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1、学习必备 欢迎下载(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形 强调：当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例 2、相似三角形对应边的比叫做相似比 强调：全等三角形一定是相似三角形，其相似比 k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例 相似比具有顺序性 例如ABCABC的对应边的比，即相
2、似比为 k，则ABCABC 的相似比，当它们全等时，才有 k=k=1 相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似 强调：定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：DEBC，ABCADE；（双 A 型）这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理 它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为
3、“预备定理”；有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”(二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。例1、已知：如图，1=2=3，求证：ABC ADE 学习必备 欢迎下载 例 2、如图，E、F 分别是ABC 的边 BC 上的点，DEAB,DFAC,求证：ABCDEF.判定定理 2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 例1、ABC 中，点D在
4、AB 上，如果AC2=AD AB，那么ACD 与ABC 相似吗？说说你的理由 例 2、如图，点 C、D在线段 AB上，PCD是等边三角形。（1）当 AC、CD、DB满足怎样的关系时，ACP PDB？（2）当ACP PDB时，求APB的度数。判定定理 3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。简单说成：三边对应成比例，两三角形相似 强调：有平行线时，用预备定理；已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理 1 或判定定理 2；已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理 2 或判定定理 3但是，在选择利用判定定理 2 时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对
5、应相等 2、直角三角形相似的判定：A B C D E F 第 4 题 不相似，请说明理由。，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似，和如图在正方形网格上有222111ACBACB三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做
6、相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似 例 1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP3PC，Q是CD的中点求证：ADQQCP 例 2、如图,ABBD,CD BD,P 为 BD 上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当 P 点在 BD 上由 B 点向 D 点运动时,PB 的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.例 3、如图 AD
7、AB 于 D，CEAB 于 E 交 AB 于 F，则图中相似三角形的对数有 对。例 4、已知：AD 是 RtABC 中A的平分线，C=90，EF 是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M，EF、BC 的延长线交于一点 N。求证：(1)AMENMD (2)ND2=NCNB 强调：由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理 1，或两条直角边对应成比例，用判定定理 2，一般不用判定定理 3 判定两个直角三角形相似；如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三
8、角形的与原三角形相似）如图，可简单记为：在 RtABC 中，CDAB，则ABCCBDACD 补充射影定理。特殊情况：第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。EDFABC三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相
9、似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS SSS AAS（ASA）HL
10、 相似三角形 的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一 条 直 角边与 斜 边 对应成比例 二、重点难点疑点突破 1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧 正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功 通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角（3）对应字母要写在对应的位置
11、上，可直接得出对应边，对应角。2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法如：（1）平行型：（A 型，X 型）（2）交错型：（3）旋转 型：（4）母子三角形：(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见前图“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2)“相交线型”相似三角形，如上图其中各图中都有一个公共角或对顶角“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型”相似三角形，如图
12、若图中1=2，B=D(或C=E)，则ADEABC，该图可看成把第一个图中的ADE 绕点 A 旋转某一角度而形成的 强调：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线ABCDEABCDDABCABCDEDABCE三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相
13、似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形 练习：1、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据。2、如图 27-2-1-12,在大小为 4 4 的正方形方格中,ABC
14、的顶点 A,B,C 在单位正方形的顶点上,请在图中画一个A1B1C1,使A1B1C1ABC(相似比不为 1),且点 A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上.图 27-2-1-12 练习题 相似三角形的判定 1.如图，锐角ABC的高 CD 和 BE 相交于点 O，图中 与ODB相似的三角形有（）A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 A E D C B O 三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在
15、于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 2.如图，在ABC中，CABC2，BD 平分ABC，试说明：AB BC=AC CD 3.已知：ACB为等腰直角三角形，ACB=900 延长 BA至 E，延长 AB至 F，ECF=1350 求证：EAC CBF
16、 4.已知:如图,ABC中,AD=DB,1=2.求证:ABC EAD.5.、如图，点 C、D 在线段 AB 上，且PCD 是等边三角形.(1)当 AC，CD，DB 满足怎样的关系时，ACPPDB；(2)当PDBACP 时，试求APB 的度数.6.如图，4531BCDEABDB，（1）ABCADE吗？说明理由。（2）求 AD的长。7.已知:如图,CE 是 RtABC的斜边 AB上的高,BGAP.求证:CE2=ED EP.三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义
17、可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 8.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AEBC 于 E，AFCD 于 F.(1)ABE 与ADF 相似吗？说明理由.(2)AEF 与ABC 相似吗？
18、说说你的理由.9.如图，D 为ABC 内一点，E 为ABC 外一点，且1=2，3=4.(1)ABD 与CBE 相似吗？请说明理由.(2)ABC 与DBE 相似吗？请说明理由.10.已知:如图,CE 是 RtABC的斜边 AB上的高,BGAP.求证:CE2=ED EP.相似三角形提高训练 一填空题（共2 小题）1如图所示，已知 ABEFCD，若 AB=6 厘米，CD=9 厘米求 EF 三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似
19、三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 2如图，ABCD 的对角线相交于点 O，在 AB 的延长线上任取一点 E，连接 OE 交 BC 于点 F若 AB=a，AD=c，BE=b，则 BF=_ 二解答题（共 17 小题）3 如图所
20、示 在ABC 中，BAC=120，AD 平分BAC 交 BC 于 D 求证：4如图所示，ABCD 中，AC 与 BD 交于 O 点，E 为 AD 延长线上一点，OE 交 CD 于 F，EO 延长线交 AB 于 G求证：5 一条直线截ABC 的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F 求证：三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对
21、应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 6如图所示P 为ABC 内一点，过 P 点作线段 DE，FG，HI 分别平行于 AB，BC 和 CA，且 DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425求 d 7如图所示梯形 ABCD 中，ADBC，BD，AC 交于 O 点，过 O 的直线分别交 AB，CD
22、于 E，F，且 EFBCAD=12 厘米，BC=20 厘米求 EF 三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理
23、的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 8已知：P 为 ABCD 边 BC 上任意一点，DP 交 AB 的延长线于 Q 点，求证：9 如图所示，梯形 ABCD 中，ADBC，MNBC，且 MN 与对角线 BD 交于 O 若 AD=DO=a，BC=BO=b，求 MN 10P 为ABC 内一点，过 P 点作 DE，FG，IH 分别平行于 AB，BC，CA（如图所示）求证：三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定
24、义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 11如图所示在梯形 ABCD 中，ABCD，ABCD一条直线交 BA 延长线于 E，交 DC延长线于 J，交 AD 于 F，交 BD 于 G，交 AC
25、 于 H，交 BC 于 I已知 EF=FG=GH=HI=IJ，求 DC：AB 12已知 P 为ABC 内任意一点，连 AP，BP，CP 并延长分别交对边于 D，E，F 求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于 2，也至少有一个不少于 2 13如图所示在ABC 中，AM 是 BC 边上的中线，AE 平分BAC，BDAE 的延长线于 D，且交 AM 延长线于 F求证：EFAB 三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的
26、特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基
27、本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 14如图所示P，Q 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 上的点，且 BP=BQ，BHPC 于H求证：QHDH 15已知 M 是 RtABC 中斜边 BC 的中点，P
28、、Q 分别在 AB、AC 上，且 PMQM求证：PQ2=PB2+QC2 16 如图所示 在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，AE 平分CAB，CF 平分BCD 求证：EFBC 17如图所示在ABC 内有一点 P，满足APB=BPC=CPA若 2B=A+C，求证：PB2=PAPC （提示：设法证明PABPBC）三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似
29、比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等
30、而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 18已知：如图，ABC 为等腰直角三角形，D 是直角边 BC 的中点，E 在 AB 上，且 AE：EB=2：1求证：CEAD 19如图所示，ABC 中，M、N 是边 BC 的三等分点，BE 是 AC 边上的中线，连接 AM、AN
31、，分别交 BE 于 F、G，求 BF：FG：GE 的值 20.在ABC 中，ABC=124求证 提示：要证明如几何题的常用方法：比例法：将原等式变为，故构造成以 a+b、b 为边且与 a、c 所在三角形相似的三角形。通分法：将原等式变为，利用相关定理将两个个比通分即：三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它
32、们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 2013 初中相似三角形难题易错题 参考答案与解析 一填空题（共 2 小题）1如图所示，已知 ABEFCD，若 AB=6 厘米，CD=9 厘米求 EF 考点：平行线分线段成比例 专题：计算题 分析：由于 BC 是ABC 与DBC 的公共边，且 ABEFCD，利用平行线分线段成比例的定理，可求 EF 解答：
33、解：在ABC 中，因为 EFAB，所以 EF：AB=CF：CB，同样，在DBC 中有 EF：CD=BF：CB，+得 EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1 设 EF=x 厘米，又已知 AB=6 厘米，CD=9 厘米，代入得 x：6+x：9=1，解得 x=故 EF=厘米 点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算 2如图，ABCD 的对角线相交于点 O，在 AB 的延长线上任取一点 E，连接 OE 交 BC 于点 F若 AB=a，AD=c，BE=b，则 BF=考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 专题：计算题 分析：首先作辅助线：取 AB 的中点 M，连
34、接 OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：EFBEOM 与 OM 的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得 BF 的值 解答：解：取 AB 的中点 M，连接 OM，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，OB=OD，三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概
35、念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 OMADBC，OM=AD=c，EFBEOM，AB=a，AD=c，BE=b，ME=MB+BE=AB+BE=a+b，BF=故答案为：点评：此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题 二解答题（共 17 小题）3 如图所示 在ABC 中，BAC=120，AD 平分BAC 交
36、 BC 于 D 求证：考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定 专题：证明题 分析：过 D 引 DEAB，交 AC 于 E，因为 AD 平分BAC（=120），所以BAD=EAD=60 若引 DEAB交 AC 于 E，则ADE 为正三角形，从而 AE=DE=AD，利用CEDCAB，可实现求证的目标 解答：证明：过 D 引 DEAB，交 AC 于 E AD 是BAC 的平分线，BAC=120，BAD=CAD=60 又BAD=EDA=60，所以ADE 是正三角形，EA=ED=AD 由于 DEAB，所以CEDCAB，=1 由，得=1，从而+=三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应
37、边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 点评：本题考查了相似三角形
38、对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证CEDCAB 是解题的关键 4如图所示，ABCD 中，AC 与 BD 交于 O 点，E 为 AD 延长线上一点，OE 交 CD 于 F，EO 延长线交 AB 于 G求证：考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 专题：证明题 分析：应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证 解答：证明：延长 CB 与 EG，其延长线交于 H，如虚线所示，构造平行四边形 AIHB 在EIH 中，由于 DFIH，=IH=AB，=，从而，=1+在OED 与OBH 中，DOE=B
39、OH，OED=OHB，OD=OB，OEDOBH（AAS）从而 DE=BH=AI，=1 由，得=2 点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长 CB 与 EG其延长线交于 H，如虚线所示，构造平行四边形 AIHB这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一难题 5一条直线截ABC 的边 BC、CA、AB（或它们的延长线）于点 D、E、F 三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三
40、角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 求证：考点：三角形的面积 专题：证明题 分析：连接 BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证 解答：证明：如图，连接 BE、AD，BDE 与DCE 等高，=，DCE
41、与ADE 等高，=，ADF 与BDF 等高，=，AEF 与BEF 等高，=，=，=1 点评：此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接 BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比 三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将
42、一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 6如图所示P 为ABC 内一点，过 P 点作线段 DE，FG，HI 分别平行于 AB，BC 和 CA，且 DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425求 d 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质 专题：计算题 分析：由 FGBC，HICA，EDAB，易证四边形 AIPE、四边形 BDPF、四边形 CGPH 均是平行四边形，利平行线分线段成
43、比例定理的推论可得IHBAFGABC，于是=，=，再结合=，计算式子右边的和，易求+=2，从而有+=2，再把 DE=FG=HI=d，AB=510，BC=45CA=425 代入此式，解即可 解答：解：FGBC，HICA，EDAB，四边形 AIPE、四边形 BDPF、四边形 CGPH 均是平行四边形，IHBAFGABC，=，=，+=，又DE=PE+PD=AI+FB，AF=AI+FI，BI=IF+FB，DE+AF+BI=2（AI+IF+FB）=2AB，+=2，DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，+=+=2，+=2，解得 d=306 点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、
44、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质 7如图所示梯形 ABCD 中，ADBC，BD，AC 交于 O 点，过 O 的直线分别交 AB，CD于 E，F，且 EFBCAD=12 厘米，BC=20 厘米求 EF 三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的
45、频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 考点：平行线分线段成比例 分析：由平行线的性质可得=，得出 OE 与 BC，OF 与 AD 的关系，进而即可求解 EF 的长 解答：解：ADBC，EFBC，=，又=，=，OE=BC=，OF=AD=，EF=OE+OF=15 点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题 8已知：P 为 ABCD 边 BC 上任意一点，DP 交
46、 AB 的延长线于 Q 点，求证：考点：相似三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：由于 AB=CD，所以将转化为，再由平行线的性质可得=，进而求解即可 解答：证明：在平行四边形 ABCD 中，则 ADBC，ABCD，=1 点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握 9 如图所示，梯形 ABCD 中，ADBC，MNBC，且 MN 与对角线 BD 交于 O 若 AD=DO=a，BC=BO=b，求 MN 三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定
47、相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 考点：相似三角形的判定与性质；梯形 专题：计算题 分析：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段 MN 的
48、长 解答：解：MNBC，在ABD 中，=，即 OM=，同理 ON=，MN=OM+ON=点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握 10P 为ABC 内一点，过 P 点作 DE，FG，IH 分别平行于 AB，BC，CA（如图所示）求证：考点：平行线分线段成比例 专题：证明题 分析：（1）由平行线可得PIFCAB，得出对应线段成比例，即=，同理得出=，即可证明结论；（2）证明方法与（1）相同 解答：证明：（1）DEAB，IHAC，FGBC，可得PIFCAB，=，同理=，+=+=1 （2）仿（1）可得=，=，+=+=1 点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段
49、之间的转化，证明一些简单的结论 三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等相似三角形的定义可得相似三角形的基本性质三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如的对应边的比即相似比为则的相似比当它们全等时才有相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个那么这两个多边形叫做相似多边形相似三角形的预备定理平行于三角形的一条边直线截其它两边所在的直线截得的三角形与原三角形相似强调定理的基本图形有三种况如图其符号语言双型
50、这个定理是用相似三角形定义推导出来的三学习必备 欢迎下载 11如图所示在梯形 ABCD 中，ABCD，ABCD一条直线交 BA 延长线于 E，交 DC延长线于 J，交 AD 于 F，交 BD 于 G，交 AC 于 H，交 BC 于 I已知 EF=FG=GH=HI=IJ，求 DC：AB 考点：相似三角形的判定与性质；梯形 专题：计算题 分析：由平行线可得对应线段成比例，又由已知 EF=FG=CH=HI=IJ，可分别求出线段 AB、CD 与 AE、CJ 的关系进而可求解结论 解答：解：ABCD，EF=FG=CH=HI=IJ，=，=，=，DJ=4AE，又=，解得 AB=AE，又 AE=CJ，AB=C