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1、研究生?现代控制理论及其应用？课程小论文一级倒立摆的建模与控制分析1.1 问题描述-1 -1.2 状态空间表达式的建设-1 -. 2.1直线一级倒立摆的数学模型-1-.2.2直线一级倒立摆系统的状态方程-2-.应用MATLAB分析系统性能-3-1. 1直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析3 -2. 2系统可控性分析-3 -3. 3系统可观测性分析-3 -.应用matlab进展综合设计-4 -1.3 状态反响原理41.4 全维状态反响观测器和simulink仿真-4 -.应用Matlab进展系统最优控制设计-6 -.总结-7 -1 .问题描述及状态空间表达式建设问题描述倒立摆是机器人技术、控制理论、
2、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合， 其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可 以作为一个典型的控制对象对其进展研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种 比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平 台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想 的开展。下对于倒立摆系统，经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，它就是一个典型的 运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建设系统的动力学方程。 下面采用其中的牛顿一欧拉方法建设直线一级倒立摆系统的数学模型。1.1 状态空间表达式的建设1. 2.1直
3、线一级倒立摆的数学模型图1.1直线一级倒立摆系统本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。表L1直线一级倒立摆系统参数符号意义实际数值M小车质量1.096kgm摆杆质量0.109kg/小车摩擦力0.1 N/m/sec1摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.00223kg*m*m图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂 直方向的分量。图1.2系统中小车的受力分析图图1.3是系统中摆杆的受力分析图。姆是摆杆受到的水平方向的干扰力，鼻是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为。的干扰力F,。图1.3摆杆受力分析图分析
4、小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：设摆杆受到与垂直方向夹角为a的干扰力Fg,可分解为水平方向、垂直方向的干扰 力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS、垂直干扰力Fh产生的力 矩。对摆杆水平方向的受力进展分析可以得到下面等式：即：对图1. 3摆杆垂直方向上的合力进展分析，可以得到下面方程：即一 P+mg + F& coscz = ml3sin O+mlO2 cos (1-6)力矩平衡方程如下：代入P和N,得到方程：设夕=+。，(6是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度)，代入上式。假设那么可进展近似处理：由于：I = -ml23方程化为：令：Ff= T(-sina-c
5、osa),那么(1 一9)可化为：(1-10)即是化简后的直线一级倒立摆系统微分方程。带入实际数据后，微分方程为:当忽略了F1时，系统的微分方程如式(1-12)所示忽略干扰力后，直线一级倒立摆系统是单输入二输出的四阶系统，考虑干扰力后， 直线一级倒立摆系统是二输入二输出的四阶系统。其内部的4个状态量分别是小车的位移X、小车的速度比、摆杆的角度。、摆杆的角速度。系统输出的观测量为小车的位移X、摆杆的角度。其控制量为小车的加速度在将微分方程(1-12)化为关于加速度输入量和角度输出量的传递函数：1 . 2. 2直线一级倒立摆系统的状态方程作为衣邂堆制骷如所以根据式作为衣邂堆制骷如所以根据式作为衣邂
6、堆制骷如所以根据式作为衣邂堆制骷如所以根据式作为衣邂堆制骷如所以根据式实验所使用的直线一级倒立摆系系统是加速度工 (1-12)建设系统的状态方程为：整理后得到系统状态方程：将实际参数代入得到一级倒立摆系统的状态空间方程为:2 .应用MATLAB分析系统性能直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析构建如图1.4所示闭环系统,那么系统的闭环极点为(-5.1381). (5.1381):图1.4闭环系统构造图由于有实部为正的极点，所以闭环系统不稳定，必须设计控制器使系统稳定。可以 通过MATLAB Simulink中对其进展仿真，判断其稳定性。构建图1.4所示系统的仿真程序el,参加Im/sz的阶跃信号 由
7、上图也能清楚的知道一级倒立摆系统是不稳定的。2.1 系统可控性分析系统的可控性可根据秩判据进展可控性判断。线性定常连续系统完全可控的充 分必要条件是：rank(B A8418)= ，其中n为系统矩阵A的阶次， M=(B ABA：8)为系统的可控性矩阵。matlab程序及运行结果如下： A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0; B=0;l;0;3; T=ctrb(A, B); rank(T)ans =4由于rank (Ic)=4,可见该系统是完全可控的。2. 3系统可观测性分析系统的可控性可根据秩判据进展可控性判断。线性定常连续系统完全可控的充 分必要条件是:c
8、CArank N = rank = 或派(CArCr (Ar)2Cr CT) = nCA T0=obsv(A, C);rank(TO)4由于rank (TO) =4,故该系统是可观测的。3 .应用matlab进展综合设计状态反响原理设n维线性定常系统：其中x, u, y分别是n维、p维、q维向量；A、B、C分别是n*n维，n*p维，n*q维实数矩 阵。状态反响系统的控制量u取为状态x的线性函数：其中，v为p参考输入向量，K为p*n维实反响增益矩阵。参加状态反响后系统的构造图如图3. 1所示：图3. 1系统的全状态反响构造图那么系统状态反响的动态方程为：3.1 全维状态反响观测器和simulin
9、k仿真状态反响的的实现是利用状态反响使系统的闭环极点位于所希望的极点位置。而状 态反响任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。直线一级倒立摆系统是 可控的。设系统期望极点为以 4 右 4卜-2 - 3 -4 + 3/ -4-34那么系统期望特征多项式为：列写状态反响系统的特征多项式：令两个特征多项式各项系数对应相等，那么可解出K阵。由mat lab求出状态反响矩阵K,编程如下：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0; B=0;l;0;3; K=acker(A, B, -2 -3 -4+3i -4-3i)K =-5. 1020-5.884435. 1673
10、6.2948系统参加0. lm/s?的阶跃输入，在构成的状态反响调节器控制下，MATLAB中进展系统的阶跃响应仿真，编程如下:A =0100000000010029.40;Bl=003:C=l 0000 10 0 0 0 10 0 0 0 1;Dl=0 0 0 0; dt=0. 005; ieof=801; for i=l:ieof;U(:, i) = 0. 1; T(i)=i*dt;end;嬲离散化%期望极点嬲离散化%期望极点嬲离散化%期望极点%期望极点%期望极点%期望极点%期望极点op=-2-3-4+3 i-4-3i;K=place(A, Bl, op)AkO=(A-Bl*K);BkO=B
11、l;CkO=C;DkO=Dl;lqrop=eig(AkO);x=0 0 0 OP ;dt=O. 005;%离散时dA, dB=c2d(AkO, BkO, dt)圈经离散化得到离散状态方程Akl=(A-Bl*K)；Bkl=Bl;Ckl=C;Dkl=Dl;sys=ss (Aki, Bkl, Ckl, Dkl);Y, X=lsim(sys, U, T);plot(T, -Y),grid;legend ( Cart, VCart, singleVs);图3. 2极点配置为-2 -3 -4+3i -4-3i时的全状态反响仿真图 横轴时间单位秒，从图中可以看出，系统稳定。4.应用Matlab进展系统最优控
12、制设计最优控制问题就是寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统 能最优地到达预期的目标。对于线性连续系统，提出二次型目标函数：其中，R(t)正定，S及Q (t)半正定，且设它们为对称矩阵，曲心固定。当趋近 无穷时，在) = x(f)情况下，该问题即为无限时间输出调节器问题。此时稳态误差项趋于零，在此题目中假设二次型最优控制性能指标为:-500 0 0 00 30 0 0其中：。二00 50 00 0 0 10Matlab编程如下:A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 l;0 0 29.4 0;B=0;l;0;3;C二口 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0
13、0 1;I0 0 0 ohQ=500 0 0 0;0 30 0 0;0 0 50 0;0 0 0 10;R=l; K, P, e=lqr(A, B, Q, R)K =-22. 3607 -17. 469770. 104113. 2462在simulink下进展仿真模型的建设，如图4.1：图4. 1 LQR仿真模型将K输入后，进展仿真，结果如图4. 2：图4. 2 LQR仿真结果 由图可见，在二次型最优控制下系统稳定性得到明显改善。5 .总结通过对一级倒立摆的分析可知，在开环情况下，倒立摆的平衡系统是不稔定的 的；通过秩判据可知，其系统是可控可观测的；通过状态反响对极点进展配置后， 使极点都位于虚轴左侧，那么经过极点配置的倒立摆稳定，乂进展了 LQR算法对倒 立摆进展控制，也可以使系统稳定。以上都是利用MATLAB对机器人进展分析和设计, 对其系统进展了稳定性、可控性、可观测性分析，以及极点配置和最优控制设计， 从中我们可以看出，MATLAB作为一种交互式计算分析软件，其强大的运算分析功能, 集科学计算、程序设计和可视化于一体的高度集成化软件环境，为控制系统的分析 设计，特别是高阶系统综合设计，提供了一种方便可靠的途径。