《高考数学：艺术生高考数学讲义31-60讲（共60讲））.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学：艺术生高考数学讲义31-60讲（共60讲））.pdf（276页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、考 点 三 十 一 数 列 的 求 和知识梳理1.公式法求和常用的求和公式有：(1)等差数列的前项和公式：S 产地”=刖+喀 .n a,q=1,(2)等比数列的前附项和公式：S,=d ai(I)aia“q.-q -q，户 1 1+2+3 +片 迹/；(4#+2 2+3 2+2=迎平叫(6)1+3+5 +2 1 =2；(7)2+4+6+2=/+.2.错位相减法求和适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.3 .倒序相加法求和适用于首末等距离的两项之和等于同一个常数这样的数列求和.4 .裂项相消法求和方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和.常用的裂项
2、公式有：(D-4-n(n+)n n+1 ,(2”-1 )(2+1)=品-1 -2+1)；,+扁 即 巾 也_ 1 _ 一国)w(+1)(+2)2_(+1)(+1)(+2)_；5 .分组求和通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和.典例剖析题型一错位相减法求和例1 (2015山东文)己知数列 斯 是首项为正数的等差数列，数列 二9 1的前八项和为UnLln J2n+T(1)求数列 斯 的通项公式；设*=(+1).2%,求数列出“的前n项 和T.解 析(1)设数列 斯 的公差为”，令”=1,得;7匚=9，所以与他=3.11?令=2,得;7丁+丁 丁=不 所以。2a3=15.解得 s
3、=l,d=2,dCi2 a2a3 3所以m=2-1.经检验，符合题意.由 知 与=2-22-1=止4,所以 7j,=1-4+2-4-卜 力4,所以4北=142+2-43-+”.4+1,两式相减，得-30=41+42+4 一上4+|=二*4|一名1 -4 J J 3-1+1,4 4+(3 n-l)4,+l所以 7；=一 X 4仆 1 +=、9 尸.变式 训 练(2015湖北文)设等差数列 a,的公差为“，前w项和为S”等比数列 仇 的公比为 q,已知加=a i，b i2,qd,Sio=lOO.(1)求数列 斯，4,的通项公式；(2)当 办1时,记 工=善,求 数 列 以 的前项和力,.解析 由
4、题 意虱10a小i+4，5J=100,2ai+9d=20,ad=2,解得1 =1,d=2或。1=9,d=l.即_2fli-1(2)E&d 1 y 知”=2-1,仇=2，I 故金=2，厂，于是+9-24十7_23十5+223-22n 12,_,1 1 ,3,5,7,9,2 n-l g7；=2+砂+方+1 卜 2”一可得)=2+扛昇T1 2/1 12-2 22+33 一 2“故 T,=62+32一 1 .解 题 要 点 错位相减法求和是最为重要的求和方法，要熟练掌握，口算时要注意首末留下的项的符号，同时计算要准确.题 型 二 利用裂项相消法求和例 2(2015 江苏)设数列 飙 满足0 =1,且
5、知+i斯=+l(“G N*),则 数 列 前 10项的和为.答 案 T T解析 V i=1,斯+一斯=+1,/.a2。1=2,(i3。2=3,，an%-1=，将以上八一1,(2+/?)(1).(/?+1)个式子相力口得斯-Q =2+3 H-Vn 2，即 =2，令与=J,2 1 1 故 b =n(n+)=2L n+T J,故 S0=h+b-1 加 T,1,1 1 ,1 11 20一廿 2十 2 3 十 十 10 11J-11-变 式 训 练(2015 安徽文)已知数列 斯 是递增的等比数列，且 0+四=9,a2a3=8.(1)求数列 斯 的通项公式；(2)设 S.为数列 斯 的 前/项 和,儿=
6、音 一，求数列 瓦 的前”项和1解 析(1)由题设知。4 =。2。3 =8.又 0+i可解味 a 产 81,斯1】乂 bn q$ISn+SnSnSn i 11 _ 1Sn+1所 以 看=0+仇+仇=强-3+俵 一 白+俭 一 )=4 一 含=解 题 要 点 熟记常见的裂项公式是求解的关键.题 型 三 分组求和与并项求和例3数 列1；,3；,51，7白，（2-1）+白，的 前 项 和S”的值等于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.Z*4 o 10 Z答 案n2+l解 析 该数列的通项公式为斯=（2-1）+/，则 S”=l +3+5 +（2-1）+（2+分+曰=/+1 -2 -变式训练
7、 数列 诙 满 足 斯+%+i=T（GN+）,且m=l,S,是数列 斯 的前 项和，贝！J$2 1答 案6解析 由 +1 =+。+2，如+2 =。，则 4 =。3 =。5=。2 1，。2 =4 =。6=。2 0，S2 1=0+（2 +。3）+（4 +。5）+（2。+4 2 1）=l +10 X1=6.解题要点 分组和并项的目的，都是通过变形，把原式化为等差、等比或其它可求和的形式,体现了转化与划归的思想.当堂练习1.若数列%为等比数列，且s=l,q=2,则 =/：+一 的结果可化为 4 1a 2 a2 a3。%+i答 案K T）解析 =2 -,设 =1 斯斯+1 w则 T,=b +h 2-Ff
8、e=|+Q3+-2.数列 斯 的通项公式斯=古 石（0*）,若前”项和为S“，则S”为.答案 法j+2+q +1 一7 1)解析 V1n y/Ti+y/ti+2；S=3(y/5-l+5-也+小-小 +加 一,H-y n y jn 2+y rr+y jn 1 +y jn+2W)=g(-1 -啦+1 +几+2)=3(九+2+=九 +1 -y 2 1).3.若数列 斯 的通项公式是斯=(-1)(2-1),则 0+42+43+。100=.答 案 100解析 由题意知，+?+3+000=1+35+7+(l),()0(2X 1001)=(1 +3)+(5+7)+(197+199)=2X50=100.4.己
9、知数列 斯的前”项 和*=审，“GN*.求数列 斯的通项公式；设为=2%+(1)斯，求数列 为的前2项和.解 析 当=1 时，m=Si=l；当2 2 时，an=Sf-Sn-刀 2+刀 (-1)2+(7-1)n.22故数列 斯 的通项公式为an=n.(2)由(1)知,an=n,故底=2+(1),记数列 瓦 的前2项和为耳,则 石，尸 +22+2乃+(1+2-3+4-42江记 A=21+22dF22n,8=1+23+4-2 n,则 4=2(；手=22+28=(1+2)+(3+4)H 4 一 (2-1)+2川=几故数列 儿 的前2项 和T2 n=A+B=n+n-2.5.等差数列 小 的前”项和为S,
10、”等比数列 为 的公比为:，满足$3=15,G+2 =3,2+4岳=6.(1)求数列 ,仍 的通项斯,总(2)求数列 可 的前n项和Tn.3+3d=15,解 析(1)设 的公差为d,所以,1+2=3,解得m=2,d=3,加3 +J+2ii=6,所以。=3-1,9=()(2)由(1)知 =2xW+5X(|2+8 x(；)3+(3_4).(“+(3-1)(；,4得 杲=2 X Q+5 X+(3_4)X&+(3 -1 )&+|，一得如=2X 3 x g)2+住)3+.“+(3 1)+5.课后作业一、填空题L 22-+3 2-+4 2-+(“+1)2-的值为-答案4 1 n+2)1 _ 1 _ 1 _
11、L_)(+l)21 n*2+ln (+2)2vn+2 j区案 一&口呆 15 （一1）3i+3d=0,解析 设数列%的公差为4则 s,尸 的+一5一4 由已知可得L 八，2l5+1 0 d=-5,解得 i=l,d=-1,故 斯 的通项公式为a=2 所以。2-1。2 +】（32九）（12）解析32-42 -T72,2-1-n+1-5-1-3+-1-41-2+1-31+n3-42.己知等差数列 斯 的前w项和S“满足S3=0,S 5=-5,则 数 歹；1的前8 项和为=猊 万 一 壮 7），所以数列 二土）的前8项和为3告 一:+卜 打+高-麦_ _ 8 _一一1?3.若数列 “的通项为斯=4-1
12、,3=q.!4 1+色,“G N*,则数列2“的前项和是答 案(+2)解析 S+公+斯=(4 X 1 1)+(4 X 2 1)+,+(4/?-1)=4(1+2+)=2(+1)一几=2几2十几,:b=2 +1,加+历+儿=(2 X1+D+(2 X 2+1)+(2+1)=/+2 =n(n+2).4.设数列1,(1+2),，(1+2+2?+2 )，的前项和为S”，则 S=.答案 2n+-n-21 2n解析 Vt z=1 +2+22H-2n 1=2n 1,1 22(12 )/.Sw=(2+22+23+,+2r t)n 2 一=2 ”n2.5,设 数 列 “的通项公式是.=(1)”n,则+怎+-!-Ha
13、 i o o=.答 案 50解析 由题意知，a-a2-a3-F s o o=一 1+2 3+4 H-F(1)2(X)10 0=(-1+2)+(3+4)+-+(-9 9+10 0)=50.1 1 2 1 2 3 1 2 3 Q 16.已知数列&：5 3+3 LZ+不，元+而+而+正，若 儿=高？那么数列 儿 的前项和S,为.1+2+3 +n 14a 1 解 析 斯=不=5 ，儿=京；=而7 5=4 心 一 行，(?南=4(1-舟=4/2n+r7 .等差数列 斯 的通项公式如=21,数列 号7,其前 项和为S”则&等 于n2H+1答案8.数列 ,儿 满足。，5=1,%=/+3 +2,则 瓦 的前1
14、0项之和为.答 案 H叼|1 1 _!_ 1 dn(+1)(+2)+1 +25 1 0=6 1+6 2+6 3 H-F&i o=1-1+|-1+1-1=一 女=：一=卷 9.设 小 是等差数列，仇)是各项都为正数的等比数列,且0=1,，+/=1 9,a5+b3=9,则数列 斯儿 的前n项和5=.答 案(-12+1解 析 由条件易求出%=，乩=2 r(WN*).*=1X 1+2X 21+3X 2?+25=1X2+2X2N-F(n-l)X 2n-,+nX 2n.(2)由一，得一S“=l+2i+22-t-F2r X2,.,.S“=(-l 2+L10.若数列 ”的通项公式为 =(一 1)(3-2),则
15、 i+a2H-Faio=.答 案 15解析 c n+a2-F a io=-1+4-7+10-F(-l)10-2 8=(-1+4)+(-7+IO)H-F(一25+28)=15.11.(1002-9 92)+(982-9 72)H-F(22-)=.答 案 5 050解析 原式=100+99+98+97H-2+1=当 空 土 义=5 050.二、解答题12.(2015天津文)已知 如 是各项均为正数的等比数列，儿 是等差数列，且 0=勿=1,岳+63=2。3，卷3/?2=7.求 斯 和 e 的通项公式；(2)设 c“=0 瓦，”W N,求数列 金 的前项和.解 析(1)设数列 小 的公比为数列 仇
16、的公差为，由题意40.侬 2 3 4=2,由己知，有4 一 c 消去 整理得/一2/一8=0,q 4-3d=10,又因为q 0,解得q=2,所以d=2.所以数列%的通项公式为为=2-|,n S N*；数列 瓦 的通项公式为=2-1,“G N*.(2)由(1)有 c=(2 设 Q的前 项和为S,，则1 X 2O+3 X 2*+5 X 224-F (2n -3)X 2n-2+(2n -1)X 2-1,2S.=1 X 2 +3 X 2 2+5 X 2 3+(2-3)乂2 1 +(2-1)X2,上述两式相减，得-S =l+22+23H-F 2(2 一l)X2=2+i-3(2-l)X2=-(2-3)X2
17、-3,所以，S =(2-32+3,G N*.13.(2015福建文)在等差数列 斯 中,G=4,04+a 7=15.(1)求数列 斯 的通项公式；(2)设b n=2 an2+n,求仇+历+3 3-卜 匕i o的值.解 析(1)设等差数列 为 的公差为力由已知得i+d=4,(a i+3J)+(a i +6),(1+10)X101-2+2=(2-2)+5 5=2 +5 3=2 101.考点三十二空间几何体的三视图与直观图知识梳理1.简单多面体的结构特征棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边也都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱锥：有一个面是多边形，其余各
18、面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥.正棱锥：如果一个棱锥的底面是多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，在截面和底面之间的部分叫做棱台.多面体的结构特征：1底面：互相平行”侧面：都是四边形，且每相邻两个面的交线都平行且相等1底面：是多边形 侧面：都是有一个公共顶点的三角形(3)棱台梭锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分.J侧棱：相等(4)正棱锥：侧面：都是全等的等腰三角形(5)正四面体：一个特殊的正三棱锥，它的各个面都是全等的正三角形2.简单旋转体(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转得到.(2
19、)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.3.三视图及其特征(1)空间几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等.画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽.看不到的线画虚线，看的到的线画实线.(3)由三视图换原实物图时，一般从最能反映物体特征的视图出发，然后结合另两个视图进行换原.4.斜二测画法与物体的直观图(1)基本几何
20、体的直观图常用斜二测画法，规则是：在己知图形中建立直角坐标系x o)，.画直观图时，它 们 分 别 对 应/轴 和 y 轴，两轴交于点 O,使N x O y =4 5。，它们确定的平面表示水平平面；己知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行于 轴和y 轴的线段；已知图形中平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来吗.(2)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S与原平面图形的面积S之间的关系是典例剖析题型一简单几何体的概念例 1下 列 结 论 正 确 的 是.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 以正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体叫圆锥 棱锥的侧棱长
21、与底面多边形的边长都相等，则此棱锥可能是正六棱锥 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答 案 解 析 三棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，选项错；由正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体为两个圆锥形成的一个组合体，选项错；六棱锥的侧棱长大于底面多边形的边长，选项错；选项正确.故选.变 式 训 练 下列命题中，正确的是.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 侧面都是矩形的四棱柱是长方体 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱答 案 解析 对于，两个侧面是矩形并不能保证侧棱与底面垂直，故错误；对于，侧面都是等腰三角形，不能确保此棱锥顶点在底面在
22、底面的射影在底面正多边形的中心上，且也不能保证底面是正多边形，故错误；对于，侧面是矩形不能保证底面也是矩形，因而错误.解 题 要 点 准确弄懂简单几何体的概念是解题的关键题型二简单几何体的三视图例 2 几何体的直观图如图，下 列 给 出 的 四 个 俯 视 图 中 正 确 的 是.答 案 解析 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选.变 式 训 练（1）某空间几何体的正视图是三角形，则 该 几 何 体 不 可 能 是.圆柱 圆锥四面体 三棱柱（2）已知一个几何体的三视图如图
23、所示，分 析 此 几 何 体 的 组 成 为.上面为棱台，下面为棱柱上面为圆台，下面为棱柱上面为圆台，下面为圆柱上面为棱台，下面为圆柱答 案 （2）解 析（1）由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱（放倒看）都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选.（2）由俯视图可知，该几何体的上面与下面都不可能是棱台或棱柱，故排除选项、.故选.解 题 要 点 1.注意空间几何体的不同放置对三视图的影响.2.由实物图画三视图或判断、选择三视图，此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则;3.由三视图还原实物图，解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而
24、成的；其次，要遵循以下三步：看视图，明关系；分部分，想整体；综合起来，定整体.题型三空间几何体的直观图例 3如图夕C 是A A B C 的直观图，那么A A B C 是 等腰三角形 直角三角形 等腰直角三角形 钝角三角形答 案 解 析 由斜二测画法知正确.变 式 训 练 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为啦，则原梯形的面积为.答 案 4解 析 设原梯形的面积为S,则平=乎，S=4.k J T 解题要点 直观图的面积S 与原平面图形的面积S之间的关系是S 共S.当堂练习1.有下列四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边
25、的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其 中 真 命 题 的 个 数 是.答 案 1个解 析 命题不是真命题，因为底面是矩形,但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体;命题不是真命题，因为底面是菱形（非正方形），底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体.2.以下关于几何体的三视图的叙述中，正确的是.球的三视图总是三个全等的圆正方体的三视图总是三个全等的正方形水平放置的正四面体的三视图都是
26、正方形水平面放置的圆台的俯视图是一个圆答 案 解析 由于中的正视方向不明确，故不正确；中的三视图不全是正方形；中的俯视图是两个同心圆.故选.3.在棱柱中.只有两个面平行所有的棱都平行所有的面都是平行四边形 两底面平行，且各侧棱也互相平行答 案 解 析 由棱柱定义可知正确.4.一个几何体的三视图如图所示，则 该 几 何 体 的 直 观 图 可 以 是.解析 由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选项.5.一个几何体的三视图均为等腰直角三角形(如图)，则该几何体的直观图为答 案 解析、的正视图都应是图(1),的侧视图应为图(1)均不符合，故选.课后作业二、填空题1.下 列 说
27、 法 正 确 的 命 题 的 序 号 是.圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线.连接圆柱上、下底面圆周上的两点的线段是圆柱的母线在圆台的上下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.答 案 解析 由圆柱、圆锥、圆台的母线的概念知，正确，错误.2.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是_ _ _ _ _ _.正方体 圆锥 三棱台 正四棱锥答 案 解析 根据题目要求三视图中有且仅有两个视图相同，其中的三个视图可以都相同，故可以排除选项，.选.3.如图，网络纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是
28、.答案三棱柱解析 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如下图所示.4.正方体的截平面不可能是：钝角三角形；直角三角形；菱形；正五边形；正六 边 形.下 述 选 项 正 确 的 是.答 案 解析 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形：对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；从正方体的一个顶点去切可得五边形但不可能是正五边形；过正方体的六个面可截得正六边形；5.以下四个命题：正棱锥的所有侧棱相等；直棱柱的侧面都是全等的矩形；圆柱的母线垂直于底面；用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全
29、等的等腰三角形.其中，真 命 题 的 个 数 为.答 案 3解析 由正棱锥的定义可知所有侧棱相等,故正确；由于直棱柱的底面的各边不一定相等,故侧面矩形不一定全等，因此不正确；由圆柱母线的定义可知正确；结合圆锥轴截面的作法可知正确.综上，正确的命题有3 个.6.如图所示是水平放置的三角形的直观图，夕y 轴，则原图形中AABC是.答 案 直角三角形解 析 将斜二测画法逆用，即与坐标系v o y 中坐标轴y 轴平行的线与坐标系x O y中坐标轴x 轴垂直，且 AB=2A,A C A C.如图，故为直角三角形.7.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45。，腰和上底均为1 的等腰梯形，那
30、么 原 平 面 图 形 的 面 积 是.答 案 2+啦解 析 由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45。，腰和上底长度均为 1,得下底长为1+啦,所以原图上、下底分别为1,1+啦，高为2 的直角梯形.所以面积 S=(l+a/2+1 )x2=2+2.8.水平放置的矩形ABCO长 A B=4,宽 B C=2,以AB,AQ为轴作出斜二测直观图4 夕C O,则四边形4 夕的面积为答 案 2解 析 平行线在斜二测直观图中仍为平行线，所以四边形 4 8 C O 为平行四边形，ZD AB=45,AB=4,AD=-x 2=1,D E=x s in 4 5 2,所以四边形4夕。的面积为4、？一
31、=2&2 29.有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个图答 案 四棱台1 0 .如 图，直三棱柱A B C 481G的侧棱长为2,底面是边长为2的正三角形，正视图是边长为2的正方形，则其左视图的面积为答 案 2 小解 析 .左视图的高与正视图的高相等，故高为2,正视图 俯视图左视图的宽与俯视图的宽相等，即为直三棱柱底面 A B C 的高，故左视图的宽为 小，.,.左视图的面积为2 x 3 =2 3.I I .己知正三角形A B C 的边长为a,那么A 4 B C 的 平 面 直 观 图 的 面 积 为答案1 6=巾，在 RtZXSOA 中，0A=噂 产 七 F=2,：.AC4.：.A
32、BBCCD=DA=2y/2.作 OE_LAB于E,则 E 为 AB中点.连接S E,则 SE即为斜高，在 RtZXSOE 中，V(?E=|BC=V2,50二事,：.SE=yl5,即斜高为、考点三十三 空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理1.平面的概念数学中的平面是一个不加定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、海平面都给我们平面的形象.几何里所说的平面就是从这样的一些物体抽象出来的，平面是无限延展的，没有厚度，也没有大小、轻重之分.2.空间中的四个公理及其推论公 理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.推 论 1：经过
33、一条直线和直线外一点，有且只有与一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.3.等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类平行相交不同在任何一个平面内共面直线，异面直线:(2)异面直线所成的角定义：过空间任意一点尸分别引两条异面直线。，6 的平行线/”b/l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线4,匕所成的角.范围：(o,f.5.空
34、间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交产aQ a=A1 个平行-(a/a0 个在平面au。无数个内平平行a/p0 个面与平相交加 =1无数个面典例剖析题型一平面的基本性质及应用例 1在下列命题中，不 呈 公 理 的 是.平行于同一个平面的两个平面相互平行 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答 案 解析 由立体几何基本知识知，项为公理2,C 项为公理1,项为公理3,项不是公理.变 式 训 练 下 列 结 论 正 确
35、的 是.经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面经过两条相交直线，可以确定一个平面经过两条平行直线，可以确定一个平面经过空间任意三点可以确定一个平面答 案 3 个解 析 当三点在一条直线上时不能确定平面，故不正确，正确.解 题 要 点 三点不一定确定一个平面.当三点共线时，可确定无数个平面.题型二空间直线的位置关系例 2正方体A G 中，E、尸分别是线段BC、C D 的中点，则直线4 B 与直线EF的位置关系是答 案 相交解 析 如图所示，直线AiB与直线外一点E 确定的平面为AiBCS，EFU平面4B C A，且两直线不平行，故两直线相交.变 式 训 练 如图是正四面体（各面均为正三角形
36、）的平面展开图，G、H、M、N分别为D E、BE、EF、E C的中点，在这个正四面体中，G”与E F平行；B O与 为 异 面 直 线；G H与M N成60。角；D E与M N垂直.以上四个命题中，正 确 命 题 的 序 号 是.答 案 解析 还原成正四面体知G H与E F为异面直线，8。与 为 异 面 直 线，G H与M N成60。角，DEMN.解 题 要 点1.空间两条直线的位置关系有三种：平行，相交和异面，要正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.2.对于较复杂几何体的线面关系判定问题，应注意借助图形，考察各点、线在空间中的相对位置.3.正四面体的
37、特性：对棱都异面且互相垂直，记住这个特性有助于快速解题.题型三异面直线判定问题例3如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB,CD,EF,G”在原正方体中 互 为 异 面 直 线 的 对 数 为.AI)E答 案 3解析 AB,CD,E F 和 G H 在原正方体中如图所示，显然A B 与 CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线，而 4 8 与 E F 相交，8 与 G H 相交，C。与 E F 平行.故互为异面的直线有且只有三对.变式训练 若直线/不平行于平面a,且 x,则.a 内的所有直线与/异面a 内不存在与/平行的直线a 内存在唯一的直线与/平行a 内的直线与/都相交答 案 解
38、 析 依题意，直线/Ca=A（如图）.a 内的直线若经过点A,则与直线/相交；若不经过点A,则与直线/是异面直线，故选.解 题 要 点 判定异面直线有以下异面直线判定定理:平面内一点与平面外一点的连线,与此平面内不经过该点的直线是异面直线.另外判定两条直线异面，还可依据：定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；既不平行也不相交的两条直线是异面直线。题型四异面直线所成角的求解例 4已知正方体中，E、F分别为BBi、C G 的中点，那么异面直线AE与 Q尸 所 成 角 的 余 弦 值 为.3答 案 5解 析 如图，连接。凡因为。尸与A E平行，所以/Z 5 F A 即为异面直线AE与 A
39、F所成角的平面角，设正方体的棱长为2,则 皿=小，由余弦定理得 i=6 0。.即 B A i与 AG成 6 0。的角.解题要点 求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.当堂练习1.下列四个结论：(1)两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行.(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行.(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.其 中 正
40、 确 的 个 数 为.答 案 0解 析 对(1)，两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能;对(2),两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面；对(3),两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能；对(4),一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内.2 .以 下 命 题 正 确 的 是.两个平面可以只有一个交点一条直线与一个平面最多有一个公共点两个平面有一个公共点，它们可能相交两个平面有三个公共点，它们一定重合答 案 解 析 对于，两个平面有一个交点就有过这个点的公共直线，故错.对于，直线在平面内时，可以有无数个公共点.对于，当
41、三个公共点在同一直线上时，两平面相交，故错.3 .正方体A B C。-A iB C iD i中，E,P分别是线段G O,8c的中点，则直线48与直线E F的 位 置 关 系 是.答 案 相交解 析 直线A iB 与直线外一点E确定的平面为4 8 C。，E F u 平面4BCQ,且两直线不平行，故两直线相交.4 .若两条直线和一个平面相交成等角，则 这 两 条 直 线 的 位 置 关 系 是.答 案 平行、异面或相交解 析 当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现.5 .三个平面两两相交，则 交 线 条 数 为.答 案 1 或 3课后作业三、填空题1.四个命题：(1)空间
42、三条直线两两平行，则三条直线可确定三个平面；(2)空间三点可确定一个平面；(3)空间一点和一条直线可确定一个平面；(4)A 与B两点到直线/距离相等，则直线/和A B确定一个平面.其 中 正 确 命 题 的 个 数 为.答 案 0个解 析(1)若三条直线在同一个平面内，则确定一个平面，故错误；（2）若三个点在同一条直线上则不能确定一个平面，故错误；（3）空间上一点若在直线上，则不能确定一个平面，故错误；（4）若过A、B两点的直线与直线I异面正方体的棱与底面的对角线异面A、B两点为两顶点）,不能确定一个平面.2.给定四个命题：（1）一平面的面积可以等于100cm3；（2）平面是矩形或平行四边形形
43、状；（3）铺得很平的一张白纸是一个平面；（4）20个平面重合在一起比一个平面厚20倍，其中正确的有.答 案 0解 析 根据平面的概念知，四个命题都不正确.3.对于空间中的两条直线，“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的_ _ _ _ _ _ _ _ 条件答案充分不必要解 析 .两条直线为异面直线=这两条直线没有公共点，反之，当两条直线没有公共点时，未必是异面直线，“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分不必要条件.4.已知异面直线小 人分别在平面a,。内,且 a A =c,那么直线c 一定.（填序号）与a,6 都相交只能与a,6 中的一条相交至少与a,方中的一条相
44、交与a,b 都平行答 案 解析 若 c 与。，匕都不相交，则 c 与 a,。都平行，则 a。与 a,匕异面相矛盾.5.若 人，/2,/3是空间三条不同的直线，则 下 列 命 题 正 确 的 是.（填序号）川 2，皿 3 旬 l h/山 2,/2，3=/山 3 l l/l2/l 3=h,h,，3 共面/”，2，共点=/1，1 2,共面答 案 解 析 当/2,/2上 3时，八与/3也可能相交或异面，故不正确；I 山 2,l 2 h=l 山 3,故正确；当/|/2/3时，h，h，/3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故不正确；/”1 2,，3共点时，/|，匕，3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱
45、，故不正确.6.设 P 表示一个点，“，人表示两条直线，a,4 表示两个平面，给出下列四个命题，其中正 确 的 命 题 是.（填序号）p ea,PG a=U a；a b=P,bu”n“U夕；a/b,aCa,P&b,PGa=/?Ca；aC 夕=6,P&a,PR g PQb.答 案 解 析 当 a C a=P 时，Pea,Pa,但 Ma,.错；时，错；如图，：a/b,P G b,：.P a.由直线”与点P 确定唯一平面a.又。6,由。与确定唯一平面尸，但少经过直线a 与点P,与 a 重合，.,/U a,故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确.7.若两个平面互相平行，则 分 别 在 这 两 个
46、 平 行 平 面 内 的 直 线.答 案 平行或异面解 析 两平行平面内的直线可能平行，也可能异面，就是不可能相交.8.一个正方体的展开图如图所示，A、8、C、。为原正方体的顶点，则在原来的正方体中.（填序号）.AB/CD AB与 C。相交 A8_LC A 8与 CO所成的角为60。答 案 解析 如图，把展开图中的各正方形按图5）所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图3）所示的直观图，可见选项、不正确.，正确选项为.图0）中，D E/AB,NCDE为 A 8与 CD所成的角，C 0E 为等边三角形，：.ZCD E=60.图(a)图(b)9.如图，在正方体ABC-4BiC
47、Qi中，M、N 分别为棱G A、G C 的中点，有以下四个结论：直线AM与 C G 是相交直线；直线4M 与 BN是平行直线；直线BN与 MBi是异面直线；直线AM与。）|是异面直线.其 中 正 确 的 结 论 为（注：把你认为正确的结论的序号都填上）.答 案 解析 直线AM与 C G 是异面直线，直线AM与 8N 也是异面直线，故错误.10.如图，在正方体A8CD4山iG O i中，M、N 分别是棱C。、C G 的中点，则异面直线与 所 成 的 角 的 大 小 是.答 案 90解析 如图所示，取 CN的中点K,连接M K,则 MK为CDN的中位线，所以MKON.所以/4 M K 为异面直线4
48、 M 与 W 所成的角（或其补角）.连 接 A C”AM.设正方体棱长为4,则 A|K=N（4何+32=的,M K=DN=42+2i y 5,A,M=A/42+42+22=6.故 4M 2+片=4|心，即 NAIMK=90。.11.如图所示，A8CD41B1G。是长方体，AAi=a,ZBABI=ZBIAICI=3 0,则 AB 与 4 c l所成的角为,A 4,与 B C 所成的角为答 案 300 45解析.NBIAICI是 AB与 4 G 所成的角，与 4 G 所成的角为30。.：A A x/BB,是 A4i 与 S C 所成的角，由已知条件可以得出381=4,4囱=4。=2，AB=y 3a
49、,.8iG=B C=a.四边形 88iG C 是正方形，NBBC=45。.二、解答题1 2.直三棱柱A8C4 B iC i中，若/BAC=90。，A B=A C=A A ,求异面直线B 4 与 4G所成的角.解析 分别取A3、A4i、4 G 的中点。、E、F,则 BA|OE,AC/EF,所以异面直线84与 A G 所成的角为NOEF（或其补角），设 4 B=4 C=A 4 i=2,则。D F=乖,由余弦定理得，N D E F=120.1 3.如图，E,F,G,分别是空间四边形A8,BC,CD,D 4上的点，且 EH与 FG交于点 0.求证：B,D,。三点共线.证明：平面A8。，”6 平面A8)
50、,:.E H U 平面ABD.:E H C F G=O,.O d平面 A8D同理可证o e 平面BC C.O e平面ABn平面8CQ=BD即 8,D,。三点共线.考点三十四空间直线、平面平行的判定及其性质知识梳理1.直线与平面平行的定义直线与平面没有公共点，叫做直线与平面平行.2.平面与平面平行的定义如果两个平面没有公共点，叫做两个平面平行.3.直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简称:线线平行，则线面平行.符号语言：=a/a.性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简称：线面平行，则线线平行.al