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1、2016年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1（2分）2的绝对值是（）A2B2CD2（2分）计算3（1）的结果是（）A4B2C2D43（2分）如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（）A圆柱体B三棱锥C球体D圆锥体4（2分）如图，数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数对应的点是（）A点AB点BC点CD点D5（2分）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（）AcmB5cmC6cmD10cm6（2分）若xy，则下列不等式中不一定成立的是（）Ax+1y+1B
2、2x2yCDx2y27（2分）已知ABC中，BC=6，AC=3，CPAB，垂足为P，则CP的长可能是（）A2B4C5D78（2分）已知一次函数y1=kx+m（k0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a0）的自变量和对应函数值如表：x1024y10135x1134y20405当y2y1时，自变量x的取值范围是（）Ax1Bx4C1x4Dx1或x4二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）9（2分）化简：= 10（2分）若分式有意义，则x的取值范围是 11（2分）分解因式：x32x2+x= 12（2分）一个多边形的每个外角都是60，则这个多边形边数为 13（2分）若代数式x5与2x1的值相等，
3、则x的值是 14（2分）在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是 km15（2分）已知正比例函数y=ax（a0）与反比例函数y=（k0）图象的一个交点坐标为（1，1），则另一个交点坐标是 16（2分）如图，在O的内接四边形ABCD中，A=70，OBC=60，则ODC= 17（2分）已知x、y满足2x4y=8，当0x1时，y的取值范围是 18（2分）如图，APB中，AB=2，APB=90，在AB的同侧作正ABD、正APE和正BPC，则四边形PCDE面积的最大值是 三、解答题（共10小题，满分84分）19（6分）先化简，再求值（x1）（x2）（x+1）2，其中x
4、=20（8分）解方程和不等式组：（1）+=1（2）21（8分）为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成如下统计图根据统计图所提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了 名市民；（2）补全条形统计图；（3）该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数22（8分）一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，求摸到红球的概率；（2）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球
5、，求两次都摸到红球的概率23（8分）如图，已知ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若ABC=50，求BOC的度数24（8分）某超市销售甲、乙两种糖果，购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元（1）求甲、乙两种糖果的价格；（2）若购买甲、乙两种糖果共20千克，且总价不超过240元，问甲种糖果最少购买多少千克？25（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把RtAOB绕点A顺时针旋转角（30180），得到AOB（1）当=60时，判断点B是否在直线
6、OB上，并说明理由；（2）连接OO，设OO与AB交于点D，当为何值时，四边形ADOB是平行四边形？请说明理由26（10分）（1）阅读材料：教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为 ，故沿虚线AB剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图（2）类比解决：如图2，已知边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉ADE，请把纸板剩下的部分DBCE剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形拼成的正三角形边长为 ；在图2中用虚线画出
7、一种剪拼示意图（3）灵活运用：如图3，把一边长为60cm的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中BCD=90，延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F，点E、F分别为AB、AD的中点，在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）27（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点（1）求二次函数的表达式；（2）长度为2的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴
8、的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；（3）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足SAOF=SAOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由28（10分）如图，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上（异于点B、C），直线AP与对角线BD及射线DC分别交于点F、Q（1）若BP=，求BAP的度数；（2）若点P在线段BC上，过点F作FGCD，垂足为G，当FGCQCP时，求PC的长；（3）以PQ为直径作M判断FC和M的位置关系，并说明理由；当直线BD与M相切时，直接写出PC的长2016年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小
9、题，每小题2分，满分16分）1（2分）2的绝对值是（）A2B2CD【分析】根据绝对值的定义，可直接得出2的绝对值【解答】解：|2|=2故选B【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质2（2分）计算3（1）的结果是（）A4B2C2D4【分析】减去一个数等于加上这个数的相反数，所以3（1）=3+1=4【解答】解：3（1）=4，故答案为：D【点评】本题考查了有理数的减法，属于基础题，比较简单；熟练掌握减法法则是做好本题的关键3（2分）如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（）A圆柱体B三棱锥C球体D圆锥体【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图
10、形【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得为圆柱体故选A【点评】本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力4（2分）如图，数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数对应的点是（）A点AB点BC点CD点D【分析】根据图示得到点P所表示的数，然后求得的值即可【解答】解：如图所示，1p2，则1，所以1则数轴上与数对应的点是C故选：C【点评】本题考查了数轴，根据图示得到点P所表示的数是解题的关键5（2分）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6c
11、m，则该圆玻璃镜的半径是（）AcmB5cmC6cmD10cm【分析】如图，连接MN，根据圆周角定理可以判定MN是直径，所以根据勾股定理求得直径，然后再来求半径即可【解答】解：如图，连接MN，O=90，MN是直径，又OM=8cm，ON=6cm，MN=10（cm）该圆玻璃镜的半径是：MN=5cm故选：B【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径6（2分）若xy，则下列不等式中不一定成立的是（）Ax+1y+1B2x2yCDx2y2【分析】根据不等式的基本性质进行判断，不等式的两边加上同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以（或除以）同一个
12、正数，不等号的方向不变【解答】解：（A）在不等式xy两边都加上1，不等号的方向不变，故（A）正确；（B）在不等式xy两边都乘上2，不等号的方向不变，故（B）正确；（C）在不等式xy两边都除以2，不等号的方向不变，故（C）正确；（D）当x=1，y=2时，xy，但x2y2，故（D）错误故选（D）【点评】本题主要考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向7（2分）已知ABC中，BC=6，AC=3，CPAB，垂足为P，则CP的长可能是（）A2B4C5D7【分析】根据垂线段最短得出结论【解答】解：如图，根据垂线段最短可知：PC3，
13、CP的长可能是2，故选A【点评】本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择8（2分）已知一次函数y1=kx+m（k0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a0）的自变量和对应函数值如表：x1024y10135x1134y20405当y2y1时，自变量x的取值范围是（）Ax1Bx4C1x4Dx1或x4【分析】方法一：先在表格中找出点，用待定系数法求出直线和抛物线的解析式，用y2y
14、1建立不等式，求解不等式即可方法二：直接由表得出两函数图象的交点坐标（1，0），（4，5），再结合变化规律得出结论【解答】解法一：由表可知，（1，0），（0，1）在一次函数y1=kx+m的图象上，一次函数y1=x+1，由表可知，（1，0），（1，4），（3，0）在二次函数y2=ax2+bx+c（a0）的图象上，二次函数y2=x22x3当y2y1时，x22x3x+1，（x4）（x+1）0，x4或x1，故选D，解法二：如图，由表得出两函数图象的交点坐标（1，0），（4，5），x4或x1，故选D【点评】此题是二次函数和不等式题目，主要考查了待定系数法，解不等式，解本题的关键是求出直线和抛物线的解析式
15、二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）9（2分）化简：=【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可【解答】解：原式=2=故答案为：【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键10（2分）若分式有意义，则x的取值范围是x1【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可【解答】解：分式有意义，x+10，即x1故答案为：x1【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键11
16、（2分）分解因式：x32x2+x=x（x1）2【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可【解答】解：x32x2+x=x（x22x+1）=x（x1）2故答案为：x（x1）2【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键12（2分）一个多边形的每个外角都是60，则这个多边形边数为6【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数【解答】解：36060=6故这个多边形边数为6故答案为：6【点评】此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都36013（2分）若代数式x5与2x1的值相等，则x的值是4【分析】根据题意列出方程，求出方程的解
17、即可得到x的值【解答】解：根据题意得：x5=2x1，解得：x=4，故答案为：4【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键14（2分）在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是2.8km【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可【解答】解：设这条道路的实际长度为x，则：，解得x=280000cm=2.8km这条道路的实际长度为2.8km故答案为：2.8【点评】此题考查比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换15（2分）已知正比例函数y=ax（a0）与反比例函数y=（k0）图象的一个交点坐标为（1，1）
18、，则另一个交点坐标是（1，1）【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称【解答】解：反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，另一个交点的坐标与点（1，1）关于原点对称，该点的坐标为（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数16（2分）如图，在O的内接四边形ABCD中，A=70，OBC=60，则ODC=50【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得C的度数，利用圆周角定理求出BOD的度数，再根据四边形内角和为360度即可求出ODC的度
19、数【解答】解：A=70C=180A=110，BOD=2A=140，OBC=60，ODC=36011014060=50，故答案为：50【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是解答此题的关键17（2分）已知x、y满足2x4y=8，当0x1时，y的取值范围是1y【分析】首先把已知得到式子的两边化成以2为底数的幂的形式，然后得到x和y的关系，根据x的范围求得y的范围【解答】解：2x4y=8，2x22y=23，即2 x+2y=23，x+2y=3x=32y，0x1，032y1，1y故答案是：1y【点评】本题考查了幂的乘方和同底数的幂的乘法法则，理解幂的运算法则得到
20、x和y的关系是关键18（2分）如图，APB中，AB=2，APB=90，在AB的同侧作正ABD、正APE和正BPC，则四边形PCDE面积的最大值是1【分析】先延长EP交BC于点F，得出PFBC，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=EPCF=ab=ab，最后根据a2+b2=4，判断ab的最大值即可【解答】解：延长EP交BC于点F，APB=90，APE=BPC=60，EPC=150，CPF=180150=30，PF平分BPC，又PB=PC，PFBC，设RtABP中，AP=a，BP=b，则CF=CP=b，a2+b2=22=4，APE和ABD都是等边三角形，
21、AE=AP，AD=AB，EAP=DAB=60，EAD=PAB，EADPAB（SAS），ED=PB=CP，同理可得：APBDCB（SAS），EP=AP=CD，四边形CDEP是平行四边形，四边形CDEP的面积=EPCF=ab=ab，又（ab）2=a22ab+b20，2aba2+b2=4，ab1，即四边形PCDE面积的最大值为1故答案为：1【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线三、解答题（共10小题，满分84分）19（6分）先化简，再求值（x1）（x2）（x+1）2，其中x=【分析】根据多项式乘以多项式先
22、化简，再代入求值，即可解答【解答】解：（x1）（x2）（x+1）2，=x22xx+2x22x1=5x+1当x=时，原式=5+1=【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式20（8分）解方程和不等式组：（1）+=1（2）【分析】（1）先把分式方程化为整式方程求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可【解答】解：（1）原方程可化为x5=2x5，解得x=0，把x=0代入2x5得，2x5=50，故x=0是原分式方程的解；（2），由得，x2，由得，x1，故不等式组的解为：1x2【点评】本题考查的是解分式方程，在解答此类题目时
23、要注意验根21（8分）为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成如下统计图根据统计图所提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了2000名市民；（2）补全条形统计图；（3）该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数【分析】（1）根据“总人数=看电视人数看电视人数所占比例”即可算出本次共调查了多少名市民；（2）根据“其它人数=总人数其它人数所占比例”即可算出晚饭后选择其它的市民数，再用“锻炼人数=总人数看电视人数阅读人数其它人数”即可算出晚饭后选择锻炼的人数，依
24、此补充完整条形统计图即可；（3）根据“本市选择锻炼人数=本市总人数锻炼人数所占比例”即可得出结论【解答】解：（1）本次共调查的人数为：80040%=2000，故答案为：2000（2）晚饭后选择其它的人数为：200028%=560，晚饭后选择锻炼的人数为：2000800240560=400将条形统计图补充完整，如图所示（3）晚饭后选择锻炼的人数所占的比例为：4002000=20%，该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为：48020%=96（万）答：该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为96万【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是：（1）根据数量
25、关系算出样本容量；（2）求出选择其它和锻炼的人数；（3）根据比例关系估算出本市晚饭后1小时内锻炼的人数本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握各统计图的有关知识是关键22（8分）一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，求摸到红球的概率；（2）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）摸到红球的概率=；（2）画树状
26、图为：共有9种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为1，所以两次都摸到红球的概率=【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率23（8分）如图，已知ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若ABC=50，求BOC的度数【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到ABC=ACB，然后利用高线的定义得到ECB=DBC，从而得证；（2）首先求出A的度数，进而求出BOC的度数【解答】（1）证明：AB=AC，ABC=ACB，BD、CE是AB
27、C的两条高线，BEC=BDC=90BECCDBDBC=ECB，BE=CD在BOE和COD中BOE=COD，BE=CD，BEC=BDE=90BOECOD，OB=OC；（2）ABC=50，AB=AC，A=180250=80，DOE+A=180BOC=DOE=18080=100【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边24（8分）某超市销售甲、乙两种糖果，购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元（1）求甲、乙两种糖果的价格；（2）若购买甲、乙两种糖果共20千克，且总价不超过240元，问甲种糖果最少购买多少千
28、克？【分析】（1）设超市甲种糖果每千克需x元，乙种糖果每千克需y元根据“3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元”列出方程组并解答；（2）设购买甲种糖果a千克，则购买乙种糖果（20a）千克，结合“总价不超过240元”列出不等式，并解答【解答】解：（1）设超市甲种糖果每千克需x元，乙种糖果每千克需y元，依题意得：，解得答：超市甲种糖果每千克需10元，乙种糖果每千克需14元；（2）设购买甲种糖果a千克，则购买乙种糖果（20a）千克，依题意得：10a+14（20a）240，解得a10，即a最小值=10答：该顾客混合的糖果中甲种糖果最少10千克【点评】本题
29、考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系25（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把RtAOB绕点A顺时针旋转角（30180），得到AOB（1）当=60时，判断点B是否在直线OB上，并说明理由；（2）连接OO，设OO与AB交于点D，当为何值时，四边形ADOB是平行四边形？请说明理由【分析】（1）首先证明BAO=30，再求出直线OB的解析式即可解决问题（2）如图2中，当=120时，四边形ADOB是平行四边形只要证明DAO=AOB=90，OAO=OAB=30，即可解决问题【解答
30、】解；（1）如图1中，一次函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，A（，0），B（0，1），tanBAO=，BAO=30，AB=2OB=2，旋转角为60，B（，2），O（，），设直线OB解析式为y=kx+b，解得，直线OB的解析式为y=x+1，x=0时，y=1，点B（0，1）在直线OB上（2）如图2中，当=120时，四边形ADOB是平行四边形理由：AO=AO，OAO=120，BAO=30，DAO=AOB=90，OAO=OAB=30，ADOB，DOAB，四边形ADOB是平行四边形【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、平行四边形的性质和判定、旋转变换等知识，解题的关键是利用性质不变性
31、解决问题，属于中考常考题型26（10分）（1）阅读材料：教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为，故沿虚线AB剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图（2）类比解决：如图2，已知边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉ADE，请把纸板剩下的部分DBCE剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形拼成的正三角形边长为；在图2中用虚线画出一种剪拼示意图（3）灵活运用：如图3，把一边长为60cm的正方形彩纸剪开，用剪成的若干
32、块拼成一个轴对称的风筝，其中BCD=90，延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F，点E、F分别为AB、AD的中点，在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）【分析】（1）依题意补全图形如图1，利用剪拼前后的图形面积相等，得出大正方形的面积即可；（2）先求出梯形EDBC的面积，利用剪拼前后的图形面积相等，结合等边三角形的面积公式即可；依题意补全图形如图3所示；（3）依题意补全图形如图4，根据剪拼的特点，得出AC是正方形的对角线，点E，F是正方形两邻边的中点，构成等腰直角三角形，即可【
33、解答】解：（1）补全图形如图1所示，由剪拼可知，5个小正方形的面积之和等于拼成的一个大正方形的面积，5个小正方形的总面积为5大正方形的面积为5，大正方形的边长为，故答案为：；（2）如图2，边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉ADE，DE=BC=1，BD=CE=1过点D作DMBC，DBM=60DM=，S梯形EDBC=（DE+BC）DM=（1+2）=，由剪拼可知，梯形EDBC的面积等于新拼成的等边三角形的面积，设新等边三角形的边长为a，a2=，a=或a=（舍），新等边三角形的边长为，故答案为：；剪拼示意图如图3所示，（3）剪拼示意图如图4所示，正方形的边长为60cm，由剪拼可知，AC是正
34、方形的对角线，AC=60cm，由剪拼可知，点E，F分别是正方形的两邻边的中点，CE=CF=30cm，ECF=90，根据勾股定理得，EF=30cm；轻质钢丝的总长度为AC+EF=60+30=90cm【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，剪拼的特点，解本题的关键是根据题意补全图形，难点是剪拼新正三角形和筝形27（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点（1）求二次函数的表达式；（2）长度为2的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛
35、物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；（3）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足SAOF=SAOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把点A（3，3）代入y=x2+bx中，即可解决问题（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PEQQ1于点E，如图1所示设点P（m，m）（0m1），则Q（m+2，m+2），P1（m，m22m），Q1（m+2，m2+2m），构建二次函数，利用二次函数性质即可解决问题（3）存在，首先证明EF是线段AM的中垂线，利用方程组求交点E坐标，再根据对称性E关于点A的对称点E也符合条件，求出E、E坐标即可【解答】解：（1
36、）把点A（3，3）代入y=x2+bx中，得：3=9+3b，解得：b=2，二次函数的表达式为y=x22x（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PEQQ1于点E，如图1所示PEQQ1，QQ1x轴，PEx轴，直线OA的解析式为y=x，QPE=45，PE=PQ=2设点P（m，m）（0m1），则Q（m+2，m+2），P1（m，m22m），Q1（m+2，m2+2m），PP1=3mm2，QQ1=2m2m，=（PP1+QQ1）PE=2m2+2m+2=2+，当m=时，取最大值，最大值为（3）存在如图2中，点E的对称点为F，EF与AM交于点G，连接OM、MF、AF、OFSAOF=SAOM，MFOA，EG=GF，=，
37、AG=GM，M（1，1），A（3，3），点G（2，1），直线AM解析式为y=2x3，线段AM的中垂线EF的解析式为y=x+2，由解得，点E坐标为（，）设E关于点A的对称点E，E关于AM的对称点F，根据对称性可知，OAF与AOF的面积相等，此时E（，），综上所述满足条件的点E坐标（，）或（，）【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行线的性质、一次函数、面积问题等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数性质解决最值问题，学会利用方程组求两个函数的交点，属于中考压轴题28（10分）如图，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上（异于点B、C），直线
38、AP与对角线BD及射线DC分别交于点F、Q（1）若BP=，求BAP的度数；（2）若点P在线段BC上，过点F作FGCD，垂足为G，当FGCQCP时，求PC的长；（3）以PQ为直径作M判断FC和M的位置关系，并说明理由；当直线BD与M相切时，直接写出PC的长【分析】（1）在直角ABP中，利用特殊角的三角函数值求BAP的度数；（2）设PC=x，根据全等和正方形性质得：QC=1x，BP=1x，由ABDQ得，代入列方程求出x的值，因为点P在线段BC上，所以x1，写出符合条件的PC的长；（3）如图2，当点P在线段BC上时，FC与M相切，只要证明FCCM即可，先根据直角三角形斜边上的中线得CM=PM，则MC
39、P=MPC，从而可以得出MCP+BAP=90，再证明ADFCDF，得FAD=FCD，则BAP=BCF，所以得出MCP+BCF=90，FCCM；如图3，当点P在线段BC的延长线上时，FC与M相切，同理可得MCD+FCD=90，则FCCM，FC与M相切；当点P在线段AB上时，如图4，设M切BD于E，连接EM、MC，设Q=x，根据平角BFD列方程求出x的值，作AP的中垂线HN，得BHP=30，在RtBHP中求出BP的长，则得出PC=1；当点P在点C的右侧时（即在线段BC的延长线上），如图5，同理可得：PC=+1【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，ABP=90，tanBAP=，tan30=，BA
40、P=30；（2）如图1，设PC=x，则BP=1x，FGCQCP，GC=PC=x，DG=1x，BDC=45，FGD=90，FGD是等腰直角三角形，FG=DG=CQ=1x，ABDQ，x=（1x）2，解得：x1=1（舍去），x2=，PC=；（3）如图2，当点P在线段BC上时，FC与M相切，理由是：取PQ的中点M，以M为圆心，以PQ为直径画圆，连接CM，PCQ=90，PQ为直径，点C是圆M上，PCQ为直角三角形，MC=PM，MCP=MPC，APB=MPC，MCP=APB，APB+BAP=90，MCP+BAP=90，AD=DC，ADB=CDB，FD=FD，ADFCDF，FAD=FCD，BAP+FAD=B
41、CF+FCD，BAP=BCF，MCP+BCF=90，FCCM，FC与M相切；如图3，当点P在线段BC的延长线上时，FC与M也相切，理由是：取PQ的中点M，以M为圆心，以PQ为直径画圆，连接CM，同理得AQD=MCQ，点C是圆M上，AD=DC，BDA=CDB=45，DF=DF，ADFCDF，FAD=FCD，AQD+FAD=90，MCD+FCD=90，FCMC，FC与M相切；：当点P在线段BC上时，如图4，设M切BD于E，连接EM、MC，MEF=MCF=90，ME=MC，MF=MF，MEFMCF，QFC=QFE，BAP=Q=BCF，设Q=x，则BAP=BCF=x，QFE=QFC=45+x，DFC=45+x，QFE+QFC+DFC=180，3（45+x）=180，x=15，Q=15，BAP=15，作AP的中垂线HN，交AB于H，交AP于N，AH=AP，BHP=