且 OA_LOB.连
16、接点A、B,过。作 OCLA8于点C,则点C 到 y 轴距离的最大值()1 V2 V3A.B.C.D.12 2 2【分析】分别作AE、8/垂直于x 轴于点E、F,设 OE=a,O F=b,由抛物线解析式可得B F=b2,作于，交 y 轴于点G,连接AB交 y 轴于点。，设点。DG AG m a2 a(0,加)，易证AOG AB”，所以=,即一;=.可 得 加=。尻 再证BH AH b2-a2 a+bAE EO a2 a,明4E0。尸 8,所以t=二 7，即七=77，可得ab=1 .即 得点。为定点，坐标为OF BF b b2(0,1),得。0=1.进而可推出点。是在 以。为直径的圆上运动，则当
17、点C 到 y 轴1距离为此圆的直径的一半，即5时最大.【解答】解：如图，分别作AE、3F 垂直于x 轴于点A F,设。E=a,O F=b,由抛物线解析式为y=/,则 A E=/,B F=b1,作 A H L B H 于 H,交 y 轴于点G,连接A 8交 y 轴于点。，设点。(0,m),AADG-AABH,.竺=竺 即2。之 _ aBH-AH 1 b2-a2-a+b，化简得：m=ab.V ZAOB=90 ,A ZAOE+ZBOF=90 ,又NAOE+NE4O=90。,:NBOF=NEAO,又NAEO=N8FO=90,L A E O LOFB.AE EO 一 ，OF BFna2 aBP-=b b
18、2化简 得 昉=1.则机=出=1,说明直线A B过定点。，。点 坐 标 为（0,1）.V ZDCO=90，DO=,.点C是在以。O为直径的圆上运动,.当 点C到y轴距离为:DO=T 时，点C到y轴距离的最大.二、填空题：本 大 题7小题，每小题4分，共28分.11.（4分）二元一次方程组的解为y=-2x=2【分析】直接利用加减消元法求解可得问题的答案.【解答】解:x+2y=-2(7)2x+y=2 X2-，得：3y=-6,即 y=-2,将 y=-2 代入，得：2x+(-2)=2,解得：x2,所以方程组的解为x=2.y=-2故答案为x=2y =-212.（4分）把抛物线y=2?+l向左平移1个单位
19、长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y=2?+4x【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答.【解答】解：把抛物线y=2?+l向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y=2 （x+1）2+1-3,即y=2%2+4 x故答案为y=2 x1+4 x.1 3.（4分）如图，等腰直角三角形A B C中，Z A=9 0 ,8 C=4.分别以点8、点C为圆心，线段B C长的一半为半径作圆弧，交A B、B C、A C于点。、E、F,则图中阴影部分的面积为 4 -7 T .B E C【分析】阴影部分的面积等于A A B C的面积减去空白处的面
20、积即可得出答案.【解答】解：等腰直角三角形A B C中，N A=9 0 ,B C=4,：.ZB=ZC=4 5 ,；.A 8=A C=节BC=2a：B E=C E=部 C=2,2阴影部分的面积S=SA B C -s扇 形B D E-5扇 形C E F=5 x2近x 2 2-笺*x 2=4 -n,Z o o U故答案为4 -n.1 4.（4分）若一元二次方程/+b x+c=0 （b,c为常数）的两根x i,及满 足-3 x i -1,1X2 3,则符合条件的一个方程为 7-2=0（答案不唯一）.【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一.【解答】解：若一元二次方程/+6 x+c=0
21、 （b,c为常数）的两根x i，X 2满足-3 x i -1,1%2 3,满足条件分方程可以为：?-2=0 （答案不唯一），故答案为：?-2=0 （答案不唯一）.1 5.（4分）若x+=今 且0 x l,则.-5=-第.【分析】根据题意得到X-9 0,根据完全平方公式求出x-与 根据平方差公式把原式变形，代入计算即可.【解答】解：.OVxVl，1x 3（x-2）18.（6 分）解不等式组 工-74 x 5Z【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.【解答】解：解不等式2x-43（x-2）,得：x竽，得：x-1,则不等式组
22、的解集为-l x=AB+AD+8。=A B+A D+D C=A B+A Cf9：A B=C E,C ABD=A C+C E=A E=1,故A 3。的周长为1.(2)设A O=JGB D 3 x,又 Y B D=C D,：.A C=A D+C D=4 x,在 Rt A A BD 中，A B=JB D2-AD2=J(3 x)2 _ /=2或.；.tan/3 紧急=四、解 答 题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共2 4分。2 1.（8分）在平面直角坐标系x O y中，一次函数（k 0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两 点,且 与 反 比 例 函 数 图 象 的 一 个 交 点 为 尸（1,m）
23、.（1）求,的值；（2）若 网=2 A 8,求 人的值.【分析】（1）把P（1,机）代入反比例函数解析式即可求得；（2）分两种情况，通过证得三角形相似，求得8 0的长度，进而即可求得Z的值.【解答】解：(1)丁尸(1,“)为反比例函数y=图象上一点,代 入得m=4,Am=4；(2)令y=0,即 kx+h=Ofx五，A(-3 0),令 x=0,yb,：.B(0,b),：PA=2AB,由图象得，可分为以下两种情况：8在y轴正半轴时，b0,：PA=2AB,过P作PH L x 轴交x轴于点H,又 BQLAiH,ZPAO=ZBAO,二AIOB%4IH P,.A1B1 A1。BiO 1 41P-A2H P
24、H 2.BiO=，V7=4x：=2,:.b=2,.AO=OH=1,：.k=2；B在y轴负半轴时，b 0,过P作PQ Ly轴，,：PQA.BiQ,A2OVB2Q,ZA2B2O=ZAB2Q,：./AIOB2/PQB2,.A，22 1人2。口2。-PB?-3-PQ-B2Q AO=|-%=,Q=I，B2O=%2 Q=网=2,：.b=-2,=6,综上，&=2 或=6.2 2.（8 分）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜1 0 元，某商家用80 0 0 元购进的猪肉粽和用6 0 0 0 元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，
25、该商家发现猪肉粽每盒售价5 0 元时，每天可售出1 0 0 盒；每盒售价提高1 元时，每天少售出2盒.（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元（5 0 W x W 6 5）,y 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求 y关于x的函数解析式并求最大利润.【分析】（1）设猪肉粽每盒进价。元，则豆沙粽每盒进价（a-1 0）元，根据商家用8 0 0 0元购进的猪肉粽和用6 0 0 0 元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；（2）由题意得，当尤=5 0 时，每天可售出1 0 0 盒，当猪肉粽每盒售价x元（5 0 W x 6 5）时，每天可售 1 0 0-2 （x-5 0
26、）盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值.【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a 元，则豆沙粽每盒进价（a-1 0）元，解得：。=4 0,经检验。=4 0 是方程的解，猪肉每盒进价4 0 元，豆沙粽每盒进价3 0 元，答：猪肉每盒进价4 0 元，豆沙粽每盒进价3 0 元；（2）由题意得，当x=5 0 时，每天可售出1 0 0 盒，当猪肉粽每盒售价x元（5 0 W x W 6 5）时，每天可售 1 0 0-2 （x-5 0）盒,.,.y=x 1 0 0-2 （x-5 0）-4 0 X 1 0 0-2 （x-5 0）=-2?+2
27、 8 0 x -8 0 0 0,配方，得：y=-2（x-7 0）2+1 8 0 0,.”,AB=AF,CD=DF.(1)求证：CFVFB-,(2)求证：以AC为直径的圆与B C相切；(3)若 EF=2,N D F E=120 ,求A D E 的面积.【分析】(1)先判断出N O F E=2 N E F C,同理判断出N A F E=2/B F E,进而判断出2/BFE+2ZEFC=S0,即可得出结论；1(2)取A D的中点O,过点O作O”_ L 8 c于H,先判断出O H=工(A B+C D),进而判断出0，=热4 3,即可得出结论；(3)先求出N C F E=6 0 ,C E=2 V 3,再
28、判断出四边形C E M D是矩形，得出。加=2巡,过点A作AN_LE产于N,同理求出4V=竽，即可得出结论.【解答】(1)证明：】。=止凡：.ZDCF=ZDFCf:EFCD,：NDCF=NEFC,：.NDFC=NEFC,：.ZDFE=2ZEFCf9：AB=AF,I.ZABF=ZAFB,：CDEF,CD/AB,：.AB/EF,：.ZEFB=ZAFB,：.NAFE=2NBFE,V ZAFE+ZDFE=SO,A2ZBFE+2ZEFC=180,:/BFE+/EFC=90,ZBFC=90,：.CF1.BF；(2)证明：如 图1,取A。的中点。，过点。作OHLBC于H,：.ZOHC=90=ZABC9：.O
29、H/AB,U：AB/CD9：.OH/AB/CD,*：AB/CD,ABWCD,J 四边形A8CO是梯形，点”是BC的中点，即。是梯形ABCO的中位线，1：.OH=W CAB+CD),9AB=AFf CD=DF,1-2(AF+DF)=AD,.以AO为直径的圆与BC相切；(3)如图2,由(1)知，NDFE=2NEFC,V ZD F=120,：.ZCFE=60,在 RlCEF 中，EF=2,ZECF=90)-ZCFE=30a,：.CF=2EF=4,：.CE=JCF2-EF2=23,.,AB/EF/CD,/ABC=90,.,./EC)=NCEF=90,过点D 作DMA.EF,交EF的延长线于M,.ZM=
30、90,；.NM=NECD=NCEF=90,四边形CEM。是矩形，:.DM=CE=2 圾,过点A作ANJ_EF于N,四边形A8EN是矩形，：.AN=BE,由(1)知，NCFB=90,VZC FE=60 ,：.ZBFE=30,在为BEF 中，EF=2,.BE=EFtan300=竽，.A.N.=.2g/3-,S/,ADE-S/,DEF1 1=EFAN+EFDM1=汐(AN+DM)1 2 3 =5 X 2 X (-+2 V 3)2 38万=3-图12 5.（1 0分）已知二次函数y=o v 2+/7 x+c的图象过点（-1,0）,且对任意实数x,都 有4 x-I Z W o +b x+c W Z r2
31、-8 x+6.（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与），轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点M使得以A、C、例、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）令4 x-1 2=3-8*+6,解之可得交点为（3,0）,则二次函数必过（3,0）,又 过（-1,0）,则把两点坐标代入解析式可得），=苏-lax-3 a,又t o?-2 0r-3 a2 4 x-1 2,整理可得以2 -2 o r-4 x+1 2 -3 a2 0,所以。0且 W 0,则可得“=1,从而求得二
32、次函数解析式；（2）由题意可得 A （3,0）,C（0,-3）,设点 M 坐标为（?，/-2?-3）,N（n,0）.根据对角线的 不 同 可 分 三 类 情 况 建 立 方 程 组 讨 论 求 解 即 可：A C 为对角线则有A M 为 对 角 线 则 有 咨,:M：A N 为对角线则有1 以+7c 7M+y【以+7M 7c+y（XA+XN=XC+XMtyx+yw=yc+y【解答】解：（1）不妨令4x-1 2=2?-8x+6,解得：XI=X2=3,当=3 时，4 x-1 2=2?-8x+6=0.必 过（3,0）,又,.,y=or2+hx+c过（-1,0）,.北n，解得：”一翁19a+3b+c=
33、0 lc=-3。.*.y=ar2-lax-3Q,又,.,or2-lax-3a24x-12,Aar2-lax-3a-4x+1220,整理得：ar2-lax-4x+12-3QN0,。0 且W（）,:.（2。+4）2-4。（12-3。）WO,（。-1）240,/.a=L b=-2,c=-3.该二次函数解析式为y=/-2K-3.（2）令 y=/-2 x-3 中 y=0,得 x=3,则 A 点坐标为（3,0）；令 x=0,得 y=-3,则点C 坐 标 为（0,-3）.设点M 坐 标 为（加，加 2-2 加-3）,N（n,0）,根据平行四边对角线性质以及中点坐标公式可得：当A C为对角线时，管:了;器；,十Vc VM十即*+=，+、,解得：如=0 （舍去），侬=2,10 3=加 一 2m 3+0：.n=l,即 M （1,0）.当A M 为对角线时,舟：1以 十 一%;十yN即用+，=1+n,交上。，解得：如=0（舍去），相=2,10+2m 3=-3 +0=5,BP N2(5,0).当川 为对角线时，陵设：晨宾t o =-3 +m2-2 m-3,解得：加=，皿=，.=夕一2或-2-6,：.N3(V 7-2,0),N4(-2-V 7,0).综上所述，N点坐标为（1,0）或（5,0）或（迎 一2,0）或（-2-V 7,0）.